WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК В ПОЛУПРОВОДНИКАХ Учебное пособие по лекционномукурсу «Физика полупроводников» Специальность 014100- «Микроэлектроника и полупроводниковые приборы» (ОПД.Ф.02) ВОРОНЕЖ 2003 2 Утверждено научно-методическим советом физического факультета 9 января 2003 г. (протокол № 1).

Составители: Бормонтов Е.Н., Хухрянский М.Ю.

Учебное пособие подготовлено накафедрефизики полупроводников и микроэлектроники физического факультета Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 3 курса физического факультета.

3 Содержание Введение………………………………………………………………… 4 1. Распределение квантовых состояний в зонах………………………… 5 2. Распределение Ферми – Дирака………………………………………… 6 3. Концентрация электронов и дырок в зонах………………………….… 7 4. Концентрация носителей заряданалокальных уровнях……………… 12 5. Определение положения уровня Ферми……………………………….. 14 5.1. Уравнение электрической нейтральности……………………….… 15 5.2. Уровень Ферми в собственном полупроводнике…………………. 17 5.3. Полупроводники с примесью одного типа……………………….. 18 5.4. Взаимная компенсация доноров и акцепторов…………………… 20 5.5. Компенсированные полупроводники……………………………... 21 6. Практические задания……………………………………………….….. 25 Контрольные вопросы…………………………………………………… 30 4 Введение Зонная теория твердого тела позволяет рассмотреть различные возможные квантовые состояния в кристалле т.е. различные типы, стационарных движений электронов. В термодинамически равновесном состоянии для данного полупроводникового образца при заданной температуре существует определенное распределение электронов по различным квантовым состояниям. В результате в кристалле устанавливается определенная концентрация свободных электронов n в зоне проводимости и концентрация свободных дырок р в дырочной (валентной) зоне Кроме того, в кристалле, содержащем локальные уровни.

энергии (примесные атомы и структурные дефекты), могут быть еще отрицательно заряженные акцепторы, на которых в каждой единице объема находится некоторое количество связанных электронов nt, и положительно заряженные доноры, содержащие некоторую концентрацию связанных дырок pt. Вычисление концентраций подвижных и связанных носителей заряда составляет основную задачу статистики электронов и дырок в кристаллах.

Решение указанной задачи необходимо для понимания многих электрических и оптических явлений в полупроводниках. В частности, оно позволяет выяснить зависимость основных электрических свойств полупроводника (электропроводности, подвижности и др.) от количества и состава примесей и от температуры. И, наоборот, анализируя с помощью теоретических соотношений статистики экспериментальные данные о температурной зависимости концентраций электронов и дырок, оказывается возможным найти энергетические уровни, создаваемые примесными атомами и структурными дефектами, а также их концентрации.

Рассматриваемая задача распадается на две части: чисто квантовомеханическую – нахождение числа возможных квантовых состояний электронов и статистическую –определение фактического распределения электронов по этим квантовым состояниям при термодинамическом равновесии.

1. Распределение квантовых состояний в зонах Как показывает зонная теория, стационарные состояния электронав идеальном кристалле характеризуются волновым вектором k или квазиимпульсом p = k. При этом в кристалле единичного объема каждому значению р соответствует элементарная ячейказоны Бриллюэнаобъемом h3. Поэтомув элементе объема зоны БриллюэнаdVp находится dN = 2dVp/hквантовых состояний, где множитель 2 учитывает две возможные ориентации спина.

В термодинамическом равновесии вероятность заполнения квантовых состояний электронами зависит только от их энергии Е и температуры, поэтому в качестве dVp удобно выбрать элемент объема, заключенный между двумя бесконечно близкими изоэнергетическими поверхностями. При этом изменение энергии электрона на dЕ равносильно изменению его импульса на dp. Число состояний, соответствующих интервалу энергий dЕ можно представить в виде dN(E) = g(E) dE, где g(E) – функция, показывающая, как изменяется плотность квантовых состояний в зависимости от энергии.

Точное вычисление функции g(E) не просто, так как поверхности постоянной энергии имеют сложную форму. Однако, во многих случаях оказывается достаточным знать функцию g(E) только вблизи краев зон, отчего задача существенно упрощается.

