WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |

На первом этапе развития численных методов прогноза значения гидрометеорологических величин в узлах регулярной сетки находились следующим образом. На карту с проведенными на ней изолиниями накладывалась прозрачная палетка с нанесенными на ней узлами сетки. Далее путем визуальной интерполяции определялись значения гидрометеорологических величин в узлах регулярной сетки. Такой способ занимает много времени и приводит к искусственному нарушению автоматизации процесса при прохождении информации через технические устройства. За последние десятилетия было уделено значительное внимание автоматизации указанного процесса. В первую очередь была решена задача получения значений гидрометеорологических величин в узлах регулярной сетки по их значениям на станциях. Эта задача получила название численного или объективного анализа.

Впервые метод численного анализа был предложен Х. А. Пановским в 1949 г. Метод сводился к представлению какой-либо метеорологической величины в виде некоторого полинома. Этот метод стал называться методом полиномиальной интерполяции.

Различные варианты этого метода были позднее предложены Г. П. Курбаткиным, Я. М. Хейфецем, П. Н. Беловым и другими.

Другой подход к численному анализу был предложен Л. С. Гандиным. Существенным моментом этого метода, который получил название метода оптимальной интерполяции, было использование статистической структуры метеорологических полей.

Различные реализации этого метода были осуществлены С. Л. Белоусовым и другими. Позднее этот метод стал активно использоваться для восстановления полей океана в узлах расчетной сетки (работы В. И. Беляева, И. Е. Тимченко и др.).

Следует отметить, что с точки зрения требований, предъявляемых к оператору L, оба метода: метод полиномиальной интерполяции и метод оптимальной интерполяции являются оптимальными с той лишь разницей, что первый из них не учитывает вероятностную структуру случайных полей. Однако, следуя установившейся традиции, будем использовать предложенную терминологию.

В дальнейшем распространение получили различные методы анализа, основанные на комбинировании линейной интерполяции и статистической структуры гидрометеорологических полей. Это – метод последовательных приближений (метод коррекции), метод сплайн-полиномов.

В настоящее время сплайны успешно применяют при решении широкого круга гидрометеорологических задач, требующих аппроксимации одномерных или многомерных полей сложной структуры, заданных своими значениями в отдельных точках, и, возможно, последующего интегрирования (осреднения) аппроксиманта по заданным областям с целью получения обобщенных пространственных характеристик этих полей. Последняя задача часто усложняется нерегулярным расположением точек, в которых известны значения поля, неправильной формой области и т. д.

Развитие новых средств наблюдений, таких как спутниковые системы, трансозондовые и др. привело к тому, что гидрометеорологические наблюдения стали несинхронными. Это обстоятельство потребовало разработки нового подхода к проблеме численного анализа и привело к созданию четырехмерного численного анализа, который правильнее было бы назвать пространственновременным численным анализом.

Рассмотрим подробнее некоторые из наиболее употребительных методов численного анализа.

3.1. Метод полиномиальной интерполяции Метод основан на описании участка поля какой-либо гидрометеорологической величины в окрестности точки регулярной сетки полиномом (многочленом). Эти полиномы могут быть алгебраическими различного порядка, тригонометрическими, сферическими и т. д. и могут иметь разные порядки. Например, в случае плоскости (один уровень) алгебраические полиномы первого, второго и третьего порядка имеют соответственно вид:

X1(x, y) = a0 + a1x + a2y, X2(x, y) = X1(x, y)+ a3xy + a4x2 + a5y2, X3(x, y)= X2(x, y)+ a6x2y + a7xy2 + a8x3 + a9y3, ai где x, y – координаты, (i = 1, 2, …, 9) – коэффициенты. Указанные полиномы можно записать в более компактном виде:

i+ jX(x, y) = aijxiyj.

i, j=Основы метода рассмотрим на примере поля геопотенциала одного уровня при использовании полинома первого порядка:

H(x, y) = a0 + a1x + a2y (3.1.1) Определяем коэффициенты a0,a1,a2 методом наименьших квадратов по значениям Hi в нескольких пунктах (станциях), расположенных в окрестности узла (влияющие точки).

2 n n Ф(x,y) = [H(xi,yi)-Hi] = [a0 +a1xi +a2yi -Hi] = min. (3.1.2) i-1 i-Число пунктов n может быть невелико, однако в любом случае оно должно быть равно или превышать число членов взятого полинома.

