WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
УДК 528.1 Министерство образования Российской Федерации О23 Омский государственный университет Рекомендовано к изданию учебно-методическим советом ОмГУ.

Протокол № 1 от 28 апреля 2004 г.

О23 Обработка результатов измерения физических величин: Лабораторный практикум (для студентов физического факультета) / Сост.: Г.М. Серопян, И.С. Позыгун. – Омск:

Омск. гос. ун-т, 2004. – 20 с.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Материал соответствует Государственному образовательному Лабораторный практикум стандарту по специальности 010400 «Физика».

Может быть использован студентами других специальностей.

(для студентов физического факультета) специальность 010400 «Физика» УДК 528.1 © Омский госуниверситет, 2004 Издание Омск ОмГУ 2004 2 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ Систематическими называются погрешности, величина коФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН торых не меняется при повторении измерений данной величины при тех же способах измерения. Систематические погрешности Измерением называется определение значения физической возникают в тех случаях, когда не учитывается влияние на резульвеличины опытным путем. Значение величины, найденное таким таты эксперимента различных постоянно действующих факторов, способом, называется результатом измерения. Измерения класнапример: температуры, давления, сопротивления подводящих сифицируются на прямые и косвенные.

проводов и т. д. Источником систематических погрешностей моПрямым называется измерение, при котором искомое знажет быть также неточность градуировки измерительного прибора чение величины находится непосредственно из опыта путем отсчеили его неисправность.

та по шкале измерительного прибора, например: измерение длины Случайными называются погрешности, величина и знак колинейкой, определение температуры тела термометром и т. д.

торых меняется непредсказуемым образом при повторных измереКосвенным называется измерение, при котором искомое ниях данной величины в тех же условиях. Источником случайных значение величины находят на основании известной зависимости ошибок может быть и сам экспериментатор из-за несовершенства между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым изорганов его чувств. Так, например, результаты повторных измеремерениям, например: определение плотности тела по его геометний периода колебаний математического маятника с помощью рическим размерам и массе, определение силы тока по напряжеочень точного секундомера обязательно окажутся несколько отнию и сопротивлению и т. д.

личными друг от друга вследствие того, что моменты нахождения Как известно, никакое измерение не может быть выполмаятника в соответствующих фазах отклонения фиксируются ненено абсолютно точно, поэтому результат измерения в той или точно: при пуске секундомера экспериментатор может несколько иной мере отклоняется от истинного значения измеряемой величизамешкаться при его остановке или, наоборот, поспешить. Слуны. Разница между результатом измерения и истинным значением чайные погрешности отклоняют результат то в одну, то в другую измеряемой величины называется абсолютной погрешностью изсторону от истинного значения измеряемой величины, поэтому мерения и определяется формулой:

результаты большого числа измерений симметрично располагаютxi = xi – X, ся относительно Х.

n где Х – истинное значение измеряемой величины; хi – результат Величина = x называется средним арифметичеxi i-того измерения; xi – абсолютная погрешность i-того измерения.

n i=Наряду с абсолютной погрешностью используется относиским результатом серии измерений. Так как при большом числе тельная погрешность, равная отношению абсолютной погрешноизмерений величина x очень мала, то можно считать, что x X.

сти к истинному значению измеряемой величины:

Чем больше n, тем точнее выполняется это равенство.

Промах – это грубая погрешность, вызванная невнимательi = xi / X.

ностью экспериментатора (неверный отсчет показаний прибора, Существует три типа погрешностей: систематические, слуописка при записи показаний и т. д.). Промахи могут сильно искачайные и промахи.

зить результаты измерений, особенно в тех случаях, когда их число невелико. Их следует исключать из результатов измерений.

3 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ Если погрешности носят чисто случайный характер, то по результатам измерений можно оценить вероятности их появления.

Пусть х1, х2…хn – результаты отдельных измерений. Примем, что n достаточно велико, и при оценке погрешностей будем считать, что n X = x = xi, (1) n i=xi = xi - x.

Определив погрешности xi, рассортируем их по величине.

Для этого весь диапазон полученных значений xi разобьем на малые одинаковые интервалы и подсчитаем, сколько раз величина ошибки попадает в каждый интервал. Если в интервале номер Рис. 1. Кривая распределения Гаусса «k» оказалось заключено nk значений погрешности, то вероятвероятности случайных погрешностей ность попадания погрешности в этот интервал Pk nk/n. (2) nk Из формулы y = следует, что вероятность P(xk) того, В большинстве случаев распределение погрешностей соотn ветствует так называемому нормальному закону, найденному Гачто величина погрешности заключена в интервале xk xk +, уссом. Согласно гауссову распределению, плотность вероятности y определяется формулой:

и величина погрешности xi связаны соотношением:

P(xk) = y(xk)·.

1 (xi ) Численно эта вероятность равна площади черного прямо y(xi ) = exp-, (3) угольника под точкой С с основанием (см. рис. 1). Вероятность того, что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения, где 2 – некоторый постоянный параметр, называемый дисперсией изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основанираспределения. Вид кривой распределения, соответствующий неем 2 xk.



которому значению, показан на рис. 1.

