WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
NEW SITUATION НОВАЯ СИТУАЦИЯ IN QUANTUM MECHANICS В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ (POSSIBILITIES OF CONTROLLING (о возможностях управления SPECTRA, SCATTERING AND DECAY) спектрами, рассеянием, B. N. ZAKHAR’EV распадами) The recently discovered..

simple rules of potential · ·‰„ ‡ fl‰ transformation, which ‰‚‡, ·‡ ‚ ·.

either shift one chosen energy level or move the Все окружающее нас и мы сами состоим из частиц (или волн), поведение которых определяется bound state in space, are квантовыми законами. Изучение их помогает поdemonstrated. It is shown знать себя и мир, в котором мы живем. Решение how bound states can be проблемы источников энергии уже в значительной мере сейчас, а в будущем практически целиком буcreated or removed. An дет зависеть от взаимодействий в микросистемах analogy with the algoядерного масштаба, где безраздельно правит волноrithms of changing вая механика. Успехи микроэлектроники и ее захватывающее воображение дальнейшее развитие опиparameters of scattering рается на квантовую науку. Таким образом, она же states and algorithms of лежит в основе компьютерных информационных the half-lives of decaying систем, а через них влияет и на решение проблем межчеловеческих коммуникаций в глобальном масstates is drawn.

штабе, что позволит оптимизировать социальный прогресс во всех аспектах нашей жизни (в том числе fl - в науках и прочих видах деятельности).

Границы нашего познания расширяются по экс ‰‡‚ поненциальному закону. Это естественно. И все же ‡‚‡ ошеломляет высказывание о том, что в математике fl ‡за последние 20 лет создано столько же нового, сколько за всю ее многовековую историю. Немалый ‚ ‰fl ‰‚„‡ ·‡вклад внесла в это квантовая электроника, на кото„ ‚fl „ рой основана вычислительная техника. Продолжает ‰fl ‡‚„ обновляться и сама квантовая наука.

fl ‚fl‡Нерелятивистскую квантовую теорию (для скоростей, малых по сравнению со скоростью света) „ flfl ‚‡‚ можно условно разделить на две части: прямую и. ‡‡‡ обратную задачи. Прямая задача состоит в решении, ‡ уравнения Шредингера, определяющего движение частиц под действием сил (при заданных потенциа‰‡ ‚ ‚fl‡ лах). Обратная задача состоит в определении потенflfl циала по спектральным данным (включая характери‡ fl. стики рассеяния) или, что интереснее, в управлении потенциалами с помощью спектральных парамет‚‰fl ‡‡„fl ‡ров (как раз этому и посвящена данная статья).

„‡ fl Как правило, физики знают лишь одну полови‚‚ fl ‡ну квантовой механики – ее прямую задачу, хотя обратная важнее, так как позволяет нам заглянуть в flfl ‚ глубины микромира. Обратная задача появилась с ‡‡‰ fl.

опозданием на четверть века (когда были написаны ее основные уравнения), ее математический аппарат.. © ‡‡‚.., представлялся более сложным). Как подметил в энергетических уровней (существуют уже технолосвое время Л.Д. Фаддеев, обратной задачей в основ- гии перестройки систем в микроэлектронике, кванном занимались математики. Но математикам до- товой оптике, тонких квантовых проводников и статочно доказать теоремы существования, а извле- др.). Будет сказано и о новых возможностях квантокать физическую суть из математических формул – вой теории: каким потенциальным возмущением дело физиков. И только сейчас, благодаря появле- можно устранить из дискретного спектра произнию многочисленных классов точно решаемых мо- вольный уровень, не трогая остальных, или породелей, наступил счастливый момент, когда обрат- дить на заданном месте новый, как сдвигать ная задача позволяет сделать понимание квантовой локализацию отдельных состояний в пространстве механики даже проще, чем в подходе прямой. Этих и на энергетической шкале, как изменять скорости моделей было найдено удивительно много: целые распадов отдельных квазистационарных состояний классы их полных наборов, позволяющих аппрок- (резонансов) и квантовые переходы между дискретсимировать системы (одномерные или с разделяю- ными состояниями, как управлять прозрачностью щимися переменными) с произвольными потенци- квантовых систем, туннелированием.

