WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
FROM PERTURBATION ОТ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ THEORY К АСИМПТОТОЛОГИИ TO ASYMPTOTOLOGY L. I. MANEVITCH..

‚ -, Asymptotical approach „‰ ‚ ·.

which emerged initially in celestial mechanics as a means of refinement of the planetary orbits has Термин “асимптота” (asymptotos – по-гречески – transformed, within two не совпадающий) связан с наглядным геометричесcenturies, into universal ким представлением о линии, к которой неограниченно приближается, никогда с ней не совпадая, technique for solving of некоторая кривая. В естествознании идея асимптоphysical problems. Today, тического приближения явилась итогом длительноthis approach is the basis го развития теории возмущений планетных орбит, и долгое время казалось, что она имеет отношение of a methodological prinлишь к небесной механике. В действительности, ciple which facilitates как теперь ясно, эта идея – одна из наиболее важdevelopment of physical ных и глубоких в математике, особенно в той ее части, которая тесно соприкасается с физикой. И дело intuition, formation of new не только в том, что асимптотический подход оказалconcepts and revealing ся весьма эффективным при решении уравнений, the relationship between описывающих те или иные физические процессы.

Еще более важна его роль как методологического theories of different levels.

принципа, открывающего путь к углубленному пониманию и декомпозиции сложных систем, спо ‰, собствующего развитию физической интуиции, формированию новых понятий и выявлению и傇‡ ‚рархических связей между физическими теориями ‚ · ‡различного уровня… Именно в таком контексте ‡ ‰‚ американский математик М. Крускал предложил ключевое слово “асимптотология”, утверждая этим fl ‡ ·, универсальность асимптотических явлений, воз‡ ‰‚‡ ‚‡ можность рассматривать их с единой точки зрения, ‡‚‡fl ‚ в какой бы форме и в какой бы области естествозна‚‡ ‰‰ ния они ни наблюдались.

Двадцатый век показал, что введение таких п‡. ‰ нятий, как теория колебаний, теория катастроф, синергетика, кибернетика, наконец асимптото‚ ‚ ‰„логия, являющихся по сути своей междисципли„ ‡, ·нарными, играет мощную стимулирующую роль, ‚„ ‚‡поскольку развивает и синтезирует интуитивные представления, зачастую имеющие своими источ никами весьма далекие один от другого по своему ‚ fl, содержанию разделы науки.

‚fl‚ ‡Как же исторически возникла потребность в ‚fl ‰ асимптотических приближениях Почему эта поfl ‡„ ‚fl.

требность оказалась столь универсальной Каковы основные идеи и специфика асимптотологии Мы попытаемся ответить на эти вопросы, кратко остановившись на истоках и типичных приложениях асимптотического подхода.

.. © ‡‚.., 1. жаемой линии с очень малой амплитудой, причем свойства этих колебаний зависят от периодических Уже в исторически первой области теоретичесвозмущений.” И величины поправок к решению закой физики – небесной механике – точное решедачи двух тел, и характерные времена их изменения ние уравнений движения оказалось возможным определяются величинами присущих рассматривалишь в простейшем случае задачи двух тел (Земля – емой задаче малых параметров, которые характериЛуна, Солнце – планета). “Расщепление” Солнечзуют отношения масс планет и Солнца. Конечно, ной системы на независимые пары небесных тел хотелось иметь возможность последовательного обеспечивало описание главных закономерностей уточнения, чтобы решение можно было предстаих движения на основе ньютоновских аксиом мехавить сходящимися рядами по таким параметрам.