На рис. 2 представлены кривые распределения, соответствующие разным. Как видно, с ростом максимум кривой распределения понижается, а ее «крылья» поднимаются. Это означает, что с ростом вероятность малых погрешностей уменьшается, а 5 вероятность больших растет. Следовательно, чем больше диспер- СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ сия распределения 2, тем меньше точность измерений.

Пусть х1, х2…хn – результаты некоторой серии n измерений, проведенных в одинаковых условиях. Как уже подчеркивалось, величина случайной погрешности непостоянна и меняется от опыта к опыту. Возникает необходимость охарактеризовать погрешности результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной. Иногда в качестве такой характеристики используют среднюю арифметическую погрешность:

n x = xi.

n i=Однако удобнее использовать так называемую среднеквадратичную погрешность выборки Sn, определяемую формулой:

n - x) (xi i=Sn =. (4) n -Можно показать, что при достаточно большом числе измереРис. 2. Влияние дисперсии на вид кривой распределения ний Sn и, следовательно, дисперсия распределения вероятностей случайных погрешностей n n 2 - xn ) - x) (xi (xi 2 2 i=1 i=Следует отметить, что кривая y(xi) характеризует не конеч Sn =. (5) n -1 n ную серию измерений, а совокупность бесконечного числа измереТаким образом, дисперсия распределения приблизительно ний данной величины в одних и тех же условиях.

равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений, найденному при достаточно большом числе n. Для генеральной совокупности (n ) равенство (5) выполняется точно. Из него следует, что величина дисперсии зависит от условий, в которых проводятся измерения: чем благоприятнее условия измерений, тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия.

7 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ПОГРЕШНОСТЬ СРЕДНЕГО И ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Допустим, что мы провели серию n измерений некоторой веКак уже указывалось, для любой конечной выборки x Х.

личины х, результаты которых равны х1, х2,…хn. Наилучшим приПрактически очень важно оценить возможную величину отклонеближением к истинному значению является величина ния среднего значения x от истинного Х, т. е. x –Х. Интервал n x ± Х, в который с заданной вероятностью попадает истинное x =, xi значение Х измеряемой величины, называется доверительным, n i=соответствующим вероятности. Вероятность называется также называемая средним выборочным значением измеряемой величидоверительной вероятностью или надежностью. Величина Х ны. Если серию по n измерений в каждой повторить m раз, то мы характеризует точность оценки. Чем меньше разность x –Х, тем получим m значений x, несколько отличающихся друг от друга и выше точность.

от истинного значения Х измеряемой величины. Погрешности Надежность, соответствующую заданной точности Х, можxk = xk - X являются случайными и, так же как погрешности но вычислить теоретически, воспользовавшись гауссовым распреотдельных измерений xi = xi – Х, подчиняются гауссову распреде2 делением, если известна дисперсия. Так как = 2/n, то наx x 2 2 лению, но с другой дисперсией <. Величина, называеx x дежность, соответствующая заданной точности Х, растет с ростом мая дисперсией среднего, является мерой погрешности среднего числа измерений и величины дополнительного интервала. Если n значения x, найденного в серии из n измерений. В теории помало, то используют распределение, выведенное Госсетом (псевгрешности доказывается, что доним «Стьюдент»).

В распределении Стьюдента плотность распределения =. (6) x n вероятностей рассматривается как функция величины Таким образом, среднеквадратичная погрешность среднего X x - X результата n измерений в n1/2 раз меньше среднеквадратичной по- t = =, называемой коэффициентом Стьюдента.

Sx Sx грешности отдельных измерений.

Распределение Стьюдента зависит от n и при n переходит в распределение Гаусса.

Вычислив по результатам измерений Sx и задав величину X, можно найти t и, соответствующие данному n. Или, наоборот, задав надежность, можно вычислить t,n и соответствующую точность X = t,n Sx при данном значении n. Соответствующие друг другу значения и t,n при разных n приводятся в специальных таблицах (см. приложение 1). На практике задание величины 9 X определяется конкретными условиями. В лабораторных усло- СОВМЕСТНЫЙ УЧЕТ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ виях обычно довольствуются надежностью = 0,90; 0,95. И СЛУЧАЙНОЙ ПОГРЕШНОСТЕЙ Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок: Строгий учет систематической погрешности является затруднительным. Если систематическая погрешность обусловлена 1. Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить точностью прибора, то можно оценить верхнюю границу возможсреднее выборочное x по формуле:

n ных ошибок, зная класс его точности. Если точность, обусловленx =.

xi ная случайной погрешностью – Х, а величина систематической n i=погрешности –, то величина суммарной точности Х* определя2. Найти абсолютную погрешность единичного измерения хi :

ется формулой:

xi = xi – x.

k 3. Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифмеX * = (X ) +, (7) тического: n 2 где k = t() – коэффициент Стьюдента при n =.





(xi - x) Существует два способа оценки погрешности косвенного i=Sx =.

измерения. В большинстве случаев имеют дело с косвенными изn(n -1) мерениями. Пусть x, y, z – непосредственно измеряемые величины, 4. Определить точность измерения X при заданных n и :

а W = f(x, y, z) – их функция, т. е. величина, измеряемая косвенно.

