WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского Кафедра «Высшая математика» Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Составители: Заварзина И. Ф.

Ионова А. С.

Кулакова Р. Д.

Москва 2006 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Содержание.

1. Введение.

2. Основные понятия векторной алгебры, примеры решения задач.

3. Теоретические вопросы к защите курсовой работы 4. Варианты курсовых работ.

5. Список литературы.

PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Введение.

Методические указания по векторной алгебре предназначены для студентов 1 курса всех специальностей дневного и вечернего отделений. Методические указания по векторной алгебре содержат примеры решения некоторых задач векторной алгебры с необходимыми теоретическими обоснованиями этих решений, а также варианты курсовых работ и теоретические вопросы к защите курсовых работ.

1. Основные понятия векторной алгебры; примеры решения задач.

Основные понятия включают в себя: понятие вектора, разложение вектора по другим векторам, модуль вектора, скалярное произведение, векторное произведение и смешанное произведение, а также их приложения для решения задач.

a = 4,2,0 { } Пример 1. Задание. Разложить вектор по векторам p = 1,-1,2, q = 2,2,-1, r = 3,7,-7.

{ } { } { } Прежде чем привести решение задачи напомним понятие линейной зависимости системы векторов.

x1, x2,, xn и составим равенство вида:

Рассмотрим систему векторов c1 x1, c2 x2,,cn xn = 0, где с1, c2,,cn – постоянные величины. Если сi это равенство выполняется только при одновременном равенстве нулю всех, n i = 1,2,,n, то есть xi = 0 c, тогда система векторов называется линейно i i=независимой, в противном случае – система векторов линейно зависима, то есть один вектор можно представить в виде линейной комбинации других векторов.

c1 x1, c2 x2,,cn xn = 0, и пусть с1. Разделим левую и правую счасти равенства на, получим:

с2 сn x1 + x2 + + xn = 0;

с1 cс2 сn x1 =- x2 - - xn, с1 cPDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com x1 x1, x2,, xn.

то есть вектор представлен в виде линейной комбинации Решение.

p, q, r a Разложить вектор по векторам это значит представить его в a = c1 p + c2q + c3r, где с1,c2,c3 – искомые числа.

виде линейной комбинации Представим линейную комбинацию в координатной форме 2 = c1 -1 + c2 2 + c3 0 2 -1 - И получим систему линейных уравнений 4 = c1 + 2c2 + 3c 2 =-c1 + 2c2 + 7c 0 = 2c1 - c2 - 7c c1 = 3;c2 =-1;c3 = 1.

Решение системы имеет вид:

a = 3p - q + r.

Следовательно:

Пример 2.

Напомним понятие длины вектора (модуля вектора) a = xi + yj + zk Если, то a = x2 + y2 + z2 ; a – называется длиной вектора.

a a = a a Рассмотрим свойство скалярного произведения:, то есть a = a a.

Задание.

p + 2q Найти длину вектора, если p = a - b; q = a + 2b; a = 1; b = 3; a b =.

( ) Решение. Имеем PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com 2q = 2 a + 2b = 2a + 4b;

( ) p = a - b = a + -b ;

( ) p + 2q = 2a + 4b + a + -b = 3a + 3b;

( ) p + 2q = 3a + 3b 3a + 3b = 9 a + b = 9 a + 2a b + b = ( ) ( ) ( ) ( ) 1+ = 9 2 a b cos + 9 = 9 1+ 2 3 + 9 = 9 1- 3 + 9 = 63;

( ) p + 2q = 63.

Пример 3.

a и b Напомним определение коллинеарности двух векторов отличных от a и b a = b нуля: два вектора называются коллинеарными, если, где – некоторый постоянный множитель.

Задание.

x = 2,1, -2и удовлетворяющий a { } Найти вектор, коллинеарный вектору x a = условию: скалярное произведение векторов.

Решение.

a = x Запишем условие коллинеарности двух векторов и полученный a вектор подставим в условие x a = 27;

2 x = 27, x = 27, 22 +12 + (-2 = 27, 9 = 27, = 3.

) a = 3 x = 6,3,-6.

{ } Следовательно Пример 4.

Напомним определение скалярного произведения векторов:

a b = a b cos a b или a b = a a b = b npb a.

( ) Задание.

a b + c Вычислить проекцию вектора на направление вектора, если a = 1,-3,4, b = 3,-4,2, c = { } { } {-1,1, 4.