ники и закона всемирного тяготения. Но в то же Однако какого-либо строгого обоснования теория время обнаружились и некоторые несоответствия возмущений не имела, а попытка получить решение при сопоставлении с астрономическими наблюдев более высоких приближениях наталкивалась на ниями. П.С. Лаплас – один из создателей теории принципиальную трудность – появление так назывозмущений планетных орбит – писал: “Если бы ваемых “малых знаменателей”, которые как бы увепланеты подчинялись только действию Солнца, то личивали “вес” поправок, содержащих множителяописывали бы вокруг него эллиптические орбиты, ми малые параметры, и разрушали надежду на но они влияют одна на другую, а также и на само сходимость. Такая ситуация представлялась параСолнце. Из-за этих взаимных притяжений происдоксальной: с одной стороны, отбрасывание слагаходят возмущения и в эллиптических орбитах. Эти емых с малым параметром в более высоких степенях возмущения необходимо определить. Точное решестановилось неоправданным, а с другой, и без их ние этой проблемы превосходит существующие в учета достигалось разумное соответствие с резульнастоящее время возможности анализа. К счастью, татами астрономических наблюдений.

малость масс планет по сравнению с массой СолнЛишь в последней трети девятнадцатого века ца, небольшие эксцентриситеты и взаимные наклоА. Пуанкаре и А.М. Ляпунов получили строгие рены большинства из орбит сильно облегчают задазультаты относительно сходимости, развивая одну чу.” Попытки найти наиболее естественные и из модификаций теории возмущений – метод малоэффективные способы учета малых отклонений от го параметра, не предполагающий разделения перерешения задачи двух тел и привели, в конечном счеменных на быстрые и медленные, но применимый те, к разработке теории возмущений. Таким обралишь к отысканию периодических режимов (возом, сам этот метод был вызван к жизни насущной прос о том, какие значения малого параметра обеснеобходимостью ответа на вопросы, поставленные печивают сходимость разложения, при этом остаименно небесной механикой.



вался открытым). В то же время Пуанкаре сделал очень важный шаг, проливающий свет на отмеченВначале применялась самая простая с идейной ный выше парадокс. Он впервые понял, что разложеточки зрения, хотя и громоздкая техника: вычисления по малым параметрам, используемые в астрононие приращений координат и скоростей планет из мии, не обязательно должны сходиться. Они могут дифференциалов за малые последовательные инпредставлять собой объекты особой природы – тервалы времени. При этом предсказания получаеасимптотические ряды. Несмотря на расходимость, мых астрономических таблиц оказывались достотакие ряды в некотором смысле хорошо приближают верными лишь для малых времен прогнозирования искомые функции. Если сходящийся ряд представи, главное, не достигалось более глубокое понималяет функцию при x = x0, n (n – число членов ние закономерностей, присущих рассматриваемым ряда), то асимптотический – при n = n0, x x0.

динамическим системам. Дальнейший прогресс Тем самым, впервые в математике возникла ситуа(Клеро, Лагранж, Лаплас) во многом был обусловция, когда абсолютная точность недостижима даже лен изменением точки зрения. Предлагалось слев принципе: в каждой конкретной системе малый дить прежде всего не за локальными, а за глобальпараметр имеет вполне определенное, конечное знаными параметрами, которые в предельном случае чение. Сама мысль, что функция может быть опредезадачи двух тел являются постоянными, но медлена расходящимся асимптотическим рядом, была ленно эволюционируют при наличии возмущений.

совершенно чужда сознанию девятнадцатого века.

В таком случае удается ввести медленные и быстрые Тем не менее, хорошие приближения, как оказалось, переменные, причем усреднение по быстрым передостигаются при небольшом числе членов и достаменным оказывается естественным первым шагом точной малости параметра разложения, хотя с увелипри решении проблемы. Лаплас писал: “Самый чением числа учитываемых членов точность аппрокпростой способ анализа различных возмущений засимации (из-за расходимости!) ухудшается (рис. 1).

