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ÁÅÑÏËÀÒÍÀß ÝËÅÊÒÐÎÍÍÀß ÁÈÁËÈÎÒÅÊÀ

   Äîáðî ïîæàëîâàòü!


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Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1. Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé. Ÿ ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë, å¸ ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë.

2. Ïðîèçâîäíàÿ ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ, ÷àñòíîãî.

3. Ïðîèçâîäíàÿ ñëîæíîé ôóíêöèè.

4. Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.

5. Îïðåäåëåíèÿ âîçðàñòàþùåé è óáûâàþùåé íà îòðåçêå ôóíêöèè. Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ.

6. Îïðåäåëåíèÿ òî÷êè ìàêñèìóìà è òî÷êè ìèíèìóìà ôóíêöèè. Ýêñòðåìóì. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà.

Ïîñëå èçó÷åíèÿ òåì ÐÀÇÄÅËÀ ñòóäåíò äîëæåí âûïîëíèòü êîíòðîëüíóþ ðàáîòó ¹ ÐÀÇÄÅË Íåîïðåäåë¸ííûé è îïðåäåë¸ííûé èíòåãðàëû ÒÅÌÀ 7. Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé. ([1], ãë.7, ãë.8); ([2] ñòð.85 ¹2, 3, 7, 20, 24, 36, 48, 115, 119; ñòð. ¹255,256,268,269,290 ).

Ïåðâîîáðàçíàÿ. Íåîïðåäåë¸ííûé èíòåãðàë, åãî ñâîéñòâà. Òàáëèöà èíòåãðàëîâ. Îñíîâíûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ: íåïîñðåäñòâåííîå èíòåãðèðîâàíèå, çàìåíà ïåðåìåííîé, èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì.

Ðàçëîæåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé íà ñóììó ïðîñòåéøèõ. Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé.

Èíòåãðèðîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ è òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé.

Îïðåäåëåíèå îïðåäåë¸ííîãî èíòåãðàëà, åãî ñâîéñòâà.

Ôîðìóëà Íüþòîíà - Ëåéáíèöà. Çàìåíà ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì â îïðåäåë¸ííîì èíòåãðàëå.

Ãåîìåòðè÷åñêèå è ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåë¸ííîãî èíòåãðàëà.

Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû íà êîíå÷íîì è áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëàõ.

Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ Âûïèøèòå òàáëèöó îñíîâíûõ ôîðìóë èíòåãðèðîâàíèÿ. Íà ïðèìåðàõ ðàçáåðèòå ìåòîä ïîäñòàíîâêè è ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì.

Âàæíî ïîíÿòü îïðåäåëåíèå îïðåäåë¸ííîãî èíòåãðàëà êàê ïðåäåëà èíòåãðàëüíîé ñóììû è âûòåêàþùèå èç íåãî ïðèëîæåíèÿ ê ãåîìåòðè÷åñêèì è ôèçè÷åñêèì çàäà÷àì.

Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1. Îïðåäåëåíèå ïåðâîîáðàçíîé è íåîïðåäåë¸ííîãî èíòåãðàëà. Ñâîéñòâà íåîïðåäåë¸ííîãî èíòåãðàëà.

2. Òàáëèöà îñíîâíûõ èíòåãðàëîâ.

3. Çàìåíà ïåðåìåííîé â íåîïðåäåë¸ííîì èíòåãðàëå.

4. Ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì.

5. Îïðåäåëåíèå îïðåäåë¸ííîãî èíòåãðàëà. Åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë è ñâîéñòâà.

6. Ôîðìóëà Íüþòîíà- Ëåéáíèöà.

7. Âû÷èñëåíèå ïëîùàäåé, äëèí äóã, îáú¸ìîâ ñ ïîìîùüþ îïðåäåë¸ííîãî èíòåãðàëà.

8. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà. Ñõîäèìîñòü è ðàñõîäèìîñòü.

