WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
FRACTALS ФРАКТАЛЫ V. V. ZHIKOV..

‡‰ „‰‡‚ ‰‡„„ ‚ The article is devoted to... ·‰‚‡-fl„ the fractal geometry elements. Classical fractals are described together with calculation of their Слово фрактал введено в 1975 году Б. Мандельбротом. Оно произведено от латинского fractus, от Hausdorff dimension. The которого происходят английские термины fraction, notions of self-similarity fractional – дробь, дробный. С математической точand iterated systems are ки зрения фрактал – это прежде всего множество с дробной размерностью.

also discussed.

Мы хорошо представляем себе, что точка имеет размерность 0, отрезок и окружность – размерность 1, ‡fl ‚fl‡ ‡круг и сфера – размерность 2. С одномерными объ‡‡ ‡‡ „ектами мы связываем понятие длины, с двумерными – площади и т.д. Но как можно представить себе ‰ множество с размерностью 3/2 По-видимому, для ‰ ‚„ ‡ этого требуется нечто промежуточное между длиной ‡ ‡‡и площадью, и если длину условно назвать 1-мерой, а площадь – 2-мерой, то требуется (3/2)-мера.

‚ ‚ ‡В 1919 году Ф. Хаусдорф действительно опред剂 ‡лил такую -меру для любого 0 и на этой основе. ‰· ·‰‡каждому множеству в евклидовом пространстве соfl ‚‚ ‡поставил число, названное им метрической размерностью. Он же привел первые примеры множеств с ‰·fl ‡‡‚ ‰‡дробной размерностью. Оказалось, что дробную fl ‰‡‚ размерность имеют канторово множество, кривая, ‡ „ · Кох и другие экзотические объекты, до недавнего времени малоизвестные за пределами математики.

‚ ‡Идеи Хаусдорфа, не опубликовавшего больше ‡ ·.

ни одной работы в этом направлении, были развиты А.С. Безиковичем, который длительное время был автором или соавтором практически всех работ по данной тематике. В последующие годы размерность Хаусдорфа–Безиковича получила применение в некоторых разделах математики, но ничто не предвещало той популярности этого понятия за пределами математики, которая сейчас наблюдается. В частности, этому способствовала научная деятельность Б. Мандельброта, который в своих книгах привел яркие примеры применения фракталов к объяснению некоторых природных явлений. Мандельброт уделил большое внимание интересному свойству, которым обладают многие фракталы. Дело в том, что часто фрактал можно разбить на сколь угодно малые части так, что каждая часть окажется просто уменьшенной копией целого. Иначе говоря, если мы будем смотреть на фрактал в микроскоп, то с удивлением увидим ту же самую картину, что и без микроскопа.

Это свойство самоподобия резко отличает фракталы от объектов классической геометрии. Действительно, возьмем такой привычный объект, как..

© ‚.., график дифференцируемой функции. Если мы 2) множество Т всех бесконечных телеграмм ненаправим микроскоп в какую-то точку этого графи- счетно.

ка, то при увеличении изображения увидим прямую Бесконечная телеграмма – это бесконечная полинию – касательную в данной точке. Другими слоследовательность из двух символов (точка и тире вами, классические объекты упрощаются при увеили 1 и - 1). Вот пример такой телеграммы:

личении изображения, “в малом” они линейны (прямая, плоскость и т.д.), в то время как фракталам 1, - 1, 1, 1, … присуща “внутренняя бесконечность”.

В общем виде бесконечная телеграмма имеет вид Вот что писал Б. Мандельброт, сопоставляя классическую геометрию с новой – фрактальной 1, = a1, a2, a3, …, где ai = геометрией: “Почему геометрию часто называют –1.

холодной и сухой Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, деДокажем, что множество Т несчетно. Допустим, рева или берега моря. Облака – это не сферы, личто нам удалось составить полный список телении берега – это не окружность, и кора не является грамм; пусть это будут телеграммы гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более 1 a = a1, a1,, … 1 2 высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в струк = a2, a2, a2, … 1 2 турах всегда бесконечно. Существование этих = a3, a3, a3, … 1 2 структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как..................

бесформенные, – задачи исследования морфологии аморфного”. где верхний индекс указывает номер телеграммы.