} Решение.

d = 2, -3,b + c = d { } Обозначим, тогда a d = a d cos a d = d npd a, отсюда ( ) PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com 12 + (-) (-3 + ) a d npd a = ; npd a == = 5.

d 4 + 9 + 5.

Ответ:

Пример 5.

a = x1, y1, z1 и b = x2, y2, z2. Напомним, что векторное { } { } Пусть a b произведение двух векторов и равно:

i j k a b = x1 y1 z1 = x i + y j + z k, x2 y2 zгде:

x = y1z2 - y2z1;

y = x2z1 - x1z2;

z = x1y2 - x2 y1.

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Задание.

ABD, если A 1,1,1 ; B 2,0,1 ; D 1,2,-1.

( ) ( ) ( ) Найти площадь треугольника Решение.

ABCD AB и AD Построим параллелограмм на векторах (рис. 1):

C B A D AB = 1,-1,0 ;

{ } рис. AC = 0,1,-2.

{ } PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com i j k AB AC = 1 -1 0 = 2i + 2 j + k 0 1 -SABCD = AB AC = 4 + 4 +1 = 3 (кв.ед.) S ABD = SABCD = (кв.ед.) Пример 6.

Задание.

a = 1,1,1 и b = 2,0,x { } { } Найти вектор, перпендикулярный векторам и x = OX образующий с осью тупой угол, если.



Решение.

c = a b c a и b Если, тогда вектор перпендикулярен векторам.

i j k с = 1 1 1 = i + j - 2k.

c Найдем вектор :

2 0 x a и b x c Так как тоже перпендикулярен, следовательно вектора и - x = c коллинеарны. Запишем условие коллинеарности векторов:, x =,,-2.

{ } x = По условию, то есть 2 2 + + 4 = 6; =1, отсюда =-1; =1.

x OX Так как вектор образует с осью тупой угол, то его проекция на ось OX должна быть отрицательной.

=-1, а x = -1,2.

{-1, } Отсюда Пример 7.

a = x, y, z { } a Рассмотрим вектор. Вектор образует с осями координат,, cos, cos, cos углы, а называются направляющими косинусами, xyz cos =, cos =, cos =.

при этом aaa Задание.

F = 1,-1,{ } Найти направляющие косинусы вектора силы, приложенной в B 5,1,0 A 3,2,-1.

( ) ( ) точке, и момент этой силы относительно точки PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Решение.

Найдем направляющие косинусы вектора силы:

Fx cos = == ;

F 1+1+1 Fy -1 cos = = =- ;

F 3 Fz cos = =.

F AB Момент силы определим как векторное произведение вектора на вектор F. Имеем AB = 2,-1,{ } F = 1,-1,{ } i j k m = AB F = 2 -1 1 =- j - k 1 -1 m = 0,-1,-1.

{ } Пример 8.

Напомним формулу смешанного произведения трех векторов a, b, c :

a = x1, y1, z1 b = x2, y2, z2 c = x3, y3, z3.

{ } { } { } x1 y1 za b c = x2 y2 z2.

x3 y3 za b c равен объему Известно, что модуль смешанного произведения параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Задача.

D Найти длину высоты пирамиды, опущенной из вершины (рис. 2), если ее A 2,3,1, B 4,1,-2, C 6,3,7 и D ( ) ( ) ( ) (-5,-4,8.

) вершины Решение.

PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com D h B A C рис. Найдем векторы:

AB = 2,-2, -3 ;

{ } AС = 4,0,6 ;

{ } AD = {-7,-7,7.

} AB, AС и AD Объем пирамиды, построенной на векторах, равен одной шестой модуля смешанного произведения этих векторов.

V = AB AС AD или V = S ABC h h, где – высота пирамиды, а AB и AС площадь прямоугольника, построенного на векторах равна одной S ABC = AB AC второй векторного произведения.

Вычислим смешанное произведение векторов 2 -2 -AB AC AD = 4 0 6 = -7 -7 = 308 =.

V Отсюда пирамиды Вычислим векторное произведение векторов:

i j k AB AC = 2 -2 -3 =-12i + 24 j + 8k 4 0 S ABC = 122 + 242 + 82 = = 14;

PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Найдем высоту пирамиды:

3V h === 11; h = 11.

S ABC PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com 2. Теоретические вопросы к защите курсовой работы.

1. Определение вектора. Линейные операции над векторами, свойства этих операций.

2. Разложение вектора по двум векторам на плоскости. Доказать возможность и единственность такого разложения.

3. Разложение вектора по трем векторам в пространстве.

4. Проекции вектора на ось. Свойства проекции.