Ïîñëå èçó÷åíèÿ ÐÀÇÄÅËÀ ñòóäåíò äîëæåí âûïîëíèòü êîíòðîëüíóþ ðàáîòó ¹ ÇÀÄÀÍÈß ÊÎÍÒÐÎËÜÍÛÕ ÐÀÁÎÒ ÊÎÍÒÐÎËÜÍÀß ÐÀÁÎÒÀ ¹ Ëèíåéíàÿ àëãåáðà, âåêòîðû, àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ.

ÇÀÄÀÍÈÅ A, B, C, D.

Äàíû ìàòðèöû Íàéòè ìàòðèöû 2A - B, A2, A×C, D ×C, A- 1 (ñ ïðîâåðêîé).

1.2 3 1 3 2 - 1 - 3 3 1 4 1 3 2 A=, B=, C=, D=.

1 1 2 1 - 1 2 1 - 1 1.1 4 2 3 1 - 2 3 2 3 1 1 2 3 A=, B=, C=, D=.

2 1 - 4 - 7 5 1 - 4 - 7 1. - 2 1 2 1 - 2 - 3 1 3 1 0 1 3 - A=, B=, C=, D=.

1 1 - 7 - 4 5 4 - 7 - 4 1.2 1 5 3 - 1 4 2 4 - 4 3 - 4 - 4 - 2 1 - A=, B=, C=, D=.

1 0 1 - 1 4 2 1 0 1.2 1 0 - 1 - 5 6 - 1 4 2 1 3 - 4 A=, B=, C=, D=.

1 1 - 4 1 7 0 2 1 1. - 4 3 - 4 - - 1 1 - 2 1 0 3 1 A=, B=, C=, D=.

2 1 0 1 - 1 4 - 7 5 1.4 3 1 2 3 0 - 1 3 2 1 4 1 1 2 A=, B=, C=, D=.

1 2 1 1 3 0 0 1 1. - 1 2 - 1 1 2 - 4 - 1 4 3 7 3 1 1 - A=, B=, C=, D=.

8 1 1 2 - 4 1 3 - 7 1.2 3 - 4 4 2 - 3 4 3 2 - 4 3 1 - 7 A=, B=, C=, D=.

1 2 - 1 - 1 5 2 2 1 1.5 2 4 - 7 1 - 2 10 5 2 4 5 3 - 1 A=, B=, C=, D=.

1 1 - 4 3 3 3 2 4 ÇÀÄÀÍÈÅ A, B, C, D Äàíû êîîðäèíàòû òî÷åê:.

Íàéòè: 1) äëèíó âåêòîðà, AB 2) óãîë ìåæäó âåêòîðàìè, AB è AD 3) óðàâíåíèå ïðÿìîé AB, 4) óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ABC, 5) óãîë ìåæäó ðåáðîì è ãðàíüþ ABC, AD 6) îáú¸ì ïèðàìèäû ABCD, 7) óðàâíåíèå âûñîòû, îïóùåííîé èç âåðøèíû íà ãðàíü ABC, D 8) ñäåëàòü ÷åðòåæ.

2.1 A (5, 1, 4 ); B (-7, 6, 5 ); C (3, -4, 3 ); D (0, 2, 9 ).

2.2 A (5, 2, 0 ); B (2, 5, 0 ); C (1, 2, 4 ); D (-1, 1, 1 ).

2.3 A (-2, 0, -4 ); B (-1, 7, 1 ); C (4, -8, -4 ); D (1, -4, 6 ).

2.4 A (2, -1, 2 ); B (1, 2, -1 ); C (3, 2, 1 ); D (-4, 2, 5 ).

2.5 A (-1, 2, -3 ); B (4, -1, 0 ); C (2, 1, -2 ); D (3, 4, 5 ).

2.6 A (1, -1, 1 ); B (-2, 0, 3 ); C (2, 1, -1 ); D (2, -2, -4 ).

2.7 A (1, 2, 0 ); B (1, -1, 2 ); C (0, 1, -1 ); D (-3, 0, 1 ).

2.8 A (1, 0, 2 ); B (1, 2, -1 ); C (2, -2, 1 ); D (2, 1, 0 ).

2.9 A (1, 3, 0 ); B (4, -1, 2 ); C (3, 0, 1 ); D (-4, 3, 5 ).

2.10 A (0, 3, 2 ); B (-1, 3, 6 ); C (-2, 4, 2 ); D (0, 5, 4 ).

ÇÀÄÀÍÈÅ Äàíà ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

Ðåøèòü å¸ äâóìÿ ñïîñîáàìè: 1) ìåòîäîì Ãàóññà; 2) ìàòðè÷íûì ìåòîäîì.