Рассмотрим простейший случай изотропного параболического законадисперсии. Тогдадля полной энергии электронаможно написать E = Ec + p2/mn, (1) при этом квазиимпульс электрона p отсчитывается от его значения, соответствующего Ec. Далее dVp есть объем сферического слоя 4p2dp.

Из (1) имеем p = (2mn)1/2 (E – Ec)1/2, dp = (2mn)1/2 (E – Ec)-1/2 dE/2.

Поэтому g(E) = 4 (2mn/h2)3/2 (E – Ec)1/2. (2) Распределение квантовых состояний в валентной зонеполучается с помощью аналогичных рассуждений и в случае параболического закона дисперсии вблизи края валентной зоны Ev имеет вид gv(E) = 4 (2mp/h2)3/2 (Ev – E)1/2. (2а) 2. Распределение Ферми – Дирака Электроны, как частицы, обладающие полуцелым спином, подчиняются статистике Ферми – Дирака. Вероятность того, что электрон будет находиться в квантовом состоянии с энергией Е, определяется функцией Ферми – Дирака f (E,T) = {1 + exp [(E – F) / kT ]}-1, (3) гдеF –уровень энергии Ферми, или электрохимический потенциал.

Энергия Ферми – это статистическая характеристика коллектива частиц, тесно связанная с термодинамическими параметрами системы.



Так, например, ее можно определить как приращение свободной энергии системы при добавлении к ней одного электронапри условии постоянства объема и температуры. Однако мы не станем обсуждать термодинамический смысл понятия энергии Ферми, а будем рассматривать ее как некоторую характерную энергию, зависящую от типа полупроводника его состава и состояния (температуры, давления и др.),, значение которой подлежит определению.

Физический смысл энергии Ферми наиболее ясен при абсолютном нулетемпературы: тогдаэто граничная энергия, отделяющая заполненные квантовые состояния от пустых. Действительно, распределение Ферми – Дирака (3) в этом случае имеет вид разрывной функции. Для E < F функция f = 1, а это значит, что все квантовые состояния с такими энергиями заполнены электронами. Для E > F функция f = 0 и соответствующие квантовые состояния совершенно пустые. При любой конечной температуре функция Ферми изображается непрерывной кривой и в узкой области энергий, порядканескольких kT, вблизи точки E= F, быстро изменяется от 1 до 0. Размытие функции Ферми тем больше, чем выше температура Из выражения (3) также видно, что уровень.

Ферми можно определить как энергию квантового состояния, вероятность заполнения которого при данных условиях равна.

Вероятность того, что данное квантовое состояние с энергией Е не занято электроном, fp определяется функцией fp (E,T) = (1 – f) = {1 + exp [(F – E) / kT ]}-1. (3а) Вычисление различных статистических величин значительно упрощается, если уровень Ферми F лежит в запрещенной зонеэнергий и удален от края зоны проводимости Ec хотя бы на (2–3) kT. Тогда в распределении (3) можно считать exp [(F – E) / kT] >> и оно переходит в распределение Максвелла – Больцмана классической статистики f = C exp (- E / kT), (3б) где С – постоянная. В этом случае мы говорим, что электронный газ не вырожден. Аналогично, в полупроводнике р-типа для отсутствия вырождения дырочного газа необходимо, чтобы уровень Ферми F тоже лежал внутри запрещенной зоны и был расположен выше энергии Ev хотя бы на (2–3) kT. Противоположный случай, когда уровень Ферми расположен внутри зоны проводимости или внутри валентной зоны, есть случай вырожденного электронного или, соответственно, дырочного газа.

В этом случае существенно необходимо пользоваться распределением Ферми – Дирака (3) или (3а).

В дальнейшем при вычислении концентраций подвижных и связанных носителей зарядамы разделим задачу надве части. Сначаламы выразим эти концентрации через уровень Ферми, а затем рассмотрим, как определить положение самого уровня Ферми.

3. Концентрации электронов и дырок в зонах Согласно сказанному выше, концентрация свободных электронов в зонепроводимости полупроводника равна = gn ( E ) f ( E,T )dE.

(4) Ec Отметим, что в качестве верхнего предела интегрирования мы должны были бы взять энергию верхнего края зоны проводимости. Однако так как функция f для значений энергий E > F быстро убывает с увеличением Е, то замена верхнего предела на бесконечность практически не меняет значения интеграла.

