WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


FOURIER SERIES ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ M. I. VISHIK..

‚ „‰‡‚ ‚ Representation of any... ‚‡ periodic function as a sum of corresponding trigonometric series, 1.

2p known as its Fourier Тригонометрические функции периода T имеseries expansion, is disют вид cussed. Parseval equation is presented: integral ----- ----cosn2-x, sinn2-x, n = 1, 2, … (1) T T of a squared periodic С помощью замены переменной 2 x/T = y в (1) поfunction in a period-long лучаются тригонометрические функции interval is proportional to cosny, sinny, n = 1, 2, …, (2) the sum of squared coeffiимеющие период 2. Поэтому для простоты в дальcients of the function’s нейшем будем рассматривать тригонометрические Fourier series.

функции вида (2), причем вместо y будем писать x.

Дополним тригонометрические функции периода 2 еще функцией, тождественно равной 1, и по‡fl ‰‡‚ лучим систему функций · ‰ 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, … (3) ‚ ‚‰ Эти функции обладают следующим важным свой‚‚„ ством:

„„ fl2 ‰‡, ‡‚‡„ flf (x) g(x)dx = 0, (4) ‰. ‚‰fl 0 ‡‚‚ ‡‚‡fl:

если вместо f(x) и g(x) подставить любые из указа턇 ‚‡‰‡‡ ных в (3) две различные функции. Таким образом, утверждается ‰ 2 2 ‚‡ ‰ 1 cosnxdx = 0, 1 sinnxdx = 0, n = 1, 2, …,(5) ‰‡ ‡‚ - 0 0 ‰ fl„ 2 fl ‚‡‰coskxcosmxdx = 0, (6) ‡‚ ‚ 0 „ 2 fl ‚ ‡sinkxsinmxdx = 0, k m, ‚ fl‰.

0 2 sinkxcosmxdx = 0 при любых k, m = 1, 2, … (7) 0 Действительно, имеем, например, 2 x = 2 sinnx 1 cosnxdx = ------------- = 0.

n x = 0 0 Далее, согласно известной формуле, 122, ‹1, 1997 ©.., 1997 1 2 1 2 (a + a, b) = (a, b) + (a, b), -sinkxsinmx = 1(cos(k – m)x – cos(k + m)x) 2 1 2 1 2 (12) (a, b + b ) = (a, b ) + (a, b ), имеем (a, a) > 0, если a 0, 2 1 2 1 2 sinkxsinmxdx = для любых двумерных векторов a, a, a, b, b, b.

0 Аналогичными свойствами обладает форма 2 2 (f(x), g(x)), заданная формулой (10):

-= 1 cos(k – m)xdx – cos(k + m)xdx = 2 0 ( f (x) + f (x), g(x)) = ( f (x) + f (x))g(x)dx = 1 2 1 x = 2 x = -- sin(k – m)x sin(k + m)x - = 1 ---------------------------- – ---------------------------- = 2 k – m k + m 2 x = 0 x = = f (x)g(x)dx + f (x)g(x)dx = 1 при k m. Аналогично устанавливаются и другие 0 формулы (5)–(7).

В дальнейшем нам понадобятся еще интегралы = (f1(x), g(x)) + (f2(x), g(x)), (13) вида (f(x), g1(x) + g2(x)) = (f(x), g1(x)) + (f(x), g2(x)), (14) f (x) dx, (8) ( f (x), f (x)) = f (x)dx > 0, если f (x) 0, (15) где f(x) – любая из функций (3).

и f(x) – непрерывная функция. В связи с такой анаИмеем логией между свойствами (12) скалярного произведения (a, b) векторов в евклидовом пространстве и свойствами (13)–(15) формы (f(x), g(x)) последнюю 12dx = 2, называют скалярным произведением функций f(x) и g(x).

