WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 14 |

§ 1.6. Эксцентриситет и еще одно определение коник Описанная в предыдущем параграфе конструкция Данделена дает еще одно важное свойство коник.

§ 1.6. Эксцентриситет и еще одно определение коник Пусть плоскость пересекает все образующие кругового конуса с вершиной S. Впишем в конус сферу, касающуюся в точке F1. Как и в случае с параболой, проведем плоскость через точки касания.

Прямую, по которой пересекаются и, обозначим через l. Пусть X принадлежит конике, образующейся при пересечении конуса и плоскости. Обозначим через Y точку пересечения прямой SX с плоскостью, а через Z проекцию X на прямую l. Покажем, что отношение XY к XZ постоянно, т. е. не зависит от выбора точки X.

S X l F T Y Z Рис. 1.Обозначим через T проекцию X на плоскость. Отношение XT к XY не будет зависеть от выбора точки X и будет равняться косинусу угла между образующей конуса и его осью (обозначим этот угол через ). Отношение XT к XZ тоже не зависит от выбора точки X и равно косинусу угла между плоскостью и осью конуса (обозначим этот угол через ). Следовательно, XY XY XT cos = · =.

XZ XT XZ cos Поскольку XF1 и XY равны (так как это просто-напросто касательные к сфере, проведенные из точки X), отношение XF1 к XZ постоянно.

Таким образом, для любой коники существует такая прямая l, что для любой точки на конике отношение расстояний до фокуса и этой прямой постоянно. Это отношение называется эксцентриситетом конической кривой, а прямые директрисами. Директрис у эллипса и гиперболы две (по одной для каждого фокуса).

Легко понять, что с помощью этого свойства можно сформулировать еще одно определение кривых второго порядка.

24 Глава 1. Элементарные свойства кривых второго порядка Конической кривой с фокусом в точке F, директрисой l (F не лежит на l) и эксцентриситетом называется множество точек, у которых отношение расстояний до F и до l равно.

Если > 1, то кривая – гипербола, если < 1, то эллипс, а в случае – = 1 – парабола.

– Задача 4. Докажите, что асимптоты всех равносторонних гипербол с фокусом в F, проходящих через точку P, касаются некоторых двух окружностей (одно семейство асимптот одной окружности, другое – – другой).

§ 1.7. Замечательные свойства параболы В этом параграфе через F мы будем обозначать фокус параболы, фигурирующей в рассуждениях.

Сперва сформулируем лемму, которая еще не раз нам пригодится.

Лемма 1.1. Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его обP раз попадет на директрису. Получившаяся F точка будет проекцией точки, в которой касательная касается параболы (рис. 1.24).

l Доказательство. Пусть прямая l касается параболы в точке P. Проекцию P на диP ректрису обозначим через P. Так как треРис. 1.угольник FPP равнобедренный и l – биссек– триса угла P, l является осью симметрии треугольника. Значит, точка F при симметрии относительно l переходит в точку P, лежащую на директрисе. F Следствие. Проекции фокуса параболы на его касательные лежат на прямой, касающейся параболы в ее вершине (рис. 1.25).

Лемма 1.2. Пусть касательные к параболе в точках X и Y пересекаются в точРис. 1.ке P. Тогда P является центром описанной окружности треугольника FXY, где X и Y – проекции точек X и Y на директрису – F параболы, а F – фокус этой параболы.

– Y Доказательство. В силу леммы 1.X P эти две касательные являются серединными перпендикулярами к отрезкам FX и FY.

X Y Следовательно, точка их пересечения и будет центром описанной окружности треугольника FXY (рис. 1.26). Рис. 1.§ 1.7. Замечательные свойства параболы Следствие. Если PX и PY – касательные – к параболе, то проекция точки P на дирекF Y трису будет серединой отрезка с концами X в проекциях точек X и Y (рис. 1.27).

P Следующая теорема аналогична теоре мам 1.2 и 1.5, но только для параболы. Как X Y выглядит множество точек, из которых паРис. 1.рабола видна под прямым углом Оказывается, верен следующий факт.

Y Теорема 1.7. Множество таких точек F X P, из которых парабола видна под прямым углом, есть директриса этой параболы. Кроме того, если PX и PY – касатель– ные к этой параболе, то XY содержит F и X P Y PF – высота треугольника PXY (рис. 1.28).

