Книги по всем темам

1 2 - 1 2 xж ц ж ц ж ц A=з 2 - 3 2 ч ; B=з 2ч ; X=з x2 ч з ч з ч з ч з ч з ч з ч 3 1 1 xи ш и8 ш и ш Система уравнений в матричном виде: AЧX=B Решение имеет вид: X= B A-1 Ч Найдем A- 1 2 - 1 1 0 =detA= 2 - 3 2 = 2 - 7 4 = 1Ч- 7 4 = - 28+ 20 = -.

- 5 3 1 1 3 - 5 x(-2) + + Вычислим алгебраические дополнения:

- 3 2 2 2 2 - A11 = (- 1)2 = - 5; A12 = (- 1)3 = 4; A13 = (- 1)4 = 11;

1 1 3 1 3 2 - 1 1 - 1 1 A21 = (- 1)3 = - 3; A22 = (- 1)4 = 4; A23 = (- 1)5 = 5;

1 1 3 1 3 2 - 1 1 - 1 1 A31 = (- 1)4 = 1; A32 = (- 1)5 = - 4; A33 = (- 1)6 = - 7.

- 3 2 2 2 2 - ж 5 3 1 ц + + з ч 8 8 з ч 4 4 з ч - - + A- 1 = з ч 8 8 з ч 11 5 з ч - - + з ч 8 8 и ш 5 3 ж ц + + з ч 5 8 8 + - 2 1 xж ц ж ц ж ц з ч 4 4 4 X= B = з - 8 - 8 + 8 ч Ч з 2ч = - 1- 1+ 4 =з 2ч =з x2 ч A-1 Ч з з ч з ч з ч ч 11 з ч з ч - - + 7 з ч з x3 ч и8 ш и3 ш и ш 11 5 4 з ч - - + з ч 8 8 и ш x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.

Следовательно, Задание A1A2A3AДаны координаты вершин пирамиды :

A1 A2 A3 A(1;3;0) ; (7;4;1) ; (2;9;6) ; (4;6;6).

Найти:

A1A1) длину ребра ;

A1A2 2) угол между ребрами и A A4 ;

A1A3) уравнение прямой ;

A1A2A4) уравнение плоскости ;

A1A5) угол между ребром и гранью A A2A3 ;

6) объём пирамиды;

A4 A1A2A7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

8) сделать чертеж.

Решение:

1) координаты векторов: A1A2 =(6;1;1) ; A1A3 =(1,6,6); A1A4 =(3;3;6).

A1A2 62 + 12 + 12 A1A4 32 + 32 + Длины векторов: = = 38 ; = = 54.

A1A2 A1A2) Угол между ребрами и :

6Ч3+ 1Ч3+ 1Ч6 27, cosР (A1A2, A1A4) = = = 38 Ч 54 6 57 2.

Р (A1A2, A1A4) = arccos 2 A1A2 x-1 y-3 z = = 3) уравнение прямой :

6 1 x-1 y-3 z A1A2A3 6 1 1 = 4) уравнение плоскости :

1 6 Ю (x-1)(6-6) - (y-3)(6Ч6-1Ч1)+z(6Ч6-1Ч1)=0 Ю -35(y-3) + 35z = 0 y-z-3=A1A4 A1A2A5) угол между ребром и гранью A A2A3 (плоскостью ) 3Ч0 + 3Ч1+ 6Ч(- 1) 3 3 sin = = = =, 32 + 32 + 62 Ч 02 + 12 + (- 1)2 54 Ч 2 6 3 3 ж ц = arcsinз 1 ч.

3 и ш 6) объем пирамиды:

6 1 1 6 1 (Из 3-го столбца вы6 1 1 1 V = Ч1 6 6 = = Ч1 6 0 = Ч3Ч =.

6 6 6 1 6 чтем 2-й столбец) 3 3 6 3 3 A4 A1A2A7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань. НаправAляющий вектор высоты – это нормальный вектор плоскости на грань x-4 y-6 z-A1A2A3 = =. Каноническое уравнение высоты:.

