WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
ELEMENTARY ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ВВЕДЕНИЕ INTRODUCTION В КАЧЕСТВЕННУЮ ТЕОРИЮ TO THE QUALITATIVE THEORY AND THEORY И ТЕОРИЮ БИФУРКАЦИЙ OF BIFURCATIONS OF THE DYNAMICAL ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ SYSTEMS..

V. N. BELYKH ‡fl „‰‡‚‡fl ‡‡‰fl ‚‰„ ‡‡, ‚„‰ The basic concepts of two-dimensional dynamic systems qualitative theНаша конечная цель – познакомиться с основаory are presented. The ми математической теории хаоса в динамических системах без случайных воздействий. Явление динаproblem of one-dimenмического хаоса в настоящее время обнаруживают sional maps cycles is disпрактически во всех областях знаний, где возможно cussed. The aim of this математическое моделирование, ему посвящено огромное число научных статей, книг и отдельных paper is to promote stuмеждународных журналов, таких, как “Chaos”. Ясdents and teachers interно, что представить сложную математическую теоest in the complicated рию, не углубляясь в математику, даже в самом элементарном изложении, – задача не простая, и mathematical theory under одной статьи здесь недостаточно. Поэтому разговор discussion.

о самом явлении хаоса мы будем вести и дальше, а здесь будет представлено введение в качественную теорию и теорию бифуркаций динамических сис‡‡‚‡fl тем, составляющих основу языка, на котором гово‚ ‚ ‡рят современные специалисты по хаотической динамике в различных областях знаний.

‚ ‰‚Любые системы, состояние которых изменяется ‰‡ во времени, называют динамическими. В математи ‚ ‡ ке под динамическими системами понимают диф. ‚‰flfl ференциальные уравнения и отображения.

‚ ‚‰fl Это не случайно, поскольку в математике большинство уравнений динамики как фундамен‡ ‰ тальных – Ньютона и Гамильтона в механике и ·‡. ‡ – Максвелла в электродинамике, – так и феномено‚‚‡ логических, например Ходжкина–Хаксли в биофизике нейрона, Лотки–Вольтера в экологической за‚ даче хищник–жертва и Леонтьева в модели ‡‡развивающейся экономики, записываются в форме. дифференциальных уравнений, а компьютерные представления последних – в форме разностных уравнений, то есть отображений.

Основы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем были заложены в трудах великого французского ученого Анри Пуанкаре, который первым понял, что можно, не интегрируя дифференциальных уравнений, представить все основные качественные особенности поведения его решений.

Мы рассмотрим простейшие динамические системы: системы дифференциальных уравнений второго порядка и одномерные отображения, а затем в.. ©.., качестве предисловия к следующей статье обсудим Следует заметить, что аналитически решения возможности применения представленной инфор- уравнения (1) можно представить в виде неопредемации к теории хаоса. ленного интеграла К сожалению, даже в популярной форме отвеdx тить на вопрос о том, что такое хаос в динамической ----------------- = t + c.

F(x, ) системе и как он возникает, невозможно без основных понятий из теории дифференциальных уравне- Однако для качественного анализа этот интеграл не ний и отображений. Поэтому наберемся терпения и нужен, более того, такие интегралы, как правило, постараемся освоить азы теории динамических сис- не берутся.

тем. Зато потом это окупится: разобравшись в азах, Пример 1. Линейное уравнение мы сможем понять главное о хаосе.

dx = x ----- (4) dt имеет решение x(t) = x0e t, определяющее экспоненНачнем с самого простейшего уравнения первоциальный рост (убывание), если > 0 ( < 0) соотго порядка ветственно. Вспомним, что уравнение (4) определяdx = F(x, ).

ет динамику цепной реакции ( > 0) и распада ядра ----- (1) dt ( < 0). Единственное состояние равновесия уравнения (4) x = 0 устойчиво при < 0 и неустойчиво Слева в этом уравнении – производная по времени при > 0.

(независимой переменной), справа – непрерывная Пример 2. Нелинейное уравнение гладкая функция переменной x и постоянного параметра. Решить уравнение (1) означает найти dx = – x----- (5) функцию dt x = S(t, x0, ), (2) имеет два состояния равновесия при > 0 и не имекоторая при подстановке в (1) обращает это уравне- ет состояний равновесия при < 0 (dx/dt < 0 всюду ние в тождество. Величина x0 в (2) есть начальное и x(t) убывает всегда). Правильность этого утверждеусловие, удовлетворяющее соотношению ния легко проверить, нарисовав график F(x) = - xи расставив стрелки, как на рис. 1. Значение = 0 в x0 = S(0, x0, ).