Но, как легко понять, телеграмма В статье описаны классические фракталы, вычислена их хаусдорфова размерность, а также дана = –a1, –a2, –a3, … 1 2 математическая формулировка свойства самоподобия. Последняя позволяет строить новые фрактальникак не может быть в этом списке. Она не может ные объекты.

совпадать с (у них на первой позиции стоят разные символы), с (у них на второй позиции стоят Отметим, что вычисление размерности всегда разные символы) и т.д. Полный список телеграмм требует некоторой изобретательности. Строгое опсоставить невозможно, множество Т несчетно.

ределение хаусдорфовой размерности довольно громоздко, и его непросто применять для вычислеАналогичными рассуждениями доказывается, ний. Физики предпочитают вычислять размерность что отрезок [0, 1] несчетен; здесь нужно использопо некоторым более наглядным формулам, и мы в вать представление числа x [0, 1] в виде бесконечосновном следуем этой традиции. Правда, иногда ной десятичной дроби.

такого рода наглядные определения могут дать чисВ дальнейшем будем использовать некоторые ло, превышающее “истинную” хаусдорфову размероперации над множествами. Если каждый элемент ность. Такие случаи в статье не рассматриваются.

множества A есть также элемент множества B, то пишем A B и говорим, что А – часть или подмножество В. Последовательность множеств A0, A1, … называется убывающей, если Будем рассматривать главным образом множеA0 A1 A2 … ства на числовой оси или на плоскости. Множества обозначаем большими буквами, их элементы – маСовокупность элементов, принадлежащих всем лыми, например: A = [0, 1] – отрезок, число 1/2 – множествам A0, A1, …, An, …, образует пересечение элемент этого множества, 1/2 A.



этих множеств:

Множества бывают конечными и бесконечныA = An = A0 A1 … ми. Множество натуральных чисел {1, 2, 3, …} бесконечно. Бесконечное множество A называется Напомним также понятие замкнутого множестсчетным, если его элементы можно пронумеровать ва. Пусть А – множество на числовой прямой. Точка натуральными числами, иначе говоря, элементы x называется предельной точкой множества А, если можно выстроить в бесконечную очередь: A = {x1, x = n xn для некоторой последовательности точек lim x2, …, xn, …}. Приведем два примера несчетных мноxn A. Множество А замкнуто, если оно содержит жеств:

все свои предельные точки. Отрезок [0, 1] замк1) отрезок [0, 1] несчетен, нут, интервал (0, 1) нет. Пересечение любого числа, ‹12, замкнутых множеств замкнуто. Пустое множество 1, 2, 1 2, 7, 8, - - - - - 0, 1, -- -- --, -- -- -- … считается замкнутым.

3 3 9 9 9 – концы выбрасываемых интервалов. Легко видеть, что таких концов будет бесконечное, но счетное множество. Однако множество K не исчерпывается Пусть множество K0 – отрезок [0, 1]. Делим его на три равные части и, выбросив средний интер- этими точками, так как оно не счетно. Чтобы доказать несчетность, удобно прибегнуть к троичной сивал (1/3, 2/3), получим множество K1, состоящее из двух отрезков [0, 1/3] и [2/3, 1] (рис. 1). К каж- стеме счисления, в которой все числа записываются дому из этих двух отрезков применяем ту же опе- с помощью всего лишь трех цифр: 0, 1 и 2. В этой системе число “семь” записывается в виде 21 (так как рацию: выбрасываем средние интервалы (1/9, 2/9) 7 = 2 31 + 1 30), а дробь 1/4 – как 0,020202… Как и и (7/9, 8/9). Останется множество K2, состоящее из в случае десятичных дробей, некоторые числа (чисчетырех отрезков длины (1/3)2 каждый. Продолжая этот процесс, получим убывающую последователь- ла вида a/3k, a целое) допускают двоякую запись, например ность замкнутых множеств K0 K1 K2 … 1 = 0,100… = 0,0222… -Множество Kn состоит из 2n отрезков длиной (1/3)n каждый, так что Посмотрим, как выглядят в троичной системе точки, которые были удалены из отрезка [0, 1]. На n первом шаге мы выбросили интервал (1/3, 2/3).