0 1 -8) Чертеж:

Задание z = z Дано комплексное число. Записать число в алгебраической 2 - 2i и тригонометрической формах, найти все значения, вычислить z z3.

Решение:

z Домножим числитель и знаменатель числа на 2 + 2 i (сопряженное комплексное число числу - 2 i ).

4( 2 + 2 i) 4( 2 + 2 i) 4( 2 + 2 i) z = = = = – алге= 2 + 2 i ( 2 - 2i)( 2 + 2 i) ( 2 - 2i)( 2 + 2 i) браическая форма комплексного числа z. Геометрически число M 2; z = 2 + 2 i изображается как точка с координатами на M ( ) xOy плоскости или как вектор.

OM z z = x + iy Модуль комплексного числа равен: z = x2 + y2 = 2+ 2 = 2.

z = x + iy Аргумент комплексного числа определяется из соотношений:

м x м cos = ;

п п cos = ;

z п тогда п Ю =.

н н y п п sin = ;

sin = ;

п п z о о y 2 + 2 i z = x z = x + iy Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:

ц z= z (cos + isin ) = 2жcos + isin.

з ч 4 и ш Значения находим по формуле z ж ц + 2 k + 2 k з ч 4 wk = 2 cos + isin з ч k = 0,1,, где.

3 з ч з ч и ш ж + 2 Ч0 + 2 Ч0ц з ч 4 w0 = 2 cos + isin ч = 2жcos12 + isin12ц ;

з з ч 3 з ч и ш з ч и ш ж + 2 Ч1 + 2 Ч1ц 3 ж з ч ц 4 w1 = 2 cos + isin ч = 2з cos + isin з з ч ;

ч 3 3 12 з ч и ш з ч и ш ж + 2 Ч2 + 2 Ч2ц 3 ж з ч ц 4 w2 = 2 cos + isin ч = 2з cos17 + isin17 ч.

з з ч 3 3 12 з ч и ш з ч и ш Найдем z3 по формуле Муавра n zn= z (cosn + isin n ).

В нашем случае n = 3, поэтому ж ц 3 3 2 ц z3 = 23 Чжcos + isin = 8Ч - + i Ч = - 4 2 + 4 2.

з ч з ч з ч 4 4 2 и ш и ш Окончательно получаем:

3 ц – тригонометрическая форма числа 8Чжcos + isin з ч z3.

4 и ш – алгебраическая форма числа - 4 2 + 4 2 z3.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № Задание Вычислить пределы:

3 1 3 x3(4- + ) lim (4- + ) 4x3 - 3x2+x x x x2 = x Ґ x2 = 4.

lim = lim 1.

x Ґ x Ґ 4 5x3 + x3(5+ ) lim (5+ ) x Ґ x3 xlim x-x2 - 5x+6 (x-2)(x-3) x-3 - 1 1.

x lim = lim = lim = = = 2.

x 2 x 2 x (x-2)(x-10) x-10 lim x-10 - 8 x2 - 12x+x 2x+1- 3 ( 2x+1- 3)( 2x+1+ 3)( x-2 + 2) lim = lim = 3.

x 4 x x-2 - 2 ( x-2 - 2)( x-2 + 2)( 2x+1+ 3) lim( x-2 + 2) (2x+1-9)( x-2 + 2) 2(x-4)( x-2 + 2) 4 2 2 x = lim = lim = 2 = =.

x 4 x 6 ( 2x+1+ 3)(x-2-2) ( 2x+1+ 3)(x-4) lim( 2x+1+ 3) x ж ц x sin2 ж x ц sin2 ж x ц з ч з ч sin з ч 3 1 1.

и ш и ш lim = lim = lim = з ч 4.

x 9 x2 x 0 x ц2 x 0з x ч з ч 9Чж ч з и ш и ш x lim (1- x) tg = 5.

x Делаем замену 1- x = t, x = 1- t, t 0.