Дифференцируя последнее выражение последовательно по a, a1, a, имеем систему алгебраических уравнений:

0 n Ф(x, y) = 2 [a0 + a1xi + a2yi - Hi]= 0, ai= n Ф(x, y) = 2 [a0 + a1xi + a2yi - Hi]xi = 0, ai= n Ф(x, y) = 2 [ao + a1xi + a2yi - Hi]yi = 0.

a i=Или после тождественных преобразований имеем:

n n n na0 + a1 i + a2 i =, x y H i i=1 i=1 i= a n a1 n a2 n yi = n xi, x + x2 + x H 0 i i i i i=1 i=1 i=1 i= n a n a1 n yi + a2 n y + x y2 = H yi.

0 i i i i i=1 i=1 i=1 i=Решив полученную систему уравнений, найдем искомые коэффициенты a0,a1,a2 в (3.1.1). Если мы поместим начало координат в рассматриваемый узел сетки или интересуемую точку, то x = y = 0 и H(0,0) = a0. Это значение можно принять в качестве искомого значения геопотенциала в узле или точке сетки. Проделав такую операцию для всех точек регулярной сетки или интересующих каких-то точек (влияющие станции для каждой точки будут разными), мы получим в них значения геопотенциала, которые далее можно использовать для численного прогноза либо автоматического расчерчивания диагностических полей.

Изложенная схема интерполяции дает хорошие результаты в случае одинаковой достоверности данных во всех учитываемых пунктах. Реальная же гидрометеорологическая информация имеет различную достоверность в разных пунктах, что может быть связано с использованием приборов различных конструкций, ошибками измерений, различными расстояниями станций влияния и пр.

В этом случае интерполяция по приведенной схеме может дать неудовлетворительные результаты. Поэтому необходимо будет учитывать различия в достоверности данных путем введения в систему (3.1.2) дополнительных весов pi :

2 n n Ф(x, y)= [H(xi, yi )- Hi] = pi[a0 + a1xi + a2yi - Hi] = min.

p i i-1 i-Существенно заметить, что какой-либо универсальной методики для выбора весов не существует, поэтому подбор их осуществляется, как правило, на основе эмпирических данных и численных экспериментов (например, пропорционально средней квадратической ошибке данных, пропорционально расстоянию влияющих станций и пр.).

Надо отметить, что аналогичным образом может быть получена система для других видов интерполяционных полиномов.

Как частный случай полиномиальную интерполяцию можно использовать для определения некоторых гидрометеорологических характеристик методом аналогий, когда данные наблюдений по интересующему нас объекту отсутствуют.

Например, необходимо определить норму стока реки В, для которой в качестве аналога взята река А. Для реки А имеются регулярные многолетние наблюдения, на основе которых найдена норма стока qA = 2,1 л/(с км2). Для реки В проведены только за шесть лет наблюдения, параллельные с наблюдениями за рекой А.

Результаты этих наблюдений отражены в таблице.

Таблица Модуль стока q л/(с км2) рек А и В Реки 1989 г. 1990 г. 1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г.

А 1,10 1,18 2,09 1,65 2,58 0,В 1,38 0,99 2,28 2,08 3,30 0,Пусть график связи между значениями модулей стока рек А и В наводит на мысль о их линейной зависимости, т. е.

qB = a0 + a1qA (3.1.3) qB, л/(с км2) -2 -1 0 1 2 qA, л/(с км2) --Рис. 2. Связь годового стока рек А и В Коэффициенты a0 и a1 определяем методом наименьших квадратов из условий требования наилучшей линейной связи так, чтобы (a0 + a1qAi - qBi ) = min.

i=После частного дифференцирования последнего выражения система нормальных уравнений принимает вид:

6 na0 + a1 Ai = q q, Bi i=1 i=. (3.1.4) 6 6 a0 Ai + a(qA ) = (qA qB ) q i i i i=i i=1 i=Используя данные таблицы, находим:

6 6 (qA ) =16,96;

q = 9,38; q =10,68;

Ai Bi i i=1 i=1 i=(qAi qBi )=19,90.

i=Подставив найденные значения в (3.1.4), получим систему уравнений:

6a0 + 9,38a1 =10,68,, + 16,96a1 =19,9,38aкоторая имеет следующее решение: a0 = -0,41; a1 = 1,40. Тогда уравнение (3.1.3) примет вид:

qB = -0,41+1,4qA, откуда qB = -0,41+1,4qA = -0,41+1,40 2,1 = 2,53 л/(с км2).

3.2. Метод оптимальной интерполяции Рассмотрим метод линейной оптимальной интерполяции случайной функции W(t), заданной дискретно для t1, t,..., t на 2 n конечном интервале, причем t1 < t2 <... < tn. Считая, что эти значения являются результатами измерений и содержат ошибки, можно записать i = 1,2 =..., n, W(ti ) = U(ti )+ V(ti ), (3.2.1) где U(ti ) – истинное значение реализации в момент ti, а V(ti ) – ошибка измерения.

