1 2 - 1 2 xæ ö æ ö æ ö A=ç 2 - 3 2 ÷ ; B=ç 2÷ ; X=ç x2 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 3 1 1 xè ø è8 ø è ø Ñèñòåìà óðàâíåíèé â ìàòðè÷íîì âèäå: A×X=B Ðåøåíèå èìååò âèä: X= B A-1 × Íàéäåì A- 1 2 - 1 1 0 =detA= 2 - 3 2 = 2 - 7 4 = 1×- 7 4 = - 28+ 20 = -.
- 5 3 1 1 3 - 5 x(-2) + + Âû÷èñëèì àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ:
- 3 2 2 2 2 - A11 = (- 1)2 = - 5; A12 = (- 1)3 = 4; A13 = (- 1)4 = 11;
1 1 3 1 3 2 - 1 1 - 1 1 A21 = (- 1)3 = - 3; A22 = (- 1)4 = 4; A23 = (- 1)5 = 5;
1 1 3 1 3 2 - 1 1 - 1 1 A31 = (- 1)4 = 1; A32 = (- 1)5 = - 4; A33 = (- 1)6 = - 7.
- 3 2 2 2 2 - æ 5 3 1 ö + + ç ÷ 8 8 ç ÷ 4 4 ç ÷ - - + A- 1 = ç ÷ 8 8 ç ÷ 11 5 ç ÷ - - + ç ÷ 8 8 è ø 5 3 æ ö + + ç ÷ 5 8 8 + - 2 1 xæ ö æ ö æ ö ç ÷ 4 4 4 X= B = ç - 8 - 8 + 8 ÷ × ç 2÷ = - 1- 1+ 4 =ç 2÷ =ç x2 ÷ A-1 × ç ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ 11 ç ÷ ç ÷ - - + 7 ç ÷ ç x3 ÷ è8 ø è3 ø è ø 11 5 4 ç ÷ - - + ç ÷ 8 8 è ø x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.
Ñëåäîâàòåëüíî, Çàäàíèå A1A2A3AÄàíû êîîðäèíàòû âåðøèí ïèðàìèäû :
A1 A2 A3 A(1;3;0) ; (7;4;1) ; (2;9;6) ; (4;6;6).
Íàéòè:
A1A1) äëèíó ðåáðà ;
A1A2 2) óãîë ìåæäó ðåáðàìè è A A4 ;
A1A3) óðàâíåíèå ïðÿìîé ;
A1A2A4) óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ;
A1A5) óãîë ìåæäó ðåáðîì è ãðàíüþ A A2A3 ;
6) îáú¸ì ïèðàìèäû;
A4 A1A2A7) óðàâíåíèå âûñîòû, îïóùåííîé èç âåðøèíû íà ãðàíü ;
8) ñäåëàòü ÷åðòåæ.
Ðåøåíèå:
1) êîîðäèíàòû âåêòîðîâ: A1A2 =(6;1;1) ; A1A3 =(1,6,6); A1A4 =(3;3;6).
A1A2 62 + 12 + 12 A1A4 32 + 32 + Äëèíû âåêòîðîâ: = = 38 ; = = 54.
A1A2 A1A2) Óãîë ìåæäó ðåáðàìè è :
6×3+ 1×3+ 1×6 27, cosÐ (A1A2, A1A4) = = = 38 × 54 6 57 2.
Ð (A1A2, A1A4) = arccos 2 A1A2 x-1 y-3 z = = 3) óðàâíåíèå ïðÿìîé :
6 1 x-1 y-3 z A1A2A3 6 1 1 = 4) óðàâíåíèå ïëîñêîñòè :
1 6 Þ (x-1)(6-6) - (y-3)(6×6-1×1)+z(6×6-1×1)=0 Þ -35(y-3) + 35z = 0 y-z-3=A1A4 A1A2A5) óãîë ìåæäó ðåáðîì è ãðàíüþ A A2A3 (ïëîñêîñòüþ ) 3×0 + 3×1+ 6×(- 1) 3 3 sin = = = =, 32 + 32 + 62 × 02 + 12 + (- 1)2 54 × 2 6 3 3 æ ö = arcsinç 1 ÷.
