WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
WHAT IS “FINANCIAL ЧТО ТАКОЕ ФИНАНСОВАЯ MATHEMATICS” МАТЕМАТИКА S. I. SPIVAK..

The problems of finance ‡ „‰‡‚ ‚, ‡ and actuarial mathematics are discussed – the mathematical analysis of Ничем не рискуя, ничего не заработаешь.

financial risk. Examples (Английская пословица) of insurance practice are В последние годы в нашей стране значительные изменения произошли в сфере приложений матеgiven.

матики. Если раньше развитие прикладной математики в решающей степени стимулировало задачи ·‰‡fl · естественных наук и связанных с ними отраслей промышленности (что в значительной степени я⇂ ‡‡но или неявно определялось военно-промышлен ‡‡ – ‡ным комплексом), то сегодня трудности в этих об‡ ‡‡ ластях заставили математиков активно искать новые сферы приложения своих знаний.

‡‚„ ‡. ‚Социально-экономические причины перенесли ‰flfl ‡интересы, во всяком случае специалистов по при‚ ‡.

кладной математике, на новые области, которые практически не были известны в нашей стране до начала 90-х годов. Активное развитие банковской, страховой, инвестиционной деятельности поставило необходимость привлечения в эти области специалистов совершенно нового для нашей страны типа. Одной из новых для нашей страны областей оказалась финансовая математика.

Первая компания по страхованию жизни, действующая на научных принципах, была организована в Лондоне в 1762 году (Справедливое Общество Страхования Жизни). Секретарю этой компании, который регистрировал собрания руководства, а также выписывал полисы страхователям, было дано название актуарий (англ. actuary, лат. actuarius – скорописец, счетовод). В 1775 году на этот пост был назначен математик. Он был ответствен за вычисление приемлемых ставок страховых взносов и обеспечивал надежность финансовых операций компании. С тех пор название актуарий стало все шире употребляться для тех, кто выполнял эту финансовую и математическую работу.

Область математики, которая занимается математическими проблемами финансов, называется актуарная математика. Процитируем Правительственного Актуария Великобритании К. Дэйкина [1]:

Актуарий – это человек, который обладает определенной квалификацией для оценки рисков и вероятностей и который применяет свои умения к проблемам бизнеса и финансов, особенно к таким областям деятельности, как страхование и демография, связанных со случайными событиями.

.. © ‚‡.., Из этого определения ясно, что актуарий должен Купив за p рублей страховой полис, застраховансочетать в себе достаточно серьезную математичес- ный избавил себя от риска финансовых потерь, свякую квалификацию с квалификацией в области биз- занных с неопределенностью момента смерти. Этот неса – экономической и юридической. Вместе с со- риск приняла на себя страховая компания. Для ответствующими экономическими и юридическими страховой компании риск, связанный с этим челодисциплинами актуарная математика образует ак- веком, заключается в случайности иска, который туарную науку, которая, в свою очередь, является может быть ей предъявлен: если застрахованный не теоретической основой актуарной деятельности. умирает в течение года, то иск равен 0; если он умиАктуарий на Западе сегодня – это профессия, спе- рает, то иск равен b.

циалистов по которой готовят на факультетах приВажнейшим обстоятельством, которое играет кладной математики университетов.

решающую роль в дальнейшем исследовании, являВ современном понимании актуарий – это экс- ется тот факт, что иск является случайной величиперт в математике страхования [2, 3]. При этом ной. Распределение имеет вид страхование (и соответствующая ему математика) px, если i = 0, не сводится только к страхованию жизни и имуще = P( = i) = (1) i ства. Страхование понимается в более широком qx, если i = b, смысле, а именно, как страхование финансового где P – вероятность, x – возраст застрахованного, а риска в самом широком смысле, что включает, навероятности px и qx = 1 - px означают вероятность топример, игру на рынке ценных бумаг.

го, что человек в возрасте x лет проживет еще по Актуариев сегодня часто называют социальныменьшей мере один год или умрет в течение блими математиками, так как они играют ключевую жайшего года соответственно.

