WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
THE MATHEMATICAL МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ PROBLEMS OF FRACTURE МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ MECHANICS..

N. F. MOROZOV ‡-·„ „‰‡‚ ‚ The problems of high and superhigh rate loading are discussed. A new criteКорни науки о прочности теряются в глубине rion of fracture is proвеков. Висячие сады в древнем Вавилоне, пирамида posed and a method of Хеопса, величественные сооружения античной Греции и Рима свидетельствуют, что неизвестные нам calculation of the necesспециалисты знали секреты науки о прочности. Во sary parameters is preвремена средневековья Галилео Галилей был перsented. The results are вым, кто обратил внимание на дефекты как на первопричины разрушения. Однако ученые более поздused for solving two него времени – Кулон, Мариотт, Мор и другие – applied problems, erosion рассматривали разрушение как спонтанный акт, не and disintegration. The анализируя вопросы структуры, и по существу следующий шаг был сделан только в 1920 году в работах phenomenon of loss of А. Гриффитса, когда он [1] ввел понятие поверхноresistance of a medium is стной энергии разрушения П, пропорциональной explained. The existence площади вновь образовавшихся поверхностей, и решал вопрос о распространении трещины, составof fracture solitons theoляя уравнения энергетического баланса1 rem is proved.

U + П = A. (1) Здесь U – разность упругих энергий в первом и ‡‡‚‡fl втором положениях (рис. 1), A – дополнительная · ·„ работа внешних сил при переходе из первого поло‚·„ ‡„- жения во второе, П = 2, – удельная поверхностная энергия; в случае трещины U и A.

fl. ‚‰fl ‚ Подставляя найденные A, U и П в соотношение ‡fl (1), получаем критическое значение внешней на‰‡„‡fl ‰ ‰fl грузки p. В 1957 году Дж. Ирвин [2] воспользовался асимптотическими формулами Снеддона для на‰fl ·‰пряжений в окрестности вершины трещины ‡‡‚. K ‡ ‡„‡fl = ------ f ( ), (2) ij ij r ‡‰ ·: ‰„‡. ‡ ‰‡fl ‡ ·fl aa + ‡‡ ‚fl ‰. ‡‚‡fl ‚‚‡ ‡ ‡Рис. 1. Сравнение двух трещин длины a и длины a +.

fl.

Здесь и дальше для простоты будем рассматривать только модельные задачи.

.. © ‚.., подсчитал A и U и в силу соотношения Гриффит- бльшие трудности при применении теории Грифса (1) получил простое и наглядное условие нерас- фитса–Ирвина возникают в задачах о динамическом пространения трещины быстром и сверхбыстром нагружении. Большинство ученых – экспериментаторов и теоретиков – наK < Kc. (3) деялись, что при динамическом нагружении можно будет пользоваться критерием типа I. K(t) < Kd, Теория Гриффитса–Ирвина является в настоягде Kd – так же как Kc, параметр материала. Однако щее время основой для всех расчетов на трещиностойкость в инженерном деле. Существенно, что K c эти надежды не осуществились. Приведем несколько разъясняющих примеров.

является постоянной, присущей данному материа1. Прежде всего рассмотрим мысленный экспелу, его параметром, как модуль Юнга, коэффициент римент Г.П. Черепанова (1974 год) [4]. АнализируПуассона, теплоемкость и т.д. Однако в последние 20 – 30 лет более углубленные и изощренные экспе- ется полубесконечная трещина, к берегам которой рименты обнаружили определенные условия, в ко- внезапно приложена нагрузка p, действующая в теторых теория Гриффитса–Ирвина “работает” не- чение времени T. Коэффициент интенсивности K этой задачи легко вычисляется [4]:

удовлетворительно. В статике это прежде всего образцы и конструкции с угловыми вырезами. Рас4 pcсмотрим (рис. 2) две следующие ситуации: пластина K(t) = ----------------- c2 – c2Re( t – t – T).

1 с прямолинейным разрезом и пластина с вырезом в c1 cвиде лунки, близкой к разрезу. Расчеты по Снеддону дают следующие выражения: Отсюда видно, что, выбрав pT Q, а T 0, получим K(t) Q/ t, и коэффициент интенсивности C(1) I C(2) I I I I I становится как угодно большой величиной при = -------- f ( ) + -------- f ( ), =, (I) ij ij(1) ij(2) 1 I I произвольно малом импульсе Q.

r 1 r 2. Приведем основополагающие опыты РавиC(1) II C(2) II Чандара и Кнаусса [5] из Калифорнийского техноII II II II = -------- f ( ) + -------- f ( ), <, (II) ij ij(1) ij(2) 1 II II логического института (1984 год). Взяв пластину r 1 r из Гомалита-100, экспериментаторы нагружали берега трещины и фиксировали нагрузку. В момент а анализ по Гриффитсу–Ирвину демонстрирует сустарта трещины t* измеряли коэффициент интенщественное расхождение ситуаций (I) и (II), что сивности Kd (рис. 3). Верхняя кривая на рис. 3 убепротиворечит здравому смыслу.