x + 2y + 3z = 1 2x + y - z = 2x - 3y + 2z = 9 3x + 2y + 2z = - 3.1 3. 5x + 8y - z = 7 x + y - 2z = x + 2y + 3z = 5 x + 2y - z = 2x - y - z = 1 2x - 3y + 2z = 3.3 3. x + 3y + 4z = 6 3x + y + z = x + y - z = 0 x + y - z = - 3x + 2y + z = 5 4x - 3y + z = 3.5 3. 4x - y + 5z = 3 2x + y - z = x + 2y + 3z = 14 x + y + 2z = - 5x - y - z = 0 2x - y + 2z = - 3.7 3. 4x + 3y + 2z = 16 4x + y + 4z = - 2x + y + 3z = 11 x + y - z = 3x + 2y + z = 5 8x + 3y - 6z = 3.9 3. x + y + z = 3 4x + y - 3z = ÇÀÄÀÍÈÅ z Äàíî êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Òðåáóåòñÿ:

z 1) çàïèñàòü ÷èñëî â àëãåáðàè÷åñêîé è òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìàõ;

2) íàéòè âñå çíà÷åíèÿ è èçîáðàçèòü èõ ðàäèóñ-âåêòîðàìè;

z 3) íàéòè, îòâåò çàïèñàòü â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé è àëãåáðàè÷åñêîé ôîðzìàõ.

2 4.1 z = ; 4.2 z = ;

1 + i 1 + i 2 2 2 4.3 z = – ; 4.4 z = – ;

1 - i 1 + i - 2 4.5 z = ; 4.6 z = ;

1 - i 1 - i 4 - 4.7 z = ; 4.8 z = ;



1 - i 3 3 - i 1 4.9 z = ; 4.10 z =.

3 + i 3 - i ÊÎÍÒÐÎËÜÍÀß ÐÀÁÎÒÀ ¹ Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé.

ÇÀÄÀÍÈÅ Íàéòè ïðåäåëû ôóíêöèé.

x - x + 3x2 x - lim 5.1 a) lim, á) lim, â), x x x x2 + 4x - 4 - 2x2 x2 - x x 1 - cos 2x 2x + lim ã), ä).

lim x tg 6x x 2x + 1 - 6x + 7x3 x2 - 1 x2 - 2x - lim 5.2 à) lim, á), â) lim, x x 1 x x - 1 - 3 - x3 2x2 - x - x- arctg 3x 15x + lim ã), ä).

lim x tg 8x x - 15x 6x4 + 2x2 - 3 x3 + 2x2 - x - 2 2x + 3 - 5.3 à) lim, á) lim, â) lim, x x 1 x 1 - 2x4 2x2 - x - 1 3 + 2x - x- 4x 1- cos 4x x + lim ã), ä).

lim x xsin 5x x x + 2x3 + 3x2 + 4x x2 - 4 x - 2 - x lim 5.4 à) lim, á) lim, â), x x - 2 x 1 + 15x - x3 x3 + 2x2 - x - 2 x2 + 5x - x lim ctg tg 3x x ã), ä).

lim(1 + sin x) x x 5x2 + 4x + 1 x2 - 25 x + 2 + x 5.5 à) lim, á) lim, â) lim, x x 5 x - 3 + x - 2x2 x2 - 4x - 5 x2 - sin 3x tg2x ln(x + 3) - ln lim ã), ä).

lim x x sin 4x x x 7x4 - 3x3 + 2x2 x2 - 4x 4x + 1 - 5.6 à) lim, á) lim, â) lim, x x 4 x 5 - 2x4 x2 - 3x - 4 x2 + x - x sin x lim (x + 1) (ln(2x + 5) - ln 2x) lim ã), ä).