3 è ø 6) îáúåì ïèðàìèäû:
6 1 1 6 1 (Èç 3-ãî ñòîëáöà âû6 1 1 1 V = ×1 6 6 = = ×1 6 0 = ×3× =.
6 6 6 1 6 ÷òåì 2-é ñòîëáåö) 3 3 6 3 3 A4 A1A2A7) óðàâíåíèå âûñîòû, îïóùåííîé èç âåðøèíû íà ãðàíü. ÍàïðàâAëÿþùèé âåêòîð âûñîòû – ýòî íîðìàëüíûé âåêòîð ïëîñêîñòè íà ãðàíü x-4 y-6 z-A1A2A3 = =. Êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå âûñîòû:.
0 1 -8) ×åðòåæ:
Çàäàíèå z = z Äàíî êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Çàïèñàòü ÷èñëî â àëãåáðàè÷åñêîé 2 - 2i è òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìàõ, íàéòè âñå çíà÷åíèÿ, âû÷èñëèòü z z3.
Ðåøåíèå:
z Äîìíîæèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ÷èñëà íà 2 + 2 i (ñîïðÿæåííîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî ÷èñëó - 2 i ).
4( 2 + 2 i) 4( 2 + 2 i) 4( 2 + 2 i) z = = = = – àëãå= 2 + 2 i ( 2 - 2i)( 2 + 2 i) ( 2 - 2i)( 2 + 2 i) áðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z. Ãåîìåòðè÷åñêè ÷èñëî M 2; z = 2 + 2 i èçîáðàæàåòñÿ êàê òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè íà M ( ) xOy ïëîñêîñòè èëè êàê âåêòîð.
OM z z = x + iy Ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ðàâåí: z = x2 + y2 = 2+ 2 = 2.
z = x + iy Àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèé:
ì x ì cos = ;
ï ï cos = ;
z ï òîãäà ï Þ =.
í í y ï ï sin = ;
sin = ;
ï ï z î î y 2 + 2 i z = x z = x + iy Òàêèì îáðàçîì, òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà èìååò âèä:
ö z= z (cos + isin ) = 2æcos + isin.
ç ÷ 4 è ø Çíà÷åíèÿ íàõîäèì ïî ôîðìóëå z æ ö + 2 k + 2 k ç ÷ 4 wk = 2 cos + isin ç ÷ k = 0,1,, ãäå.
3 ç ÷ ç ÷ è ø æ + 2 ×0 + 2 ×0ö ç ÷ 4 w0 = 2 cos + isin ÷ = 2æcos12 + isin12ö ;
ç ç ÷ 3 ç ÷ è ø ç ÷ è ø æ + 2 ×1 + 2 ×1ö 3 æ ç ÷ ö 4 w1 = 2 cos + isin ÷ = 2ç cos + isin ç ç ÷ ;
÷ 3 3 12 ç ÷ è ø ç ÷ è ø æ + 2 ×2 + 2 ×2ö 3 æ ç ÷ ö 4 w2 = 2 cos + isin ÷ = 2ç cos17 + isin17 ÷.
ç ç ÷ 3 3 12 ç ÷ è ø ç ÷ è ø Íàéäåì z3 ïî ôîðìóëå Ìóàâðà n zn= z (cosn + isin n ).
 íàøåì ñëó÷àå n = 3, ïîýòîìó æ ö 3 3 2 ö z3 = 23 ׿cos + isin = 8× - + i × = - 4 2 + 4 2.
ç ÷ ç ÷ ç ÷ 4 4 2 è ø è ø Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì:
3 ö – òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà ÷èñëà 8׿cos + isin ç ÷ z3.