Случайные процессы U(t) и V(t) будем считать стационарными и стационарно связными, а их характеристики – математическое ожидание, корреляционные функции и корреляционные функции связи – известными. Без нарушения общности выводов будем считать, что математическое ожидание равно нулю, т. е. мы рассматриваем соответствующие центрированные случайные функции. В противном случае (если математическое ожидание не равно нулю), нам необходимо случайные функции центрировать.

Искомое значение U(t0), являющееся результатом применения линейного оператора L ко всем значениям W(ti ), можно записать в виде линейной комбинации n U(t0) = W(ti ), (3.2.2) a i i=где ai – постоянные коэффициенты, которые надо определить.

Задача сводится, таким образом, к отысканию таких значений коэффициентов 1,2,...,n, при которых величина n M(2)= 2(a1,a2,...,an ) = MU(t0)- W(ti ) (3.2.3) a n i i= обращается в минимум.

Заметим, что в настоящее время практически приемлемое решение поставленной задачи получено при предположениях о линейности и стационарности оператора L, а также и стационарной связности случайных процессов U(t) и V(t).

Известно, что необходимым условием минимума функции n переменных является равенство нулю всех ее частных производных по каждой переменной, т. е. a1, a2,..., an должны быть решениями системы уравнений:

2(a1,a2,...,an ) n = 0, i =1,2,...,n.

ai Преобразуем выражение (3.2.3).

n n 2(a1,a2,...,an )= MU2(t0)- 2U(t0) W(ti)+ W(ti).

a a n i i i=1 i= В последнее выражение подставим (3.2.1) n n 2(a1,a2,...,an)= MU2(t0)-2U(t0)ai[U(ti)+ V(ti)]+ [U(ti)+ V(ti)].

n i=1ai i=1 Воспользовавшись свойствами математического ожидания, преобразуем полученное выражение, особо обратив внимание на правильность операции возведения в степень последнего слагаемого.

n 2(a1,a2,...,an ) = M[U2(t0)]- 2 {M[U(t0)U(ti)]+ M[U(t0)V(ti)]}+ a n i i=n n + {M[U(ti )U(t )]+ M[U(ti )V(t )]+ M[V(ti )U(t )]+ M[V(ti )V(t )]}= a a i j j j j j i=1 j=n = K (0)- 2 [K (t0 - ti )+ K (t0 - ti )]+ a u i u uv i=n n + [Ku(t - ti)+ Kuv(t - ti)+ Kvu(t - ti)+ Kv(t - ti)] a a. (3.2.4) i j j j j j i=1 j=Продифференцируем по всем ai :

2(a1,a2,...,an ) n = -2[Ku(t0 - ti)+ Kuv(t0 - ti)]+ ai n + [Ku(t - ti)+ Kuv(t - ti)+ Kvu(t - ti)+ Kv(t - ti)], i = 1, 2, …, n.

a j j j j j j=Воспользовавшись необходимым условием минимума функции n переменных, приравняем производные нулю. Получим n. (3.2.5) Ku(t0 -ti)+Kuv(t0 -ti)= [Ku(tj -ti)+Kuv(tj -ti)+Kvu(tj -ti)+Kv(tj -ti)] a j j=Решив полученную систему линейных алгебраических уравнений относительно a1,a2,...,an, можно убедиться непосредственно, что выполнено и достаточное условие, т. е. выражение (3.2.3) обращается в минимум (вспомним одно из правил, известных из математического анализа, например, смена знака первой производной в окрестности искомой точки).

Коэффициенты a1, a2,..., an называют интерполяционными «весами», с которыми учитываются значения W(ti ) в сумме (3.2.2), причем n a = 1.

i i=Заметим, что на практике последнее равенство выполняется приближенно из-за ошибок округления, неизбежно возникающих при расчетах.

Как нам уже известно, с принципиальной точки зрения вывод формул для оптимальной экстраполяции и оптимального сглаживания не отличается от вывода формулы оптимальной интерполяции.

Рассмотрим частные случаи (3.2.5).

1. Ошибки измерения отсутствуют, т. е. имеем случай чистой интерполяции или экстраполяции. В этом случае в формуле (3.2.1) V(ti ) = 0, а W(ti ) = U(ti ). Следовательно, K () = 0, v Kuv () = 0, K () = 0. Тогда формула (3.2.5) принимает вид:

vu n Ku(t0 - ti)= Ku(t - ti) i = 1, 2, …, n. (3.2.6) a j j j=Так как корреляционная функция положительно определена, то определитель линейной системы (3.2.6) отличен от нуля и, следовательно, система имеет единственное решение. При этом коэффициенты a1, a,..., a зависят от степени связанности сечений 2 n U(ti) как между собой, так и с аппроксимируемым сечением U(t0).