этом примере соответствует бифуркации рождения Константа x = c обращает производную в нуль, и ес- (гибели) двух состояний равновесия с ростом (при ли она одновременно служит решением уравнения убывании ) соответственно. Важнейшее понятие – бифуркация – было введено в конце прошлого века F(x, ) = 0, (3) Анри Пуанкаре.

то x = c есть решение уравнения (1), называемое соРассмотрим теперь систему дифференциальных стоянием равновесия.

уравнений второго порядка Теперь если F > 0, то x(t) возрастает, а если F < 0, dx = F (x, y, ), то x(t) убывает в силу (1). В этом вся динамика урав----dt нения (1): корни уравнения (3) – состояния равно(6) весия С1, С2, …, а на интервалах (Ci, Ci + 1) происхоdy = F (x, y, ) ----дит либо рост, либо убывание x(t) в зависимости от dt знака F (скорости). Рис. 1 иллюстрирует изменение с непрерывными гладкими функциями F1 и F2, заx(t), указанное стрелками.

Состояния равновесия C1 и C3 устойчивы, а C2 висящую от параметра, решения которой есть система двух функций неустойчиво. На рис. 1 видно, что если производная Fx(C) < 0, то состояние равновесия устойчиво, а ес' x = S1(t, x0, y0, ), (7) ли Fx(C) > 0, то неустойчиво.



' y = S2(t, x0, y0, ).

Плоскость (x, y) для дифференциальных уравнеF ний (6) называют фазовой плоскостью, а график функции (7) как параметрически заданной кривой (параметр – время t) – траекторией. Траектории пересекаться не могут по теореме единственности C1 C2 C3 x решения (7) с заданной начальной точкой. Изменяя начальную точку (x0, y0), получаем семейство траекторий на фазовой плоскости, которое с отмеченным стрелками направлением изменения точки (7) Рис. 1 при увеличении времени образует фазовый портрет, ‹1, системы (6). Состояния равновесия системы (6) Снова уравнения в (11) независимы, и мы имеем реаналогично уравнению (1) определяются системой шение алгебраических уравнений = e t, = t +, (12) 0 F1(x, y, ) = 0, где (, ) – начальная точка. Состояние равнове(8) 0 F2(x, y, ) = 0.

сия = 0 (в декартовых координатах это O(0, 0)) есть устойчивый (неустойчивый) фокус при < 0 ( > 0) Пример 3. Линейная система дифференциальсоответственно. Фазовые портреты для этих случаных уравнений ев изображены на рис. 3.

dx = x, ----dt (9) y y dy = y, ----dt < 0 > составленная из двух независимых уравнений первого порядка вида (4), очевидно, имеет решение O x O x x = x0e t, y = y0e t. (10) Состояние равновесия O(0, 0) может быть трех типов:

а) при < 0, < 0 точка O – устойчивый узел;

Рис. б) при > 0, > 0 точка O – неустойчивый узел;

в) при < 0, > 0 (или > 0, < 0) состояние равЗаметим, что к системе (11) (при < 0) приводит новесия O называют седлом.

задача о затухающих колебаниях маятника или коФазовые портреты в этих трех случаях изображелебательного контура (по поводу последнего см., ны на рис. 2.

например, мою статью в последнем издании “Физической энциклопедии”, т. 2). При этом полярный радиус есть экспоненциально убывающая амплитуаб в да, угол – полная фаза, а – частота колебаний.

yy y Пример 5. Нелинейная система в полярных координатах x x x O O O d- = ( – ), ----- dt (13) d- = ----dt Рис. c разделенными переменными исследуется с помощью рис. 1 с важной особенностью: устойчивое соЗаметим, что состояния равновесия являются стояние равновесия = > 0 первого уравнения соотдельными траекториями, так что пересечения, ответствует замкнутой траектории системы (13) на реализующиеся для системы (9) и изображенные на плоскости (x, y), называемой предельным циклом.

рис. 2, суть не пересечения траекторий, а пересечеПри <0 d /dt < 0 и цикл отсутствует (рис. 4).

