WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 9 |

Используя понятие сечения, можно случайную функцию определить как совокупность или множество всех ее сечений. Однако можно поступить и наоборот, определив случайную функцию как функцию, значение которой при любом фиксированном значении аргумента является случайной величиной U(ti).

Аргумент t может принимать либо любые вещественные значения в заданном интервале, либо только определенные дискретные значения. В первом случае случайную функцию называют процессом, во втором – случайной последовательностью. Все гидрометеорологические процессы развертываются во времени непрерывно, однако ряды наблюдений мы, как правило, имеем в дискретном виде. Обычно для простоты такого разделения не делают и часто используют термин «случайный процесс» безотносительно к физической природе аргумента.

Надо отметить, что аргументом случайной функции может быть не только время.

Понятие случайной функции хорошо отражает сущность всех гидрометеорологических явлений. Так, например, уровень воды в реке (или водохранилище) меняется во времени случайным образом в зависимости от количества осадков, таяния снега, интенсивности оросительных мероприятий, солнечной радиации и пр.; дождевые осадки и сток изменяются во времени и по площади водосбора; аналогично меняются скорость инфильтрации и инфильтрационная способность почвы, распределение консервативных и неконсервативных загрязняющих ингредиентов в атмосфере, водотоках, водоемах, почве. Турбулентный характер атмосферных процессов влечет крайнюю изменчивость метеорологических величин во времени и в пространстве. При этом интенсивные турбулентные пульсации имеют место как для крупномасштабных процессов, так и для движений самого малого масштаба. Наличие турбулентности приводит к тому, что начальные условия не определяют полностью течение процесса и, следовательно, опыты, проведенные при одинаковых внешних условиях, будут приводить к различным результатам.

2.2. Основные характеристики случайной функции В классической теории вероятностей случайная величина Х считается полностью определенной с вероятностной точки зрения, если известна ее функция распределения F(x) = P(X < x), где Р – вероятность.

Известно, что случайный процесс U(t) можно рассматривать как совокупность всех его сечений, каждое из которых представляет собой случайную величину. Поэтому, если мы имеем n сечений случайного процесса: U(t1), U(t ), U(t ),..., U(t ), то этот слу2 3 n чайный процесс мы можем приближенно охарактеризовать функцией распределения полученной системы случайных величин F(u1, u, u3,..., u ) = P(U1 < u1, U2 < u, U3 < u3,..., Un < u ).

2 n 2 n Очевидно, что эта функция распределения тем точнее будет характеризовать случайный процесс, чем ближе друг к другу будут расположены сечения и чем больше число n их взято. Исходя из этого, случайный процесс U(t) считают заданным, если для каждого значения аргумента t определена функция распределения случайной величины:

F1(U;t)= P[U(t)< u], а также для каждой пары сечений t1 и t2 аргумента t определена функция распределения системы двух случайных величин U = U(t ) Ui = U(ti) и :

j j F2(Ui, U ; ti, t )= P(Ui < ui, U < u ) ; i, j = 1,2,...,n, j j j j и вообще для любых n значений t, t,..., t аргумента t определена 1 2 n n-мерная функция распределения Fn(U1, U2,..., Un; t1, t2,..., tn )= P(U1 < u1, U2 < u2,..., Un < un) случайных величин U1 = U(t1), U2 = U(t2),..., Un = U(tn ).

Если существуют смешанные частные производные от многомерной функции распределения, то можно записать многомерный дифференциальный закон распределения (многомерную функцию плотности вероятности):

nFn(U1, U2,..., Un; t1, t2,..., tn ).

u1u2...un Случайный процесс будет полностью охарактеризован только в том случае, если заданы все многомерные функции распределения.

Очевидно, что теоретически можно неограниченно увеличивать число сечений и получать при этом все более полную характеристику случайного процесса. Однако установить вид многомерных функций распределения и оперировать столь громоздкими характеристиками, зависящими от многих аргументов, крайне неудобно, и в этом далеко не всегда есть необходимость. Поэтому на практике более чем двумерные законы распределения применяются крайне редко. Часто для изучения случайных функций (также как и случайных величин в теории вероятностей) оказывается достаточным знание лишь некоторых основных характеристик, описываемых начальными и центральными моментами распределения.