5. Разложение вектора по координатным ортам. Координаты вектора.

cos2 + cos2 + cos2 = Направляющие векторы, вывод формулы.

6. Условия коллинеарности и компланарности векторов в векторной и координатной форме.

7. Радиус-вектор точки. Модуль вектора. Расстояние между двумя точками.

8. Вывод формулы деления отрезка в данном отношении.

9. Скалярное произведение векторов, его физическое толкование. Свойства скалярного произведения.

10. Проекция вектора на вектор. Угол между векторами. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов.

11. Скалярное произведение векторов в координатной форме.

12. Векторное произведение двух векторов, его физическое толкование.

13. Векторное произведение векторов в координатной форме.

14. Геометрические приложения векторного произведения.

15. Свойства векторного произведения.

16. Смешанное произведение трех векторов в координатной форме.

17. Необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

18. Смешанное произведение векторов в координатной форме.

19. Свойства смешанного произведения.

PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com 3. Варианты курсовых работ.

Задача № 1.

p, q, r x Написать разложение вектора по векторам.

№ п/п p q x r 1.1 (-2, 4, 7) (0, 1, 2) (1, 0, 1) (-1, 2, 4) 1.2 (6, 12, -1) (1, 3, 0) (2, -1, 1) (0, -1, 2) 1.3 (1, -4, 4) (2, 1, -1) (0, 3, 2) (1, -1, 1) 1.4 (-9, 5, 5) (4, 1, 1) (2, 0, -3) (-1, 2, 1) 1.5 (-5, -5, 5) (-2, 0, 1) (1, 3, -1) (0, 4, 1) 1.6 (13, 2, 7) (5, 1, 0) (2, -1, 3) (1, 0, -1) 1.7 (-19, -1, 7) (0, 1, 1) (-2, 0, 1) (3, 1, 0) 1.8 (3, -3, 4) (1, 0, 2) (0, 1, 1) (2, -1, 4) 1.9 (2, 2, -1) (3, 11, 0) (-1, 2, 1) (-1, 0, 2) 1.10 (-1, 7, -4) (-1, 2, 1) (2, 0, 3) (1, 1, -1) 1.11 (6, 5, -14) (1, 1, 4) (0, -3, 2) (2, 1, -1) 1.12 (6, -1, 7) (1, -2, 0) (-1, 1, 3) (1, 0, 4) 1.13 (5, -15,0) (1, 0, 5) (-1, 3, 2) (0, -1, 1) 1.14 (2, -1, 11) (1, 1, 0) (0, 1, -2) (1, 0, 8) 1.15 (11, 5, -3) (1, 0, 2) (-1, 0, 1) (2, 5, -3) 1.16 (8, 0, 5) (2, 0, 1) (1, 1, 0) (4, 1, 2) 1.17 (3, 1, 8) (0, 1, 3) (1, 2, -1) (2, 0, -1) 1.18 (8, 1, 12) (1, 2, -1) (3, 0, 2) (-1, 1, 1) 1.19 (-9, -8, -3) (1, 4, 1) (-3, 2, 1) (1, -1, 2) 1.20 (-5, 9, -13) (0, 1, -2) (3, -1, 1) (4, 1, 0) 1.21 (-15, 5, 6) (0, 5, 1) (3, 2, -1) (-1, 1, 0) 1.22 (8, 9, 4) (1, 0, 1) (0, -2, 1) (1, 3, 0) 1.23 (23, -14, -30) (2, 1, 0) (1, -1, 0) (-3, 2, 5) 1.24 (3, 1, 3) (2, 1, 0) (1, 0, 1) (4, 2, 1) 1.25 (-1, 7, 0) (0, 3, 1) (1, -1, 2) (2, -1, 0) 1.26 (11, -1, 4) (1, -1, 2) (3, 2, 0) (-1, 1, 0) 1.27 (-13, 2, 18) (1, 1, 4) (-3, 0, 2) (1, 2, -1) 1.28 (0, -8, 9) (0, -2, 1) (3, 1, -1) (4, 0, 1) 1.29 (8, -7, -13) (0, 1, 5) (3, -1, 2) (-1, 0, 1) 1.30 (2, 7, 5) (1, 0, 1) (1, -2, 0) (0, 3, 1) PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Задача № 2.





c1 и c2, построенные на векторах Определить коллинеарны ли векторы a и b.