x + x cos 6x - 1 + 2x + 3x2 x2 - 2x + 1 2x + 9 - 5.7 à) lim, á) lim, â) lim, x x 1 x 5 - 6x - 2x2 x3 - x2 - x + 1 x2 - 6x - 3x2 - 5x lim x2 (ln(3x2 - 1) - ln(3x2 )) lim ã), ä).

x x tg 3x 2x2 + 3x - 2x5 + 3x3 + x x2 + 3x + 5.8 à) lim, á) lim, â) lim, x x x - 0,5 + x - 2x 1 + x2 - 3x5 x3 + 2x2 - x - sin 7x - sin 2x ln(1 + 7x2 ) lim ã), ä) lim.

x 0 x sin x 3xx - 3x2 + 2x3 x2 + 2x - 3 1 + 2x - 5.9 à) lim, á) lim, â) lim, x x - 3 x 5x3 - 6x2 + 3x + 2 x3 + 4x2 + 3x x2 - 3x - x x2 ctg2x lim ã), ä) x2 - 9.

lim(2x - 5) x tg5x x 2x4 + 3x2 + 4 x3 - x2 - x + 4 + x + x2 - 5.10 à) lim, á) lim, â), lim x x 6x4 - x3 + x2 x3 + x2 - x - 1 x - x + x+ cos x - cos3 x x- ã) lim, ä).

lim(4x - 7) x sin2 2x x ÇÀÄÀÍÈÅ dy Íàéòè ïðîèçâîäíûå äàííûõ ôóíêöèé.

dx 1- cos x x y = 6.1 à) y = arccos x e ; á) ; â) y = arcsin3 (- x) ;

1+ 2x ã) ; ä) y = (ctg 4x)x.

cos 3x y = e x3 - y = 6.2 à) ; á) ; â) ;

y = x5 ln x y = ln (1 + x2) arctg x x / ã) ; ä) y = (cos 2x)sin x.

y = arcsin 7 - e sin x y = arcsin x log3 x y = y = tg6.3 à) ; á) ; â) ;

1+ cos x x x ã) y = earccos 5x ; ä).

y = (x2 + 3) x x + e 6.4 à) y = ; â) ;

y = cos x x3 ; á) x y = arctg (ln x) x - e ã) y = 103- ln 3x ; ä) y = (tg x)arcsin x.

2x y = 6.5 à) y = log2 x x10 ; á) ; â) y = sin5(1- x3);

ln x - x ã) y = x + x + x4 ; ä) y = (1 - x2 )arccos.

2 - x y = 6.6 à) y = 3x tg x ; á) ; â) y = ctg ;

x2 + x x ã) y = arccos 3 - ex ; ä) y = (ln x)ctg2x.

4 + xy = 6.7 à) ; á) ; â) y = tg2 ( x) ;

y = x3 sin x ctg x - x y = log2 arcsin ã) ; ä) y = (cos3x)2x+ 1.

xx e y = log5 x arccos x 6.8 à) ; á) y = ; â) ;

y = x5 - 3x + x 1 - xã) y = 5x+ arctg 3x ; ä) y = (x3 + 4)sin 2x.

x3 - 6x + y = 6.9 à) ; á) ; â) y = ln3 (sin 3x) ;

y = 3x x- ln x arccos ã) ; ä) y = (x2 + 2)cos 3x.

x y = e tg x - 2x y = 6.10 à) y = (x3 + 3x5) log3 x ; á) ; â) y = arccos2 tg x ;

x2 + x ã) y = arctg 6x - 1; ä) y = (x2 - 1).

ÇÀÄÀÍÈÅ Ïðîâåñòè ïîëíîå èññëåäîâàíèå ôóíêöèé è ïîñòðîèòü èõ ãðàôèêè.

x3 + 7.1. à) y = ; á) y = x3 e- x.

xy = 7.2. à) ; á) y = (x - 1) e3x+ 1.

x2 + 2x x2 - 4x + 1; á) 7.3. à).

y = y = e4x- xx - 4x y = 7.4. à) ; á) y = (x2 + 2) e- x2.