Если сечения U(ti) не связаны между собой, но связаны с аппроксимируемым U(t0), то все Ku(t - ti)= 0 при i j. Поj этому имеем:

Ku(t0 - ti)= aiKu(0) или Ku(t0 - ti) a1 = = Ru(t0 - ti), Ku(0) т. е. коэффициенты ai определяются через коэффициенты корреляции между сечениями случайной функции U(t0) и U(t ), i i = 1, 2, …, n.

Если сечение U(t0) практически не связано с сечениями U(t ), что будет иметь место при экстраполяции, когда величина i упреждения Т будет выбрана очень большой, то в равенстве (3.2.6) K (t - t ) = 0 и u 0 i n a Ku(t - ti)= 0, i = 1, 2, …, n.

j j j=Определитель этой системы алгебраических уравнений не равен нулю (корреляционная функция положительно определена), а потому выполнение последнего равенства возможно только тогда, когда все коэффициенты a1 = a2 =... = an = 0. Согласно равенству (3.2.2) в этом случае метод оптимальной экстраполяции дает аппроксимируемое значение, равное математическому ожиданию случайной функции.

2. Ошибки измерений существуют, но они не коррелируют между собой в различных сечениях и не коррелируют с истинными значениями случайной функции, т. е.

Kv()= 0 при = 0 и Kuv()= 0, Kvu() = 0. (3.2.7) Тогда формула (3.2.5) принимает вид:

n Ku(t0 - ti ) = [Ku(t - ti)+ Kv(t - ti)].

a j j j j=Так как Kv(t - ti) 0 только при j = i, то j n Ku(t0 - ti ) = Ku(t - ti)+ aiKv(0), (3.2.8) a j j j=где i=1,2,…, n.

Оценим ошибку оптимальной интерполяции со сглаживанием. В нашем случае равенство (3.2.4) с учетом (3.2.7) принимает вид:

n n n n 2(a1,a2,...,an)= Ku(0)- 2 Ku(t0 - ti)+ a a ajKu(tj - ti)+ a2K (0). (3.2.9) n i i i v i=1 i=1 j=1 i=Умножив каждое из n равенств (3.2.8) на соответствующее ai и сложив результаты, получим:

n n n n.

a Ku(t0 - ti) = a a Ku(t - ti)+ Kv(0)ai i i j j i=1 i=1 j=1 i=Подставим полученное выражение в (3.2.9).

n n n 2(a1,a2,...,an ) = Ku(0)- Ku(t0 - ti)+ a a a Ku(t - ti)- n i i j j i=1 i=1 j=n n n n - Kv(0)ai + (0).

a a Ku(t - ti)+ a2K i j j i v i=1 i=1 j=1 i=Приводя подобные члены, имеем:

n 2(a1,a2,...,an) = Ku(0)- Ku(t0 - ti).

a n i i=В этом выражении последняя сумма неотрицательна (корреляционная функция положительно определена) и Ku(0) = Du = D.

Поэтому ошибка оптимальной интерполяции (экстраполяции) не превосходит дисперсии случайной функции:

n 2(a1,a2,...,an ) D, или = 1, n D т. е. относительная ошибка не превосходит единицы. Окончательно имеем:

n = 1- Ru(t0 - ti) (3.2.10), a i i=Ku(t0 - ti), n где Ru(t0 - ti)= =.

D D Вернемся к равенству (3.2.8), обе части которого разделим на дисперсию случайной функции (напомним, что в силу стационарности дисперсия для всех сечений случайного процесса постоянна).

n Ku(t - ti)+ Ku(t0 - ti) Kv(0), i = 1, 2, …, n. (3.2.11) j = a D j D D j=где Kv(0) – дисперсия ошибки, D – дисперсия истинной реалиKv(0) – относительная ошибка измерения.

зации, D Через нормированные корреляционные функции равенство (3.2.11) запишется:

n Ru(t0 - ti ) = Ru(t - ti)+ ai, i = 1, 2, …, n.

a j j j=Для краткости дальнейших записей обозначим:

Ru(t0 - ti ) = R0i, Ru(t - ti)= Rij.

j Итак, окончательно система уравнений оптимальной интерполяции (экстраполяции) со сглаживанием имеет вид:

n R0i = Rij + ai, i = 1, 2, …, n.

a j j=Запишем эту систему в развернутом виде.

a1(R11 + )+ a2R12 + a3R13 +... + anR1n = R01, a1R21 + a2(R22 + )+ a3R23 +... + anR2n = R02, a1R31 + a2R32 + a3(R33 + )+... + anR3n = R03,..................

a1Rn1 + a2Rn2 + a3Rn3 +... + an(Rnn + ) = R0n.

Систему линейных алгебраических уравнений можно переписать и для случая измерений без ошибок, когда = 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.