WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 14 |

§ 2.2. Основные сведения о проективных преобразованиях Под проективными преобразованиями подразумеваются преобразования плоскости, сохраняющие прямые. При этом параллельность прямых может нарушаться. Правда, если речь идет об обычной плоскости, то сохранение параллельности является очевидным следствием взаимной однозначности преобразования. Поэтому при изучении проективных преобразований к плоскости добавляется так называемая бесконечно удаленная прямая. Точки этой прямой, также называемые бесконечно удаленными, считаются точками пересечения параллельных прямых, причем каждая бесконечно удаленная точка считается принадлежащей всем прямым определенного направления. Пополненная таким образом плоскость называется проективной плоскостью.

34 Глава 2. Некоторые факты классической геометрии Определение. Преобразование проективной плоскости, переводящее каждую прямую (обычную или бесконечно удаленную) в прямую, называется проективным.

Из определения следует, что проективные преобразования образуют группу (иначе говоря, композиция двух проективных преобразований – это проективное преобразование). Отметим, что подгруппами – этой группы являются группы аффинных преобразований, сохраняющих параллельность прямых (их можно также определить как сохраняющие бесконечно удаленную прямую), а также хорошо известные группы подобий и движений.

Проективное преобразование можно наглядно представить следующим образом. Пусть некоторый чертеж, нарисованный на стекле, проецируется из точечного источника света на стену. Тогда чертеж может подвергаться весьма существенным искажениям, однако прямым на стекле соответствуют прямые на стене. При этом если провести через источник света плоскость, параллельную стене, то она пересечет стекло по некоторой прямой. Точкам этой прямой не соответствуют никакие обычные точки стены, поэтому ее образом следует считать бесконечно удаленную прямую стены. Аналогично, если провести через источник света плоскость, параллельную стеклу, то она пересечет стену по прямой, которую следует считать образом бесконечно удаленной прямой.

Можно показать, что приведенный пример является универсальным, т. е. любое проективное преобразование можно представить как композицию центральной проекции и движения пространства, совмещающего плоскость проекции с исходной. Следовательно, в силу результатов, доказанных в § 1.5, проективные преобразования переводят коники в коники. Действительно, любое проективное преобразованием можно представить в виде композиции двух, первое из которых переводит конику в окружность. После второго эта окружность может перейти только в конику. Отсюда видно, что проективные преобразования являются мощнейшим инструментом для работы с кониками.

Заметим, что гипербола пересекает бесконечно удаленную прямую в двух точках. Эти точки задают направления, параллельные асимптотам этой гиперболы. Парабола касается бесконечно удаленной прямой в точке, которая задает направление, параллельное оси этой параболы. Ну а эллипс вообще не пересекает бесконечно удаленную прямую.

Ниже мы сформулируем несколько основных свойств проективных преобразований. Иногда вместо доказательства мы будем давать лишь пояснения. Подробные доказательства вы можете найти в книгах [2] и [3].

§ 2.2. Основные сведения о проективных преобразованиях 1. Все четырехугольники проективно эквивалентны. Точнее, для любых двух четверок точек общего положения A, B, C, D и A, B, C, D существует единственное проективное преобразование, переводящее A в A, B в B, C в C и D в D.

Для доказательства достаточно проверить, что любую четверку проективным преобразованием можно перевести в квадрат и такое преобразование единственно.

Переведем точки пересечения пар прямых AB и CD, а также AD и BC в бесконечность. Тогда наша четверка точек перейдет в вершины параллелограмма. Далее аффинным преобразованием этот параллелограмм легко превратить в квадрат.

Соединим прямыми точки A, B, C, D. Через пары точек пересечения этих прямых проведем новые прямые и отметим точки их пересечения с уже проведенными прямыми и т. д. Образы всех отмеченных точек определяются однозначно и ими можно приблизить любую точку плоскости. Следовательно, искомое преобразование единственно.

Теперь покажем, что пять точек общего положения однозначно задают конику. Переведем четыре из них в квадрат, вершины которого имеют координаты ±1. Тогда легко проверить, что уравнения коник, проходящих через его вершины, будут иметь вид ax2 + (1 - a)y2 = 1.

Но, очевидно, через любую точку на плоскости (отличную от вершин квадрата) проходит только одна кривая, имеющая уравнение такого типа.