алами. Теперь об этом можно рассказать доступно, Все это демонстрируется на точных моделях, но наглядно, на поучительных картинках, которые мы качественно верно и в общем случае, так что приобполучили и из которых извлекли качественную теоретаемая интуиция имеет большую предсказательрию в Лаборатории теоретической физики Объединую силу: многие результаты можно предвидеть без ненного института ядерных исследований в Дубне.

формул и компьютеров.

Эта информация должна быть понятна даже школьникам, хотя она не успела еще достаточно распрост раниться среди студентов, аспирантов и даже проПоведение квантовых волн (частиц) управляетфессоров, читающих курсы квантовой механики.

ся уравнением Шредингера (1): оно задает вид волЕсли прямая задача была создана в основном за новой функции (x), квадрат которой определяет рубежом (Планк, Бор, Гайзенберг, Шредингер и вероятность обнаружения частицы в разных точках др.), то фундамент обратной задачи – уравнения х (мы ограничимся для простоты одномерным двиГельфанда–Левитана–Марченко (в одномерном жением одной частицы в поле V(x)). Функция (x) случае) и Л.Д. Фаддеева (в многомерном) – это характеризует все свойства системы. Уравнение (1) вклад отечественной науки. Победить неустойчиотражает факт равенства полной энергии E сумме вость к погрешностям всевозможных обратных закинетической T и потенциальной V энергий. Опедач (ввести понятие о некорректно поставленных ратор же кинетической энергии T = - d2/dx2, дейстзадачах и предложить методы их регуляризации) товующий на (x), представляет собой вторую произже впервые удалось нашим математикам – А.Н. Тиводную, которая, как известно, характеризует хонову и др.



скорость изменения первой производной, то есть Хотя теория обратных задач еще недостаточно силу изгиба (x). Так что можно сказать, что уравнешироко известна, все мы постоянно с ними сталки- ние Шредингера представляет собой аппарат, упваемся. Так, наши глаза решают обратную задачу, равляющий изгибами (x). Чтобы подчеркнуть это, собирая рассеянные лучи и восстанавливая образы мы специально выделим в левую часть этого ураврассматриваемых предметов. Там, где нет подобных нения кинетический член:

устройств, например, в физике ядра и элементар (T –d2 dx2) (x) = (E – V(x)) (x). (1) ных частиц, где микросистемы “освещаются” слишком жесткими ультракоротковолновыми лучами с Из этого уравнения следует, что при положипомощью ускорителей, у нас нет возможности растельной кинетической энергии E > V(x) знак второй сматривать исследуемые объекты. Здесь роль глаз производной определяется знаком (x), а интениграет математический аппарат соответствующих сивность изгиба – модулем правой части (1). То есть обратных задач.

волновая функция изгибается в сторону оси абсКак пример “сверхобратной” задачи можно рас- цисс. Типичным представителем такого решения сматривать установленную современными космо- при V = const является sin(kx) (как и любые его комбинации с cos(kx), exp(ikx), exp(- ikx)), где частота логами связь рассеяния галактик во Вселенной с взаимодействиями элементарных частиц на начальколебаний k = E – V характеризует одновременно ной стадии эволюции (после взрыва): поразительи скорость распространения волн. Поскольку допуная зависимость предельно макроскопических и стимы любые положительные значения частот, микроскопических объектов! имеется непрерывный спектр состояний свободного движения с Е > V.

В данной статье мы ограничимся достижениями нерелятивистской квантовой теории, расскажем об Ограничим движение волн конечным интерваэлементарных “кирпичиках” (спектральных и по- лом, вводя бесконечные потенциальные стенки, тенциальных), из которых строятся квантовые сис- например, в точках х = 0 и х = a (это простейшая темы. Будет пояснено, как можно менять положения модель, на которой легко понять возникновение, ‹7, дискретного спектра квантовой системы). Теперь обращается в нуль). В модельных потенциальных среди решений уравнения Шредингера нужно ото- ямах с бесконечно высокими стенками (рис. 1а – в, брать только те, которые не нарушают физических д – з) спектр чисто дискретный. В яме конечной условий, чтобы волны обращались в нуль там, где глубины (рис. 1г) могут быть и связанные состояния расположены бесконечные потенциальные стенки дискретного спектра и состояния рассеяния непре(дальше их распространение энергетически запре- рывного спектра, когда волны способны уходить на щено). В результате оказываются годными только бесконечность.

