WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
Министерство образования Российской Федерации Воронежский государственный университет РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО МЕХАНИКЕ.

КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Учебное пособие по курсу «Общая физика» (шифр ЕН.Ф.011) Воронеж 2003 2 Утверждено научно-методическим советом физического факультета 27 марта 2003 г.

Составители: Грибков С.П.

Костылев В.И.

Учебное пособие подготовлено на кафедре общей физики физического факультета Воронежского государственного университета Рекомендуется для студентов специальностей 013800 (радиофизика и электроника) 014100 (микроэлектроника и полупроводниковые приборы) 010400 (физика) 1 курса дневной формыобучения и специальности 013800 (радиофизика и электроника) 1 курса вечерней формыобучения 3 ВВЕДЕНИЕ Настоящее учебное пособие посвящено такому важному разделу механики как динамика, в котором изучается движение тел под действием приложенных к ним сил. Умение решатьзадачи по динамике необходимо для изучения многих последующих разделов общего курса физики, таких, например, как магнетизм, где рассматриваются движение проводников с током в магнитном поле, движение зарядов в магнитном поле и т.д. Поэтому студентам рекомендуется обратить особое внимание на методику решения задач по динамике.

Методические рекомендации Решение физической задачи предполагает установление неизвестных связей между заданными и искомыми физическими величинами и определение последних. Установление же необходимых связей между величинами предполагает умение анализироватьфизическую ситуацию, изложенную в условии задачи. Это умение приобретается на опыте в процессе решения задач. Для того чтобы научиться решать задачи, следует придерживаться более или менее систематического порядка действий:

1. Вначале внимательно прочитайте задачу и математически запишите условие.

2. Обдумайте условие задачи. Выясните, о каких физических процессах и явлениях в ней идет речь каким закономерностям эти, процессыи явления подчиняются. Наметьте примерный план решения.

3. Если позволяет характер задачи, то сделайте чертеж, схему или рисунок с обозначением заданных и искомых величин.

4. Запишите уравнение или систему уравнений, содержащие явно искомую или искомые физические величины и отвечающие содержанию конкретной задачи.

5. Решите задачу в общем виде, т.е. получите математическое выражение (рабочую формулу) в левой части которого находится искомая величина, а в правой - заданные в условии задачи и взятые из таблиц величины. Решение в общем виде придает окончательному результату особую ценность ибо позволяет установить определенную, закономерность показывающую, как зависит искомая величина от, заданных величин.

6. Произведите проверку размерности искомой величины. Если в результате получена верная размерность то это, конечно, не гарантия, верного решения; однако неверная размерностьестьпрямое указание на допущенную ошибку.

7. Подставьте в рабочую формулу числовые значения заданных и табличных величин и произведите вычисления. Помните, что числовые значения физических величин всегда являются приближенными.

Поэтому при расчетах не забывайте об округлении.

8. По возможности оцените правдоподобность числового ответа.

Иногда такая оценка помогает обнаружить ошибочность полученного результата. Например, человек не может бросить камень на 100 км, скорость тела не может быть больше скорости света и т.д.

Система обозначений Векторы обозначены жирным прямым шрифтом (например, r, g, F); та же буква курсивом (r, g, F) означает модуль вектора.

i, j, k – орты (единичные векторы) декартовых координатных осей OX, OY, OZ.

n и – орты нормали и касательной к траектории.

Средние величины заключаются в угловые скобки < >, например , .

1. Основное уравнение динамики • Основное уравнение динамики материальной точки представляет собой не что иное, как математическое выражение второго закона Ньютона:

dv m = F. (1) dt • Уравнение (1) естьдифференциальное уравнение движения точки в векторном виде.

Возможны две противоположные постановки задачи.

1. Найти действующую на точку силу F, если известны масса m точки и зависимостьот времени ее радиуса-вектора r(t) или вектора скорости v(t).

2. Найти закон движения точки, т.е. зависимость от времени ее радиуса-вектора r(t), если известны масса m точки, действующая на нее сила F (или силыFi) и начальные условия – скоростьv0 и положение rточки в начальный момент времени.

В первом случае задача сводится к дифференцированию r(t) или v(t) по времени, во втором – к интегрированию уравнения (1).

