WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 14 |

Определение. Педальным (подрным) треугольником точки P относительно треугольника ABC называется треугольник, вершинами которого являются проP екции точки P на стороны треугольника ABC. Описанная окружность педального треугольника называется педальной (поA C дерной) окружностью точки P относительно треугольника ABC (рис. 2.13).

Рис. 2.Теорема 2.6. Педальный треугольник вырождается (проекции лежат на одной прямой) точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC.

1. Два диаметра эллипса сопряжены, если каждый из них параллелен касательным к эллипсу в концах другого.

42 Глава 2. Некоторые факты классической геометрии (Это просто переформулировка леммы Симсона.) Определение. Чевианным треугольником точки P относительно треугольника ABC называется треугольник, вершины которого – точ– ки пересечения прямых AP и BC, BP и AC, CP и AB. Описанная окружность чевианного треугольника называется чевианной окружностью точки P относительно треугольника ABC (рис. 2.14).

О свойствах чевианных треугольников будем говорить позже.

А сейчас дадим еще определение окружностно-чевианного треугольника.

C B B A P P A C A C B Рис. 2.14 Рис. 2.Определение. Окружностно-чевианным треугольником точки P относительно треугольника ABC называется треугольник, вершины которого – это точки повторного пересечения прямых AP, BP, CP – с описанной окружностью треугольника ABC (рис. 2.15).

Лемма 2.1. Педальный и окружностно-чевианный треугольники точки P относительно треугольника ABC подобны и одинаково ориентированы.

Доказательство. Рассмотрим случай, изображенный на рис. 2.16.

Остальные случаи разбираются аналогично.

Точки Pa, Pb, Pc – это вершины педального треугольника, а точки – A, B, C – вершины окружностно-чевианного треугольника. Мы име– ем AAC = ACC = PbPaP. Последнее равенство верно, поскольку четырехугольник PPaCPb вписанный. Аналогично доказывается, что AAB = PcPaP. А значит, CAB = PbPaPc. Аналогично ABC = = PaPbPc и ACB = PaPcPb. Но это и означает, что треугольники ABC и PaPbPc подобны.

Теорема 2.7. Окружностно-чевианные треугольники точек, инверсных относительно описанной окружности треугольника, подобны и по-разному ориентированы.

§ 2.3. Некоторые факты из геометрии треугольника B C PC A PA P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P A C PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB PB B Рис. 2.Сначала докажем следующую лемму.

Лемма 2.2. Пусть точки P и Q инверсны относительно окружности с центром O. Пусть отрезок PQ пересекает в точке R.

Тогда для любой точки A, лежащей на, RA – это биссектриса угла – PAQ.

A Доказательство. Поскольку точки P и Q инверсны, треугольники OAP и OQA подобны (рис. 2.17), следовательно, OQA = Q R = OAP. Поскольку O – центр окружности, – P O треугольник AOR равнобедренный, а значит, OAR = ORA. Таким образом, PAR = OAR - OAP = = ORA - OQA = RAQ, Рис. 2.что и требовалось доказать.

Из доказанной леммы следует, что окружность является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до P и Q постоянно (и отлично от 1). Она называется окружностью Аполлония отрезка PQ. О ней будет подробнее написано ниже.

Доказательство теоремы. Пусть точки P и Q инверсны относительно описанной окружности треугольника ABC (обозначим ее через ). Пусть отрезок PQ пересекает в точке R. Обозначим повторную точку пересечения прямой AP с через A, а прямой AQ – че– рез A. Ввиду леммы 2.2 прямая AR – биссектриса угла PAQ, следо– вательно, R делит дугу AA пополам, т. е. точки A и A симметрич44 Глава 2. Некоторые факты классической геометрии ны относительно OP. То же верно для пар точек B и B, C и C, вершин окружностно-чевианных треугольников точек P и Q относительно треугольника ABC. Таким образом, при симметрии относительно PQ треугольники переходят друг в друга, а значит, они подобны и поразному ориентированы.

Следствие. Педальные треугольники инверсных точек подобны и по-разному ориентированы.

Можно показать, что для любого треугольника XYZ существует единственная такая точка, что педальный треугольник этой точки относительно данного треугольника ABC подобен треугольнику XYZ при фиксированном порядке вершин.