Ниже мы покажем, что существует единственная коника, касающаяся пяти заданных прямых общего положения.

2. Проективные преобразования сохраняют двойные отношения точек на прямой. Это значит, что если точки A, B, C, D, лежащие на одной прямой, переходят в точки A, B, C, D, то AC · BD P (AB; CD) = = (AB; CD).

AD · BC Отметим, что длины отрезков берутся со знаA ками.

B Докажем это. Как было показано выше, C D любое проективное преобразование можно считать центральной проекцией относительно какой-то точки. Пусть центром этой проекции будет точка P (рис. 2.4). Тогда B C D A AC · BD SACP · SBDP =, Рис. 2.AD · BC SADP · SBCP поскольку площадь каждого из этих треугольников равна половине произведения длин рассматриваемых отрезков на расстояние от точки P до прямой, на которой все эти точки лежат. С другой стороны, 36 Глава 2. Некоторые факты классической геометрии площадь каждого треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними (для удобства обозначим угол между PA и PB через, между PB и PC через, а между PC и PD – через ).



– Поэтому SACP · SBDP (AP · CP · sin( + ) · (BP · DP · sin( + )) sin( + ) · sin( + ) = =.

SADP · SBCP (AP · DP · sin( + + )) · (BP · CP · sin ) sin( + + ) · sin Поскольку это отношение не зависит от того, на какой прямой лежат наши точки, мы получаем sin( + ) · sin( + ) (AB; CD) = = (AB; CD).

sin( + + ) · sin Это свойство позволяет определить двойное отношение четырех прямых, проходящих через одну точку, как двойное отношение точек их пересечения с произвольной прямой. Очевидно, что оно также сохраняется при проективных преобразованиях.

Двойное отношение четырех прямых a, b, c и d будем обозначать через (ab; cd).

Из сохранения двойного отношения следует, что если известны образы трех то- CBчек прямой, то образы остальных ее тоAчек определяются однозначно. В частноlсти, проективное преобразование, оставляющее три точки прямой неподвижными, оставляет неподвижной всю прямую.

l3. Теорема Паппа Теорема 2.2. Если точки A1, B1, C1 ле- A2 BCжат на прямой l1, а точки A2, B2, C2 на прямой l2, то точки пересечения прямых Рис. 2.A1B2 и A2B1, B1C2 и B2C1, C1A2 и C2A1 лежат на одной прямой (рис. 2.5).

P Для доказательства достаточно увести точки пересечения пар прямых A1B2 и A2B1, B1C2 и B2C1 на бесконечность и вос- Bпользоваться теоремой Фалеса.

C4. Теорема Дезарга AТеорема 2.3. Прямые A1A2, B1B2, C1C2, соединяющие соответствующие вершины Aтреугольников A1B1C1 и A2B2C2, пересеCкаются в одной точке тогда и только Bтогда, когда точки пересечения прямых A1B1 и A2B2, B1C1 и B2C2, C1A1 и C2A2 лежат на одной прямой (рис. 2.6). Рис. 2.§ 2.2. Основные сведения о проективных преобразованиях Здесь надо проективным преобразованием перевести точки пересечения пар прямых A1B1 и A2B2, B1C1 и B2C2 на бесконечность и опять же воспользоваться теоремой Фалеса.

Как правило, проективные преобразования не сохраняют окружности. Однако имеют место следующие факты.

5. Пусть дана окружность и точка C внутри нее. Тогда существует проективное преобразование, при котором данная окружность переходит в окружность, а точка C – в ее центр.

– Этот факт мы докажем чуть позже, воспользовавшись полярным соответствием.

6. Пусть дана окружность и не пересекающая ее прямая l. Тогда существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а прямую l – в бесконечно удаленную – прямую.

Переведем проективным преобразованием нашу прямую l в бесконечно удаленную прямую. При таком преобразовании окружность может перейти только в эллипс, поскольку не имеет точек пересечения с бесконечно удаленной прямой. Далее сделаем аффинное преобразование, которое этот эллипс переведет в нашу окружность (такое, очевидно, найдется).

7. Теорема Паскаля Теорема 2.4. Точки пересечения противоположных сторон вписанного шестиугольника лежат на одной прямой.