– Рис. 1.Доказательство. Пусть точка P лежит на директрисе, а X и Y – проекции точек – X и Y на директрису параболы. Тогда треугольники PXF и PXX равны (они просто симметричны относительно PX). Значит, PFX = = PXX = 90. Аналогично PFY = PYY = 90. Кроме того, XPY = = (FPX + FPY) = 90. То, что других точек, обладающих этим свойством, нет, очевидно.

Поскольку аналогичные факты верны и для остальных коник, эта теорема достаточно естественна. Однако первая часть этой теоремы имеет достаточно неожиданное обобщение, верное только для парабол. Оно нам еще пригодится в § 3.2 для доказательства теоремы Фрежье.

Теорема 1.8. Множество точек, из которых парабола видна под углом или 180 -, есть гипербола с фокусом в точке F и директрисой l (рис. 1.29).

Доказательство. Действительно, пусть касательные PX и PY, провеF Y денные к параболе из точки P, образуют угол. Рассмотрим случай, когда X > 90.

P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P Проекции точек X и Y на дирек- P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P трису параболы обозначим через X X Y и Y. Понятно, что XFY = 180 -.

В силу леммы 1.2 точка P является центром описанной окружности треугольника FXY. А значит, XPY = = 360 - 2.



Рис. 1.26 Глава 1. Элементарные свойства кривых второго порядка Поэтому расстояние от P до директрисы равно PF |cos(180 - )| = = PF |cos | и P лежит на гиперболе, фокус и директриса которой совпадают с фокусом и директрисой параболы, а эксцентриситет равен |cos | (т. е. угол между асимптотами равен 2 ).

То же справедливо, если угол между касательными равен 180 -.

При этом если парабола лежит внутри острого угла между касательными, то P находится на «дальней» от F ветви гиперболы, а если внутри тупого, то на «ближней».

Для парабол также можно сформулировать утверждение, аналогичное теоремам 1.3, 1.4.

Теорема 1.9. Пусть PX и PY – касательные к параболе, прове– денные из точки P, а l – прямая, проходящая через P параллельно – оси параболы. Тогда угол между прямыми PY и l равен XPF, а треугольники XFP и PFY подобны (как следствие, FP – биссектриса угла – XFY, см. рис. 1.30).

l F Y X P X Y Рис. 1.Доказательство. Пусть X и Y – проекции точек X и Y на дирек– трису. Тогда в силу теоремы 1.2 точки F, X и Y лежат на окружности с центром в точке P. Поэтому XYF = XPF = XPF. С другой стороны, угол между PY и l равен углу между YF и XY, так как прямая l перпендикулярна XY (директрисе параболы), а YF перпендикулярно PY (более того, PY – это серединный перпендикуляр – к YF). Первая часть теоремы доказана.

Докажем вторую часть. Поскольку прямая l параллельна YY, угол между PY и l равен углу PYY, который в силу оптического свойства равен углу FYP. Таким образом, FYP = XPF. Аналогично FXP =YPF. Следовательно, треугольники XFP и PFY подобны.

Следующая теорема является на самом деле следствием теоремы 1.9. Но мы ее докажем, воспользовавшись прямой Симсона, которая поможет нам выйти на еще более интересные свойства параболы.

Теорема 1.10. Пусть вокруг параболы описан треугольник ABC (т. е. парабола касается прямых AB, BC, CA). Тогда фокус этой параболы лежит на описанной окружности треугольника ABC.

§ 1.7. Замечательные свойства параболы Доказательство. Согласно следствию из леммы 1.1 проекции фокуса на стороны лежат на одной прямой (эта прямая параллельна директрисе и лежит в два раза ближе к фокусу, чем директриса). Осталось воспользоваться леммой Симсона.

Лемма 1.3 (Симсон). Проекции точки P на стороны треугольника ABC лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда точка P лежит на описанной окружности треугольника.

Доказательство. Пусть Pa, Pb и Pc – проекции точки P на сторо– ны BC, CA и AB соответственно. Мы рассмотрим случай, изображенный на рис. 1.31, остальные случаи рассматриваются аналогично.

Четырехугольник PCPbPa вписанный, поэтому PPbPa = PCPa. Аналогично PPbPc = Pc B = PAPc. Точки Pa, Pb и Pc лежат на одной P прямой тогда и только тогда, когда PPbPc = Pa = PPbPa, или, что то же самое, PAPc = = PCPa. Но это и означает, что точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Остальные случаи рассматриваются аналогично.