2 x = 1 cos2nx sin2nx cos2nxdx = -- + ----------------- dx = + ---------------- =, - - Аналогом формулы (a, a) = a для квадрата 2 2 4n x = 0 длины вектора a является формула (15). Скалярное 2 произведение (f(x), f(x)) обозначают ||f(x)||2 и назы1 cos2nx вают квадратом нормы функции f(x):

sin2nxdx = -- – ----------------- dx = - - (9) 2 0 2 ( f (x), f (x)) = f (x)dx = f (x). (16) x = sin2nx = – ---------------- =.

4n x = Как известно, если скалярное произведение Обозначим интеграл, стоящий слева в равенстве (a, b) = 0 и a 0, b 0, то векторы a и b ортого(4), через (f(x), g(x)):

нальны. Аналогично, если (f(x), g(x)) = 0, то говорят, что функции f(x) и g(x) ортогональны. Поэтому свойства (5)–(7) называют свойством ортогональ( f (x), g(x)) = f (x)g(x)dx. (10) ности функций 1, cosnx, sinnx, n = 1, 2, … Аналогично устанавливается ортогональность Заметим, что форма (f(x), g(x)) обладает рядом ----- ----системы функций 1, cosn2-x, sinn2-x, n = 1, 2, …, свойств, аналогичных скалярному произведению T T на интервале длиной T, то есть справедливость фор(a, b) двух векторов a = (a1, a2) и b = (b1, b2) на мул, аналогичных формулам (5)–(7) с заменой преплоскости:

делов интегрирования 0, 2 на 0, T.

(a, b) = a1b1 + a2b2 (11) 2.

p p 2p p (a1, a2 и b1, b2 – координаты векторов a и b ).

Действительно, скалярное произведение (a, b) Тригонометрическим полиномом периода обладает, например, следующими свойствами: называется любая функция вида..

n Аналогично, умножив обе части (17) на sinmx, P(x) = a0 + (ak coskx + bk sinkx). (17) m = 1, 2, …, n, получим k = Очевидно, P(x) = P(x + 2 ), - < x < +, поэтоbm = -- P(x)sinmxdx. (21) му периодическая функция P(x) однозначно задается своими значениями на любом интервале длины периода, например на интервале (0, 2 ). Зная значеФормулы (19), (20) и (21) показывают, что коэфния функции на этом интервале, можно найти ее фициенты a0, am, bm, m = 1, …, n, однозначно опрезначения для любого x вне интервала (0, 2 ), поль- деляются функцией P(x). Эти формулы называются зуясь периодичностью P(x). Покажем, что коэффи- формулами Фурье для коэффициентов am и bm разциенты a0, ak, bk, k = 1, 2, …, в (17) однозначно оп- ложения функции P(x) по coskx, k = 0, 1, …, n, и ределяются значениями функции P(x) на интервале sinkx, k = 1, …, n.

(0, 2 ), и найдем формулы, выражающие значения Пользуясь выражениями (10) и (16) для скалярэтих коэффициентов через P(x). Для этого умноного произведения ((f(x), g(x)) и скалярного квадражим обе части (17) на cosmx и проинтегрируем по x та (f(x), f(x)), эти формулы можно еще записать слев пределах от 0 до 2. Получим дующим образом:



2 ---------------------a0 = (P(x), 1); (22) P(x)cosmxdx = a0 cosmxdx + (1, 1) 0 (P(x), cosmx) 2 n am = ----------------------------------------; (23) (cosmx, cosmx) + ak coskxcosmxdx + bk sinkxcosmxdx. (18) k = 0 (P(x), sinmx) bm = --------------------------------------. (24) (sinmx, sinmx) Рассмотрим сначала случай m = 0, cos0 x 1.

Тогда, пользуясь ортогональностью функций coskx В формулах (22)–(24) и 1, sinkx и 1 (см. (5)), получим из (18) 2 (P(x), 1) = P(x) 1dx, P(x) 1dx = a0 1dx + 0 2 n (1, 1) = 1 1dx = 2, + ak coskx 1dx + bk sinkx 1dx = k = 1 0 n (P(x), cosmx) = P(x)cosmxdx, = a0 2 + (ak 0 + bk 0) = 2 a0.

k = 1 (cosmx, cosmx) = cosmxcosmxdx =, Отсюда a0 = ------ P(x)dx. (19) (P(x), sinmx) = P(x)sinmxdx, Аналогично из (18) при m > 0, пользуясь форму(sinmx, sinmx) = sinmxsinmxdx =.