Начальным моментом порядка q1 + q2 +... + qn случайной функции U(t) называется математическое ожидание произведения соответствующих степеней ее различных сечений:

q1 q2 qn q1,q2,...,qn (t1, t2,..., tn )= M{[U(t1)] [U(t2)]...[U(tn )] }.

В частности, начальный момент первого порядка:

q1 + q2 +... + qn = 1 – это математическое ожидание случайной функции при фиксированном значении аргумента (т. е. по заданному ансамблю) 1(t)= M[U(t)]= mu(t), причем + uf1(u;t)dx при непрерывном t, 1(t)= N u pk(u;t) при дискретном t.

k k=Здесь и далее предполагается, что интеграл абсолютно сходится; k = 1, 2, …, N – число реализаций; f1(u;t) – одномерная функция плотности распределения; pk(u;t) – вероятность возможного значения случайной функции в заданном сечении.

Очевидно, что математическое ожидание имеет размерность, равную размерности рассматриваемой величины, и обладает теми же свойствами, которые рассматриваются в классической теории вероятностей.

Математическое ожидание (теоретическое среднее) является уже неслучайной функцией и дает представление о центре, вокруг которого при заданном t группируются значения различных реализаций случайной функции. Например, в качестве случайной функции мы будем рассматривать среднегодовые температуры как функции глубины в заданном районе океана. При этом каждая реализация из ансамбля будет представлять собой график изменения среднегодовой температуры по глубине за определенный год, а математическое ожидание сечения – многолетнюю среднегодовую температуру на определенной глубине. Обычно при изучении гидрометеорологических процессов математические ожидания, полученные осреднением по всем реализациям, представляют собой климатическую норму.

Из всех начальных моментов случайной функции самостоятельное значение имеет только первый, остальные моменты, более высоких порядков, используются как вспомогательные для вычисления центральных моментов или их частных случаев, когда математическое ожидание случайной функции равно нулю. Записать начальный момент любого порядка не представляет трудности.

Так, начальные моменты второго порядка q1 + q2 +... + qn = 2 могут быть двух типов:

• для одного и того же сечения случайной функции – 2(t)= M{[U(t)]2} и • смешанный момент второго порядка для двух различных сечений – 1,1 = M[U(ti)U(t )].

j Центральным моментом порядка q1 + q2 +... + qn случайной функции U(t) называется математическое ожидание произведения соответствующих степеней ее центрированных сечений:

q1 o q2 o qn o q1,q2,...,qn (t1, t,..., t ) = MU(t1) U(t )...U(t ), 2 n 2 n o o где U(t1) = U(t1)- mu (t1),..., U(tn ) = U(tn )- mu (tn ) – центрированные сечения.

Центральные моменты нулевого и первого порядков не представляют самостоятельного интереса, так как всегда равны постоянным величинам, соответственно единице и нулю. Центральные моменты второго порядка можно представить, во-первых, для одного и того же сечения случайной функции:

o 2,0(t)== MU(t) = M[U(t)- mu(t)] и, во-вторых, для двух различных сечений случайной функции:

o o 1,1(t1, t2)= MU(ti)U(t ) = M{[U(ti)- mu(ti)][U(t )- mu(t )]}.

j j j Момент 2,0(t) является функцией одного аргумента t (t = ti = t ) и при каждом фиксированном его значении представляj ет собой дисперсию соответствующего сечения случайной функции:

2,0(t)= DU(t).

Дисперсия – это уже неслучайная величина, имеющая размерность квадрата размерности рассматриваемой случайной функции, и обладает теми же свойствами, которые рассматриваются в классической теории вероятностей. Положительный квадратный корень из дисперсии называют средним квадратическим отклонением в данном сечении случайной функции: U(t)= DU(t), которое имеет уже размерность, совпадающую с размерностью самой случайной функции, и характеризует разброс случайных значений рассматриваемого сечения около своего центра рассеяния (математического ожидания). В гидрометеорологических исследованиях этот разброс от нормы часто называют аномалиями, изучение которых представляет самостоятельный интерес.