В доказательстве предыдущей теоремы мы получили два подобных треугольника и точку P внутри них, так что углы, образованные сторонами и чевианами, связанными с точкой P, равны, но как бы меняются местами (рис. 2.16).

Таким образом, мы приходим к так называемому изогональному сопряжению относительно треугольника.

Пусть дан произвольный треугольник ABC и точка P, отличная от вершин треугольника. Отразим прямые, соединяющие вершины треугольника с точкой P, относительно биссектрис соответствующих углов треугольника. Оказывается, эти три прямые всегда пересекаются в одной точке (или же параллельны, B т. е. пересекаются в одной точке на проективной плоскости), которую мы обозначим P (рис. 2.18). Точку P называют изогонально сопряженной точке P относительно треугольника ABC, а преP P образование, переводящее каждую точку проективной плоскости в изогонально сопряженную, – изогональным сопря– A C жением.

На самом деле корректность этого Рис. 2.определения мы почти доказали в лемме 2.1. Действительно, возьмем треугольник ABC и точку P. Пусть ABC – окружностно-чевианный треугольник точки P относительно – треугольника ABC. Тогда треугольник ABC будет окружностно-чевианным треугольником точки P относительно треугольника ABC, а значит, подобен педальному треугольнику точки P относительно ABC. Следовательно, при подобии, переводящем педальный треугольник точки P в треугольник ABC, точка P перейдет в точку P, которая как раз и будет изогонально сопряженной.



Отметим несколько элементарных свойств изогонального сопряжения.

§ 2.3. Некоторые факты из геометрии треугольника 1. Если точка P не лежит на прямых, содержащих стороны треугольника, то точка P определяется однозначно и изогонально сопряженной точкой к P будет точка P. Такие две точки будем называть изогонально сопряженными.

2. Изогонально сопряженной точкой к точке, лежащей на прямой, содержащей сторону треугольника, будет вершина треугольника, противоположная этой стороне.

3. Изогональное сопряжение оставляет на месте ровно 4 точки плоскости, а именно, центры вписанной и трех вневписанных окружностей треугольника.

4. Если точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC, то изогонально сопряженной точке P будет точка на бесконечно удаленной прямой, которая задает направление, перпендикулярное прямой Симсона точки P относительно треугольника ABC (прямой, проходящей через проекции точки P на стороны треугольника ABC).

Первые три свойства очевидны. Докажем четвертое. Рассмотрим случай, изображенB ный на рис. 2.19, остальные случаи разбираются аналогично. Пусть точка P лежит на описанной окружности, а Pb и Pc – проекции X – Pc точки P на стороны AC и AB соответственно.

Точку пересечения прямой Симсона точки P Pb A с прямой a, симметричной AP относительC но биссектрисы A, обозначим через X. ЧеP тырехугольник APPcPb вписанный, а значит, APbPc = 180 - APPc = 180 - (90 - PAPc) = = 90 + PAPc = 90 + XAPb. Но, поскольку Рис. 2.внешний угол равен сумме двух оставшихся внутренних углов треугольника, AXPb = 90. Аналогично доказывается, что прямые, симметричные PB и PC относительно биссектрис соответствующих углов, перпендикулярны PbPc.

Из приведенного доказательства существования изогонально сопряженной точки сложно получить какие-нибудь его свойства. Мы сейчас приведем еще один способ построения изогонально сопряженной точки, который сразу же выведет нас на несколько красивых свойств этого преобразования.

Пусть точка P лежит внутри треугольника ABC, точка Pa симметрична ей относительно стороны BC, точки Pb и Pc определены аналогично (рис. 2.20). Пусть P – это центр описанной окружности тре– угольника PaPbPc. Точка C равноудалена от Pa и Pb, следовательно, прямая CP является серединным перпендикуляром к отрезку PaPb.

А значит, PaCP = PaCPb = C. Но тогда BCP = PaCP - BCPa = 46 Глава 2. Некоторые факты классической геометрии B Pc Pa P P A C Pb Рис. 2.= C - BCP = ACP. Аналогично показывается, что ABP = CBP и BAP = CAP. А это и означает, что точка P изогонально сопряжена P относительно ABC.