лами ортогональности (5)–(7) и формулой (9), по- лучим Для скалярного квадрата (P(x), P(x)) функции 2 P(x) имеет место формула P(x)cosmxdx = a0 0 + am cos2mxdx = am.

n 0 (P(x), P(x)) = P2(x)dx = 2 a2 + (a2 + b2), (25) 0 k k Отсюда k = называемая равенством Парсеваля. Действительно, am = -- P(x)cosmxdx. (20) подставив вместо P(x) выражение справа в (17), по лучим, ‹1, (P(x), P(x)) = ||P(x)||2 выражается по формуле (25).

(P(x), P(x)) = Эта формула является многомерным аналогом теоn ремы Пифагора (напомним еще раз, что множители = a0 + (ak coskx + bk sinkx), 2 и появились из-за того, что квадраты норм ба k = зисных функций 1, coskx, sinkx не равны 1, а равны n 2 и соответственно).

a0 + (amcosmx + bmsinmx) = m = 1 3. n = a2(1, 1) + a0(am(1, cosmx) + bm(1, sinmx)) + 0 Функция f(x) называется периодической с пе m = 1 риодом T, если n f(x + T) = f(x), - < x < +. (28) + [akam(coskx, cosmx) + akbm(coskx, sinmx) + Как и выше, достаточно рассмотреть случай T = 2.

k, m = Решая задачи о распространении тепла, Фурье при+ bkam(sinkx, cosmx) + bkbm(sinkx, sinmx) ] = шел к выводу, что всякая периодическая функция n f(x) с периодом 2 может быть представлена в виде = a2(1, 1) + [a2(coskx, coskx) + b2(sinkx, sinkx)] = 0 k k суммы бесконечного ряда по coskx, k = 0, 1, …, и k = sinkx, k = 1, 2, …:

n = a2 2 + (a2 + b2). (26) f (x) = a0 + (ak coskx + bk sinkx). (29) 0 k k k = k = При этом мы воспользовались формулами (5)–(7) Ряды, стоящие справа в (29), называются тригоноортогональности функций 1, coskx, sinkx, k = 1, …, n, метрическими рядами.

и формулой (9).

В теории тригонометрических рядов доказана Формула (25) выражает тот факт, что квадрат следующая нормы ||P(x)||2 = (P(x), P(x)) равен сумме квадратов Теорема. Если 2 -периодическая функция f(x) некоэффициентов Фурье a0, ak и bk функции P(x) с прерывна и имеет непрерывную производную f'(x) для множителями 2 и соответственно. Эти множите- < x < +, то она представима в виде сходящегося ли, напомним, появились потому, что квадраты тригонометрического ряда (29) и выполнены сформунорм базисных функций имеют вид лированные выше требования почленного интегрирования [1].

(1, 1) = 2, (coskx, coskx) =, (sinkx, sinkx) =.

Заметим, что эти факты имеют место также при Если на плоскости на осях Ox1 и Ox2 ввести значительно менее ограничительных условиях отединичные векторы e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) и вектор носительно функции f(x), на которых мы здесь не останавливаемся.

a = a1e1 + a2e2, то Пусть функция f (x) такова, что для каждого x, - < x < +, тригонометрический ряд (29) сходитa = a2 + a2. (27) 1 ся к f(x). Кроме того, предполагается, что, умножив, Эта формула называется теоремой Пифагора.

как и в разделе 2, обе части на coskx или sinkx, полученные равенства можно почленно интегрировать.