Момент 1,1(tit ) для каждой пары ti и t есть момент связи j j или корреляционный момент между соответствующими сечениями случайной функции. Его обычно обозначают 1,1(tit )= Kij(ti, t ) и j j называют корреляционной (автокорреляционной), или ковариационной функцией случайного процесса, которая обладает всеми свойствами, рассматриваемыми в классической теории вероятностей для корреляционных моментов. Очевидно, что при ti = t = t j корреляционная функция превращается в дисперсию.

Из определения корреляционной функции следует ее симметричность относительно аргументов, т. е.

K (t, t )= K (t, t ). (2.2.1) u i j u j i На практике часто вместо корреляционной функции рассматривают безразмерную нормированную корреляционную (автокорреляционную) функцию Ku(ti, t ) j Ru(ti, t )= j u(ti)u(t ), j которая для каждой фиксированной пары значений ti и t предj ставляет коэффициент корреляции, характеризующий степень тесноты линейной зависимости между соответствующими сечениями случайной функции. В общем виде нормированная корреляционная функция для n сечений случайного процесса представима в виде матрицы парных коэффициентов корреляции между соответствующими сечениями, в которой все диагональные элементы равны единице, а элементы, симметричные главной диагонали (в силу свойства симметричности корреляционных функций) равны между собой:

1 R12... R1n R21 1... R2n Rij(ti, t ) =, j............

Rn1 Rn2... i, j = 1,2,3,...,n; Ru(ti, t )= Rij; R11 = R22 = R33 =... = Rnn = 1.

j При решении многих прикладных задач часто бывает достаточно знать только первый начальный и второй центральный моменты. Причем для нормально распределенных случайных процессов эти характеристики являются исчерпывающими. Следует указать, что раздел теории случайных функций, оперирующий только с математическим ожиданием и корреляционными функциями, называют корреляционной теорией случайных функций.

2.3. Система случайных функций На практике приходится иметь дело одновременно с несколькими случайными функциями. Так, например, при изучении таких случайных процессов, как испарение приходится совместно рассматривать ряд случайных процессов: температуру, ветер, давление атмосферы, солнечную радиацию и др.; при изучении потерь стока рассматривают перехват, испарение, задержание в бессточных депрессиях, инфильтрацию. Поэтому, кроме рассмотренных выше характеристик для каждой случайной функции, существенным является еще установление связи между различными функциями. Начальные моменты первого порядка совпадают с математическими ожиданиями соответствующих случайных функций.

Центральные моменты второго порядка могут быть двух видов: вопервых, можно рассматривать второй центральный момент для двух сечений одной и той же случайной функции (это мы делали в предыдущем параграфе); во-вторых – для двух сечений, принадлежащих разным случайным функциям. При этом полученный корреляционный момент называют корреляционной функцией связи, или взаимной корреляционной функцией между двумя случайными функциями.

Рассмотрим, например, систему двух случайных процессов:

U(t) и V(t). В корреляционной теории ее характеристиками будут:

mu(t), mv(t), Ku(ti, t ), Kv(ti, t ), а также корреляционная функция j j связи:

Kuv(ti, t )= M{[U(ti)- mu(ti)][V(t )- mv(t )]}, j j j которая характеризует степень линейной зависимости между сечениями U(ti ) и V(t ). В частном случае, при ti = t корреляционj j ная функция будет характеризовать степень линейной зависимости сечений случайных процессов U(t) и V(t), соответствующих одному и тому же значению аргумента.

Корреляционная функция связи Kuv(ti, t ) не является симj метричной относительно своих аргументов: Kuv(ti, t ) Kuv(t, ti), j j но обладает тем свойством, что при одновременной перестановке аргументов и индексов выполняется равенство:

Kuv(ti, t )= Kvu(t, ti). (2.3.1) j j Легко показать, что и автокорреляционная функция, и корреляционная функция связи не изменяется при добавлении к каждой из них неслучайных слагаемых (студентам предлагается выполнить доказательство самостоятельно). Используя этот факт, часто вместо самого случайного процесса рассматривают центрированный случайный процесс (с математическим ожиданием, равным нулю).