Подставляя в (4) выражение (2) для g(E) и (3) для f(E,T), получим 3 2 2m E( - Ecn ) dE n 4=. (4а) - FE h2 Ec kT e + Интеграл (4а) удобно представить в следующем виде Выберем.

новую переменную интегрирования x = (E – Ec) / kT и введем обозначения = F – Eс, * = / kT. (5) Величина носит названехимического потенциаладля электронов, а * - его безразмерное значение. Обозначим, наконец, для сокращения Nc = 2(2mnkT / h2)3/2. (6) Эта величина получила название эффективной плотности состояний в зонепроводимости. Тогданетрудно убедиться, что интеграл (4) принимает вид n = Nc (*), (7) 1/где / 2 dxx * Ф )( = / 21. (8) 1 exp( x -+ * ) Значение интеграла (8) зависит только от параметра*, т.е. химического потенциала температуры. Этот интеграл известен как интеграл Ферми –, и Дирака (или, точнее, интеграл Ферми – Диракасиндексом ) и в общем случае невыражается через элементарные функции.

Рассуждая аналогично, легко найти выражение для концентрации дырок в валентной зоне Отличия от предыдущего случая заключаются.

лишь в том, что мы, во-первых, должны использовать выражение (2а) для плотности состояний в валентной зоне Во-вторых, мы должны.

подсчитывать не число заполненных, а число незанятых состояний. И, наконец интегрирование по энергиям нужно производить в пределах, валентной зоны. Поэтому Ev = gp ( E ) f ( E,T )dE, pv (9) или, подставляя выражение (2а) для gv(E) и (3а) для fp(E,T), получим 3 2 2m E( - E ) dE vp p 4=. (9а) -EF h2 Ec kT e + Вводя, как и выше, безразмерную переменную y = (Ev – E) / kT и безразмерный параметр * = / kT, мы приходим к формуле, аналогичной соотношению (7):

p = Nv (*). (10) 1/Здесь Nv есть эффективная плотность состояний в валентной зоне:

Nv = 2(2mpkT / h2)3/2, (11) а (*) – прежний интеграл Ферми (8). Однако теперь он содержит 1/другой параметр *, характеризующий положение уровня Ферми относительно края валентной зоны. Разность = Ev – F = - - Eg носит название химического потенциаладля дырок.

Выражения (7) и (10) для концентраций подвижных электронов и дырок значительно упрощаются в двух предельных случаях, которые мы рассмотрим более подробно.

1) Невырожденные полупроводники Случай невырожденного полупроводникапоказан нарис. 1, гдеданы плотность квантовых состояний g(E), функция Ферми f(E,T), а также их произведение, равное dn/dE (здесь dn – концентрация электронов с энергией в интервале E, E+dE). Полное количество электронов в зоне определяется площадью, ограниченной кривой g(E)f(E,T) и осью Е. При этом существен только «хвост» распределения Ферми, который может быть аппроксимирован распределением Максвелла–Больцмана.





Рис. 1. Графики функций g(E), f(E,T) и dN/dE для невырожденного полупроводникаn-типа.

Для невырожденного полупроводника exp (x- *) >> 1 и поэтому интеграл Ферми (8) принимает вид -x / Ф )( = exp ** / e x dx.

Входящий сюдаинтеграл хорошо известен и равен. Поэтому (*) = exp* = exp[(F-Ec)/kT], 1/и, следовательно, n = Nc exp[(F-Ec)/kT]. (12) Аналогичным образом упрощается выражение для концентрации дырок в невырожденном полупроводнике. Здесь в интеграле Ферми можно положить exp(y- *) >> 1, и поэтому поступая как и выше, мы, имеем p = Nv exp[(Ev-F)/kT]. (13) Полученные выражения (12) и (13) разъясняют смысл названия «эффективная плотность состояний» в зонах для величин Nc и Nv.

Экспоненциальный множитель в выражении (12) для невырожденного полупроводника (распределение Максвелла–Больцмана) дает вероятность заполнения квантового состояния с энергией Ес. Поэтому формула (12) означает, что для невырожденного полупроводника концентрация подвижных электронов получается такой же, как если бы вместо непрерывного распределения состояний в зонев каждой единицеобъема было Nc состояний с одинаковой энергией Ec. Аналогично, экспоненциальный множитель в (13) выражает вероятность того, что состояние с энергией Ev не занято электроном, и потому формула (13) показывает, что при подсчете концентрации дырок валентную зонуможно заменить совокупностью состояний с одинаковой энергией Ev, число которых в каждой единице объема есть Nv.