роль в определении стратегии и политики не только В этом месте остановимся, ибо сталкиваемся с страховых компаний, но и пенсионных и других величинами, которые принципиально отражают фондов; правительственные актуарии ответственструктуру исходной информации. Откуда берутся ны за вопросы национального страхования, госувероятности того, что человек в заданном возрасте дарственных пенсионных и других схем.

умрет или останется жить в течение года ЕстестАктуарии традиционно играли главную роль в венно, из анализа информации о возрасте наступлестраховании жизни [4]. Комбинирование моделиния смерти в достаточно представительной выборке руемой смертности и вероятностей выживания с и на достаточно большом временнм периоде. А вот пониманием математики финансов было сердцевичто такое достаточно представительная выборка – ной раннего развития данной профессии.

это уже вопрос специальный. Статистические свойПервые научные работы по страхованию связаства продолжительности жизни совершенно разны с именами Э. Галлея (тот самый, имя которого личны у жителя высокоразвитой страны Запада и носит комета Галлея) и Де Муавра (достаточно извежителя бедного африканского государства. Среди стный ученый в области теории вероятностей): пержителей одной страны существуют группы людей с вый из них в 1693 году составил первые таблицы разными характеристиками продолжительности смертности и связал с ними величины пожизненжизни. Они зависят от профессии, состояния здоных рент, второй рассмотрел проблему страховых ровья в момент страхования и т.д.



взносов при страховании жизни.

Все эти данные суммируются в специальных Внедрение вероятностной идеологии в страхотаблицах смертности, или, в других терминах, – в вание основано на законе больших чисел, центтаблицах продолжительности жизни. Ясно, что ральной предельной теореме, теории процессов тикомпания должна иметь спектр таблиц продолжипа пуассоновского, иначе говоря, на сведениях, тельности жизни для различных групп населения.

которые есть во всех классических курсах теории Составление таких таблиц, отслеживание динамивероятностей и математической статистики.

ки их изменения также было и остается одной из осРассмотрим некоторые схемы страхования и новных актуарных задач.

проведем их математический анализ [5].

Отметим, что составление и анализ таблиц проПростейший вид страхования жизни заключает- должительности жизни – отнюдь не простая задача.

ся в следующем. Человек платит страховой компа- Первый правительственный актуарий Великобритании p рублей (эта сумма называется страховой преми- нии Джон Финлейсон сделался знаменитым благоей), а компания соглашается выплатить наследникам даря этой деятельности. С 1812 по 1819 год он рабозастрахованного b рублей в случае его смерти в тече- тал над утверждением фонда вдов и сирот для ние года (и не платит ничего, если этот человек не штатских служащих военно-морских сил Великоумрет в течение года). Величина страховой выпла- британии. Наиболее важным вкладом Финлейсона ты, конечно, много больше, чем страховая премия: как актуария в общественную жизнь того времени b p, и нахождение “правильного” соотношения является его работа по таблицам смертности (англимежду ними – одна из важнейших задач актуарной чане употребляют только такую терминологию) для математики. правительственных пожизненных рент. В 1819 году, ‹8, он указал на то, что существующие таблицы прави- ли, что число N неслучайно (достаточно сильное тельственных пожизненных рент были ошибочно сужение ситуации), а случайные величины, …, 1 N описаны на завышенных данных о смертности, что независимы. Поскольку суммарный риск предспособствовало получению дополнительной прибы- ставляет собой сумму независимых случайных вели по страхованию жизни, но было вредно по отно- личин, его распределение может быть подсчитано с шению к продаже рент. Иными словами, Н.В. Гоголь помощью классических теорем и методов теории в “Мертвых душах” описывал не только российскую вероятностей.

действительность. Отличие состояло в том, что Обычно число застрахованных в страховой комФинлейсон был актуарий и в этом качестве он пропании очень велико. Собственно, это является одвел актуарное исследование. Он провел детальные ним из определяющих факторов для компании, и на исследования по смертности людей, получающих страховом рынке идет достаточно жесткая конкуренту, и создал новые таблицы для ренты. Для этой рентная борьба за вкладчиков. Расчет вероятности цели он осуществил более глубокое исследование разорения предполагает расчет функции распредеуровня смертности, основанное на записях с ления суммы большого числа слагаемых. В этом по 1789 год, и, кроме того, информацию относислучае применение ЭВМ может привести к проблетельно самих лиц, получающих ренту. Все это тремам, связанным с малостью вероятностей. Однако бовало огромного труда при отсутствии механичесобстоятельство, затрудняющее точный расчет, отких счетных приспособлений.

