WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |

fn(u1,u2,...,un; t1,t2,...,tn)= fn(u1,u2,...,un; t1-t0, t2 - t0,...,tn - t0). (2.5.1) Следовательно, плотность распределения инварианта относительно сдвига начала отсчета аргумента t.

Заметим, что термин «стационарность» возник при изучении случайных функций времени и характеризует постоянство их свойств во времени. Для случайных процессов, аргументом которых является другая переменная, например расстояние, вводится термин «однородность». Обычно термин «однородность» применяют к случайным полям, характеризуя их однородность в пространстве, а под стационарностью поля понимают постоянство его статистических свойств во времени, хотя иногда вместо стационарности говорят об однородности по времени.

Полагая в (2.5.1) t0 = t1, получим fn(u1,u2,...,un; t1,t2,...,tn ) = fn(u1,u2,...,un; 0, t2 - t1,...,tn - t1).

Мы видим, что n-мерные плотности распределения вероятностей зависят не от абсолютного положения значений t1,t2,...,tn на оси t, а от их относительного расположения, а именно от разностей t2 - t1,..., tn - t1. Это значит, что всякое перемещение начала отсчета по оси времени преобразует совокупность реализаций случайной функции в саму себя таким образом, что ее статистические характеристики не изменяются. Данное определение стационарности налагает слишком много ограничительных условий на случайные процессы, и на практике их невозможно даже проверить. Из равенства (2.5.1) следует, что для стационарного случайного процесса n-мерная плотность распределения вероятностей зависит не от n, а от n-1 значений аргумента, так как одно из значений аргумента всегда можно принять за начало отсчета (например, положить t1 = 0). Отсюда ясно, что одномерная плотность распределения вероятностей f1(u;t)- f1(u; t - t0)= f1(u; 0)- f1(u) не зависит от t и является одной и той же для всех сечений случайного процесса.

Двумерная плотность распределения вероятностей f2(u1,u2; t1,t2) = f2(u1,u2; t1 - t0, t2 - t0) = f2(u1,u2; 0, t2 - t1) = = f2(u1,u2; t2 - t1)= f2(u1,u2; ), где = t2 - t1 зависит только от одного аргумента – сдвига сечений по координатной оси t.

Для двух произвольных сечений стационарной функции двумерную плотность распределения вероятностей в общем виде можно записать f2(ui,u ; ti, t )= f2(ui,u ; ti - t0, t - t0)= f2(ui,u ; 0, t - ti)= j j j j j j = f2(ui,u ; 0, t - ti)= f2(ui,u ; ).

j j j Тогда основные характеристики стационарного случайного процесса имеют вид:

+ + mu(t)= uf1(u; t)du = uf1(u)du = mu = const. (2.5.2) - + + Ku(ti.t )= j (u - mu )(u - mu)f2(ui,u ; )duidu = Ku(). (2.5.3) i j j j - Очевидно, что при = 0 Kij()= Ku(0)= Du = const. Следовательно, математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами для всех сечений стационарного процесса.

Эти условия равносильны, например, утверждению о постоянстве климата и физико-географических условий формирования стока, т.

е. отрицанию возможности изменения их во времени. Корреляционная функция стационарного случайного процесса является функцией только одного аргумента, т. е. коэффициент корреляции между сечениями U(ti) и U(t ) для любых ti и t не меняется при j j сдвиге на время, иначе говоря, такой же коэффициент корреляции будет между сечениями U(ti + ) и U(t + ).

j Условия (2.5.2) и (2.5.3) являются необходимыми, но недостаточными условиями стационарности. Это означает, что если процесс стационарен, то эти условия выполняются всегда. Обратное утверждение не гарантирует стационарность при n 3. Однако при решении большинства практических задач гидрометеорологии многомерные плотности распределения (n > 2) применяются очень редко, а из гипотезы стационарности используют лишь условия (2.5.2) и (2.5.3), что значительно упрощает описание случайных процессов. В связи с этим в корреляционной теории выделяют класс случайных процессов, для которых выполняются условия (2.5.2) и (2.5.3). Такие процессы называют стационарными в широком смысле. В общем случае стационарность в широком смысле не тождественна стационарности в узком смысле. Случайные функции, стационарные в узком смысле, будут стационарны и в широком смысле, но не наоборот. Но имеется целый класс стационарных процессов, для которых понятие стационарности в узком и широком смысле совпадают. Это – нормальные стационарные процессы, для которых функция плотности вероятностей полностью определена математическим ожиданием и корреляционной функцией. В дальнейшем, когда речь будет идти о стационарности, мы будем иметь в виду именно стационарность в широком смысле.