4 è ø – àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà ÷èñëà - 4 2 + 4 2 z3.
ÊÎÍÒÐÎËÜÍÀß ÐÀÁÎÒÀ ¹ Çàäàíèå Âû÷èñëèòü ïðåäåëû:
3 1 3 x3(4- + ) lim (4- + ) 4x3 - 3x2+x x x x2 = x ¥ x2 = 4.
lim = lim 1.
x ¥ x ¥ 4 5x3 + x3(5+ ) lim (5+ ) x ¥ x3 xlim x-x2 - 5x+6 (x-2)(x-3) x-3 - 1 1.
x lim = lim = lim = = = 2.
x 2 x 2 x (x-2)(x-10) x-10 lim x-10 - 8 x2 - 12x+x 2x+1- 3 ( 2x+1- 3)( 2x+1+ 3)( x-2 + 2) lim = lim = 3.
x 4 x x-2 - 2 ( x-2 - 2)( x-2 + 2)( 2x+1+ 3) lim( x-2 + 2) (2x+1-9)( x-2 + 2) 2(x-4)( x-2 + 2) 4 2 2 x = lim = lim = 2 = =.
x 4 x 6 ( 2x+1+ 3)(x-2-2) ( 2x+1+ 3)(x-4) lim( 2x+1+ 3) x æ ö x sin2 æ x ö sin2 æ x ö ç ÷ ç ÷ sin ç ÷ 3 1 1.
è ø è ø lim = lim = lim = ç ÷ 4.
x 9 x2 x 0 x ö2 x 0ç x ÷ ç ÷ 9׿ ÷ ç è ø è ø x lim (1- x) tg = 5.
x Äåëàåì çàìåíó 1- x = t, x = 1- t, t 0.
ö sinæ - t ç ÷ t×cos t 2 è ø = lim t×tg (1- t) = lim t × = lim = t 0 t 0 t 2 ö sin t cosæ - t ç ÷ 2 è ø cos t limcos t 2 t 2 = lim = =.
t sin t sin t 2 lim t t t 2 2(x+1) 2x+1 2x+é ù x+1 x+æ ö æ ö ê ú 2x+3ö = lim æ 2x+1+2 6.
lim = lim 1+ = ç ÷ êç ç ÷ ç ÷ ç ÷ x ¥ x ¥ 2x+1÷ x ¥ ç 2x+1 2x+1÷ ú è ø è ø è ø ê ú ë û 2(x+1) lim 2x+é ùx ¥ 2x+æ ö ú.
=x ¥ êç1+ = e1 = e lim êç ÷ 2x+1÷ ú è ø ê ú ë û Âû÷èñëèòü ïðåäåëû.
ex - e-x = lim (ex - e-x) ex+e-x = lim(ex+e-x) = ¢ x lim = lim = 2.
1.
x 0 x 0 x sin x (sin x) cos x limcos x ¢ x x - 1 (x - 1) 1 1.
¢ lim = lim = lim = 2.
x 1 x 1 x xn - 1 (xn - 1) n ¢ n xn- 5- x3 = lim (5- x3) - 3x2 = ¢ lim = lim 3.
x ¥ x ¥ x ¥ 4x3 + 2x + 3 (4x3 + 2x + 3) 12x2 + ¢ 3 x2 = - 3 (x2) 3 2x 1.
¢ = - lim lim = - lim = x ¥ x ¥ x ¥ 2 2 2 12x 6x2 + 1 (6x2 + 1) ¢ x (x) cos2 2x cos2 2x 1.
¢ lim x×ctg2x=lim = lim = lim = lim = 4.
x 0 x 0 x 0 x 0 x tg2x (tg2x) (2x) 2 ¢ ¢ Çàäàíèå Ïðè ðåøåíèè ïðèìåðîâ èñïîëüçóþòñÿ ôîðìóëû ïðîèçâîäíûõ ñëîæíûõ y = f (u) u = u(x) ôóíêöèé, ãäå :
u ¢ è äðóãèå.