ключается в том, чтобы вообразить себе планету, движущуюся в согласии с законами эллиптического Даже выдающимся математикам XX века казадвижения по эллипсу, элементы которого плавно лось, что работа Пуанкаре лишь уничтожает давнишизменяются, и одновременно представить себе, что ние иллюзии астрономов и надежду на обоснованастоящая планета колеблется вокруг этой вообра- ние их результатов, однако уже через несколько лет, ‹9, дого тела или слоя жидкости, отношение вязкости б an жидкости к ее инерционной характеристике, отношение расстояния между атомами к характерной длине волны в кристалле (некоторые другие примеа ры будут приведены ниже). Было осознано, что наan личие того или иного малого параметра есть, как правило, важнейшая предпосылка успешного анализа физической проблемы. Резкое расширение сферы применения асимптотической методологии, ее выход за рамки небесной механики привели к разработке новых схем реализации асимптотичесn 1 n 0 1 2 3 4...

0 2 3 4...

кого подхода с использованием зачастую далеко не очевидных параметров разложения.

Рис. 1. а – Поведение членов сходящегося ряда Через полвека после метода малого параметра при фиксированном x и n (при больших n Пуанкаре–Ляпунова получила наконец строгое члены ряда убывают); б – поведение членов асимптотического ряда при фиксированном x и n, обоснование схема усреднения (Н.М. Крылов, наилучшее приближение достигается, если ограН.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский), незадолго ничиться пятью членами ряда, при дальнейшем до этого “перенесенная” Б. Ван-дер-Полем из неросте n члены ряда возрастают.

бесной механики в теорию колебаний. Уже в последние десятилетия эта схема была обобщена на стало ясно, что речь идет о совершенно новом, вы- широкий класс континуальных систем, описываесокоэффективном математическом аппарате. При- мых уравнениями с частными производными. Осоложения этого аппарата в течение длительного вре- бое место в ряду асимптотических методов заняла темени касались лишь небесной механики. Такое ория сингулярных возмущений, имеющая дело с положение имело веские основания. Дело в том, что уравнениями, которые содержат малый параметр в коэффициентах при старших производных (А.Н. Тиосновное внимание в физике XIX века уделялось точно решаемым проблемам акустики, гидродина- хонов, В.П. Маслов). Совершенно новые представления обогатили асимптотический подход в теории мики, теории упругости, оптики. В этих проблемах, Колмогорова–Арнольда–Мозера и теории реноркак правило, оказывалось достаточно линейного мализационной группы (ренормгруппы). Старые и приближения, то есть исходные уравнения либо линовые асимптотические идеи охватили едва ли не неаризовались (отбрасывались нелинейные члены – всю современную физику. И эта их универсальность гидродинамика, теория упругости), либо изначальимеет глубокий смысл, на чем следует остановиться но были линейными (оптика). Фактически такие подробнее.

точно решаемые проблемы играют в физике ту же роль, что задача двух тел в небесной механике. Но в отличие от последней, где важность поправок к эл2. липтическим движениям с самого начала была очеПочти любая физическая теория, сформулировидной, здесь учет нелинейных эффектов долгое ванная в общем виде, очень сложна с математичесвремя был невостребованным. Развитие физики кой точки зрения. Поэтому и при создании теории, твердого тела, теории колебаний, гидродинамики, и в дальнейшем ее развитии особое значение имеют теории упругости, радиоэлектроники, теории плазпростейшие предельные случаи, допускающие анамы, оптики, электродинамики, общей теории отнолитические решение. В этих предельных случаях сительности в XX веке показало принципиальную обычно уменьшается число уравнений, понижается недостаточность линейного приближения к опиих порядок, становится возможным переход от диссанию нашего мира. Стало ясно, что даже малые кретной системы к сплошной среде или от неодноотклонения от линейности могут привести к качеродной среды к однородной, процесс локализован ственно новым эффектам (тепловое расширение вблизи границы рассматриваемой области, нелитвердых тел, автоколебания, срыв вынужденных нейные уравнения заменяются линейными и т.п.





колебаний, неустойчивости в жидкостях, твердых телах, плазме), причем линейная теория должна выНо за всеми этими идеализациями, сколь бы разступать как первое приближение в рамках теории личными они ни казались, стоит высокая степень возмущений. Оказалось, что и в сложных линейных симметрии, присущая математической модели расзадачах (а с открытием изначально линейной квансматриваемого явления в предельной ситуации.