ц sinж - t з ч tЧcos t 2 и ш = lim tЧtg (1- t) = lim t Ч = lim = t 0 t 0 t 2 ц sin t cosж - t з ч 2 и ш cos t limcos t 2 t 2 = lim = =.

t sin t sin t 2 lim t t t 2 2(x+1) 2x+1 2x+й щ x+1 x+ж ц ж ц к ъ 2x+3ц = lim ж 2x+1+2 6.

lim = lim 1+ = з ч кз з ч з ч з ч x Ґ x Ґ 2x+1ч x Ґ з 2x+1 2x+1ч ъ и ш и ш и ш к ъ л ы 2(x+1) lim 2x+й щx Ґ 2x+ж ц ъ.

=x Ґ кз1+ = e1 = e lim кз ч 2x+1ч ъ и ш к ъ л ы Вычислить пределы.

ex - e-x = lim (ex - e-x) ex+e-x = lim(ex+e-x) = ў x lim = lim = 2.

1.

x 0 x 0 x sin x (sin x) cos x limcos x ў x x - 1 (x - 1) 1 1.

ў lim = lim = lim = 2.

x 1 x 1 x xn - 1 (xn - 1) n ў n xn- 5- x3 = lim (5- x3) - 3x2 = ў lim = lim 3.

x Ґ x Ґ x Ґ 4x3 + 2x + 3 (4x3 + 2x + 3) 12x2 + ў 3 x2 = - 3 (x2) 3 2x 1.

ў = - lim lim = - lim = x Ґ x Ґ x Ґ 2 2 2 12x 6x2 + 1 (6x2 + 1) ў x (x) cos2 2x cos2 2x 1.

ў lim xЧctg2x=lim = lim = lim = lim = 4.

x 0 x 0 x 0 x 0 x tg2x (tg2x) (2x) 2 ў ў Задание При решении примеров используются формулы производных сложных y = f (u) u = u(x) функций, где :

u ў и другие.

(ua) = aua- 1Чu ; (au) = au ln aЧu ; (sin u) =cos u Чu ; (ln u) = ў ў ў ў ў ў ў u 2arcsin x y=(arcsin x)2;y =2arcsin x Ч (arcsin x) = ў ў 1..

1- x1+x 1 x 2. y= ; Преобразуем: ln y= ln1+ x = (ln(1+ x)- ln(1- x)).

1-x 2 1- y 1 (1+ x) (1- x) 1 1 1 1 2 ў= ж ў- ўц = ж + ц = Ч =.

з ч з ч з ч з ч y 2 1+ x 1- x 2 1+ x 1- x 1- x2 1- xи ш и ш 1+ x yў= Ч.

1- x 1- xў ж ц 2x з 2x 1- x2 ч = и ш 3. y=arctg ; y = Чxў(1- x2)- x(1- x2)ў = ў 1-x2 4x2 (1- x2)ж ц 2x 1+ 1+ з (1- x2)1- x2 ч и ш 2 2Ч(1+ x2) = Ч(1- x2 + 2x2) = =.

(1- x2)2 + 4x2 (1+ x2)2 1+ x4.

y=(x2 + 1)arcsin(3- x); y =(x2 + 1) arcsin(3- x) + (x2 + 1) arcsin(3- x) = ў ў ( )ў (3- x) x2 + ў.

= 2xarcsin(3- x) + (x2 + 1) = 2xarcsin(3- x)1- (3- x)2 1- (3- x)5.

y=xx; логарифмируем: ln y = x ln x; дифференцируем:

y (ln x) x - ln x(x) ў ў ў;

= y = y 1-lnx = xx Ч1- ln x.

ў y xx2 xy=(sin x)tgx; ln y = tgxlnsin x;

6. логарифмируем: дифференцируем:

y ў = (lnsin x) tgx+(tgx) lnsin x = ў ў y (sin x) 1 cos x ln sin x ўЧtgx+ = Чlnsin x = tgx+ ;

sin x sin x cos2 x cos2x ж ц lnsin x y =(sin x)tgx з1+.