(ua) = aua- 1×u ; (au) = au ln a×u ; (sin u) =cos u ×u ; (ln u) = ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ u 2arcsin x y=(arcsin x)2;y =2arcsin x × (arcsin x) = ¢ ¢ 1..
1- x1+x 1 x 2. y= ; Ïðåîáðàçóåì: ln y= ln1+ x = (ln(1+ x)- ln(1- x)).
1-x 2 1- y 1 (1+ x) (1- x) 1 1 1 1 2 ¢= æ ¢- ¢ö = æ + ö = × =.
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ y 2 1+ x 1- x 2 1+ x 1- x 1- x2 1- xè ø è ø 1+ x y¢= ×.
1- x 1- x¢ æ ö 2x ç 2x 1- x2 ÷ = è ø 3. y=arctg ; y = ×x¢(1- x2)- x(1- x2)¢ = ¢ 1-x2 4x2 (1- x2)æ ö 2x 1+ 1+ ç (1- x2)1- x2 ÷ è ø 2 2×(1+ x2) = ×(1- x2 + 2x2) = =.
(1- x2)2 + 4x2 (1+ x2)2 1+ x4.
y=(x2 + 1)arcsin(3- x); y =(x2 + 1) arcsin(3- x) + (x2 + 1) arcsin(3- x) = ¢ ¢ ( )¢ (3- x) x2 + ¢.
= 2xarcsin(3- x) + (x2 + 1) = 2xarcsin(3- x)1- (3- x)2 1- (3- x)5.
y=xx; ëîãàðèôìèðóåì: ln y = x ln x; äèôôåðåíöèðóåì:
y (ln x) x - ln x(x) ¢ ¢ ¢;
= y = y 1-lnx = xx ×1- ln x.
¢ y xx2 xy=(sin x)tgx; ln y = tgxlnsin x;
6. ëîãàðèôìèðóåì: äèôôåðåíöèðóåì:
y ¢ = (lnsin x) tgx+(tgx) lnsin x = ¢ ¢ y (sin x) 1 cos x ln sin x ¢×tgx+ = ×lnsin x = tgx+ ;
sin x sin x cos2 x cos2x æ ö lnsin x y =(sin x)tgx ç1+.
¢ ç ÷ ÷ cos2 x è ø 7. y=ecos2x ×sin3x;
cos2x y = ¢ ¢ ¢ (e )¢×sin3x + ecos2x ×(sin3x) = ecos2x ×(cos2x) ×sin3x + ecos2x ×3cos3x =.
= ecos2x(- 2sin 2x×sin3x + 3cos3x) Çàäàíèå Ïðîâåñòè ïîëíîå èññëåäîâàíèå ôóíêöèé è ïîñòðîèòü ãðàôèêè.
x - xy = ln + à) y = ; á).
x + 1+ x Ðåøåíèå:
xà) y =.
1+ x 1) Ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà âñåé îñè Îõ, êðîìå òî÷êè x = - 1, ãäå îíà òåðïèò áåñêîíå÷íûé ðàçðûâ.
y = kx + b 2) Íàõîäèì íàêëîííûå àñèìïòîòû :
k = lim¥ y = lim¥ x = 1;
x ± x ± x 1+ x æ x2 ö x ö b = lim¥ (y - kx) = lim¥ ç - x÷ = lim¥ æ- = - ç ÷ x ± x ± x ± ç ÷ 1+ x 1+ x è ø è ø y = x - Íàêëîííàÿ àñèìïòîòà. Âåðòèêàëüíàÿ àñèìïòîòà x = - 1.