крывает возможность быстрого и простого приблиВведем новую случайную величину = p -, ко- женного расчета. Это связано с тем, что при росте N N торая описывает “доход” компании от заключенно го договора страхования. С вероятностью px компа- величина P x часто имеет определенный i ния имеет доход p рублей, а с вероятностью qx i = предел, который можно принять в качестве приблитерпит убыток, равный b - p рублей.

Средний доход компании равен E = p - E = p - qx женного значения искомой вероятности. Мы рассмотрим два вида приближений для вероятности (где E означает математическое ожидание). Эта разорения: приближение Пуассона и нормальное формула позволяет сделать простейшие выводы о (гауссовское) приближение.

величине страховой премии. Ясно, что средний доПриближение Пуассона основано на следующей ход компании должен быть неотрицателен, то есть теореме:

p bqx. Минимально возможное значение p равно p0 = bqx. Оно соответствует нулевой средней прибыПредположим, что индивидуальные иски незавиi ли компании и называется нетто-премией. На са- симы и принимают только значения 0 и 1 с вероятносмом деле реальная плата за страховку должна быть тями p и q соответственно. Допустим, что N, больше нетто-премии, с тем чтобы гарантировать q 0, но Nq имеет конечный положительный предел малую вероятность разорения компании.

Nq. (4) Для страховой компании интерес представляет Тогда общая сумма выплат всем застрахованным. Если эта сумма S меньше или равна капиталу компании u, N S u, то компания успешно выполнит свои обязаP = k ----e–, k = 0, 1, 2, … (5) i тельства. Если же S > u, то компания не сможет опла- k! i = тить все иски; в этом случае мы говорим о разорении компании. Таким образом, вероятность разорения Как распределение Пуассона, так и различные компании – это P(S > u). Соответственно функция его характеристики рассчитаны для многих значераспределения суммарного риска P(S u) – это ве- ний параметров, и полученные данные опубликовароятность неразорения. Расчет этих вероятностей ны в виде таблиц. Для приложений к страхованию представляет фундаментальный интерес для компа- особенно важны квантили. Квантиль уровня a – это нии и служит основой для принятия важнейших ре- наименьшее число xa такое, что P( xa) a.





шений.

Рассмотрим пример. Пусть компания выплачиОчевидно, вает сумму b = 1 в случае смерти застрахованного в течение года и не платит ничего, если этот человек N доживет до конца года. Предположим, что на этих S =, (2) i условиях в компании застраховано 3000 человек в i = возрасте x = 38 лет. Из некоторых таблиц смертности следует q38 = 0,002984 (из каждых 1000 челоN век, доживших до 38 лет, до 39 доживает примерR = P > u, (3) i но на 3 человека меньше). Тогда Nq 9.

i = Зададимся каким-то уровнем, в пределах которогде N – общее число застрахованных, а – инди- го мы допускаем возможность разорения. Пусть этот видуальный иск от i-го человека. Мы предположи- уровень 5%, то есть мы хотим, чтобы вероятность.. SN – ESN u – ESN разорения была не больше 5%. В соответствующих P(SN u) = P ------------------------ ------------------------ = таблицах распределения Пуассона мы находим (VarSN)0,5 (VarSN)0,строчку, соответствующую = 14 и P( x95%).

SN – ESN – 9 u – u Получаем x95% = 14. Это означает, что плата за стра = P ------------------------ ----------- -----------, ховку для каждого застрахованного должна быть (VarSN)0,5 3 14/N 0,0047 (от величины страхового пособия).

где Ф определено формулой (7).

Если страховое пособие b = 250000 рублей, то реальная плата за страховку составляет p = bx95% /N Если мы хотим, чтобы вероятность разорения 1167 рублей. Нетто-премия, как следует из сказан- была не более 5%, величина (u - 9)/3 должна быть ного выше, равна p0 = E = bq38 = 750 рублей.