дительно демонстрирует, что Kd не есть постоянная материала, какой является Kc, и лишь при большом времени до разрушения выходит на статическую асимптотику Kc.

Kd 2 – Рис. 2. Сравнение трещины и тонкой лунки.

Kc Теоретическое обоснование ситуации с угловым вырезом проведено в работах В.Г. Мазьи, С.А. НазаШ рова и автора этих строк [3]. Авторами показано (1989 год), что в случае углового выреза 2 -, сравнивая две ситуации (см. рис. 1), получаем П, но ---------------2 – 0 t (A – U), и, следовательно, метод Гриффитса–Ирвина полуРис. 3. График экспериментов по динамическому чения критической нагрузки не “работает”. Еще разрушению.

, ‹8, P – K 3. Существенными для понимания процесса ди- внешних нагрузок, совпадающие с критическими намического разрушения явились опыты Шоки и значениями по теории Гриффитса–Ирвина. Выбор др. (Стенфорд, 1986 год) [6] по определению функ- осуществляется по-разному для бездефектного ции минимальной амплитуды: нагрузку на трещину материала и для задач с трещинами. Для бездефектдержали фиксированное время T, постепенно повы- ного материала мы считаем по формуле шая уровень (амплитуду) нагружения. Определяли d минимальное пороговое значение амплитуды, при = --, c которой впервые при заданном времени происходит разрушение. Затем время нагружения меняли.



где c – максимальная скорость распространения В результате получили функцию p = pmin(T), характеупругих волн. Так, выбранное хорошо согласуется ризующую процесс разрушения. Если измерять кос результатами экспериментов по отколу Р.Б. Броэффициент интенсивности напряжений в момент берга (Ирландия) [9], а также Златина и Пугачева разрушения, то получим нижнюю кривую на рис. 3.

(Россия) [7].

4. В качестве заключительного примера укажем В окрестности вершины трещины выбор осущеопыты Н.А. Златина, Г.С. Пугачева и др. [7] (Физиствляется по другому принципу. Кальтхофф, Д. Шоко-технический институт им. А.Ф. Иоффе Акадеки и др. установили экспериментально, что разрушемии наук СССР, Ленинград, 1974 год). Разрушение ние может иметь место, если текущий коэффициент происходит с задержкой t после максимального интенсивности не превышает некоторого критичесуровня напряжения, что также входит в противорекого значения в течение некоторого промежутка K* d чие с традиционными представлениями о критеривремени – инкубационного времени tinc, являющеях разрушения.

гося параметром данного материала. Они опубликоПриведенные примеры, а число их можно суще- вали в виде таблиц результаты экспериментов по ственно увеличить, демонстрируют необходимость определению tinc для основных материалов.

новых подходов к проблеме хрупкого динамическоСледует обратить внимание, что указанные эксго разрушения.

перименты достаточно трудоемки и сложны. Я предВ 1988 году Ю.В. Петров, А.А. Уткин и автор лагаю следующую альтернативную процедуру. Над этих строк [8] предложили новый феноменологичесерией стандартных образцов из выбранного матеский критерий разрушения риала проводим эксперименты по определениюt d p = pmin(T). (6) -- max1 -- (r, t)drdt. (4) I c t d Затем в силу критерия (4) рассчитываем эту же t – функцию p, она будет зависеть еще и от параметра :

Если в какой-то момент t равенство выполняется, p = pmin(T, ). (7) то разрушение может иметь место. Здесь – главI ное напряжение, – прочность на разрыв бездеc Выбираем из условия максимальной близости крифектного образца из данного материала, d – паравых (6) и (7). Можно доказать (см. [10]), что найденметр длины, – параметр времени.

ное так удовлетворяет всем условиям для tinc, то есть Предлагаемый критерий является естественным = tinc.

обобщением статического критерия Нейбера–Новожилова Резюмируя, можно сформулировать следующие положения:

d -- (r)dr I c 1) поведение материалов и конструкций в усло d 0 виях быстрого и сверхбыстрого нагружения не может быть предсказано на основе простой экстрапои критерия критического импульса Никифоровсколяции результатов статических испытаний;

го–Шемякина 2) необходимо проводить специальное тестироt* вание материалов на быстрое нагружение;

I (t)dt Jc.