Доказательство. Пусть дан вписанный шестиугольник ABCDEF. Переведем проективным преобразованием на бесконечность точки пересечения пар прямых AB и DE, а также BC и EF.

Получим, что AB DE, BC EF; надо доказать, что CD FA. Но это совсем не сложно. В силу параллельности углы ABC и DEF равны. А значит, равны дуги AC и DF. Но это, очевидно, и означает параллельность прямых AF и CD.

8. Теорема Брианшона Теорема 2.5. Главные диагонали описанного шестиугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Переведем точку пересечения двух диагоналей в центр. Нам надо доказать, что и третья диагональ проходит через центр окружности.

Итак, пусть шестиугольник ABCDEF описан около окружности с центром в точке O и диагонали AD и BE проходят через O. Обозна- Рис. 2.38 Глава 2. Некоторые факты классической геометрии чим точки касания окружности со сторонами AB, BC,..., FA через A1, B1,..., F1 соответственно. Легко понять, что E1OC1 = F1OB1 = = 2AOB, а также что E1OF = FOF1 и B1OC = COC1. А значит, FOF1 + F1OB1 + B1OC = E1OF + E1OC1 + COC1 = = 180.

Следовательно, точки F, O и C лежат на одной прямой.

Отметим, что теоремы Паскаля и Брианшона остаются верными, если шестиугольник вырождается в пяти- или четырехугольник. Это соображение не раз нам еще пригодится.

При доказательстве теоремы Паскаля мы пользовались тем, что соответствующая прямая не пересекает нашу окружность, а при доказательстве теоремы Брианшона – что точка пересечения диагона– лей лежит внутри окружности. На самом деле эти две теоремы верны в любом случае, т. е. точки и прямые в этих теоремах могут идти в каком угодно порядке.

Важно также сказать, что это чисто проективные теоремы. Поэтому они верны и для коник. В гл. 3 мы сформулируем и докажем эти теоремы в общем виде.

9. Пусть даны точки A, B, C, D, лежащие на окружности. Из теоремы о вписанном угле следует, что для любой точки X на этой окружности двойное отношение прямых XA, XB, XC, XD будет одним и тем же. Назовем его двойным отношением точек A, B, C, D. Очевидно, что если проективное преобразование переводит окружность в окружность, то двойное отношение точек сохраняется. Верно и обратное:

если задано преобразование окружности, сохраняющее двойные отношения, то его можно продолжить до проективного преобразования всей плоскости.

С проективными преобразованиями тесно связано отображение, ставящее в соответствие точкам прямые и наоборот.

Определение. Полярное соответствие относительно окружности с центром O и радиусом r ставит в соответствие каждой точке плоскости A, отличной от O, прямую a, перпендикулярную OA и пересекающую луч OA в точке, инверсной точке A относительно этой окружности. Прямая a называется полярой точки A, а точка A – полюсом – прямой a. Полярой точки O считается бесконечно удаленная прямая, а полярой бесконечно удаленной точки – диаметр, перпендикуляр– ный проходящим через нее параллельным прямым.





Отметим важные свойства полярного соответствия.

1. Если точка B лежит на поляре a точки A, то ее поляра b проходит через A.

Доказательство. Пусть точки A и B инверсны точкам A и B относительно нашей окружности. Тогда треугольник OAB, очевидно, § 2.2. Основные сведения о проективных преобразованиях подобен треугольнику OBA, а значит, угол B b ABO прямой, т. е. A лежит на b (рис. 2.8).

A Отсюда вытекает, что полюс любой прямой B является пересечением поляр всех ее точек, и A наоборот, поляра точки является геометричеa O ским местом полюсов всех проходящих через эту точку прямых.

2. Полярой точки A, лежащей вне окружности, будет прямая, соединяющая точки каРис. 2.сания окружности с касательными, проведенными к ней из A (точки касания являются полюсами касательных).

Отсюда следует, что, несмотря на метрическое определение, полярное соответствие является проективным понятием, т. е. если проективное преобразование сохраняет данную окружность и переводит точку A в A, то поляра a точки A переходит в поляру a точки A. Это позволяет сформулировать следующий результат.