ния так называемых интегральных кривых, составленных из трех траекторий, одна из которых – соПредельный цикл был введен А. Пуанкаре, стояние равновесия.

впрочем как и все основные понятия качественной Пример 4. Рассмотрим систему y y d- =, < ----- > dt (11) d- =, ----dt x x заданную в полярных координатах (, ), связанных с декартовой системой координат формулами x = = cos, y = sin, где – угол, – полярный радиус, и – параметры. При этом, очевидно, 0. Рис... теории динамических систем, предмет которой – не < 1 = 1 > интегрируя систему (6), нарисовать ее фазовый P1, Pпортрет и проследить за его изменениями при измеP2 Pнении параметров (предмет теории бифуркаций). В 30-е годы предельный цикл был интерпретирован как математический образ автоколебаний А.А. Андроновым, основателем Нижегородской школы не- O O O линейной теории колебаний. К уравнениям (13) в простейшем случае приводит задача о колебаниях томпсоновского (лампового) генератора. Возникновению колебаний соответствует бифуркация Рис. рождения цикла из состояния равновесия (рис. 4), открытая в 30-е годы Андроновым и обобщенная в начале 40-х годов Хопфом на случай систем диффе- тории играют важнейшую роль в теории хаоса в ренциальных уравнений более высокого порядка. многомерных динамических системах без случайных воздействий.

Пример 6. Нелинейная система Таким образом, мы получили бифуркацию рождеd- = ( –( – 1)2), ния предельного цикла в ситуации, когда исчезает ----dt седло-узел, имеющий гомоклиническую траекторию.

(14) Пример 8. Пусть нелинейная система (6) в квадd- = ----рате Q = (|x| d, |y| d) совпадает с линейной сисdt темой (9) и имеет в нем фазовый портрет, соответстпри || < 1 имеет следующую последовательность вующий седлу (рис. 2, в) при < 0, > 0, а вне этого фазовых портретов: при < 0 производная d /dt от- квадрата имеет фрагмент фазового портрета, изобрицательна и система (14) имеет устойчивый фокус, раженный на рис. 6.

как и в примере 5; при = 0 d /dt обращается в нуль при = 1, то есть в системе происходит рождеаб ние предельного цикла. Траектории приближаются к нему снаружи и удаляются от него внутри. Поэтому такой цикл называют полуустойчивым. При > этот цикл разваливается на два цикла: один – устойчивый снаружи и другой – неустойчивый внутри.

Стало быть, имеет место бифуркация рождения двух циклов через появление полуустойчивого цикла. Проанализировать эту бифуркацию можно с помощью исследования первого уравнения в (14) при использовании рис. 1.

Пример 7. Система вида d- = (1 – ), Рис. ----dt (15) В этом случае (при некотором = ) существует d- = – sin ----гомоклиническая траектория, выходящая из седdt ла и возвращающаяся в него же при t. Тот при || < 1 помимо неустойчивого состояния равфакт, что для | | > при изменении, скажем, в стоновесия O(0, 0) имеет два состояния равновесия рону > происходит бифуркация рождения ус P1( = 1, = arcsin ) и P2( = 1, = - arcsin ).





1 1 2 2 тойчивого предельного цикла (рис. 6, б), был изуТочка P1 есть устойчивый узел, а P2 – седло. При чен А.А. Андроновым и Е.А. Леонтович в начале || = 1 состояния равновесия P1 и P2 сливаются, об50-х годов.

разуя так называемый седло-узел, исчезающий при || > 1. Поскольку при > 1 производная d /dt > 0 Мы привели частные примеры, которые с помо(при < - 1 d /dt < 0), то есть угол (t) растет, сис- щью уравнения первого порядка объясняют разтема (15) имеет устойчивый предельный цикл. По- личные случаи изменения фазовых портретов сисследовательность изменения фазовых картин в темы двух уравнений при изменении параметра.