Заметим, что основной проблемой при проведении эксОчевидно, основная трудность применения крите- периментов является создание в пределах микросекундных промежутков времени очень высоких уровней напрярия в правильном выборе параметров d и. Нами жения. Эта проблема была решена в Санкт-Петербургпредложено вычислять d по формуле ском техническом университете, где под руководством Г.А. Шнеерсона разработан и сконструирован электромагKнитный прибор, обеспечивающий получение на берегах ------c.

d = -- - (5) трещин уровня напряжений порядка 300 МПа за 3 – 4 мкс.

c Это позволяет проводить эксперименты для определеВ силу этого выбора предложенный критерий для ния pmin не только с материалами типа оргстекла, но и с металлами.

простых задач статики дает критические значения.. 3) в качестве определяющих параметров предла- Решая уравнение (8), получаем гаются, d, или в силу (5), Kc, = tinc, причем c c 5mV- 2 и Kc – традиционные параметры, а следует оп c h0(V, R) = -------------, ределять либо по Кальтхоффу, либо по по нашей 4K методике.

(10) 2h0 1 hd t0(V, R) = -------- ---------------------- = 2,94----, V 5 2 V II. 1 – где t0 – полное время контакта. Следуя [13], предпоПроблемы эрозионного разрушения являются лагаем актуальными как для промышленности (защита летательных и космических аппаратов), так и для гло t бальных вопросов мироздания (лунные кратеры и h(t) = h0 sin-----; (11) tт.д.). Проводимые эксперименты позволили определить описанную ниже типичную схему эрозион- подсчитываем в силу [14] максимальное растягиваного разрушения. Схематизируем задачу следую- ющее напряжение щим образом: на упругое полупространство падает 1 – 2 P(t, V, R) абсолютно твердая частица – шарик заданного ра (t, V, R) = --------------------------------------------, zz диуса R. Утверждается:

a2(t, V, R) 1) при скорости V соударения меньше VIcr шарик R- 1 отскакивает без разрушения среды, a(t, V, R) = 3P(t, V, R)(1 – )------. (12) 4E 2) при V > VIcr в среде наблюдается хрупкое разрушение, Если пороговая скорость VI, то в силу критерия 3) при V > VIIcr пластическое разрушение.

(4) в случае известного значение VI может быть Сравним результаты экспериментов Ю.В. Поле- найдено как минимальный положительный корень жаева [11] и Л.И. Урбановича [12] с расчетами, ос- уравнения нованными на критерии (4). Воспользуемся теориt ей удара Герца в изложении [13] (рис. 4).

max (S, V, R)dS – = 0. (13) c Записываем уравнение движения частицы-шаt – рика:

Обратно, если мы знаем VI, то можем из (13) определить.

-------- = –P(t), md h (8) dtУрбанович [12] при исследовании бомбардировки алюминиевого сплава В-95 (E = 73 ГПа, = 0,3;





где = 460 МПа, R = 150 мкм) определил первую криc E тическую скорость VI = 33 м/с, затем, учтя (13), вы-- -.

P(t) = K(R)h3/2(t), K(R) = 4 R------------- (9) числил, оказавшееся равным 0,5 мкс.

1 – Аналогичное значение для tinc было получено Очевидно, что в момент встречи dh/dt = V, а максинами для данного сплава при анализе эксперименмальное внедрение h0 имеет место при dh/dt = 0.

тов Златина–Пугачева [7], и, наконец, простые предварительные вычисления по нашей теории дали значения = 460 МПа, KIc = 37 МПа м, c = 6500 м/с, c 2K2c I -- = d = ----------- 0, 6 мкс, c c c что является достаточно удовлетворительным реV зультатом с двойной проверкой.

III.

Одной из чрезвычайных опасностей, которые подстерегают человечество, является опасность h столкновения Земли с каким-либо внеземным объектом: кометой, большим метеоритом и т.д. В июне 1994 года комета Шумейкеров–Леви столкнулась с Рис. 4. Схема внедрения шаровой частицы в упругую среду. одной из планет Солнечной системы, но теоретически, ‹8, возможно столкновение небесных тел с Землей, по- обладающими изгибной жесткостью стрингерами этому необходимо: (упругими полосами) с насаженными на них материальными точками, которые, в свою очередь, свя1) уметь вычислить траекторию объекта, заны соответствующими вертикальными пружина2) создать оружие уничтожения, ми. Пружины могут рваться и “залечиваться” в 3) дезинтегрировать объект оптимальным обсоответствии с законом, показанным на рис. 6.

разом.