Если точка P лежит вне треугольника, то рассуждения абсолютно аналогичны, но, когда точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC, треугольник PaPbPc вырожден. Тогда центр описанной окружности треугольника PaPbPc не определен (хотя естественно описанной окружностью считать прямую PaPb, а ее центром – точ– ку на бесконечно удаленной прямой, соответствующую направлению, перпендикулярному PaPb).

Из второго построения изогонально сопряженных точек также следует, что центр педальной окружности точки P – это середина от– резка PP, а радиус в два раза меньше длины отрезка PPa, поскольку педальная окружность точки P – это окружность, получающаяся из – описанной окружности треугольника PaPbPc гомотетией с центром в точке P и коэффициентом.

Отсюда также следует такая теорема.

Теорема 2.8. Педальные окружности двух точек совпадают тогда и только тогда, когда они изогонально сопряжены.

Доказательство. Действительно, если точки P и P изогонально сопряжены, то их педальная окружность – это окружность с центром – PPa PPa в середине отрезка PP и радиусом =, где Pa и Pa – это точки, – 2 симметричные P и P относительно стороны BC треугольника ABC.

Докажем обратное. Если педальные окружности точек P и Q совпадают, то по доказанному выше они совпадают с педальной окружностью точки P, изогонально сопряженной точке P. По принципу Дирихле у педального треугольника точки Q две из трех вершин общие с педальным треугольником либо точки P, либо точки P. Следо§ 2.3. Некоторые факты из геометрии треугольника вательно, точка Q совпадает с одной из этих точек, потому что проекции точки на две прямые полностью задают положение этой точки.

Непосредственно из этой теоремы следует, что ортоцентр H треугольника ABC изогонально сопряжен центру описанной окружности O. Действительно, педальные окружности точек H и O совпадают с окружностью девяти точек Эйлера.

B Конечно, это можно доказать непосредственно подсчетом углов. Рассмотрим случай, изображенный на рис. 2.21, остальные случаи разбираются аналоH гично. Мы имеем BAH = 90 - B, O но AOC = 2B, следовательно, OAC = = (180 - 2B) = 90 - B. Отсюда слеA C дует, что BAH = OAC, а это и означает, что AH при симметрии относительно биссектрисы угла A переходит в прямую AO. Для других двух углов доказаРис. 2.тельство аналогично.

Пусть Ka, Kb и Kc – это точки пересечения прямых BC и PPa, – AC и PPb, AB и PPc соответственно. Понятно, что PKaB = PKaC.

Следовательно, коника с фокусами в P и P и суммой расстояний до фокусов (или модулем разности в случае гиперболы), равной PPa, касается прямой BC. Аналогично показывается, что эта же коника касается двух других сторон треугольника, поскольку расстояния PPa = PPb = PPc равны удвоенному радиусу педальной окружности точки P. На рис. 2.22 заштрихованы зоны, где соответствующие точкам коники будут гиперболами, и не заштрихованы области, где эти коники будут эллипсами. Точкам описанной окружности соответствуют параболы.





Рис. 2.48 Глава 2. Некоторые факты классической геометрии Если точки P и Q изогонально сопряжены в многоугольнике (т. е.

для любой вершины X этого многоугольника прямые XP и XQ симметричны относительно биссектрисы угла X), то найдется коника, касающаяся всех сторон многоугольника, с фокусами в этих точках.

Обратное тоже верно, т. е. если коника вписана в многоугольник, то ее фокусы изогонально сопряжены относительно этого многоугольника. Аналогично можно показать, что тогда педальные окружности точек P и Q совпадают (помимо того что они существуют!).

В следующем параграфе будет показано, что для любых пяти прямых существует единственная касающаяся их коника. Поэтому для пятиугольника существует только одна пара изогонально сопряженных точек. Для четырехугольника, как легко понять, такие точки образуют некоторую кривую (на самом деле она будет кубикой – кри– вой третьего порядка), а для шестиугольников (и многоугольников с большим числом сторон) таких точек, как правило, не существует.

С помощью изогонального сопряжения можно довольно просто доказать теорему Паскаля, причем в общем виде.

Теорема 2.9 (Паскаль). Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на конике. Тогда точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой.

Доказательство. Мы рассмотрим только один случай расположения точек на окружности (конике). Остальные рассматриваются аналогично.