(x + 1)x 3x4 + 1 e 7.5. à) y = ; á).

y = x xy = 7.6. à) ; á) y = ln x - x2.

3 + 2x - x2 3x - 2 ln(x + 2) y = y = 7.7. à) ; á).

x + xx2 - 3x + 7.8. à) ; á) y = x2 ln x.

y = x - 8 (x - 1) y = y = x - ln(x + 1).

7.9. à) 2 ; á) (x + 1) x x y = - arctg x y = 7.10. à) ; á).

x2 + 2x - ÊÎÍÒÐÎËÜÍÀß ÐÀÁÎÒÀ ¹ Íåîïðåäåë¸ííûé è îïðåäåë¸ííûé èíòåãðàëû.

ÇÀÄÀÍÈÅ Âû÷èñëèòü íåîïðåäåë¸ííûå èíòåãðàëû.  ïóíêòàõ à) è á) ðåçóëüòàòû ïðîâåðèòü äèôôåðåíöèðîâàíèåì.

x2dx 8.1 à) ; á) x sin x dx ;

x6 + 5x - 13 1 + tg2 x â) x + 2x - 3 dx ; ã) tg x - 1 dx.

1 + sin 2x ln x dx dx 8.2 à) ; á) ;

sin x xdx x + â) x + x - 2 dx ; ã) (x - 1)3 + x - 1.

x + ln x 8.3 à) ; á) dx arctg x dx ;

x x - â) x - 2x - 15 dx ; ã) sin x cos3 x dx.

x2 dx 2 x 8.4 à) ; á) x e- dx ;

1 + x- x - 18 sin3 x â) ã) x + x - 12 dx ; cos x dx.

2 dx 8.5 à) ; á) x 1 - ln x x cos2 x dx ;

- 4x - â) ã) x - 7x - 8 dx ; tg x dx.

dx x / 8.6 à) ; á) cosx e dx ;

x 1 + tg x 2x + â) ã) x + 2x - 8 dx ;

2 sin x cos2 x dx.

cos x dx 8.7 à) ; á) 9 + sin (x + 2) 3x dx ;

x dx x + â) ã).

x - 6x - 7 dx ;

(2x)3 - 2x x cos x 1 + ln x dx 8.8 à) ; á) ;

dx sin x x 3x - â) ã) x + 3x - 40 dx ; cos x dx.

(x + 1) dx (arcsin x)3 - dx 8.9 à) ; á) ;

cos2 x 1 - xx + 18 x â) ã) x - 4x - 12 dx ;

x + 2 dx.

sin x - cos x ln x dx 8.10 à) ; á) ;

(cos x + sin x)3 dx x x + 50 x3 dx â) ã).

x + x - 20 dx ;

x2 + ÇÀÄÀÍÈÅ b Âû÷èñëèòü ïðèáëèæ¸ííîå çíà÷åíèå îïðåäåë¸ííîãî èíòåãðàëà f (x) dx ñ a ïîìîùüþ ôîðìóëû Ñèìïñîíà, ðàçáèâ îòðåçîê èíòåãðèðîâàíèÿ íà 10 ÷àñòåé. Âñå âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäèòü ñ îêðóãëåíèåì äî òðåòüåãî äåñÿòè÷íîãî çíàêà.

8 x3 + 16 dx x3 + 9 dx 9.1. 9.2.

- 2 7 x3 + 32 dx x3 + 5 dx 9.3. 9.4.

- 3 9 x3 + 2 dx x3 + 4 dx 9.5. 9.6.

- 1 x3 + 3 dx x3 + 36 dx 9.7. 9.8.

1 - 8 x3 + 8 dx x3 + 11 dx 9.9. 9.10.

- 2 - ÇÀÄÀÍÈÅ Âû÷èñëèòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë èëè äîêàçàòü åãî ðàñõîäèìîñòü.





+ x dx 10.1. 10.3 (x + 1)3 dx.

x + - 2 + dx x dx 10.3. 10.4.

x+ 2x + x2 - - + x dx 3x2 + dx 10.5. 10.6.

(x2 + 5)3 x2 1 + dx x10.7 10.(x - 1)2. x e- dx.