Íàõîäèì êðèòè÷åñêèå òî÷êè, â êîòîðûõ ïåðâàÿ èëè âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà íóëþ, ëèáî íå ñóùåñòâóåò:
2x(1+ x) - x2 = x(2+ x) y = ¢ (1+ x)2 (1+ x)2 ;
(2+ 2x)(1+ x)2 - (2x + x2)×2(1+ x) x2 + 2x + 1- 2x - x2 = y = = ¢¢ (1+ x)4 (1+ x)3 (1+ x)3.
¢ y Êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè áóäóò x = 0 è x = - 2, ãäå =0.  òî÷êå x = - ôóíêöèÿ íå ñóùåñòâóåò.
y Èç ôîðìóëû äëÿ ñëåäóåò, ÷òî y<0 ïðè x < - 1, è y>0 ïðè x > - 1.
¢ ¢ ñëåäóåò, ÷òî ïðè x èç (-¥ y y Èç ôîðìóëû äëÿ,-2) >0, ò.å. ôóíêöèÿ âîçðàñ¢ y òàåò; â èíòåðâàëå (-2,-1) <0 – ôóíêöèÿ óáûâàåò, à òî÷êà x = - 2 ÿâëÿåòñÿ ¢ ¥ y òî÷êîé ìàêñèìóìà.  èíòåðâàëå (0,+ ) >0 – ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò.  èí¢ y òåðâàëå (-1;0) ïðîèçâîäíàÿ <0 è ôóíêöèÿ óáûâàåò. Òî÷êà x = 0 – òî÷êà ìèíèìóìà.
¢¢ y  èíòåðâàëå (-¥ ;-1) <0 – ãðàôèê ôóíêöèè âûïóêëûé, â èíòåðâàëå (-1; + ¢¢ ¥ y ) >0 - ãðàôèê âîãíóòûé.
Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ñâåäåì â òàáëèöó:
¥ ¥ x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) (-,-2) (0,+ ) ¥ y - -4 - + 0 + + 0 - íå ñóù. - 0 + ¢ y - - - íå ñóù. + + + ¢¢ y Âûâîäû: Ôóíêöèÿ âîç- Òî÷êà ìàêñè- Ôóíêöèÿ Òî÷êà Ôóíêöèÿ Òî÷êà ìè- Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò; ìóìà óáûâàåò; ðàçðûâà óáûâàåò; íèìóìà ðàñòàåò;
ãðàôèê ãðàôèê ãðàôèê âî- ãðàôèê âûïóêë. âûïóêë. ãíóò. âîãíóò.
Ñòðîèì ãðàôèê:
x - y = ln + á).
x + x - xÎ (- ¥ ;- 2)È (1;+ ¥ ) 1) Ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà, åñëè >0, ò.å.
x +  òî÷êàõ x = - 2 è x = 1 ôóíêöèÿ èìååò áåñêîíå÷íûé ðàçðûâ, òàê êàê:
x - 1 x - lim- (ln + 1) = ¥ ; lim0(ln + 1) = - ¥.
x - 2 0 x 1+ x + 2 x + - ¥ 2) Ïðÿìûå x = - 2 è x = 1 – âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû, ò.ê. lim |y|= â ýòèõ òî÷êàõ.
Íàêëîííûå àñèìïòîòû:
x - ln + k1 = lim¥ y = lim¥ x + 2 = 0;
x ± x ± x x x - ;
b = lim¥ (y - kx) = lim¥ (ln + 1) = x ± x ± x + y = Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå àñèìïòîòû.
¢ æ ö x + 2 x - 1 x + 2 + 2- x + 1) ¢ ¢¢ y y 3) Íàõîäèì è : ;
y = ×ç ÷ = ×(x = ¢ ç ÷ x - 1 x + 2 x - 1 (x - 1)(x + 2) (x + 2)è ø x + 2+ x - 1 2x + y = - 3 = - ¢¢.
(x - 1)2(x + 2)2 (x- 1)2(x + 2)¢ y ¹ Êðèòè÷åñêèå òî÷êè: 0, â òî÷êàõ x = - 2 è x = 1 ôóíêöèÿ íå ñóùåñòâóåò;
1 ¢¢ y x = =0, òî÷êà – êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà; x = Ï ÎÄÇ.