До сих пор мы считали закон дисперсии изотропным и параболическим. Весьма часто, однако, приходится иметь дело и сболее сложными случаями. Так, например, для зоны проводимости в германии и кремнии изоэнергетические поверхности являются эллипсоидами вращения. Центры этих эллипсоидов не совпадают с центром зоны Бриллюэнаи поэтомув ней имеется несколько эквивалентных минимумов энергии. Тем не менее и в этом случае концентрация электронов может быть рассчитана по формуле (12) с заменой mn в выражении (6) на некоторую величину mdn, называемую эффективной (скалярной) массой плотности состояний. При этом mdn = Q2/3 (mxmymz)1/3, где mx, my, mz - главные значения тензораэффективной массы, а Q - число эквивалентных минимумов в зонепроводимости полупроводника.

Полагая в выражении (12) mn равным массе изолированного электронаmo и Т = 300 К, мы получим Nv = 2,510*1019 см-3. Для какойлибо другой температуры и иной эффективной массы мы имеем Nc(v) = 2,510*1019 (mdn(p) /mo)3/2 (T /300)3/2 см-3, (14) где mdn(p) – эффективная масса плотности состояний электронов или, соответственно, дырок. В невырожденных полупроводниках концентрация основных носителей мала по сравнению с Nc и Nv. В вырожденных полупроводниках имеет место обратное. Поэтому сопоставляя, измеренные значения концентрации электронов и дырок со значениями величин Nc и Nv, полученными по формуле (14), можно сразуустановить, является ли данный полупроводник вырожденным или нет.

Так как эффективная масса входит в выражения n и p только в виде множителя m3/2, в то время как уровень Ферми F входит в показатель степени, то отношение n/p зависит главным образом от положения F относительно краев зон. Выражения (12) и (13) показывают, что концентрация подвижных носителей заряда будет больше в той зоне к, которой ближе расположен уровень Ферми. Носители заряда в этой ближайшей зоне будут основными, поэтому в полупроводниках n-типа уровень Ферми расположен в верхней половине запрещенной зоны, а в полупроводниках р-типа–в нижней половине.

Однако произведение концентраций электронов и дырок для невырожденного полупроводника независит от положения уровня Ферми.

Согласно (12) и (13), оно равно np = ni2 = NcNvexp(-Eg/kT), (15) где - концентрация электронов в собственном полупроводнике.

ni 2) Случай сильного вырождения Другой крайний случай мы имеем при сильном вырождении электронного газа когда exp(x- *) << 1. В этом случае уровень Ферми, лежит внутри зоны проводимости, а концентрация электронов n >> Nc.

Взаимное расположение кривых g(E), f(E,T) и dN/dE для вырожденного полупроводникаn-типасхематически показано нарис. 2.

Рис. 2. Графики функций g(E), f(E,T) и dN/dE для сильно вырожденного полупроводника n-типа.

В этом случае в интегралеФерми exp(x- *) << 1. Далее, в качестве верхнего предела интегрирования можно положить xm= (F-Ec)/kT. Это совершенно точно при Т=0, однако справедливо с хорошим приближением и при конечной температуре вследствие быстрого убывания функции Ферми – Дирака при E > F. Тогда опять интеграл Ферми вычисляется непосредственно и мы имеем xm 42 4 - EF / = Nn x dx = N xmc / 23 = Nc c.

(16) c 3 3 kT При температуреабсолютного нуля все состояния в зоне, энергия которых E > F, свободны, а все состояния с E < F заняты электронами. Поэтому химический потенциал электронов = F – Ec есть максимальная энергия электронов при Т = 0. Эту величину играющую важную роль в теории, металлов, часто называют энергией Ферми.

4. Концентрация носителей заряда на локальных уровнях До сих пор рассматривались электроны, несвязанные с какими-либо конкретными атомами. Они трактовались как газ свободных электронов и поэтомуподчинялись обычной статистикеФерми–Дирака.

Функция распределения Ферми–Дирака показывала вероятность распределения свободных электронов по квантовым состояниям.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.