- 1 + e ln x dx dx 10.9. 10. x ln2 x.

x 2 ÇÀÄÀÍÈÅ 11.1. Âû÷èñëèòü ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ïàðàáîëîé y = 2x - x è y = - x ïðÿìîé.

11.2. Âû÷èñëèòü ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè.

y = x2, y = 11.3. Âû÷èñëèòü ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè.

y = x2, y = 2 - x11.4. Âû÷èñëèòü ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ïàðàáîëàìè.

y = 4 - x2, y = x2 - 2x 11.5. Âû÷èñëèòü îáú¸ì òåëà, îáðàçîâàííîãî âðàùåíèåì âîêðóã îñè Ox y = ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ïàðàáîëîé y = 2x - x2 è ïðÿìîé.

11.6. Âû÷èñëèòü îáú¸ì òåëà, îáðàçîâàííîãî âðàùåíèåì âîêðóã îñè Îõ ôèæ ö y = sin 2x, y = 0, 0 £ t £ ãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè.

ç ÷ è ø 11.7. Âû÷èñëèòü äëèíó äóãè àñòðîèäû æ ö.

x = acos3t; y = asin3t, 0 £ t £ ç ÷ è ø 11.8. Âû÷èñëèòü äëèíó äóãè êðèâîé y = ln (x2 - 1), (2 £ x £ 3).

11.9. Âû÷èñëèòü äëèíó äóãè êðèâîé y = x3/2, (0 £ x £ 3).

11.10. Âû÷èñëèòü äëèíó äóãè êðèâîé x = (t - sint); y = (1- cost), (0 £ t £ 2 ).

ÎÁÐÀÇÖÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÊÎÍÒÐÎËÜÍÛÕ ÐÀÁÎÒ ÊÎÍÒÐÎËÜÍÀß ÐÀÁÎÒÀ ¹ Çàäàíèå Äàíî:

2 4 1 æ ö æ - 2 0 ö æ ö A=ç 3 1 2÷, B=ç - 1 0 3÷, C=ç - 2÷.

ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ç ç ÷ 1 5 3÷ - 1 3 1÷ è ø è ø è3 ø Íàéòè: A2, A2 + 5B, A×C, A- 1.

Ðåøåíèå:

2 4 1 2 4 1 2×2 + 4×3 + 1×1 2×4 + 4×1+ 1×5 2×1+ 4×2 + 1׿ ö æ ö æ ö ç A2 = A×A= ç 3 1 2÷ ×ç 3 1 2÷ = ç 3×2 + 1×3 + 2×1 3×4 + 1×1+ 2×5 3×1+ 1×2 + 2×3÷ = ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 5 3÷ ç 1 5 3÷ ç + 5×3 + 3×1 1×4 + 5×1+ 3×5 1×1+ 5×2 + 3×è ø è ø è1×2 ø 19 17 æ ö =ç 11 23 11÷ ;

ç ÷ ç 20 24 20÷ è ø 19 17 13 1 - 2 0 19 17 13 5 - 10 æ ö æ ö æ ö æ ö =ç 11 23 11÷ +5ç - 1 0 3÷ =ç 11 23 11÷ +ç - 5 0 15÷ = A2 + 5B ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 20 24 20÷ ç - 1 3 1÷ ç 20 24 20÷ ç - 5 15 è ø è ø è ø è ø 24 7 æ ö ç = 6 23 26÷ ;

ç ÷ ç è15 39 25÷ ø 2 4 1 2 2×2 + 4×(- 2) + 1×3 æ ö æ ö æ ö æ- ö ç ÷ A×C =ç 3 1 2÷ ç - 2÷ =ç 3×2 + 1×(- 2) + 2×3 ÷ =ç 10 ÷ ;

ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 5 3÷ ç ÷ ç1×2 + 5×(- 2) + 3×è ø è3 ø è ø è1 ø A11 A21 Aæ ö ç ÷ ç ÷ A12 A22 A32 ÷ ç A- 1 =, ãäå ç ÷ ç A13 A23 A33 ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 2 4 1 2 3 2 3 = 3 1 2 = 2 - 4 + 1 = - 14 - 28 + 14 = - 28 ;

5 3 1 3 1 1 5 aij Aij - àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå ýëåìåíòà.