2 ¢ y >0 â èíòåðâàëàõ (-¥ ;-2) è (1;+ ¥ ) – ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò;
¢¢ y <0 â èíòåðâàëå (1;+ ¥ ) – ãðàôèê ôóíêöèè âûïóêëûé;
¢¢ y >0 â èíòåðâàëå (-¥ ;-2) – ãðàôèê ôóíêöèè âîãíóòûé;
Èç óñëîâèÿ ó=0 íàéäåì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ êðèâîé ñ îñüþ Îõ.
x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 ln + 1= 0 Þ ln = - 1 Þ ln = lne-1 Þ = Þ x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 e 2+ e;
Þ e×x- e = x+ 2 Þ x = e- x - 1 1 x - 1 1 (e - 1)x - (e+ 2) y > 0 Û > Û - > 0 Û > 0 Û x + 2 e x + 2 e e(x + 2) e+æ ö e+ 2;+ ¥ x Û xÎ - ¥ ;- 2 È ( ) ç ÷.
e-ç ÷ Û > e- è ø x+1+ e x = Ñîñòàâèì òàáëèöó, âêëþ÷àþùóþ òî÷êè x = - 2 è x = 1;.
e - 1+ e 1+ e 1+ e ¥ (1, ).. (,+ ) ¥ x -2 (-,-2) e - 1 e - 1 e - ¥ ¥ y + - 0 + + + íå ñóù. íå ñóù. + + + ¢ y + íå ñóù. íå ñóù. - - ¢¢ y Âûâîäû: Ôóíêöèÿ âîç- Âåðòèêàëüíàÿ Âåðòèêàëüíàÿ Ôóíêöèÿ Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò; àñèìïòîòà. àñèìïòîòà. âîçðàñòàåò; ðàñòàåò;
ãðàôèê âî- ãðàôèê ãðàôèê ãíóò. âûïóêë. âûïóêë.
Ñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè:
Îáðàçåö âûïîëíåíèÿ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ¹ Çàäàíèå Íàéòè íåîïðåäåë¸ííûå èíòåãðàëû.  ïóíêòàõ à) è á) ðåçóëüòàòû ïðîâåðèòü äèôôåðåíöèðîâàíèåì.
sin 2x - dx à) ; á) ò òx ×3x ×dx ;
cos2 x 3x - dx â) ; ã) ò òtg x ×dx.
x2 + 2x - Ðåøåíèå.
sin 2x - 3 æ ö 2sin x ×cos x sin 2x dx = dx - à) ç ÷ ò òè cos2 x - cos2 x ødx = ò òcos x dx = cos2 x cos2 x sin x 1 d(cos x) = 2 òcos x dx - 3òcos x dx = 2ò- cos x - 3òcos x dx = = - 2ln cos x - 3tg x + C.
Ïðîâåðêà.
Íàéä¸ì ïðîèçâîäíóþ îò ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà:
sin - 2ln cos x - 3tg x + C = - 2 - 3 = ( )¢ (-cos xx) cos2 x 2sin xcos x - 3 sin 2x - = =.
cos2 x cos2 x Ïîëó÷èëè èñõîäíóþ ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ. Çíà÷èò, èíòåãðàë íàéäåí âåðíî.
- 2ln cos x - 3tg x + C Îòâåò:.
á) òx ×3x ×dx íàõîäÿò èíòåãðèðîâàíèåì ïî ÷àñòÿì. Ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì èìååò âèä òu dv = uv - òv du.
Ïðèìåì x = u, 3xdx = dv. Ïåðâîå ðàâåíñòâî äèôôåðåíöèðóåì, âòîðîå èíòåãðèðóåì:
x dx = du, dx =.