A C Pb Обратное утверждение доказывается абсолютно так же. Если точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC, то Рис. 1.PAB = PCPa = PPbPa (последнее в силу того, что точки P, C, Pa и Pb лежат на окружности). Аналогично PAB =PPbPc. Следовательно, точки Pa, Pb и Pc лежат на одной прямой.

PA P Тем самым теорема 1.10 доказана.

B Получающаяся таким образом прямая называется прямой Симсона точки P.

PC Таким образом, точкам на описанной окружности треугольника ABC мы можем однозначно сопоставить параболу, касающу- C A юся сторон этого треугольника. А именно, возьмем произвольную точку P на описанной окружности треугольника ABC и отраPB зим ее относительно сторон треугольника.

Получим точки PA, PB и PC, лежащие на одной прямой. Парабола с фокусом в точке P Рис. 1.и директрисой PAPC будет касаться всех сторон треугольника (например, стороны BC она будет касаться в точке пересечения BC с перпендикуляром к PAPC, см. рис. 1.32).

Прямые Симсона обладают рядом интересных свойств.

28 Глава 1. Элементарные свойства кривых второго порядка Лемма 1.4. Пусть точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Пусть точка B на описанной окружности выбрана так, что прямая PB перпендикулярна AC. Тогда прямая BB параллельна B прямой Симсона точки P (рис. 1.33).

B Доказательство. Рассмотрим случай, изображенный на рис. 1.33, остальные случаи рассматриваются аналогично.

Pc Проекции точки P на стороны AB и AC Pb обозначим через Pc и Pb соответственно.

A C Тогда ABB = APB как углы, опирающиеся на дугу AB. Поскольку четырехугольник APcPbP вписанный (AP – диа– P метр его описанной окружности), а сумма противоположных углов вписанного чеРис. 1.тырехугольника равна 180, мы имеем APB = APPb = 180 - APcPb = BPcPb.

B Следовательно, прямая PbPc параллельна B BB.

Следствие 1. При вращении точки P P по окружности прямая Симсона вращается в противоположную сторону, при- Pc H чем скорость ее вращения в два раза меньше, чем скорость изменения дуги PA.

A Pb C Следствие 2. Прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC деH лит отрезок PH (где H – ортоцентр тре– P угольника ABC) пополам (рис. 1.34).

Рис. 1.Доказательство. Легко понять, что AHC = 180 - ABC, а значит, точка H, симметричная точке H относительно AC, лежит на описанной окружности треугольника ABC. Поскольку прямые PB и BH перпендикулярны AC, четырехугольник PBBH будет трапецией, причем равнобокой, поскольку он вписан. А значит, прямая, симметричная PH относительно AC (т. е. прямой, параллельной оси симметрии трапеции), будет параллельна BB. Следовательно, прямая PH параллельна BB, а значит, и прямой Симсона точки P (здесь P – образ точки – P при симметрии относительно AC). Поскольку Pb (проекция точки P на сторону BC) является серединой отрезка PP, прямая Симсона будет средней линией треугольника HPP, а значит, будет делить HP пополам.





Следствие 2 вкупе с теоремой 1.10 влечет за собой следующий очень красивый факт.

§ 1.7. Замечательные свойства параболы Теорема 1.11. Ортоцентр треугольника, описанного около параболы, лежит на ее директрисе (рис. 1.35).

Рис. 1.Задача 5. Пусть точка X движется по параболе, нормаль к параболе в точке X (перпендикуляр к касательной) пересекает ее ось в точке Y, а Z – проекция точки X на ось. Докажите, что длина отрезка ZY – не меняется.

Задача 6. По двум прямым дорогам с постоянными скоростями идут два пешехода. Докажите, что соединяющая их прямая все время касается некоторой параболы (дороги не параллельны, и через точку пересечения дорог пешеходы проходят не одновременно).

Задача 7. Парабола вписана в угол PAQ. Найдите геометрическое место середин отрезков, высекаемых сторонами угла на касательных к параболе.

Г Л А В А Некоторые факты классической геометрии § 2.1. Инверсия и теорема Фейербаха Инверсией относительно окружности с центром в точке O и радиусом r называется преобразование плоскости, которое каждую точку A переводит в точку A, лежащую на rлуче OA и такую, что OA =. Саму точку O OA это преобразование переводит в бесконечно удаленную точку.