1 2 3 2 3 A11 = (- 1)2 × = - 7; A12 = (- 1)3 × = - 7; A13 = (- 1)4 × = 14;

5 3 1 3 1 4 1 2 1 2 A21 = (- 1)3 × = - 7; A22 = (- 1)4 = 5; A23 = (- 1)5 × = - 6;

5 3 1 3 1 4 1 2 1 2 A31 = (- 1)4 × = 7; A32 = (- 1)5 × = - 1; A33 = (- 1)6 × = 10.

1 2 3 2 3 æ- 7 - 7 7 ö æ 7 7 - ö 1 ç ÷ ç ÷ A-1 = - - 7 5 - 1 = 7 - 5 ç ÷ ç ÷ 28 ç ÷ 14 - 6 - 10÷ ç - 14 6 è ø è ø Ïðîâåðêà:

7 7 - 7 2 4 æ ö æ ö ç ÷ A×A- 1 = A- 1 ×A = 7 - 5 1 ×ç 3 1 2÷ = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç - 14 6 10 1 5 3÷ è ø è ø 7×2 + 7 ×3 - 7×1 7 ×4 + 7 ×1- 7 ×5 7 ×1+ 7 ×2 + - 7 ׿ ö ç ÷ = 7×3- 5×3+ 1×1 7 ×4 + 5×1+ 1×5 7 ×1+ - 5×2 + 1×3 = ç ÷ ç - 14×2 + 6×3+ 10×1 - 14×4 + 6×1+ 10×5 - 14×1+ 6×2 + 10×3÷ è ø 28 0 0 1 0 æ ö æ ö ç ÷ ç = 0 28 0 = 0 1 0÷ = E.

ç ÷ ç ÷ ç 0 0 28÷ ç 0 1÷ è ø è0 ø Ïîëó÷èëè, ÷òî, çíà÷èò îáðàòíàÿ ìàòðèöà âû÷èñëåíà âåðíî.

A-1 ×A=E A-Çàäàíèå Äîêàçàòü ñîâìåñòíîñòü ñèñòåìû óðàâíåíèé ì x1 + 2x2 - x3 = ï 2x1 - 3x2 + 2x3 = í ï 3x1 + x2 + x3 = î è ðåøèòü å¸ à) ìåòîäîì Ãàóññà, á) ìàòðè÷íûì ìåòîäîì.

Ðåøåíèå:

æ 1 2 - 1ö ç ÷ A = 2 - 3 Ìàòðèöà ñèñòåìû, ç ÷ ç ÷ 3 1 è ø æ 1 2 - 1 2ö ç C = 2 - 3 2 2÷.

ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà ç ÷ ç 3 1 1 8÷ è ø Âû÷èñëèì ðàíãè ìàòðèöû À è ìàòðèöû Ñ.

Ïðèìåíèì ê ìàòðèöàì À è C ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Îáîçíà÷èì ñõåìàòè÷åñêè óìíîæåíèå i-é ñòðîêè íà ÷èñëî m è ïðèáàâëåíèå ïîëó÷åííîé ñòðîêè ê k-é ñòðîêå.

* * * æ ö Àíàëîãè÷íîå îáîçíà÷åíèå ïðèìåíèì ê ñòîëáöàì.

ç ÷ ÕÌ - ñòðîêà ç iÿ ÷ Äåëåíèå ñòðîêè (ñòîëáöà) íà ÷èñëî N îáîçíà÷èì ç ÷ * * * : N ç ÷ + kÿ- ñòðîêà è ø x(-1) 1 2 - 1 1 2 0 1 2 0 1 0 æ ö æ ö æ ö æ ö ç ç Þ 0 - 7 4÷ Þ 0 - 7 4÷ ÕÌ Þ A=ç 2 - 3 2 ÷ Þ ç 2 - 3 4÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ + ç ÷ ç 3 1 1 3 1 4÷ ç 0 - 5 4÷ ç 0 - 5 4÷ è ø è ø è ø è ø 1 0 0 1 0 0 1 0 æ ö æ ö æ ö ç ç ç Þ 0 - 7 4÷ Þ 0 - 7 4÷ x7 Þ 0 1 0÷ Þ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ç : 0 2 0÷ 0 2 0÷ + ç 0 - 7 4÷ è ø è ø è ø 1 0 0 1 0 æ ö æ ö ç ç.