функции sin(nx) c целочисленными значениями частот: n = 1, 2, 3, … Это так называемые стоячие вол- ны, отвечающие связанным состояниям с дискретЗнакомство с алгоритмами спектрального упным набором энергетических уровней Е = 1, 4, 9, … равления мы начнем с сопоставления трансформа(см. рис. 1а). Волновые функции квантовых состояций простейших систем с бесконечным числом ний нормируются так (умножаются на такое число), уровней (указанной выше прямоугольной ямы и осчтобы вероятность обнаружить частицу в потенцициллятора) и одним единственным уровнем (знамеальной яме равнялась единице.

нитыми солитонообразными потенциалами).

В случае потенциала, зависящего от x (рис. 1г, Уже из прямой задачи известно, что при сужеж, з), частота колебаний волновой функции больше нии потенциальной ямы все уровни связанных сотам, где больше E - V(x).

стояний поднимаются (это следует, например, из При отрицательной кинетической энергии вол- приведенных выше рассуждений об уровнях прямоновая функция отгибается от оси абсцисс, что соот- угольной ямы).

ветствует решениям, экспоненциально убывающим Но как сдвинуть вниз по энергии первый уровнутрь областей за потенциальными стенками, где вень (основного состояния) прямоугольной ямы на движение запрещено по классической механике рисунке 1а, оставляя все другие уровни на прежних (см. на рис. 1г). Там локальная частота местах Для этого углубим исходную потенциальk = i = E – V колебаний становится мнимой (за ную яму в центре, где волновая функция основноточками поворота, где кинетическая энергия E - V(x) го состояния имеет максимум и где наибольшая V0(x) a бв г x E V0(x) Exx x V(x) Vж де з VEx E1 x V(x) V(x) V(x) Рис. 1. Исходные потенциальные ямы (сплошные темные линии) трансформируются так (красные линии), чтобы сдвинулся лишь один уровень энергии. Невозмущенная бесконечно глубокая прямоугольная яма (а) с волновыми функциями двух нижних состояний. (б – г) Сдвиг одного уровня вниз в прямоугольной и солитонообразной ямах.

(д – з) Сдвиг одного уровня вверх в прямоугольной и осцилляторной ямах; в последнем случае (з) сдвигается 30й уровень. Сравните и объясните формы потенциальных возмущений (б и в), (б и г), (б и д), (в и е), (д и ж).

.. вероятность пребывания волны (частицы) и наи- потенциальной ямы при подъеме основного состобольшая чувствительность основного состояния к яния, представленной на рисунке 1ж, и при сдвиге изменениям потенциала. 30-го состояния на рисунке 1з.

Отдельные ямки и бугорки рассмотренных поНо одно лишь углубление ямы сдвинет все уровтенциальных возмущений и есть их “кирпичики” ни вниз. Чтобы удержать остальные уровни на месили “атомы”, из которых можно построить любую, тах, добавим компенсирующее отталкивание (покак минимум одномерную, квантовую систему.





тенциальные холмики) вблизи стенок ямы, где Так можно приближать форму исходного симфункция основного состояния мала (см. искривлеметричного потенциала к форме другого при посление дна ямы на рисунке 1б). Здесь удается сыграть на разнице форм волновых функций всех других со- довательном совмещении их уровней (см. [1 – 4]).

стояний. Функциональный анализ, который слуУже созданы и продолжают совершенствоваться жит математическим аппаратом квантовой механитехнологии, позволяющие создавать системы с заки, устанавливает простой порядок в казалось бы данными потенциалами (суперрешетки, квантовые невообразимо сложном множестве функций. Кажпроволочки, туннельные микроскопы). Таким обдую из них можно представлять себе одной точкой разом, мы получаем возможность и изучать фунда(вектором) только не в привычном нам трехмерном, ментальные (глубинные) характеристики строения а в бесконечномерном пространстве. В этих простматерии, и изменять их. Наше общество очень нужранствах можно ввести понятие ортогональности дается сейчас в “квантовой пропаганде”, чтобы функций. Оказывается, все функции связанных со- “оценить красоту нашего прекрасного мира, постояний в одной потенциальной яме ортогональны нять, что составляет сейчас главную часть истинной друг другу (представляют собой независимые орты культуры нашей эпохи,... подключиться к этому вебесконечномерного пространства функций, задан- личайшему дерзанию, на которое когда-либо пусных внутри ямы). Поэтому можно подобрать специ- кался человеческий ум” (Р. Фейнман).