Принцип двойственности. Пусть доказано некоторое проективное утверждение. Тогда верным также будет утверждение, полученное из доказанного взаимной заменой следующих терминов: (точка) (прямая), (лежать на прямой) (проходить через точку), (лежать на окружности) (касаться окружности). Примерами утверждений, получающихся друг из друга по принципу двойственности, являются теоремы Паскаля и Брианшона, прямое и обратное утверждения теоремы Дезарга и др.

Также с помощью двойственного преобразования можно доказать свойство 5. Достаточно, воспользовавшись свойством 6, перегнать поляру точки C на бесконечность. Тогда, очевидно, точка C перейдет в центр окружности.

3. Прямая, соединяющая точки пересечения противоположных сторон вписанного (описанного) четырехугольника, является полярой точки пересечения его диагоналей.

Это утверждение следует из свойства 1 и теоремы Ньютона: диагонали описанного четырехугольника проходят через точку пересечения прямых, соединяющих точки касания противоположных сторон со вписанной окружностью. Эта теорема является частным случаем теоремы Брианшона.

4. Двойное отношение четырех точек прямой равно двойному отношению их поляр.

Доказательство. Пусть это точки A, B, C и D. Тогда двойное отношение этой четверки точек равно двойному отношению прямых OA, OB, OC и OD, которое в свою очередь равно двойному отношению прямых OA, OB, OC и OD, где A, B, C, D – проекции точки O на – поляры точек A, B, C, D соответственно. Пусть P – это полюс пря– 40 Глава 2. Некоторые факты классической геометрии мой AB. Тогда точки A, B, C, D, O и P лежат на одной окружности (с диаметром OP). А значит, (PA, PB; PC, PD) = (OA, OB; OC, OD) = = (A, B; C, D). Но PA, PB, PC и PD и есть поляры точек A, B, C и D.

Задача 8. На сторонах треугольника ABC выбраны точки A1, Bи C1, так что AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Обозначим ее через P.

Пусть C – это точка пересечения прямой – Y X A1B1 со стороной AB. Точки A и B опреQ P деляются аналогично. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

Получающаяся таким образом прямая называется трилинейной полярой точки P Рис. 2.относительно треугольника ABC, а точка P – трилинейным полюсом прямой.

– Задача 9. Прямая пересекает гиперболу в точках P и Q, а ее асимптоты в точках X и Y. Докажите, что длины отрезков PX и QY равны (рис. 2.9).

Задача 10. Две параллельные прямые пересекают параболу в точках A, B и C, D соответственно. Докажите, что прямая, соединяющая середины этих отрезков, па- Рис. 2.раллельна оси параболы (рис. 2.10).

Задача 11. Пусть дана окружность и точка C внутри (вне) ее. Через точку C проведены 4 хорды (секущие) AiBi, i = 1,..., 4. Пусть D – точ– ка пересечения прямых A1A2 и A3A4, E – точка пересечения прямых – B1B2 и B3B4. Докажите, что точки C, D, E лежат на одной прямой (рис. 2.11).

BAAD AC C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C BBE ABРис. 2.§ 2.3. Некоторые факты из геометрии треугольника B Задача 12. Окружности, касающиеся пары сопряженных диаметров эллипса, ценP тры которых лежат на этом эллипсе, имеют одинаковый радиус.

A C Задача 13. По двум пересекающимся в точке A прямым скользят концы отрезка BC, так что его длина при этом не меняется. Докажите, что если на BC зафиксировать Рис. 2.точку P, то ее траектория будет эллипсом (рис. 2.12).

Задача 14. Пусть на сторонах треугольника ABC лежат шесть точек: A1, A2 на стороне BC, B1, B2 на стороне AC и C1, C2 на AB. Докажите, что эти шесть точек лежат на одной конике тогда и только тогда, когда BA1 · BA2 CB1 · CB2 AC1 · AC· · = 1.

CA1 · CA2 AB1 · AB2 BC1 · BCПредполагается, что это отношение берется со знаками. Положительным направлением для каждого выражения полагается направление от фигурирующей в выражении вершины в сторону другой вершины фигурирующей стороны.

§ 2.3. Некоторые факты из геометрии треугольника Этот параграф посвящен некоторым полезным, но не общеизвестным свойствам треугольника. В основном речь пойдет о свойствах изогонального и изотомического сопряжений, но будет упомянут и ряд других красивых фактов, не имеющих B прямого отношения к теме книги.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 14 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.