Þ 0 1 0÷ Þ 0 1 0÷ ç ÷ ç ÷ ç 0 0 4÷ : 4 ç 0 0 1÷ è ø è ø Ñëåäîâàòåëüíî, ðàíã À = 3.

Âû÷èñëèì ðàíã ìàòðèöû Ñ.

: (-2) x(-2) x(-3) 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 æ ö æ ö æ - 5 3 ö + ç ç Þ 0 - 7 4 - 2÷ Þ 0 - 7 4 - 2÷ Þ C = ç 2 - 3 2 2÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 3 1 1 8÷ + ç 0 - 5 4 2 0 - 12 8 è ø è ø è ø æ - 5 3 0 1 0 3 - 5 1 0 3 0 1 0 3 ö æ ö æ ö æ ö ç ç ÷ ç ÷ ç Þ 0 - 7 4 1÷ Þ 0 1 4 - 7 Þ 0 1 4 0 Þ 0 1 4 0÷ Þ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 0 - 12 8 0÷ ç 0 0 8 - 12÷ ç 0 0 8 - 12÷ ç 0 0 8 1÷ è ø è ø è ø è ø x5 + x(-3) + : (-12) x7 + x(-4) + + x(-8) 1 0 0 0 1 0 æ ö æ ö ç ç.

Þ 0 1 0 0÷ Þ 0 1 0÷ ç ÷ ç ÷ ç 0 0 0 1÷ ç 0 0 1÷ è ø è ø Ñëåäîâàòåëüíî, ðàíã Ñ = Òàê êàê ðàíã À = ðàíã Ñ, òî ñèñòåìà ñîâìåñòíà.

à) Ðåøåíèå ñèñòåìû ìåòîäîì Ãàóññà.

Ðàññìîòðèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó Ñ è îñóùåñòâèì ïðåîáðàçîâàíèå ñî ñòðîêàìè x(-2) x(-3) 1 2 - 1 2 1 2 - 1 æ ö æ ö x(-1) + ç Û 0 - 7 4 - 2÷ Û C=ç 2 - 3 2 2÷ ç ÷ ç ÷ + ç ÷ 3 1 1 8÷ + ç 0 - 5 4 è ø è ø 1 2 - 1 2 1 2 - 1 æ ö æ ö ç ç ÷.

0 - 7 4 - 2÷ 0 2 0 Û Û = G ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 0 2 0 4 0 - 7 4 - 2÷ è ø è ø Êîýôôèöèåíòû ìàòðèöû G ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ñèñòåìû óðàâíåíèé:

ì x1 + 2x2 - x3 = ï 2x2 = 4 Ïîëó÷èì: x2 = 2, x3 = 3, x1 =.

í ï - 7x2 + 4x3 = - î á) Ðåøåíèå ñèñòåìû ìàòðè÷íûì ìåòîäîì.

Ñèñòåìó óðàâíåíèé ì x1 + 2x2 - x3 = ï 2x1 - 3x2 + 2x3 = í ï 3x1 + x2 + x3 = î ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ìàòðè÷íîì âèäå, åñëè îáîçíà÷èòü ìàòðèöû:

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Ìàòåðèàëû ýòîãî ñàéòà ðàçìåùåíû äëÿ îçíàêîìëåíèÿ, âñå ïðàâà ïðèíàäëåæàò èõ àâòîðàì.
Åñëè Âû íå ñîãëàñíû ñ òåì, ÷òî Âàø ìàòåðèàë ðàçìåù¸í íà ýòîì ñàéòå, ïîæàëóéñòà, íàïèøèòå íàì, ìû â òå÷åíèè 1-2 ðàáî÷èõ äíåé óäàëèì åãî.