X = S t,n.

Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W.

x 1-й способ: если косвенные измерения проводятся в невос5. Записать доверительный интервал для истинного значения изпроизводимых условиях, то значения Wi вычисляются для каждого меряемой величины:

отдельного измерения, а затем обрабатываются как прямые измеХ = x ± X или x – X xi +X.

рения.

2-й способ: позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений. Далее остановимся подробнее на этом способе.

11 ПОГРЕШНОСТЬ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ = lnW z.

z х Обрабатывая прямые измерения, мы находим их выборочные Тогда общая относительная погрешность определится как средние значения x, y, z …, являющиеся, как было показано выше, 2 2 = + +. (11) W x y z случайными величинами. Очевидно, что и величина Расчет погрешности по формулам (10) и (11) особенно удобW = W ( x, y, z …), представляющая собой выборочное среднее но производить в случае, когда функция имеет одночленную (лоискомой функции, будет также случайной величиной. Задача, как и xв случае прямых измерений, состоит в том, чтобы определить, с гарифмическую) формулу. Пусть, например, W = A, где А – y какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в константа. Используя правило (10), имеем:

некотором заданном интервале W±W.

lnW = ln A + 4ln x - ln y, В общем случае эта задача весьма сложна, и мы ограничимся лишь ее приближенным решением.

4x 1 y =, = - ;

x y 2 x 2 y W W W 2 2 W = X + Y + Z. (8) 16 x y z = x2 + y2 ;

x2 4yОчень часто бывает удобно вычислить относительную погрешность результата косвенного измерения dW Замечание. Прежде чем сделать расчет по формуле (11), =.

W произведите оценку относительных погрешностей по отдельным W аргументам, вычисленных по формулам (10). Если при этом отЕсли W = W(x) – функция одной переменой, тогда относидельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в тельная погрешность определяется как три раза, ими можно пренебречь. В таком случае общая формула dW = = d(lnW ), (9) (11) значительно упростится.

W W Определив относительную погрешность W, можно рассчит. е. для нахождения необходимо сначала прологарифмировать W тать абсолютную погрешность (точность) по формуле:

выражение W(x), а затем продифференцировать его по х. В случае W = W. (12) W многих переменных можно, как и для абсолютных погрешностей, ввести частные относительные погрешности, равные:

= lnW x ;

x х = lnW y ; (10) y х 13 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТЕЛА РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Цель работы: статистическая обработка результатов изме1. Жукова И.С., Бутина Л.И., Крылова С.И. Введение в лаборарения плотности тела цилиндрической формы.

торный практикум по курсу общей физики. Петрозаводск:

Изд-во Петрозаводск. гос. ун-та, 1999.

Приборы и оборудование: тело цилиндрической формы, штангенциркуль, микрометр, весы.

2. Деденко Л.Г., Керженцев В.В. Математическая обработка и оформление результатов эксперимента. М.: Изд-во МГУ, 1977.

Порядок выполнения работы 3. Зайдель А.Н. Ошибки измерения физических величин. Л.: Нау1. Измерить высоту h и диаметр основания d цилиндрическока, 1974.

го тела.

4. Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов изме2. Измерить массу тела m весами.

3. Измерения по пунктам 1 и 2 провести не менее 10 раз. рений. М.: Наука, 1970.

4. Рассчитать плотность тела по формуле:

5. Соловьев В.А., Яхонтова В.Е. Элементарные методы обработки 4m =. результатов измерений. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977.

d h 5. Рассчитать погрешность прямых измерений высоты, диаметра и массы тела.

6. Рассчитать погрешность косвенного измерения плотности тела.

7. Сравнить измеренное значение плотности вещества исследуемого тела со справочными данными.

15 Приложение 1 Приложение Значения коэффициентов Стьюдента Некоторые правила оформления лабораторных работ Число По результатам каждой лабораторной работы в рабочей тетизмере- Коэффициент надежности ради составляется отчет, который должен включать:

ний n 1. Краткую формулировку идеи метода, расчетную формулу, по0,8 0,9 0,95 0,98 0,яснение физического смысла входящих в нее символов.

2 3,1 6,31 12,7 31,8 63,7 2. Таблицы с результатами измерений и расчетов.

3. Статистическую обработку результатов измерений.

3 1,9 2,92 4,31 6,96 9,4. Выводы.

4 1,6 2,35 3,18 4,54 5,При построении графиков необходимо соблюдать ряд правил:

5 1,5 2,13 2,78 3,75 4,1. Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге.

6 1,5 2,02 2,57 3,36 4,2. На осях необходимо нанести масштабную сетку, указать единицы измерения и символы изображаемых величин.

7 1,5 1,94 2,45 3,14 3,3. Масштаб должен быть простым, удобным для отсчета его до8 1,4 1,90 2,36 3,00 3,лей. Например, 1 см = 0,1; 1; 2 или 10 единиц. Кроме того, масштаб выбирают так, чтобы все экспериментальные точки 9 1,4 1,86 2,31 2,90 3,вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга.

10 1,4 1,83 2,26 2,82 3,Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета. Масштаб по осям Х и У может быть различен.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.