ў з ч ч cos2 x и ш 7. y=ecos2x Чsin3x;

cos2x y = ў ў ў (e )ўЧsin3x + ecos2x Ч(sin3x) = ecos2x Ч(cos2x) Чsin3x + ecos2x Ч3cos3x =.

= ecos2x(- 2sin 2xЧsin3x + 3cos3x) Задание Провести полное исследование функций и построить графики.

x - xy = ln + а) y = ; б).

x + 1+ x Решение:

xа) y =.

1+ x 1) Функция определена на всей оси Ох, кроме точки x = - 1, где она терпит бесконечный разрыв.

y = kx + b 2) Находим наклонные асимптоты :

k = limҐ y = limҐ x = 1;

x ± x ± x 1+ x ж x2 ц x ц b = limҐ (y - kx) = limҐ з - xч = limҐ ж- = - з ч x ± x ± x ± з ч 1+ x 1+ x и ш и ш y = x - Наклонная асимптота. Вертикальная асимптота x = - 1.

Находим критические точки, в которых первая или вторая производная равна нулю, либо не существует:

2x(1+ x) - x2 = x(2+ x) y = ў (1+ x)2 (1+ x)2 ;

(2+ 2x)(1+ x)2 - (2x + x2)Ч2(1+ x) x2 + 2x + 1- 2x - x2 = y = = ўў (1+ x)4 (1+ x)3 (1+ x)3.

ў y Критическими точками будут x = 0 и x = - 2, где =0. В точке x = - функция не существует.

y Из формулы для следует, что y<0 при x < - 1, и y>0 при x > - 1.

ў ў следует, что при x из (-Ґ y y Из формулы для,-2) >0, т.е. функция возрасў y тает; в интервале (-2,-1) <0 – функция убывает, а точка x = - 2 является ў Ґ y точкой максимума. В интервале (0,+ ) >0 – функция возрастает. В инў y тервале (-1;0) производная <0 и функция убывает. Точка x = 0 – точка минимума.

ўў y В интервале (-Ґ ;-1) <0 – график функции выпуклый, в интервале (-1; + ўў Ґ y ) >0 - график вогнутый.

Результаты исследований сведем в таблицу:

Ґ Ґ x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) (-,-2) (0,+ ) Ґ y - -4 - + 0 + + 0 - не сущ. - 0 + ў y - - - не сущ. + + + ўў y Выводы: Функция воз- Точка макси- Функция Точка Функция Точка ми- Функция возрастает; мума убывает; разрыва убывает; нимума растает;

график график график во- график выпукл. выпукл. гнут. вогнут.

Строим график:

x - y = ln + б).

x + x - xО (- Ґ ;- 2)И (1;+ Ґ ) 1) Функция определена, если >0, т.е.

x + В точках x = - 2 и x = 1 функция имеет бесконечный разрыв, так как:

x - 1 x - lim- (ln + 1) = Ґ ; lim0(ln + 1) = - Ґ.

x - 2 0 x 1+ x + 2 x + - Ґ 2) Прямые x = - 2 и x = 1 – вертикальные асимптоты, т.к. lim |y|= в этих точках.

Наклонные асимптоты:

x - ln + k1 = limҐ y = limҐ x + 2 = 0;

x ± x ± x x x - ;

b = limҐ (y - kx) = limҐ (ln + 1) = x ± x ± x + y = Таким образом, уравнение асимптоты.

ў ж ц x + 2 x - 1 x + 2 + 2- x + 1) ў ўў y y 3) Находим и : ;

y = Чз ч = Ч(x = ў з ч x - 1 x + 2 x - 1 (x - 1)(x + 2) (x + 2)и ш x + 2+ x - 1 2x + y = - 3 = - ўў.

(x - 1)2(x + 2)2 (x- 1)2(x + 2)ў y № Критические точки: 0, в точках x = - 2 и x = 1 функция не существует;

1 ўў y x = =0, точка – критическая точка; x = П ОДЗ.