этом случае изображена на рис. 5. На рисунке вид- Но, оказывается, эти примеры отражают общую сино, что при = 1 система (15) имеет траекторию, туацию качественного изменения фазовых картин выходящую из седла-узла и возвращающуюся в него любой динамической системы (6), поскольку все же. Такие траектории Пуанкаре назвал гомоклини- главные деформации системы (6) общего вида (со ческими. Как оказалось впоследствии, такие траек- сколь угодно сложными гладкими функциями F1 и F2), ‹1, происходят только так, как в наших примерах. Гово- ря “главные деформации”, мы имеем в виду, что есИспользуемые в математике последовательносли в системе (6) рождается сразу много состояний ти действительных чисел x(0), x(1), x(2), …, x(n), …, равновесия или предельных циклов, то малыми израссматриваемые как функция дискретного аргуменениями F1 и F2 это рождение можно разделить на мента x(n): Z R, могут задаваться уравнением последовательность элементарных бифуркаций, происходящих по схеме, указанной примерами 2, x(n + 1) = f(x(n)), (16) 5–8, то есть путем поочередного рождения пар состояний равновесия (пример 2) и предельных циксвязывающим последующее значение x(n + 1), оболов либо через бифуркацию Андронова–Хопфа значаемое обычно x, с предыдущим x(n), обознача(пример 5), либо через бифуркацию полуустойчиемым просто x. Уравнение (16) называется разноствого цикла (пример 6), либо через бифуркацию гоным и, когда под n понимают дискретное время, моклинической траектории седло-узла (пример 7) представляет собой динамическую систему. Послеили седла (пример 8). Других элементарных бифурдовательность x(0), x(1), x(2), …, x(n), … называют каций в диссипативных системах не бывает. Так что траекторией, удовлетворяющей начальному условию наши примеры не являются частными, а системы, x(0). Иначе говоря, мы имеем функцию f: R1 R1, рассмотренные в них, как отражающие общие биотображающую действительную ось в себя, поэтому фуркационные свойства называют нормальными уравнение (16) x = f (x) называют также одномерным формами.

отображением. Действие отображения f геометрически изображают с помощью диаграммы Ламерея Приведем теперь несколько важнейших поня(рис. 7), на которой отрезками изображают переход тий теории динамических систем общего характера.

от аргумента x(n) к значению функции x(n + 1) и укаПервое. Все сказанное относится к так называезывают переход от значения функции к новому знамым диссипативным системам (исключая, конеччению аргумента (через биссектрису). Итак, мы но, тривиальные случаи линейных систем типа (1)), представили простейшую динамическую систему траектории которых при t не уходят в бескокак объект, доступный любому старшекласснику.

нечность, а стремятся к ограниченному предельноПример 9. Арифметическая прогрессия задается му множеству, называемому аттрактором. Легко отображением сдвига проанализировать, что таким множеством в случае системы (6) могут быть состояния равновесия и x(n + 1) = x(n) + d, (17) предельные циклы.

Второе общее понятие, важнейшее в теории динаx мических систем, – это понятие грубости (или струка турной устойчивости), введенное в конце 30-х годов А.А. Андроновым и Л.С. Понтрягиным и играющее центральную роль в современной теории динамических систем. Смысл этого понятия состоит в следующем. Если при малом изменении параметров системы (6) или целиком правой части (функций F1, Fx –D D и их производных) вид фазового портрета топологически остается тем же самым, то система называется грубой. Из примеров следует, что качественные изменения фазовых портретов происходят при бифуркациях состояний равновесия (примеры 2 и 5), предельных циклов (примеры 5–8) и гомоклиничеx ских траекторий (примеры 7 и 8).

б d Третий общий вывод состоит в том, что хаоса, то есть явления, когда решение системы дифференциальных уравнений (6) ведет себя как случайная функция, в системах второго порядка не бывает.

x –D D Заметим, что в математической теории систем второго порядка существует множество нерешенных задач. Достаточно упомянуть о 16-й проблеме Гильберта (ее второй части) о числе предельных циклов в зависимости от порядка полиномов в правой части системы (6). По решению этой проблемы в последние годы получено много интересных результатов, но проблема остается нерешенной. Рис... где начальное условие x(0) есть ее первый член, а Теперь давайте представим себе общую картину константа d – ее разность. поведения траекторий нелинейного отображения.

Пусть функция f(x) в (17) удовлетворяет условию Пример 10. Геометрическая прогрессия со знаменателем q задается отображением сжатия (|q| < 1) x > f > 0, x > D; x < f < 0, x < - D, или растяжения (|q| > 1) вида как показано на рис. 7, a. Тогда все траектории поx = qx. (18) падают в область |x| < D и остаются в ней навсегда.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.