Из симметричности корреляционной функции (см. свойство (2.2.1)) следует и четность корреляционной функции стационарного случайного процесса: Ku () = Ku(- ).

На практике условия стационарности можно непосредственно проверить, вычислив средние значения, дисперсии и корреляционные функции для разных моментов времени. Если значения средних и дисперсий постоянны для всех сечений, а коэффициенты корреляции между любыми двумя сечениями не зависят от постоянного сдвига, то процесс стационарен.

2.5.1. Система стационарных случайных функций Пусть имеем систему случайных процессов U1,U2,..., UN. Эта система называется стационарной в широком смысле, или стационарно связной, если в этом смысле стационарен каждый из процессов, входящих в систему, а корреляционные функции связи являются функциями только одного аргумента Ksg(ti,t )= Ksg(), s, g = 1,2,..., N.

j Здесь, как и в п. 2.2, обозначено Ksg(ti,t )= Kusug (ti,t ).

j j Опираясь на свойство корреляционных функций (2.3.1), можно записать Ksg()= Kgs(- ), т. е. корреляционную функцию связи двух стационарных процессов можно описать одной корреляционной функцией связи, заданной как при положительных, так и отрицательных значениях аргумента, при этом функция Ksg() в общем случае не является четной.

Из изложенного ясно, что принятие гипотезы стационарности случайных функций приводит к значительному упрощению описания их статистических свойств, что позволило, в свою очередь, разработать эффективные математические методы, используемые при прогнозировании. Для нестационарных функций решение этих вопросов связано с большими трудностями. Поэтому всякую случайную функцию, с которой имеют дело на практике, прежде всего, пытаются рассматривать с точки зрения возможности считать ее стационарной. Для процессов, имеющих место в атмосфере и гидросфере, гипотеза об их стационарности хорошо оправдывается для сравнительно небольших интервалов времени или расстояний. С увеличением интервалов изменения аргумента наблюдается и нарушение стационарности. Так, для гидрологических рядов гипотеза о стационарности считалась достаточно естественной в течение длительного времени. Однако все возрастающая хозяйственная деятельность человека на водосборе, а также возможные антропогенные изменения климата требуют в настоящее время обоснование этой гипотезы для каждого конкретного водосбора. Антропогенные изменения стока приводят к тому, что стационарные распределения приходится строить либо по очень коротким рядам, либо по неоднородным гидрологическим рядам, что создает огромные проблемы в обеспечении устойчивости статистических параметров.

Аналогичные замечания можно сделать и для других гидрометеорологических характеристик. Несмотря на то, что нарушение стационарности приводит к изменению математического ожидания рассматриваемой гидрометеорологической величины, тем не менее, стационарность в смысле независимости корреляционной функции от начала отсчета сохраняется с достаточно допустимым на практике приближением. Исходя из этого, часто на практике вместо самого случайного процесса целесообразно рассматривать центрированный случайный процесс, так как этот процесс можно уже считать стационарным с постоянным математическим ожиданием, равным нулю, а корреляционные функции центрированного и исходного процессов совпадают. Поэтому для многих процессов атмосферы и гидросферы на основе большого статистического материала различными авторами предложены разнообразные корреляционные функции, общими свойствами которых являются: 1) стремление их к нулю при возрастании аргумента, и 2) максимальные значения этих функций, равные дисперсиям случайных процессов, достигаются при нулевом значении аргумента. Если мы рассматриваем стационарный процесс с корреляционной функцией Ku(), то ее максимум будет при = 0, в то время как корреляционная функция связи Kuv() максимума при = 0 может не достигать. Действительно, влияние одного процесса на другой может происходить с некоторым запаздыванием, например нагревание воды за счет солнечного излучения происходит лишь спустя некоторое время. В этом случае значение корреляционной функции связи между сечениями этих процессов при интервале, отличном от нуля, будет больше, чем между одновременными сечениями этих процессов. Наличие такого запаздывания может служить причиной несимметричности корреляционной функции связи относительно аргумента, т. е. Kuv() Kuv(- ).