Потенциал энергии такой системы имеет вид Опыт космических стыковок вселяет оптимизм в вопрос о расчете траекторий, и, по-видимому, реU = --{ (yi + 1 – yi)2 + (yi)}, (14) шение проблемы будет зависеть от быстродействия вычислительных машин.

где yi – ординаты i-й материальной точки, а в силу Вторая задача еще ждет решения, но определенвышеуказанного закона определяется по правилу ные идеи обсуждаются; в свое время А.Д. Сахаров предложил использовать для этой цели ядерное r2, r u0, (r) = (15) оружие и продумывал систему защиты Земли от по u2, r > u0.

следствий ядерного удара. Теоретические и практические аспекты этой проблемы были обсуждены на Тогда уравнения движения системы таковы:

нескольких международных конференциях.

{yj + 2 - 4yj + 1 + 6yj - 4yj - 1 + yj - 2} + yj + mj = 0.(16) j К нашей тематике относится третья задача. На основании критерия (4) мы можем рассчитать зада- Здесь = 0, если пружинка порвана, и = 1 в проj j чу о дезинтеграции упругохрупкого шара при посто- тивоположном случае.

янном внешнем нормальном давлении p, внезапно Будем идентифировать трещины с последоваснимаемом. Помимо предположения о справедлительным набором порванных пружинок. Математивости критерия (4), принимаются следующие почески задача ставится следующим образом: докастулаты:

зать при определенном подборе параметров {,, l, 1) если критерий выполняется для r = r0, t = t0, V } существование трещины длины l, движущейся с мы предполагаем, что разрушается слой r0 - d/2 < r < постоянной скоростью V. Сказанное эквивалентно < r0 + d/2, условию 2) мы имеем новый шар 0 < r < r0 - d/2 и сфери1, j – Vt > l, j – Vt < –l, ческий слой r0 + d/2 < r < R, в которых процесс раз = j рушения продолжается, 0, –l < j – Vt < l, 3) окончанием процесса разрушения можно считать ситуацию, когда зоны разрушения покрывают весь шар, однако мы можем рассчитать остановку процесса априори.

IV. В последние годы ученых, занимающихся прочностью, помимо магистральных задач о надежности Рис. 5. Гибридная модель Р. Томсона.

конструкций, интересуют также такие экзотические проблемы, как сверхпластичность, сверхпрово димость, память формы и др.

Одной из таких проблем является феномен потери сопротивления среды. Суть его такова. В 80-е годы московские ученые К.И. Козорезов и Г.Г. Черный при проведении экспериментов по бомбардировке среды частицами обнаружили, что большинство частиц отскакивает от преграды, часть застревает в районе пограничного слоя, но существуют единичные экземпляры, которые проникают в слой на глубину порядка тысячи своих диаметров [15].

Можно дать такую трактовку обнаруженному явлению [16]. Будем рассматривать упругую плосU0 U кость с трещиной. Применим для описания ситуации более простую гибридную модель Р. Томсона Рис. 6. График зависимости силы взаимодейст[17] (рис. 5). Упругая плоскость заменяется двумя вия между точками от растяжения пружины.

.. 3. Maz’ya V.G., Morozov N.F., Nazarov S.A. On the Elastic а искомое стационарное решение Strain Energy Release due to the Variation of the Domain near the Angular Stress Concentrator. Linkoping Universid2 ---y( + 2) – 4y( + 1) + 6 + V2m------- y( ) – ty. S-581. Linkoping, Sweden, 1983. P. 35.

d 4. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.:

Наука, 1974.

-- 4y( – 1) – y( – 2) + ( )-y( ) = 0.

5. Ravi-Chandar K., Knauss W.G. An Experimental Investigation into Dynamic Fracture // Int. J. Fracture. 1984.

Удовлетворяя условиям гладкости V. 25. P. 247 – 262.

y(± l - 0) = y(± l + 0), y'(± l - 0) = y'(± l + 0) 6. Shockey D.A. et al. Short Pulse Fracture Mechanics // J. Eng. Fract. Mech. 1986. V. 23. P. 311 – 319.

и применяя преобразование Фурье, сводим нахож7. Златин Н.А., Пугачев Г.С. и др. Временная зависидение y( ) к проблеме собственных функций для мость прочности металлов // Изв. АН СССР. Физика однородного интегрального уравнения твердого тела. 1975. Т. 17. № 9. С. 2599 – 2602.

+ 8. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Уткин А.А. О разруше-- --y( ) = ------- e–i 16sin4- – нии у вершины трещины // Физико-химическая меха 2 ника материалов. 1988. № 4. С. 75 – 77.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.