ò3 òdv 3x du = dx, v = Ïîëó÷àåì:. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àln ñòÿì, íàõîäèì:
3x 3x 3x 3x òx ×3x ×dx = x ×ln 3 - òln 3 dx = x ×ln 3 - ln2 3 + C.
Ïðîâåðêà.
æ ö¢ 3x 3x + C = 3x + x ×3x - 3x = x ×3x.
x × ç ÷ ln 3 ln2 3 ln 3 ln è ø Èíòåãðàë âû÷èñëåí âåðíî.
3x 3x + C x × Îòâåò:.
ln 3 ln2 3x - dx – èíòåãðàë îò ðàöèîíàëüíîé äðîáè. Íàéä¸ì êîðíè â) ò x2 + 2x - ìíîãî÷ëåíà, ñòîÿùåãî â çíàìåíàòåëå, ò. å. ðåøèì óðàâíåíèå x2 + 2x - 3 = :
x1 = - 3, x2 = è ðàçëîæèì çíàìåíàòåëü äðîáè íà ìíîæèòåëè, à äðîáü – íà ñóììó äâóõ ïðîñòåéøèõ äðîáåé:
3x - 11 A B A (x - 1) + B (x + 3) = + =.
(x + 3) (x - 1) x + 3 x - 1 (x + 3) (x - 1) Ïðèðàâíÿåì ÷èñëèòåëè ïåðâîé è ïîñëåäíåé äðîáè:
3x - 11= A (x - 1) + B (x + 3).
x Ýòî òîæäåñòâî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ïðè âñåõ.
Ïîäñòàâèì x = 1: 3 - 11= A×0 + B ×4 Þ B = - 2.
Òåïåðü ïîäñòàâèì x = - 3 : - 9 - 11= - 4×A + B ×0 Þ A = 5.
Çíà÷èò, ðàçëîæåíèå äðîáè èìååò âèä:
3x - 11 5 = -.
x2 + 2x - 3 x + 3 x - Íàéä¸ì òåïåðü çàäàííûé èíòåãðàë:
3x - 11 5 2 d (x + 3) d (x - 1) dx = dx - dx = 5 - 2 = ò ò ò ò ò x2 + 2x - 3 x + 3 x - 1 x + 3 x - = 5ln x + 3 - 2ln x - 1 + C.
5ln x + 3 - 2ln x - 1 + C Îòâåò:.
ã)  èíòåãðàëå òtg x ×dx ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé tg x = t, îòêóäà x = arctg t. Äèôôåðåíöèðóÿ îáå ÷àñòè, íàéä¸ì:
dt dx =.
t2 + Ïîñëå çàìåíû èíòåãðàë ïðèíèìàåò âèä:
æ ö t4 ×dt (t4 - 1) + 1dt = (t2 - 1) (t2 + 1) = òtg x ×dx = ò ò òç t2 + 1 + t2 + 1÷ dt = t2 + 1 t2 + è ø 1 t= = - 1) dt + ò(t òt + 1dt = 3 - t + arctg t + C = tg3x tg3x.
= - tg x + arctg (tg x) + C = - tg x + x + C 3 tg3x Îòâåò: - tg x + x + C.
Çàäàíèå b f (x)dx Âû÷èñëèòü ïðèáëèæ¸ííîå çíà÷åíèå îïðåäåë¸ííîãî èíòåãðàëà ñ ò a ïîìîùüþ ôîðìóëû Ñèìïñîíà, ðàçáèâ îòðåçîê èíòåãðèðîâàíèÿ íà 10 ÷àñòåé. Âñå âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäèòü ñ îêðóãëåíèåì äî òðåòüåãî äåñÿòè÷íîãî çíàêà:
1+ 4x3 dx.