товой механики такие задачи стали гораздо более Асимптотический подход к сложной, “нерешаемой” разнообразными) асимптотический подход являет- задаче состоит, по сути, в трактовке исходной (недося зачастую наиболее эффективным средством ана- статочно симметричной) системы как близкой к нелиза. При этом в роли малых параметров выступают которой симметричной. Принципиально важно, что такие величины, как относительная толщина твер- определение поправок, учитывающих отклонения.. от предельного случая, гораздо проще, чем непо- уже отмечали, при помощи метода усреднения.

средственное исследование исходной системы. Принципиальный вклад в понимание и разрешение возникающих здесь трудностей внесла теория КолНа первый взгляд, возможности такого подхода могорова–Арнольда–Мозера (КАМ-теория), котоограничены узким диапазоном изменения параметрая впервые прояснила характер усложнений в поров системы. Однако опыт исследования различных ведении возмущенной системы, вытекающих из физических задач показывает, что при значительсуществования малых знаменателей.

ном изменении параметров системы и удалении ее от одного предельного симметричного случая, как Если же рассматриваемая система состоит из правило, существует другая предельная система, чамножества однотипных элементов, то асимптотисто с менее очевидной симметрией, и возмущенное ческий подход связан уже не с редукцией размернорешение можно строить уже для нее. Это позволяет сти, а, напротив, с ее повышением. Так мы прихоописать поведение системы во всем диапазоне издим к весьма важному классу физических моделей, менения параметров, опираясь на небольшое число в которых дискретные системы заменяются контипредельных случаев.

нуальными (непрерывными). Малый параметр возТакой подход, в максимальной степени соответ- никает, если, например, характерный пространстствуя физической интуиции и способствуя ее разви- венный масштаб процесса существенно превышает тию, в то же время приводит к формированию новых расстояние между однотипными элементами. Стефизических понятий. Так, важное в гидромеханике пеней свободы при этом становится больше (вместо понятие пограничного слоя имеет ярко выражен- счетного множества – континуум), но это усложненый асимптотический характер и связано с локали- ние компенсируется более высокой степенью симзацией у границ обтекаемого тела той области, где метрии уравнений движения сплошной среды.

влиянием вязкости жидкости пренебречь нельзя.

Рассмотрим для примера продольные колебания Аналогичные явления в механике деформированцепочки, состоящей из равных масс m, соединенного твердого тела и теории электричества называных пружинами одинаковой длины l и жесткости с.

ются соответственно краевыми и скин-эффектами.

При плавной пространственной форме колебаний Подобные примеры далеко не единичны.

возникает малый параметр = l/L, где L – характерНе менее важен и другой аспект. А. Эйнштейн ная длина волны. Если 1, цепочка заменяется отмечал, что “лучший жребий физической теории – сплошным стержнем, а поправки к решению, соотпослужить основой для более общей теории, оставетствующему этой предельной системе, могут ваясь в ней предельным случаем”. Выявление соотбыть найдены при помощи одной из модификаветствия между сменяющими друг друга физичесций асимптотического метода. С уменьшением кими теориями и оценка области применимости пространственного периода колебаний растет по“старой” теории – тоже в ряду возможных прилогрешность приближенных решений, полученных жений асимптотического подхода.

таким путем, но тогда в системе возникает другой малый параметр. Действительно, рассмотрим пре3. дельный случай, соответствующий минимальной длине волны (пилообразная форма колебаний). Такой форме может быть сопоставлена непрерывная модулирующая функция, принимающая постоян ‡, ное значение (рис. 2). Для волн, близких по длине ‡‡fl „„‡fl предельной, модуляция уже не будет описываться Высокий порядок алгебраических или диффепостоянной по пространственной координате функренциальных уравнений, большое число таких цией, но ее изменение будет плавным. Тогда в качеуравнений – все это проявление одной из принцистве малого параметра можно принять отношение пиальных трудностей, возникающих при решении расстояния между массами к характерному периоду физических задач, которую называют иногда “промодуляции.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.