2 ў y >0 в интервалах (-Ґ ;-2) и (1;+ Ґ ) – функция возрастает;

ўў y <0 в интервале (1;+ Ґ ) – график функции выпуклый;

ўў y >0 в интервале (-Ґ ;-2) – график функции вогнутый;

Из условия у=0 найдем точку пересечения кривой с осью Ох.

x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 ln + 1= 0 Ю ln = - 1 Ю ln = lne-1 Ю = Ю x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 e 2+ e;

Ю eЧx- e = x+ 2 Ю x = e- x - 1 1 x - 1 1 (e - 1)x - (e+ 2) y > 0 Ы > Ы - > 0 Ы > 0 Ы x + 2 e x + 2 e e(x + 2) e+ж ц e+ 2;+ Ґ x Ы xО - Ґ ;- 2 И ( ) з ч.

e-з ч Ы > e- и ш x+1+ e x = Составим таблицу, включающую точки x = - 2 и x = 1;.

e - 1+ e 1+ e 1+ e Ґ (1, ).. (,+ ) Ґ x -2 (-,-2) e - 1 e - 1 e - Ґ Ґ y + - 0 + + + не сущ. не сущ. + + + ў y + не сущ. не сущ. - - ўў y Выводы: Функция воз- Вертикальная Вертикальная Функция Функция возрастает; асимптота. асимптота. возрастает; растает;

график во- график график гнут. выпукл. выпукл.

Строим график функции:

Образец выполнения контрольной работы № Задание Найти неопределённые интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.

sin 2x - dx а) ; б) т тx Ч3x Чdx ;

cos2 x 3x - dx в) ; г) т тtg x Чdx.

x2 + 2x - Решение.

sin 2x - 3 ж ц 2sin x Чcos x sin 2x dx = dx - а) з ч т ти cos2 x - cos2 x шdx = т тcos x dx = cos2 x cos2 x sin x 1 d(cos x) = 2 тcos x dx - 3тcos x dx = 2т- cos x - 3тcos x dx = = - 2ln cos x - 3tg x + C.

Проверка.

Найдём производную от полученного результата:

sin - 2ln cos x - 3tg x + C = - 2 - 3 = ( )ў (-cos xx) cos2 x 2sin xcos x - 3 sin 2x - = =.

cos2 x cos2 x Получили исходную подынтегральную функцию. Значит, интеграл найден верно.

- 2ln cos x - 3tg x + C Ответ:.

б) тx Ч3x Чdx находят интегрированием по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид тu dv = uv - тv du.

Примем x = u, 3xdx = dv. Первое равенство дифференцируем, второе интегрируем:

x dx = du, dx =.

т3 тdv 3x du = dx, v = Получаем:. Применяя формулу интегрирования по чаln стям, находим:

3x 3x 3x 3x тx Ч3x Чdx = x Чln 3 - тln 3 dx = x Чln 3 - ln2 3 + C.

Проверка.

ж цў 3x 3x + C = 3x + x Ч3x - 3x = x Ч3x.

x Ч з ч ln 3 ln2 3 ln 3 ln и ш Интеграл вычислен верно.

3x 3x + C x Ч Ответ:.

ln 3 ln2 3x - dx – интеграл от рациональной дроби. Найдём корни в) т x2 + 2x - многочлена, стоящего в знаменателе, т. е. решим уравнение x2 + 2x - 3 = :

x1 = - 3, x2 = и разложим знаменатель дроби на множители, а дробь – на сумму двух простейших дробей:

3x - 11 A B A (x - 1) + B (x + 3) = + =.

(x + 3) (x - 1) x + 3 x - 1 (x + 3) (x - 1) Приравняем числители первой и последней дроби:

3x - 11= A (x - 1) + B (x + 3).

x Это тождество должно выполняться при всех.

Подставим x = 1: 3 - 11= AЧ0 + B Ч4 Ю B = - 2.

Теперь подставим x = - 3 : - 9 - 11= - 4ЧA + B Ч0 Ю A = 5.

Значит, разложение дроби имеет вид:

3x - 11 5 = -.

x2 + 2x - 3 x + 3 x - Найдём теперь заданный интеграл:

3x - 11 5 2 d (x + 3) d (x - 1) dx = dx - dx = 5 - 2 = т т т т т x2 + 2x - 3 x + 3 x - 1 x + 3 x - = 5ln x + 3 - 2ln x - 1 + C.