№ п/п a c1 c b 2.1 (1, -2, 3) (3, 0, -1) 2a +4b 3b - a 2.2 (1, 0, -1) (-2, 3, 5) a+2b 3a - b 2.3 (-2, 4, 1) (1, -2, 7) 5a +3b 2a - b 2.4 (1, 2, -3) (2, -1, -1) 4a +3b 8a - b 2.5 (3, 5, 4) (5, 9, 7) 2a +b 3a - 2b 2.6 (1, 4, -2) (1, 1, -1) a+b 4a + 2b 2.7 (1, -2, 5) (3, -1, 0) 4a - 2b b - 2a 2.8 (3, 4, -1) (2, -1, 1) 6a - 3b b - 2a 2.9 (2, -3, -2) (1, 0, 5) 3a+9b a - 3b 2.10 (-1, 4, 2) (3, -2, 6) 2a - b 3b - 6a 2.11 (5, 0, -1) (7, 2, 3) 2a - b 3b - 6a 2.12 (0, 3, -2) (1, -2, 1) 5a - 2b 3a+5b 2.13 (-2, 7, -1) (-3, 5, 2) 2a + 3b 3a+2b 2.14 (3, 7, 0) (1, -3, 4) 4a - 2b b - 2a 2.15 (-1, 2, -1) (2, -7, 1) 6a - 2b b - 3a 2.16 (7, 9, -2) (5, 4, 3) 4a - b 4b - a 2.17 (5, 0, -2) (6, 4, 3) 5a - 3b 6b -10a 2.18 (8, 3, -1) (4, 1, 3) 2a - b 2b - 4a 2.19 (3, -1, 6) (5, 7, 10) 4a - 2b a - 2b 2.20 (1, -2, 4) (7, 3, 5) 6a - 3b b - 2a 2.21 (3, 7, 0) (4, 6, -1) 3a+2b 5a - 7b 2.22 (2, -1, 4) (3, -7, -6) 2a - 3b 3a - 2b 2.23 (5, -1, -2) (6, 0, 7) 3a - 2b 4b - 6a 2.24 (-9, 5, 3) (7, 1, -2) 2a - b 3a+5b 2.25 (4, 2, 9) (0, -1, 3) 4b - 3a 4a - 3b 2.26 (2, -1, 6) (-1, 3, 8) 5a - 2b 2a - 5b 2.27 (5, 0, 8) (-3, 1, 7) 3a - 4b 12b - 9a 2.28 (-1, 3, 4) (2, -1, 0) 6a - 2b b - 3a 2.29 (4, 2, -7) (5, 0, -3) a - 3b a - 3b 2.30 (2, 0, -5) (1, -3, 4) 2a - 5b 2a - 5b PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Задача № 3.

AB и AC Найти косинус угла между векторами.

№ п/п A B C 3.1 (6, 5, 1) (0, 1, 2) (2, 1, 0) 3.2 (5, 4, 2) (1, 2, 3) (3, 2, 1) 3.3 (2, 0, 4) (1, 1, 1) (3, 2, 1) 3.4 (1, 2, 3) (2, -1, 0) (3, 2, 1) 3.5 (1, -1, 2) (5, -6, 2) (2, 3, -1) 3.6 (3, -3, 1) (-3, -2, 0) (5, 0, 2) 3.7 (4, 2, 1) (0, 4, 5) (1, 2, 7) 3.8 (1, 0, 2) (2, 4, 3) (1, 7, 1) 3.9 (5, -1, 3) (2, 0, 1) (3, 1, -1) 3.10 (0, 8, 1) (2, 1, 1) (-1, 4, 5) 3.11 (1, 0, 4) (0, 2, 3) (-1, 1, 0) 3.12 (2, 3, 4) (3, 4, 5) (-4, 5, 6) 3.13 (1, -2, 3) (0, -1, 2) (3, -4, 5) 3.14 (0, -3, 6) (-12, -3, -3) (-9, -3, -6) 3.15 (3, 3, -1) (5, 5, -2) (4, 1, 1) 3.16 (-1, 2, -3) (3, 4, -6) (1, 1, -1) 3.17 (-4, -2, 0) (-1, -2, 4) (3, -2, 1) 3.18 (5, 3, -1) (5, 2, 0) (6, 4, -1) 3.19 (-3, -7, -6) (0, -1, -2) (2, 3, 0) 3.20 (2, -4, 6) (0, -2, 4) (6, -8, 10) 3.21 (0, 1, -2) (3, 1, 2) (4, 1, 1) 3.22 (3, 3, -1) (1, 5, -2) (4, 1, 1) 3.23 (2, 1, -1) (6, -1, -4) (4, 2, 1) 3.24 (-1, -2, 1) (-4, -2, 5) (-8, -2, 2) 3.25 (6, 2, -3) (6, 3, -2) (7, 3, -3) 3.26 (0, 0, 4) (-3, -6, 1) (-5, -10, -1) 3.27 (2, -8, -1) (4, -6, 0) (-2, -5, -1) 3.28 (3, -6, 9) (0, 3, 6) (9, -12, 15) 3.29 (0, 2, -4) (8, 2, 2) (6, 2, 4) 3.30 (3, 3, -1) (5, 1, -2) (4, 1, 1) PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Задача № 4.