Безразмерную величину Kuv(ti, t ) j R (ti, t )= uv j u (ti )v(t ) j называют нормированной корреляционной функцией связи, которая для любой пары фиксированных аргументов ti и t предj ставляет собой коэффициент корреляции случайных величин U(ti ) V(t ) Ruv(ti, t )= и. Если, то случайные процессы называются j j несвязными. Также как и для случайных величин, условие несвязности является необходимым, но недостаточным для независимости случайных процессов (оно характеризует только отсутствие линейной зависимости).

Для характеристики N случайных процессов U1(t), U2(t),..., UN(t) для фиксированных сечений в корреляционной теории достаточно задать N математических ожиданий, N корреляционных функций и N (N–1) корреляционных функций связи.

Корреляционные функции и корреляционные функции связи удобно записывать в виде корреляционной матрицы K11(ti, t ) K12(ti, t )... K1N(ti, t ) j j j K21(ti, t ) K22(ti, t )... K2N(ti, t ) j j j Ksg(ti, t ) =, j............

KN1(ti, t ) KN2(ti, t )... KNN(ti, t ) j j j в которой для краткости записи Kusug(ti,t )= Ksg(ti,t ), и при s = g j j (по главной диагонали) записаны корреляционные функции, а при s g – корреляционные функции связи между сечениями различных случайных процессов (s, g = 1, 2, …, N).

2.4. Суммирование случайных функций Пусть случайная функция W(t) представляет собой сумму двух случайных функций W(t) =U(t)+V(t). (2.4.1) При каждом фиксированном t ее математическое ожидание, согласно свойству математического ожидания суммы случайных величин, равно mw (t) = mu(t)+ mv(t). (2.4.2) Найдем корреляционную функцию:

o o Kw(ti, t )= MW(ti )W(t ) = M{[W(ti )- mw (ti )][W(t )- mw(t )]}.

j j j j Подставим в последнее равенство (2.4.1) и (2.4.2), получим:

.

Kw(ti, t )= M{[U(ti )+ V(ti )- mu(ti )- mv(t )][U(t )+ V(t )- mu(t )- mv(t )]} j j j j j j Сделаем преобразования, сгруппировав члены так, чтобы получить соответствующие центрированные случайные функции.

Тогда o o o o Kw(ti, t )= MU(ti )+ V(ti )U(t )+ V(t ).

j j j Перемножим двучлены под знаком математического ожидания. Получим:

o o o o o o o o Kw(ti, t )= MU(ti )U(t )+ V(ti )V(t )+ U(ti )V(t )+ V(ti )U(t ).

j j j j j Используя свойство математического ожидания (математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно той же сумме математических ожиданий этих величин), окончательно имеем o o o o o o o o Kw(ti,t )= MU(ti)U(t ) +MV(ti)V(t ) +MU(ti)V(t ) +MV(ti)U(t ) = j j j j j = Ku(ti, t )+ Kv(ti, t )+ Kuv(ti, t )+ Kvu(ti, t ). (2.4.3) j j j j Таким образом, мы видим, что для определения корреляционной функции суммарного случайного процесса необходимо знать корреляционные функции каждого слагаемого процесса и корреляционные функции связи этих процессов.

В частном случае, когда процессы U(t) и V(t) не связны, то Kw(ti,t )= Ku(ti,t )+ Kv(ti,t ), (2.4.4) j j j так как K (ti, t )= K (ti, t )= 0.

uv j vu j Если случайная функция состоит из N слагаемых N W(t)= (t), U g g=то формулы (2.4.2), (2.4.3) и (2.4.4) можно соответственно обобщить следующим образом:

N mw (t)= (t), m ug g=N N Kw(ti,t )= (ti )+ (ti,t ), K,t K j ug j ugus j g=1 g

K,t j ug j g=2.5. Стационарные случайные функции Наиболее простым для изучения является особый класс случайных процессов – стационарные случайные процессы, статистические свойства которых практически не изменяются с изменением аргумента.

Случайный процесс U(t) называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если все его конечномерные fn(u1,u2,...,un; t1, t2,..., tn ) законы распределения произвольного порядка n не изменяются при любом сдвиге всей группы точек t1, t2,..., tn вдоль оси t, т. е. при любом n и t0 справедливо равенство:

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 9 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.