С некоторыми видами корреляционных функций мы познакомимся ниже.

2.6. Положительно определенные функции Для убедительности доказательств последующих утверждений введем понятие положительно определенной функции.

Функция f(t), удовлетворяющая неравенству n n jf(ti - t ) 0 для любых наборов t1,t2,...,tn и любых n веi j i=1 j=щественных 1,2,...,n называется положительно определенной.

Рассмотрим сумму такого вида для стационарной корреляционной функции Ku() n n n n o o n o )= (ti)U(t )ij = M 1 U(ti) 0.

jKu(ti - t MU i j j i=1 j=1 i=1 j=1 i=Для стационарного случайного процесса начало отсчета можем принять при ti = t. Последняя сумма не может быть отрицаj тельной, так как рассматривается математическое ожидание величины, возведенной в квадрат.

Таким образом, корреляционная функция стационарного случайного процесса представляет собою положительно определенную функцию.

Справедливым является и обратное утверждение: всякая положительно определенная функция является корреляционной функцией некоторого стационарного случайного процесса.

2.7. Свойство эргодичности случайных процессов Стационарные случайные процессы могут обладать замечательным свойством, получившим название свойства эргодичности.

Рассмотрим подробнее смысл этого свойства. До сих пор мы определяли основные характеристики случайного процесса путем осреднения по множеству реализаций. Но возможен и другой способ осреднения, если мы располагаем одной реализацией достаточной продолжительности. При этом если связь между сечениями случайного процесса убывает быстро, то отдельные части реализации мы имеем право рассматривать как независимые между собой. Поэтому совокупность таких отдельных n частей одной реализации мы можем принимать за совокупность n самостоятельных реализаций. Для стационарных процессов нам известно, что математическое ожидание и дисперсия не зависят от аргумента, поэтому можно, не разделяя реализацию на отдельные части, определить эти характеристики по всей данной реализации:

t t 1 mu = (t) dt; Du = [u(t)- mu] dt;

u t t 0 t Ku(t)= [u(t)- mu][u(t + )- mu]dt, t где t – длина интервала, на котором задана реализация.

Возникает закономерный вопрос: будут ли характеристики случайного процесса, полученные путем осреднения по совокупности реализаций, совпадать с соответствующими характеристиками, найденными путем осреднения только по одной реализации.

Оказывается, что это выполняется не для всех стационарных функций.

Говорят, что стационарные функции обладают свойством эргодичности, если статистические характеристики, полученные путем осреднения по множеству реализаций в данный момент времени, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, равны статистическим характеристикам, полученным путем осреднения по достаточно длительному интервалу времени одной единственной реализации.

Здесь использовано известное из теории вероятностей понятие сходимости по вероятности, которое, например, для среднего значения по реализации может быть записано в виде:

lim P(Ut - mu < )= 1, (2.7.1) t где Ut – средняя по реализации за интервал времени t, mu – средняя по множеству реализаций в данный момент времени, – бесконечно малая величина.

Равенство (2.7.1) дает достаточные основания для того, чтобы на практике можно было вместо mu использовать значение Ut, где t сравнительно велико. Поэтому остается выяснить, при каких условиях для t на практике выполнимо условие (2.7.1), так как при наличии наблюдений на малом интервале изменения аргумента можно получить искомые характеристики с недопустимо большими ошибками. Опуская подробные доказательства, которые можно найти, например, в двухтомнике Монина А. С., Яглома А.