Представим себе теперь функции 1, coskx, sinkx, k = 1, …, n, как векторы в (2n + 1)-мерном пространИмеет место следующая стве H2n + 1, натянутом на эти векторы. Точнее, H2n + Теорема 1. Если функция f(x) удовлетворяет сфорсостоит из всех линейных комбинаций мулированным выше условиям, то ее коэффициенты ak, k = 0, 1, …, и bk, k = 1, 2, …, в разложении (29) одn нозначно определяются ею по формулам c0 1 + (ck coskx + dk sinkx) {P(x)} = H2n + 1, 2 k = 1 a0 = ------ f (x)dx, am = -- f (x)cosmxdx, где c0, ck, dk – произвольные действительные числа.

Введем в H2n + 1 скалярное произведение (P(x), Q(x)) 0 (30) по формуле (10), где P(x) – полином (17), а n bm = -- f (x)sinmxdx, m = 1, 2, … Q(x) = A0 + (Ak coskx + Bk sinkx).

k = Числа a0, am, bm, m = 1, 2, …, найденные по форТогда функции {1, coskx, sinkx| k = 1, …, n} образуют мулам (30), называются коэффициентами Фурье ортогональный базис в H2n + 1 и скалярный квадрат функции f(x).

..

Вывод формул (30) при сформулированных выше условиях сходимости ряда Фурье (29) проводится аналогично выводу формул (19)–(21). Так, например, f(x) умножив обе части (29) на cosmx, m 1, и проинтегрировав по x в пределах от 0 до 2, получим – x 2 2 f (x)cosmxdx = a0 cosmxdx + – 0 2 + ak coskxcosmxdx + bk sinkxcosmxdx = Рис. k = 0 Найдем коэффициенты Фурье ak и bk функции = am cos2mxdx = am.





f(x), изображенной на рис. 1. В силу периодичности с периодом 2 функций f(x)coskx и f(x)sinkx имеем Отсюда получаем формулу (30) для am. Аналогично 2 + 1 выводятся формулы для bm и a0.

- ak = -- f (x)coskxdx = -- f (x)coskxdx = Аналогично (25) для функции f(x), представи0 – мой в виде (29), имеет место равенство Парсеваля 0 + 2 = -- (–1)coskxdx + (+1)coskxdx = 0, – ( f (x), f (x)) = f (x)dx = 2 a2 + (a2 + b2). (31) 0 k k k = 1 k = 0, 1, …, 2 + Здесь ak, bk – коэффициенты Фурье функции f(x), 1 которые вычисляются по формулам (30). Вывод фор- bk = -- f (x)sinkxdx = -- f (x)sinkxdx = мулы (31) совпадает с выводом аналогичной форму0 – лы (26) для тригонометрического многочлена P(x).

0 + Достаточно в (26) вместо P(x) подставить f(x) и сум1 = -- (–1)sinkxdx + (+1)sinkxdx = --мирование справа производить от m, k = 1 до +.

sinkxdx = – 0 Формула (31) является бесконечномерным обобщением теоремы Пифагора (23). При этом баx = 2 coskx 2 cosk- cosk зисными функциями служат тригонометрические - -= -- –-------------- = -- –-------------- + ------------------ = k k k функции coskx, k = 0, 1, …, sinkx, k = 1, 2, … Эти ба- x = зисные функции ортогональны в том смысле, что k скалярные произведения разных функций базиса 2 1 (–1)= -- -- – -----------, k = 1, 2, … (32) равны нулю, то есть имеют место формулы (5)–(7).

k k Коэффициенты a0, ak и bk в (29) можно считать коПри 0 < x < ординатами функции f(x) в ортогональном базисе {1, coskx, sinkx| k = 1, 2, …}. Они вычисляются по формулам (30). Равенство (31) означает, что квадрат f (x) 1 = bk sinkx, (33) нормы ||f(x)||2 функции f(x) равен сумме квадратов k = ее координат ak и bk. Множители 2 и в (31) связаны с тем, что квадраты норм базисных функций 1, где bk определяется по формуле (32).

coskx, sinkx равны соответственно 2 и (см. (9)).