ò Ðåøåíèå.
b f (x)dx Äëÿ ïðèáëèæ¸ííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåë¸ííîãî èíòåãðàëà ïî ò a ôîðìóëå Ñèìïñîíà ñëåäóåò:
à) ðàçäåëèòü îòðåçîê èíòåãðèðîâàíèÿ [a, b] íà n ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè x0 = a x1 x2 xn = b,,, …, (ãäå n – ÷¸òíîå ÷èñëî). Äëèíà êàæäîé ÷àñòè b - a h = ;
n f (x) á) Âû÷èñëèòü ôóíêöèþ â òî÷êàõ äåëåíèÿ. Îáîçíà÷èòü f (x0) = f (a) = y0, f (x1) = y1,..., f (xn) = f (b) = yn.
Ôîðìóëà Ñèìïñîíà èìååò âèä b h f (x) dx y0 + yn + 4 (y1 + y3 + y5 +...+ yn- 1) + 2 (y2 + y4 +...+ yn- 2)û.
é ù ë ò a Äëÿ çàäàííîãî èíòåãðàëà.
n = 10, f (x) = 1+ 4xx0 = 0 x10 = Ïðè, y0 = 1+ 0 = 1;, y10 = 1+ 4 = 5 2,236.
x1 = 0,1, y1 1,002; x2 = 0,2, y2 1,016;
x3 = 0,3, y1 1,052; x4 = 0,4, y4 1,121;
x5 = 0,5, y5 1,225; x6 = 0,6, y6 1,365;
x7 = 0,7, y7 1,540; x8 = 0,8, y8 1,746;
x9 = 0,9, y9 1,978.
h 1+ 4x3 dx ×ë y0 + y10 + 4 (y1 + y3 + y5 + y7 + y9) + 2 (y2 + y4 + y6 + y8)û é ù ò 40,920 = 1,=.
1+ 4x3 dx 1,Îòâåò:.
ò Çàäàíèå Âû÷èñëèòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë èëè äîêàçàòü åãî ðàñõîäèìîñòü:
dx.
ò 9 - xÐåøåíèå.
Ôóíêöèÿ íå îãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = 3. Ïîýòîìó òî÷êà 9 - xx = 3 – îñîáàÿ. Ïî îïðåäåëåíèþ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà 3- 3 3- dx dx x 3 - = lim = lim arcsin = lim arcsin = arcsin 1=.
ò ò 3 3 9 - x2 0 0 9 - x2 dx = Îòâåò:.
ò 9 - x2 Çàäàíèå Âû÷èñëèòü ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè y =, y = x, x = 4.
x Ðåøåíèå.
Èñêîìàÿ ïëîùàäü çàøòðèõîâàíà íà ðèñóíêå.
Ÿ âåëè÷èíà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå æ ö æ ö xS = x - dx = - 4ln | x |÷ = ç ÷ òè x ø ç è ø.
= 8 - 4ln 4 - 2 + 4ln 2 = 6 - 8ln 2 + 4ln 2 = 6 - 4ln Îòâåò: 6 - 4ln 2.
ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ Ââåäåíèå ….…………………………. ……………………….
Ó÷åáíûé ïëàí äèñöèïëèíû ……...……. …………………… Öåëè è çàäà÷è äèñöèïëèíû …………………. ……………… Îáùèå ðåêîìåíäàöèè ñòóäåíòó çàî÷íîãî îòäåëåíèÿ ïî èçó÷åíèþ êóðñà ìàòåìàòèêè..........………...…………..…… Óêàçàíèÿ ïî âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíûõ ðàáîò. …………… Òàáëèöà âàðèàíòîâ.……………………….. ………………… Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà …………………. ……………… Ðàáî÷àÿ ó÷åáíàÿ ïðîãðàììà êóðñà è ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê èçó÷åíèþ ïðåäìåòà …………………………………… ÇÀÄÀÍÈß ÊÎÍÒÐÎËÜÍÛÕ ÐÀÁÎÒ ……………………… Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 1 ………………………………… Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 2 ……….………………………… Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 3 …………………….…………… ÎÁÐÀÇÖÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÊÎÍÒÐÎËÜÍÛÕ ÐÀÁÎÒ.…..