В зависимости от характера конкретной задачи решение уравнения (1) проводят или в векторной форме, или в координатах, или в проекциях на касательную и нормаль к траектории в данной точке.

Записывая обе части уравнения (1) в проекциях на оси OX, OY, OZ, получим три дифференциальных уравнения:

dvy dvx dvz m = Fx, m = Fy, m = Fz, (2) dt dt dt где Fx, Fy и Fz – проекции вектора F на оси OX, OY и OZ. Необходимо помнить что эти проекции – величины алгебраические: в зависимости, от ориентации вектора F они могут быть как положительными, так и отрицательными. Знак проекции силы определяет и знак проекции вектора ускорения.

• Записывая обе части (1) в проекциях на подвижные (связанные с движущейся точкой) орты нормали n и касательной к траектории, можно получить dv v m = F, m = Fn, (3) dt R где F и Fn – проекции вектора F на орты и n, R – радиус кривизны траектории. Уравнение (3) удобно использовать если заранее известна, траектория материальной точки.



• Уравнение динамики точки в неинерциальной '-системе отсчета, которая вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси:

ma' = F + m2R + 2m[v', ], (4) где R — радиус-вектор точки относительно оси вращения '-системы.

======================================================= Примеры решения задач 1. Небольшой брусок массыm скользит вниз по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Коэффициент трения равен k. Найти ускорение бруска относительно плоскости.

Решение. Прежде всего следует изобразитьсилы, действующие на брусок.

Это (см. рис. 1) сила тяжести mg, нормальная сила реакции R со стороны плоскости и сила Fтр, направленная в сторону, противоположную движению бруска.

После этого свяжем с системой отсчета "наклонная плоскость" систему координат XOY. Вообще говоря, систему координат Рис. можно ориентировать как угодно, однако во многих случаях выбор направления осей диктуется характером движения. Тогда задача сведется к решению только одного из уравнений (2). Итак, выберем ось OX, как показано на рис. 1, обязательно указав стрелкой ее положительное направление.

И только теперь, опираясь на (2), приступим к составлению уравнений: слева – произведение массы m бруска на проекцию его ускорения ax, а справа – сумма проекций всех сил на ось OX. Тогда max = mgx + Rx + Fтрx.

В данном случае gx = g sin, Rx = 0 и Fтрx = –Fтр, поэтому max = mg sin – Fтр.

Так как брусок движется только вдоль оси OX, то это означает, согласно второму закону Ньютона, что сумма проекций всех сил на любое направление перпендикулярное оси OX равна нулю. Взяв в качестве такого направления ось OY (рис. 1), получим R = mg cos.

А поскольку Fтр = kR, то в результате получаем:

max = mg sin – kmg cos, и, окончательно, ax = g sin – kg cos, (5) Если правая часть выражения (5) окажется положительной в результате конкретных вычислений, то это означает, что ax > 0, и вектор a направлен вниз по наклонной плоскости.

2. Небольшое тело А соскальзывает с вершины гладкой сферы радиуса r. Найти скоростьтела в момент отрыва от поверхности сферы, если его начальная скорость пренебрежимо мала.

Решение. На тело действуют сила тяжести mg и нормальная сила реакции опоры R. Изобразим эти силы (рис. 2) и на основании (3) запишем dv m = mg sin, dt v2 Рис. m = mg cos - R.

r Здесь индекс несущественен, поэтому мыего опустили.

Преобразуем первое из уравнений к виду, удобному для интегрирования. Воспользовавшись тем, что dt = dl/v = rd /v, где dl – элементарный путьтела А за промежуток времени dt, перепишем первое уравнение в виде vdv = gr sin d.

Проинтегрировав левую частьэтого выражения от 0 до v, а правую от 0 до, найдем v2 = 2gr(1 – cos ).

В момент отрыва R = 0, поэтому второе исходное уравнение принимает вид v2 = gr cos.

где v и соответствуют точке отрыва. Исключив cos из последних двух равенств, получим v = 2gr /3.