Очевидно, что при этом преобразовании прямые, проходящие через точку O, как множества остаются на месте.

Инверсия хороша тем, что переводит окружности, не проходящие через центр инверсии, в окружности, а окружности, проходящие через центр, – в прямые. Доказа– тельство этих утверждений можно найти в книгах [2]–[4].

Хоть инверсия и переводит окружность в окружность, она обладает одним существенным недостатком при работе с кониками: коники в коники она, конечно, не переводит.

Например, равносторонняя гипербола при инверсии относительно окружности с тем же центром, что и у этой гиперболы, переходит в лемнискату Бернулли (рис. 2.1). Но на основе инверсии мы чуть позже построим полярное преобразование, которое этим Рис. 2.свойством обладает (переводит коники в коники).

С помощью инверсии мы докажем теорему Фейербаха и тем самым продемонстрируем мощность этого инструмента. С теоремой Фейербаха мы еще встретимся в § 4.1.

Сначала вспомним определение окружности девяти точек, или окружности Эйлера.

32 Глава 2. Некоторые факты классической геометрии Окружностью Эйлера или окружно- B стью девяти точек называется окружность, проходящая через середины сторон треугольника ABC. Оказывается, она Mc Ma повторно пересекает стороны в основаниях высот. Кроме того, если через H обоHa значить ортоцентр треугольника, то середины отрезков AH, BH и CH тоже лежат на этой окружности.

A Mb C Давайте докажем это. Пусть Ma, Mb Рис. 2.и Mc – середины сторон. Через Ha, Hb и – Hc обозначим основания высот (рис. 2.2).

Покажем, что углы MbMaMc и MbHaMc равны. Из этого будет следовать, что точка Ha лежит на окружности Эйлера.

Треугольник ACHa прямоугольный, а значит, MbHa = MbA. Аналогично McHa = McA. Поскольку MbA = MaMc и McA = MaMb, треугольники MbMaMc и MbHaMc равны. А значит, равны соответствующие углы. Аналогично показывается, что на окружности Эйлера лежат точки Hb и Hc.

Заметим, что основания высот треугольников ABC и ABH совпадают, а значит, совпадают и их окружности Эйлера. Следовательно, на окружности Эйлера лежат также середины отрезков AH и BH. То, что на ней также лежит середина отрезка HC, показывается аналогично.

Ну а теперь докажем теорему Фейербаха.

Теорема 2.1 (Фейербах). Окружность девяти точек касается вписанной и вневписанных окружностей треугольника (в случае, если треугольник равносторонний, она совпадает с вписанной окружностью) (рис. 2.3).

C B Gc Ga A11 P AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA AA A AA AAA AA AA AA AA AA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAMc Ma I Q Gb F A Mb C B Рис. 2.§ 2.2. Основные сведения о проективных преобразованиях Доказательство. Пусть Ga, Gb и Gc – это точки касания вписан– ной окружности со сторонами. Через A1 обозначим основание биссектрисы угла A, через C обозначим точку, симметричную C относительно AA1. Пусть P – это точка пересечения AA1 и CC.

– Заметим, что P – середина CC, а значит, P лежит на средней ли– нии MaMb. Стоит также отметить, что 1 1 MaP=|MaMb -PMb |= |AB-AC|= |BGc -CGb |= |BGa -CGa |= 2 2 =MaGa.

Из подобия пар треугольников MbMaC и ABC, ABA1 и PMaA1 следует, что MaP BC MaQ = =, MaMb BA MaP где Q – это точка пересечения A1C и MaMb. Следовательно, MaG2 = – a = MaP2 = MaQ · MaMb. А значит, при инверсии с центром в Ma и радиусом MaGa точка Mb переходит в точку, лежащую на прямой CA1, симметричной BC относительно биссектрисы угла A. То же самое можно сказать и про точку Mc. Таким образом, при инверсии с центром в Ma и радиусом MaGa окружность Эйлера переходит в прямую, касающуюся вписанной окружности, а значит, и сама окружность девяти точек касается этой окружности.

Для вневписанных окружностей теорема Фейербаха доказывается аналогично.

Точку касания вписанной окружности и окружности Эйлера называют точкой Фейербаха (обозначают F). Точками Фейербаха также иногда называют точки касания вневписанных окружностей с окружностью Эйлера (обозначают Fa, Fb и Fc).

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 14 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.