-длина Kn = 2. (1) - Троичное разложение точки x из этого интервала обязательно содержит цифру 1 на первой позиции, x = 0,1…, a точки из отрезков [1, 1/3], [2/3, 1] могут Множество Kn называется предканторовым, само канторово множество K определяется как пересече- быть записаны как 0,0… и 0,2… ние предканторовых:

Аналогично на втором шаге мы выбросили два интервала (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9). Троичное разложе ние чисел из этих интервалов обязательно содержит K = Kn.

цифру 1 на второй позиции, а для оставшихся чисел n = возможно разложение с цифрами 0 или 2 на этой Итак, канторово множество K получено из [0, 1] позиции. Продолжая этот процесс до бесконечносвыбрасыванием счетного числа интервалов. Дополти, приходим к выводу: число x принадлежит кантонительное к нему множество есть объединение этих рову множеству в том и только том случае, когда его интервалов.

можно представить троичной дробью, используя лишь цифры 0 и 2. Получается, что канторово мноИз (1) следует, что длина K равна нулю. В этом жество совпадает с множеством Т бесконечных теможно убедиться и просуммировав геометрическую леграмм, в которых точками и тире служат 0 и 2.

прогрессию длин выброшенных интервалов:

-1 2- + 2- + … = ------------ = 1.

-- + ---- ---Рассмотрим евклидову плоскость с декартовой 3 32 33 1 – -системой координат. С помощью прямых, параллельных координатным осям, разобьем всю плоскость на малые квадраты (клетки) со стороной > 0.

Изучим структуру множества K более подробно.

По построению, ему принадлежат точки Пусть дано ограниченное множество А на плоскости. Определим N( ) как минимальное число клеток, совокупность которых покрывает А. Если A – обычная фигура, скажем круг, то Kплощадь A = lim N( ).

K Можно сказать, что при 0 число занятых Kклеток N( ) растет как (площадь A)/. Знаменатель этой дроби указывает на размерность – она равна 2, Kа числитель – на величину площади, условно говоря, 2-меры.

В общем случае скажем, что множество А имеет Рис. 1. Построение канторова множества. размерность d = dimA, 0 d 2, если при..

d число клеток N( ) растет как C/, где C – некоторая ln 2n ln ---------- = --------.

dim K = lim положительная константа, называемая d-мерой 1- n ln ---n ln множества A. Это означает, что -r r d C = lim N( ).

Для классического канторова множества r = 1/3.

Из полученного равенства видно, что на отрезке существуют фракталы с наперед заданной размерносЗаметим, что размерность d может быть найдена по тью d (0, 1). Вычислим размерность других класформуле сических фракталов.

ln N( ) d = dim A = lim -----------------, (2) 0 ln - Правильный треугольник делим средними линиями на четыре равных треугольника и внутренпоскольку ность центрального выбрасываем. С тремя оставшимися треугольниками делаем то же самое и так C ln ---dln -- + ln C (рис. 2) до бесконечности. После счетного числа d ln N( ) ----------------- = lim ---------- = lim---------------------------- = d. выбрасываний остается множество S, называемое lim 1 1 0 0 салфеткой Серпинского.





ln -- ln -- ln - Формула (2) удобна тем, что не содержит величины d-меры.

Для множеств на числовой оси вместо покрытий квадратными клетками со стороной мы говорим о покрытии отрезками длины. Размерность определяется по формуле (2), в которой N( ) – минимальное число таких отрезков.

В качестве примера найдем размерность кантороРис. 2. Салфетка Серпинского.

ва множества К. Замечаем, что предканторово множество Kn служит покрытием множества K отрезкаВ чем необычность полученной салфетки Воми длины = 3- n, а число таких отрезков N( ) = 2n.

первых, она содержит бесконечную сетку – каркас, Поэтому образованный сторонами всех участвовавших в построении треугольников. Однако кроме этого видиln 2n -------- = 0,630929… d = lim ---------- = ln мого каркаса салфетка S содержит несчетное мноn ln ln 3n жество других точек аналогично тому, как канторово множество К не исчерпывается концами выбрасыМы получили первый фрактал – множество с ваемых интервалов. Во-вторых, салфетка самоподробной размерностью.

добна – она состоит из трех кусков, каждый из которых подобен целому с коэффициентом подобия Канторово множество обладает еще и свойством самоподобия. Действительно, по бокам первого вы- 1/2. “Выколем” точки, в которых эти куски соедиброшенного интервала находятся две его части, по- няются, – середины сторон исходного треугольнидобные целому канторову множеству с коэффициен- ка. Тогда салфетка распадется на три салфетки меньшего размера. С ними проделаем то же самое.