Из (32) следует, что при четном k = 2n выполнеПриведем пример разложения функции f(x) в ее но b2n = 0, а при нечетном k = 2n - 1:

ряд Фурье. Пусть 4--------------.

b2n – 1 = -- - (34) 1 для 0 < x <, 2n – f (x) = –1 для < x < 2, Таким образом, согласно (33) и (34) имеем для 0 < x < :

а вне этого интервала f(x) равна периодическому продолжению этой функции с периодом 2 (рис. 1).

4 В теории тригонометрических рядов доказывается, - 1 b2n – 1sin(2n – 1)x = -- -------------- sin(2n – 1)x.

2n – что ряд Фурье функции f(x), изображенной на рис. 1, k = 1 k = сходится к этой функции во всех точках x непрерывности f(x). Полагая в этой формуле x = /2, получим, ‹1, Таким образом, ряд Фурье нечетной, 2 -перио4 1 - -- - -- - -1 = -- 1sin- + -- sin3- + -- sin5- + … дической функции f(x) содержит лишь sinkx, причем 2 3 2 5 - -… + -------------- sin(2n – 1)- + … = 2n – 1 2 f (x) = bk sinkx, bk = -- f (x)sinkxdx. (37) k = 1 4 1 1 (–1)n +- - = -- 1 – -- + -- – … + ----------------- + ….

3 5 2n – Аналогично доказывается, что четная и 2 -периодическая функция f(x):

Отсюда находим следующую формулу для /4:

f(x) = f(- x), f(x) = f(x + 2 ), - < x < +, (38) - = 1 – -- + -- – … + (–1)n +- + … 1 -- - - ----------------4 3 5 2n – разлагается в ряд Фурье по coskx:

4. f (x) = a0 + ak coskx, bk = 0, k = 1, 2, …, (39) Допустим, что f(x) – нечетная периодическая k = функция с периодом 2 :

причем f(- x) = - f(x), f(x) = f(x + 2 ), - < x < +. (35) Тогда аналогично приведенному выше примеру все 1 ее коэффициенты Фурье ak при coskx и при 1 равны - a0 = -- f (x)dx, ak = -- f (x)coskxdx. (40) нулю:

0 ak = 0, k = 0, 1, 2, … (36) В приложениях тригонометрические ряды исДействительно, поскольку f(x)coskx нечетная и 2 - пользуются для представления функции f(x), заданпериодическая функция, то ной лишь на конечном интервале (0, ) в виде, например, ее ряда Фурье по sinkx по формуле (37). Это 2 + возможно сделать потому, что такую функцию мож1 - ak = -- f (x)coskxdx = -- f (x)coskxdx = 0, но сначала продолжить нечетным образом на ин тервал (-, + ), а затем полученную функцию пе0 – риодически с периодом 2 продолжить на всю ось.

k = 1, 2, …, Таким образом мы получим периодическую функ2 + 1 1 цию f (x) с периодом 2 и притом нечетную. Поэто- a0 = -- f (x)dx = -- f (x)dx = 0.

му f (x) представима в виде (37). Так как f(x) = f (x) 0 – при 0 < x <, то исходная функция f(x) представима При этом мы воспользовались тем, что интеграл от в виде (37) для 0 < x <.

нечетной функции (см. (35)) по интервалу (-, + ) Аналогично функцию f(x), заданную лишь для равен нулю.

0 < x <, можно разложить по coskx по формулам Для коэффициентов Фурье bk получаем (39), (40).

2 + 1 - bk = -- f (x)sinkxdx = -- f (x)sinkxdx = 0 – 1. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анали0 + 1 за. М.: Гостехиздат, 1956.

= -- f (x)sinkxdx + f (x)sinkxdx = – * * * + = -- f (x)sinkxdx, k = 1, 2, …, Марко Иосифович Вишик, доктор физико-мате 0 матических наук, профессор Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, воспользовавшись тем, что f(x)sinkx периодическая главный научный сотрудник Института проблем пес периодом 2 и эта функция четная:

редачи информации РАН. Автор 232 научных работ f(- x)sin(- kx) = (- 1)f(x)(- 1)sin(kx) = f(x)sin(kx). и четырех монографий.

..











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.