3. Брусок массы m1 находится на доске массы m2, которая лежит на гладкой горизонтальной плоскости (рис. 3). Коэффициент трения между бруском и доской равен k. К доске приложили горизонтальную силу F, модуль которой зависит от времени по закону F = t, где — постоянная. Найти: 1) момент времени t0, когда доска начнет выскальзывать из-под бруска; 2) ускорения бруска a1 и доски a2 в процессе движения.

Решение. 1. Запишем основное уравнение динамики для бруска и доски, взяв положительное направление оси ОX, как показано на рис. 3:

Рис. m1a1 = FТР, m2a2 = F – FТР. (6) По мере возрастания силыF будет расти и сила трения FТР (вначале она является силой трения покоя). Но FТР имеет предел FТР МАКС = km1g. Пока этот предел не достигнут, оба тела будут двигаться как одно целое с одинаковыми ускорениями. Когда же сила F достигнет предела, доска начнет выскальзывать из-под бруска, т. е. a2 a1.

Подставив сюда выражения для a1 и a2 из (6) с учетом того, что FТР = = km1g, получим (t – km1g)/m2 kg, где знак равенства соответствует моменту t = t0. Отсюда t0 = (m1 + m2)kg/.

2. Если t t0, то a1 = a2 = t/(m1 + m2);

если же t t0, то a1 = kg = const, a2 = (t – km1g)/m2.

Рис. 4 Рис. Графики зависимостей a1 и a2 от t показаны на рис. 4.

4. В установке (рис. 5) наклонная плоскостьсоставляет угол = 30° с горизонтом. Отношение масс тел m1/m2 = = 2/3. Коэффициент трения между телом m2 и плоскостью k = 0,10. Массы блока и нити пренебрежимо малы. Найти модуль и направление ускорения тела m1, если система пришла в движение из состояния покоя.

Решение. Здесь сразу же возникает вопрос, связанный с направлением силытрения, действующей на тело m2. Без ответа на этот вопрос нельзя записать основное уравнение динамики для тела m2 в проекциях и задача становится неопределенной.

Будем рассуждать так: в отсутствие силы трения тело начало бы скользить по наклонной плоскости, допустим, вверх. Ясно, что “включение” силытрения не может изменитьнаправления движения, а только уменьшит ускорение. Таким образом, направление силытрения, действующей на тело m2, будет определено, если найти направление ускорения этого тела в отсутствие трения (k = 0). С этого мыи начнем.

Запишем основное уравнение динамики для обоих тел в проекциях, взяв положительные направления осей Х1 и Х2, как показано на рис. 5:

m1 ax = m1 g – Т, m2 ax = T – m2 g sin, где Т – сила натяжения нити. Сложив почленно левые и правые части этих уравнений, получим - sin ax = g +Подставив в это выражение = 2/3 и = 30°, найдем ax > 0, т. е. тело m2 начнет двигаться вверх по наклонной плоскости. Следовательно, сила трения, действующая на это тело, направлена в противоположную сторону. С учетом этого обстоятельства снова запишем уравнения движения:





m1 a'x = m1 g – Т', m2 a'x = T' – km2 g sin, откуда - sin - k cos a 'x = g = 0,05g.

+5. Через блок (рис. 6) перекинута нерастяжимая нить на концах, которой висят грузы1 и 2 массами m1 и m2 соответственно. Блок начали поднимать вверх с ускорением a0 относительно поверхности земли.

Полагая, что нить скользит по блоку без трения, найти ускорение агруза 1 относительно поверхности земли.

Решение. Выберем положительное направление оси Х вверх и запишем для обоих грузов основное уравнение динамики в проекциях на эту ось:

m1 a1x = T – m1 g, m2 a2x = T – m2 g, (7) Эти уравнения содержат три неизвестных: a1x, a2x и Т. Для составления третьего уравнения воспользуемся кинематической связью между ускорениями:

a1 = a0 + a', a2 = a0 – a', где а' — ускорение груза 1 относительно блока. Сложив почленно левые и правые части этих равенств, получим a1 + a2 = 2a0, или в проекциях на ось Х Рис. a1x + a2x = 2a0. (8) Решив совместно уравнения (7) и (8), найдем 2m2a0 + (m2 - m1)g a1x = m1 + mОтсюда видно, что при заданном a0 знак a1x зависит от соотношения масс m1 и m2.