5ln x + 3 - 2ln x - 1 + C Ответ:.

г) В интеграле тtg x Чdx сделаем замену переменной tg x = t, откуда x = arctg t. Дифференцируя обе части, найдём:

dt dx =.

t2 + После замены интеграл принимает вид:

ж ц t4 Чdt (t4 - 1) + 1dt = (t2 - 1) (t2 + 1) = тtg x Чdx = т т тз t2 + 1 + t2 + 1ч dt = t2 + 1 t2 + и ш 1 t= = - 1) dt + т(t тt + 1dt = 3 - t + arctg t + C = tg3x tg3x.

= - tg x + arctg (tg x) + C = - tg x + x + C 3 tg3x Ответ: - tg x + x + C.

Задание b f (x)dx Вычислить приближённое значение определённого интеграла с т a помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака:

1+ 4x3 dx.

т Решение.

b f (x)dx Для приближённого вычисления определённого интеграла по т a формуле Симпсона следует:

а) разделить отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей точками x0 = a x1 x2 xn = b,,, …, (где n – чётное число). Длина каждой части b - a h = ;

n f (x) б) Вычислить функцию в точках деления. Обозначить f (x0) = f (a) = y0, f (x1) = y1,..., f (xn) = f (b) = yn.

Формула Симпсона имеет вид b h f (x) dx y0 + yn + 4 (y1 + y3 + y5 +...+ yn- 1) + 2 (y2 + y4 +...+ yn- 2)ы.

й щ л т a Для заданного интеграла.

n = 10, f (x) = 1+ 4xx0 = 0 x10 = При, y0 = 1+ 0 = 1;, y10 = 1+ 4 = 5 2,236.

x1 = 0,1, y1 1,002; x2 = 0,2, y2 1,016;

x3 = 0,3, y1 1,052; x4 = 0,4, y4 1,121;

x5 = 0,5, y5 1,225; x6 = 0,6, y6 1,365;

x7 = 0,7, y7 1,540; x8 = 0,8, y8 1,746;

x9 = 0,9, y9 1,978.

h 1+ 4x3 dx Чл y0 + y10 + 4 (y1 + y3 + y5 + y7 + y9) + 2 (y2 + y4 + y6 + y8)ы й щ т 40,920 = 1,=.

1+ 4x3 dx 1,Ответ:.

т Задание Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:

dx.

т 9 - xРешение.

Функция не ограничена в окрестности точки x = 3. Поэтому точка 9 - xx = 3 – особая. По определению несобственного интеграла 3- 3 3- dx dx x 3 - = lim = lim arcsin = lim arcsin = arcsin 1=.

т т 3 3 9 - x2 0 0 9 - x2 dx = Ответ:.

т 9 - x2 Задание Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y =, y = x, x = 4.

x Решение.

Искомая площадь заштрихована на рисунке.

Её величина вычисляется по формуле ж ц ж ц xS = x - dx = - 4ln | x |ч = з ч ти x ш з и ш.

= 8 - 4ln 4 - 2 + 4ln 2 = 6 - 8ln 2 + 4ln 2 = 6 - 4ln Ответ: 6 - 4ln 2.

СОДЕРЖАНИЕ Введение ….…………………………. ……………………….

Учебный план дисциплины ……...……. …………………… Цели и задачи дисциплины …………………. ……………… Общие рекомендации студенту заочного отделения по изучению курса математики..........………...…………..…… Указания по выполнению контрольных работ. …………… Таблица вариантов.……………………….. ………………… Рекомендуемая литература …………………. ……………… Рабочая учебная программа курса и методические указания к изучению предмета …………………………………… ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ……………………… Контрольная работа № 1 ………………………………… Контрольная работа № 2 ……….………………………… Контрольная работа № 3 …………………….…………… ОБРАЗЦЫ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ.…..

Книги по всем темам

наверх