равной x95% = 1,645 (из таблиц), то есть u = 3 1,645 + + 9 = 13,935. Соответственно, плата за одну страховРазность p - p0 называется страховой надбавкой, ку должна быть p = u/N 0,004645, то есть в абсоили надбавкой за безопасность, а (p - p0)/p0 называетлютных величинах около 1161 рублей. Сравнивая ся относительной страховой надбавкой, или относиэту сумму с суммой, полученной с помощью пуастельной надбавкой за безопасность и обозначается.

соновского приближения (1167 рублей), мы видим, В нашем примере = 55,6%. Страховая надбавка что различие незначительно ( 0,5%).

обеспечивает защиту компании от разорения по Однако гауссово приближение удобно тем, что причине случайных флуктуаций индивидуальных позволяет получить для премии p аналитическую рисков вокруг их среднего значения p0.

формулу, в которую явно входит нетто-премия. Например, если в компании застраховано N человек и Общая формула для платы за страховку, таким для каждого из них иск имеет одно и то же среднее a образом, имеет вид (которое мы принимаем в качестве нетто-премии p = (1+ )p0. (6) p0) и дисперсию, то вероятность неразорения дается формулой Другим приближением, которое является значительно более общим, является приближение Гаусса.

SN – Na – Na p – pNp P(SN Np) = P ------------------ -------------------- (N)0,5--------------.

Гауссово приближение основано на центральной (N)0,5 (N)0,5 предельной теореме, в простейшей формулировке утверждающей следующее: Если мы хотим, чтобы вероятность неразорения компании была в пределах a, то если случайные величины,..., независимы и 1 N одинаково распределены со средним a и дисперсией, p – p0 xa xa = (N)0,5-------------- или p = p0 + -------------.

то при N функция распределения центриро (N)0,ванной и нормированной суммы Соответственно относительная страховая надбавка N xa – na i = -------------------. (9) SN – ESN i = p0(N)0,SN = ----------------------- = ----------------------- (n)0,5 (VarSN)0,Столь подробный анализ конкретной задачи мы провели для того, чтобы хотя бы в малой степени имеет предел, равный показать, с какими проблемами сталкиваются матеx матики, занимающиеся анализом страхования.

(x) = --------------- e–t 2dt. (7) Главный вопрос: как связаны между собой сумма, (2 )0,5 – которую платит индивидуум, и сумма, которая возвращается ему в страховом случае Чем рискует инЕсли число слагаемых велико (обычно достаточдивидуум и чем рискует компания, занимающаяся но, чтобы N имело порядок несколько десятков), а страхованием И как сделать это риск разумным слагаемые не очень малы, то применимо гауссово При этом еще есть орган, который стоит над приближение для компаниями. В разных странах эта структура называется по-разному. Например, в Великобритании S – ES P --------------------- < x. (8) это служба называется Службой Правительствен (VarS)0,ного Актуария [1]. Одна из главных задач этой службы – выбор системы требований и условий, котоВернемся к примеру. Используя известные в терым должна удовлетворять страховая компания с ории вероятностей формулы для математического точки зрения минимизации вероятности ее разореожидания и дисперсии, получим ния, в первую очередь по причине ее ответственности перед вкладчиками. В момент разорения МММ ESN = NE = 3000 0,003 = 9, в нашей печати активно обсуждался вопрос, несет VarSN = NVar = 3000 0,003 0,997 9, или нет какую-нибудь ответственность государство, ‹8, перед вкладчиками. Причем общественное мнение было отнюдь не на стороне вкладчиков: сами вино1. Дэйкин К. Введение в актуарную профессию. Кемерово: Кузбассвузиздат, 1994.

ваты, поверили жуликам. Это абсолютно непра2. Ширяев А.Н. // Обозрение прикладной и промышвильная позиция. Государственные структуры, выленной математики. 1994. Т. 1. С. 684.

дающие компаниям лицензии на право работы с 3. Ширяев А.Н. // Обозрение прикладной и промышценными бумагами, должны выработать некоторую ленной математики. 1994. Т. 1. С. 780.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.