6. Автомашина движется с постоянным тангенциальным ускорением a по горизонтальной поверхности, описывая окружность радиуса R.

Коэффициент трения между колесами машины и поверхностью равен k.

Какой путьs пройдет машина без скольжения, если начальная скорость ее была равна нулю Решение. По мере увеличения скорости будет расти как нормальное, так и полное ускорение машины. Движение будет происходить без скольжения, пока необходимое полное ускорение будет обеспечиваться силой трения. Максимально возможное значение этой силыFМАКС = kmg, где m – масса машины. Поэтому максимальное значение полного ускорения (согласно основному уравнению динамики ma = F) aМАКС = kg. (9) С другой стороны, aМАКС = a 2 + v2 R, (10) ( ) где v – скорость машины в момент, когда ее ускорение станет максимально возможным. Эта скорость и искомый путь s связаны формулой v2 = 2a s. (11) Выразив v из (9) и (10) и подставив в (11), получим R kg s =-1.

2 a Нетрудно видеть, что решение имеет смысл при a < kg.

======================================================= Задачи для решения 7. Найти модуль и направление силы, действующей на частицу массы т при ее движении в плоскости ху по закону x = A sin t, y = B cos t.

8. Частица движется вдоль оси Х по закону х = t2 – t3, где и — положительные постоянные. В момент (t = 0 сила, действующая на частицу, равна F0. Найти значения Fx силы в точках поворота и в момент, когда Частица опять окажется в точке х = 0.

9. На гладкую горизонтальную плоскость помещены три массы m1, m2 и m3, связанные нитями между собой и с массой M, привязанной к нити, перекинутой через блок (рис. 7). Найти ускорение а системыи натяжение всех нитей. Трением тел о плоскость и трением в блоке, а также массами блока и нити Рис. пренебречь.

10. По наклонной плоскости с углом наклона скользит тело. Сила трения между телом и плоскостью пропорциональна силе нормального давления тела на плоскостьи не зависит от скорости тела. Коэффициент трения между трущимися поверхностями тела и плоскости равен k.

Найти ускорение a, с которым скользит тело.

11. Два одинаковых тела связаны нитью и лежат на идеально гладком горизонтальном столе, так что нить представляет собой прямую линию (рис. 8). Нить может выдерживать Рис. натяжение с силой не более 20 Н.

Какую горизонтальную силу F следует приложить к одному из тел, чтобы нить оборвалась 12. Изменится ли сила, необходимая для разрыва нити в условиях предыдущей задачи, если между телами и столом есть трение и коэффициент трения одинаков для обоих тел 13. На горизонтальной доске лежит груз. Коэффициент трения между доской и грузом 0,1. Какое ускорение в горизонтальном направлении следует сообщить доске, чтобы груз мог с нее соскользнуть 14. На столе лежит доска массы M = 1 кг, а на доске – груз массы m = 2 кг. Какую силу F нужно приложить к доске, чтобы доска выскользнула из-под груза Коэффициент трения между грузом и доской 0,25, а между доской и столом 0,5.

15. Простейшую машину Атвуда, служащую для проверки законов равноускоренного движения, можно схематически представить так: на нити, перекинутой через блок A, подвешены две неравные массы m1 и, т2 (рис. 9). Найти ускорение масс, натяжение нити Т и силу f действующую на ось блока этой Рис. Рис. машины. Блок и нить считать невесомыми, трения в оси блока не учитывать.

16. Воздушный шар массы М опускается с постоянной скоростью.

Какое количество балласта M надо выбросить чтобы шар начал, подниматься с той же скоростью Подъемную силу Р шара считать постоянной.

17. Найти ускорения a1 и a2 масс m1 и m2 и натяжение нити T в системе, изображенной на рис. 10. Массой блоков и нитей пренебречь.

18. На верхнем краю идеально гладкой наклонной плоскости укреплен блок, через который перекинута нить (рис. 11). На одном ее конце привязан груз с массой m1, лежащий на наклонной плоскости. На другом конце висит груз с массой m2.

С каким ускорением а движутся грузы и каково натяжение Т нити Рис. Наклонная плоскость образует с горизонтом угол.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.