М., заметим, что Тейлором было доказано: для дисперсии разностей между истинным значением, полученным осреднением по одной реализации при достаточно большом t, справедлива асимптотическая формула:

D 2 Ku(0), где t – интервал осреднения, 0 – величина, назыt ваемая временем корреляции, причем 0 = ()d.

Ku Ku(0) Отсюда видно, что для надежного определения искомых характеристик по одной единственной реализации необходимо брать интервал осреднения t во много раз больше, чем время корреляции 0, которое иногда называют «временным масштабом корреляции». Физический смысл этого условия состоит в том, что при > 0 величины могут считаться независимыми.

Надо отметить, что отдельные реализации случайного процесса могут иметь свои специфические особенности, например, колебания вокруг различных средних. В этом случае среднее значение, полученное по одной реализации, может значительно отличаться от среднего по ансамблю реализаций.

По отношению к корреляционной функции свойства эргодичности формулируются гораздо сложнее, а потому проверку их на практике осуществить в основном не удается. В связи с этим выводы об эргодичности делают, как правило, на основе соображений о физической сущности случайного процесса.

Выполнение свойства эргодичности имеет большое значение, так как для определения статистических характеристик достаточно располагать одной реализацией, что мы обычно и имеем на практике. Например, в гидрометеорологии далеко не всегда удается осуществить многократное повторение эксперимента в одинаковых условиях, и потому все ряды наблюдений на гидрометеорологических станциях и постах практически представляют собою единственную реализацию. Если же мы все-таки располагаем несколькими реализациями, полученными в одинаковых условиях, то, пользуясь свойством эргодичности, можно получить статистические характеристики осреднением по каждой реализации, а затем взять в качестве искомых среднее арифметическое из них с учетом веса каждой реализации.

2.8. Структурная функция Из стационарных процессов наиболее важны процессы со стационарными приращениями U = U(t + ) - U(t).

Математическое ожидание квадрата приращений (разности сечений, соответствующих двум значениям аргумента) называется структурной функцией Bu ():

Bu() = M[(U)2]= M{[U(t + )- U(t)]2}. (2.8.1) Впервые структурная функция была введена А. Н. Колмогоровым для описания статистической теории турбулентного движения. Из определения структурной функции видно, что она неотрицательна, т. е. Bu() 0.

Выразим структурную функцию через корреляционную. В формуле (2.8.1) сделаем тождественные преобразования путем доmu бавления и вычитания одной и той же величины :

Bu()= M{[U(t + )- U(t)- mu + mu]2}= M{[U(t + )- mu]-[U(t)- mu]2}= =M{[U(t + )- mu]2}+ M{[U(t)- mu]2}- 2M{[U(t + )- mu][U(t)- mu]}= = Ku(0)+ Ku(0)- 2Ku( = 2[Ku(0)- Ku()]). (2.8.2) Из последнего равенства видно, что структурная функция четна, т. е. Bu()= Bu(- ), так как Ku () = Ku (- ). Заметим, что четность структурной функции следует и из ее определения (3.5.1).

При = 0 равенство (2.8.2) принимает вид:

Bu()= 2[Ku(0)- Ku(0)]= 0.

Этот же результат можно было получить из определения (2.8.1).

Если для случайного процесса выполняется условие lim Ku() = 0, то limBu()= 2Ku(0)= 22. (2.8.3) u Обозначим limBu()= Bu(). (2.8.4) Тогда равенство (2.8.2) с условиями (2.8.3) и (2.8.4) примет вид:

Bu()- Bu().

Bu()= Bu()- 2Ku(), или Ku()= Естественно, что на практике мы не имеем реализации на бесконечном интервале, т. е. не можем знать структурную функцию, соответствующую бесконечному аргументу. Однако в большинстве случаев структурная функция довольно быстро достигает некоторого предельного значения, начиная с которого при дальнейшем увеличении аргумента она фактически не меняется или меняется незначительно. Поэтому Bu () часто называют насыщающим значением структурной функции.

Для стационарного случайного процесса, обладающего эргодическим свойством, структурную функцию, как и корреляционную, можно найти по одной единственной реализации по формуле:

t Bu()= [u(t + )- u(t)] dt.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.