Переведем проективным преобразованиB ем конику в окружность. Получим следуюD F щую конструкцию (рис. 2.23).

Точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности. Пусть прямые AB и DE X пересекаются в точке X, прямые BC и EF – – Y Z в точке Y, а AF и CD – в точке Z. Надо до– казать, что точки X, Y и Z лежат на одной C прямой.

Углы BAF и BCF равны, поскольку опи- A раются на одну дугу. Аналогично равны E углы CDE и CFE. Кроме того, треугольники AZD и CZF подобны. Рассмотрим преобраРис. 2.зование подобия, переводящее треугольник AZD в треугольник CZF. При этом преобразовании точка X перейдет в точку X, изогонально сопряженную точке Y относительно треугольника CZF (в силу вышеуказанных равенств углов). Следовательно, AZX = CZX = FZY, а это и означает, что точки X, Z и Y лежат на одной прямой.

Приведем еще несколько пар изогонально сопряженных точек.

§ 2.3. Некоторые факты из геометрии треугольника 1. Центр тяжести – точка Лемуана – Прямые, симметричные медианам относительно биссектрис соответствующих углов, называются симедианами. Точка пересечения симедиан, очевидно, изогонально сопряжена точке пересечения медиан. Эту точку называют точкой Лемуана.

Отметим несколько основных свойств точки Лемуана, которые в чем-то похожи на свойства центра тяжести.

1а. Пусть касательные к описанной окружности треугольника ABC, проведенные в точках B и C, пересекаются в точке A1. Тогда AA1 – симедиана треугольника ABC (рис. 2.24).

– B B A Ma Ma A1 AA C A C Рис. 2.24 Рис. 2.Действительно, пусть точка Ma – середина стороны BC, тогда она – инверсна точке A1 относительно описанной окружности треугольника ABC. Значит, основание биссектрисы угла MaAA1 совпадает с серединой дуги BC, т. е. эта биссектриса совпадает с биссектрисой угла BAC.

Ну а тогда прямая AA1 симметрична медиане AMa относительно биссектрисы угла A.

Другое изящное доказательство этого факта основано исключительно на существовании изогонального сопряжения. Мы просто укажем точку, изогонально сопряженную A1. Это точка, симметричная точке A относительно Ma; она, очевидно, лежит на медиане AMa (обозначим ее через A; см. рис. 2.25). Как нетрудно проверить, прямые BA и CA при отражении относительно биссектрис соответствующих углов переходят в касательные к описанной окружности. Ну а значит, A переходит в A1.

Из этой теоремы следует, что симедиану можно построить с помощью линейки, если дана описанная окружность треугольника. При проективных преобразованиях, оставляющих описанную окружность треугольника ABC на месте, симедианы переходят в симедианы и точка Лемуана – в точку Лемуана. Это свойство в некотором смысле ана– логично тому, что при аффинных преобразования центр тяжести треугольника переходит в центр тяжести.

50 Глава 2. Некоторые факты классической геометрии Как следствие, стоит также отметить, что точка Лемуана будет точкой Жергонна (см. ниже) треугольника A1B1C1, где точки B1 и Cстроятся аналогично точке A1.

1б. Симедиана делит сторону в отношении, равном отношению квадратов прилегающих сторон.

Обозначим точку пересечения симедианы угла A со стороной BC через La, а середину отрезка BC через Ma.

Поскольку площади треугольников ABMa и ACMa равны, отношение расстояний от точки Ma до сторон AB и AC обратно пропорционально отношению этих сторон. Но поскольку прямая ALa симметрична прямой AMa относительно биссектрисы угла A, произведение отношений расстояний от Ma и La до AB и AC равно 1. Следовательно, отношение расстояний от La до AB и AC равно отношению длин этих сторон, а значит, площади треугольников ABLa и ACLa относятся как квадраты длин сторон AB и AC. Но, с другой стороны, это отношение равно отношению BLa и CLa, поскольку у этих треугольников общая высота.

1в. Сумма квадратов расстояний от точки P до вершин треугольника достигает своего минимума, когда точка P – это точка – пересечения медиан. В то же время сумма квадратов расстояний до сторон достигает своего минимума в точке Лемуана.

Этот факт нетрудно вывести из предыдущего.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 14 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.