том подобия 1/3. Аналогичным свойством обладает Что станет с салфеткой, если этот процесс продолкаждая из этих частей в отдельности.

жить до бесконечности, выколов всего лишь счетное Найдем теперь размерность обобщенного канторомножество точек Салфетка полностью рассыпется! ва множества, которое определяется следующим образом. Дано число r, 0 < r < 1/2. Из отрезка K0 = [0, 1] Чтобы лучше понять эти и другие свойства салвыбросим интервал длины 1 - 2r с центром в точке фетки, рассмотрим процесс ее построения более 1/2. Получаем замкнутое множество K1, состоящее подробно. Пусть S0 – исходный правильный треиз двух отрезков с длиной r. К каждому из них при- угольник со стороной 1. Средние линии делят его на меняем ту же процедуру: выбрасываем средний ин- четыре равных треугольника, после выбрасывания тервал с длиной r(1 - 2r). На n-м шаге получаем внутренности центрального из них получим мномножество Kn, состоящее из 2n отрезков с длиной rn жество S1, состоящее из трех треугольников со у каждого. Само обобщенное канторово множество стороной 1/2. На следующем шаге ту же операцию определяется как пересечение всех Kn. Тогда по осуществим для каждого из этих трех треугольформуле (2) ников и т.д. В результате возникает убывающая, ‹12, последовательность замкнутых множеств Sn, и сал- где N( ) – число звеньев. При этом говорят, что крифетка S есть их пересечение. Множество Sn состоит вая измерена циркулем с раствором. Если кривая из 3n правильных треугольников, стороны которых имеет конечную длину L, то имеют длину 1/2n и принадлежат S по построению lim L( ) = L (они образуют часть каркаса). Легко видеть, что при n сумма периметров треугольников, входяи число звеньев N( ) растет как L/ при 0.

щих в Sn, стремится к бесконечности, а сумма их При этом площадей – к нулю. Поэтому общая длина каркаса бесконечна, площадь же салфетки равна нулю.

L ln --Для вычисления размерности S будем делить ln N( ) ----------------- = lim --------- = 1 = размерность кривой.

плоскость не на квадратные клетки, а на ячейки в lim 0 0 ln -форме правильных треугольников со стороной.

ln - Тогда множество Sn будет покрытием S и при этом = (1/2)n, N( ) = 3n. Поэтому Для кривой бесконечной длины число звеньев N( ) - растет, очевидно, быстрее при 0. Поэтому --------.

dim S = ln хаусдорфова размерность, определяемая как предел lnln N( ) Ковер Серпинского строится аналогично. Пусть -----------------, d = lim a F0 – единичный квадрат; разобьем его на девять ln - одинаковых квадратов со стороной 1/3 и выбросим внутренность центрального квадрата. Через F1 обоможет оказаться больше единицы: d > 1. В этом значим оставшиеся восемь квадратов. Затем повтослучае кривая называется фрактальной.

ряем эту операцию с квадратами из F1 (рис. 3). На Примером фрактальной кривой в природе служит линия морского берега. Береговая линия обычно сильно изломана, и картографам давно известен эффект существенного увеличения длины морского берега при его измерении в более точном масштабе.

Например, по данным измерений, береговая линия Англии имеет хаусдорфову размерность d = 1,3.

Природные объекты, конечно, не являются фракталами в точном смысле слова. Однако для ассоциированных с ними фракталов можно осуществить точные расчеты, представляющие интерес для практики.

Рис. 3. Ковер Серпинского.

n-м шаге получаем множество Fn, составленное из 8n квадратов со стороной 3- n, Fn Fn - 1, так что плоПроцесс построения начинается с единичного щадь Fn = (8/9)n. Ковер Серпинского F есть пересечеотрезка S0 на плоскости. Разделим его на три равные ние множеств Fn, F = Fn. Очевидно, Fn есть покрычасти и заменим средний интервал двумя связаннытие ковра F квадратиками числом N( ) = 8n и со ми отрезками длины 1/3, как это показано на рис. 4.

сторонами = 3- n. Отсюда В результате образуется ломаная S1, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге та lnже операция применяется к каждому из этих четыdim F = --------.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.