альный вид потенциала, сдвигающего избранный уровень и оставляющего бесконечное число других на месте. Теория обратной задачи определяет для каждой заданной глубины сдвига основного уровня Для рассмотренного выше случая потенциалов, соответствующую форму углубления посередине и симметричных относительно их центра и с чисто холмиков по краям. Чем сильнее сдвиг уровня дискретным спектром, положения уровней энергии вниз, тем глубже центральная ямка и выше бокосвязанных состояний полностью определяют форвые холмики.

му потенциала. Для несимметричных потенциалов Теперь читатель может и сам догадаться, как такой полный набор спектральных параметров, как нужно трансформировать плоское дно исходной “пульт управления” с соответствующими кнопками прямоугольной ямы, чтобы опустить один лишь или рычагами, состоит, помимо уровней энергии, второй уровень. Поскольку у стоячей волны второго еще и из весовых констант, по одной для каждого состояния две пучности (см. рис. 1а), нужно тянуть состояния. Они характеризуют поведение волновых второе состояние вниз по энергии двумя потенци- функций на краю области взаимодействия (у бескоальными ямками, а компенсировать их влияние на нечной вертикальной потенциальной стенки или другие уровни тремя холмиками, как показано на при больших значениях координаты х). Оказалось, рисунке 1в. Сдвиг любого другого уровня требует что, изменяя значения именно такого параметра соответствующего числа областей притяжения и для избранного состояния при фиксированных осотталкивания возмущающего потенциала. Те же тальных, можно управлять положением этого соалгоритмы сдвига уровней остаются верными и для стояния в пространстве.

других исходных систем, например, сдвиг единстТак, на рисунке 2а показано, как, меняя наклон венного уровня солитонообразной потенциальной нормированной волновой функции у края ямы (он ямы на рисунке 1г (ср. возмущающие потенциалы и служит здесь весовым фактором), можно прижать на рисунках 1б и 1г).

волновую функцию основного состояния к одной из стенок бесконечной прямоугольной ямы. ДостиТа же логика управления положением уровней гается это трансформацией исходного потенциала:

действует и при их сдвиге вверх. Только теперь (меямкой, притягивающей волну направо, и барьером, няя знак потенциального возмущения) толкать извыдавливающим волну из левой части ямы, где бранный уровень вверх нужно холмиками в области энергия частицы меньше высоты барьера.

пучностей стоячей волны соответствующего состояния, а компенсировать их влияние на другие уров- Как и в случае сдвигов по энергии, влияние ямок ни ямками вблизи ее узлов. На рисунках 1д и 1е по- и барьеров возмущающего потенциала компенсиказана трансформация прямоугольной ямы при руется для других состояний (ни один из уровней не подъеме первого и второго уровней. Чтобы убедить- сдвигается). На рисунках 2б, 2в, 2д показано, что ся в универсальности найденных правил, сравните с аналогичные потенциальные возмущения сдвигают трансформацией параболической (осцилляторной) вправо основное состояние в солитонообразной, ‹7, a бв V V V 0 V V Exx x V1(x) V(x) V V(x) Vгд V V V0(x) x x V Рис. 2. Трансформации потенциалов, сдвигающих избранное состояние вправо по координате х. Основное состояние сдвигается с помощью вспомогательных ямки и барьера (а – в, д, красные линии). Первое возбужденное состояние сдвигается уже двумя ямками и барьерами (г).

яме, в осцилляторном и конечном прямоугольном барьер + ямка). Такие потенциалы преобразуют в потенциале. Причем в случаях разрешенного дви- связанные лишь те состояния, с которыми они нажения волн по всей оси можно сдвинуть избранное ходятся “в резонансе” (когда совпадают частоты состояние как угодно далеко, отделив его от осталь- колебаний потенциала и функции).

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.