F Определить направляющие косинусы вектора силы. Найти момент силы F B A, приложенной в точке, относительно точки.

№ п/п B A F 4.1 (3, 3, 3) (3, -1, 5) (4, -2, 3) 4.2 (4, 4, 4) (4, -2, 5) (5, -3, 3) 4.3 (8, -8, 8) (10, -8, 1) (9, -7, 3) 4.4 (-2, 2, -2) (11, -9, 1) (10, -8, 3) 4.5 (5, 5, 5) (5, -3, 5) (6, -4, 3) 4.6 (-3, 3, -3) (12, -10, 1) (11, -9, 3) 4.7 (6, 6, 6) (6, -4, 5) (7, -5, 3) 4.8 (-4, 4, -4) (13, -11, 1) (12, -10, 3) 4.9 (7, 7, 7) (7, -5, 5) (8, -6, 3) 4.10 (-5, 5, -5) (14, -12, 1) (13, -11, 3) 4.11 (-1, -1, 1) (8, -6, -5) (9, -7, 3) 4.12 (3, 3, -3) (0, 1, 2) (2, -1, -2) 4.13 (-2, -2, -2) (9, -7, 5) (10, -8, 3) 4.14 (4, 4, -4) (1, 0, 2) (3, 2, -2) 4.15 (-3, -3, -3) (10, -8, 5) (11, -9, 3) 4.16 (5, 5, -5) (2, -1, 2) (4, -3, 2) 4.17 (-4, -4, -4) (11, -9, 5) (12, -10, 3) 4.18 (6, 6, -6) (3, -2, 2) (5, -4, -2) 4.19 (-5, -5, -5) (12, -10, 5) (13, -11, 3) 4.20 (7, 7, -7) (4, -3, 2) (6, -5, -2) 4.21 (3, -3, 3) (5, -3, 1) (4, -2, 3) 4.22 (8, 8, -8) (5, -4, 2) (7, -6, -2) 4.23 (4, -4, 4) (6, -4, 1) (5, -4, 3) 4.24 (-2, -2, 2) (6, -5, 2) (8, -7, -2) 4.25 (5, -5, 5) (7, -5, 1) (6, -4, 3) 4.26 (-3, -3, 3) (7, -6, 2) (9, -8, 2) 4.27 (6, -6, 6) (8, -6, 1) (7, -5, 3) 4.28 (-4, -4, 4) (8, -7, 2) (10, -9, -2) 4.29 (7, -7, 7) (9, -7, 1) (8, -6, 3) 4.30 (-5, -5, 5) (9, -8, 2) (11, -10, 2) PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Задача № 5.

a b Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

p q pq № п/п b a p + 2q 3p - q 5.1 3p + q p - 2q 5.2 p - 3q p + 2q 5.3 3p - 2q p + 5q 5.p - 2q 2 p + q 5.5 p + 3q p - 2q 5.6 2 p - q p + 3q 5.7 4 p + q p - q 5.8 p - 4q 3p + q 5.9 p + 4q 2 p - q 5.10 3p + 2q p - q 5.11 4 p - q p + 2q 5.12 2 p + 3q p - 2q 5.13 3p - q p + 2q 5.14 2 p + 3q p - 2q 5.15 2 2 p - 3q 3p + q 5.16 3p - 2q 2 p + 3q 5.17 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com 4 p - 3q p + 2q 5.18 p - q p + q 5.19 5 p - q p + 5q 5.20 3p - q p + 3q 5.p - 4q p + 5q 5.22 5 p + q p - 3q 5.23 7 p - 2q p + 3q 5.24 6 p - q p + q 5.25 10 p + q 3p - 2q 5.26 6 p - q 2 p + 3q 5.2,3p + 4q q - p 5.28 7 p + q p - 3q 5.29 p + 3q 3p - q 5.30 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com Задача № 6.

a b с Определить компланарны ли вектора, и.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.