WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 14 |

F P Пусть это точка F. Расстояние от F до l обоF значим через d. Тогда для любой точки P на d прямой l расстояние до l не больше чем PF + d. l А значит, требуемая в задаче разность всегда не l превосходит d. С другой стороны, она равна в точности d, когда точка P лежит на перпендиРис. 1.куляре к l, проведенном из точки F (рис. 1.9).

Стоит также отметить, что если в п. а) прямая F1F2 параллельна l, а в п. б) прямая l перпендикулярна l, то рассматриваемого максимума не существует (он достигается на бесконечности).

Теперь сформулируем одно из важнейших свойств коник – так на– зываемое оптическое свойство.

Теорема 1.1 (оптическое свойство эллипса). Пусть прямая l касается эллипса в точке P. Тогда прямая l – это внешняя биссектриса – угла F1PF2 (рис. 1.10).

Доказательство. Пусть X – произвольная точка на прямой l, от– личная от P. Так как X лежит вне эллипса, мы имеем XF1 + XF2 > > PF1 + PF2, т. е. из всех точек прямой l точка P имеет наименьшую сумму расстояний до F1 и F2. Но в силу вышесказанного это означает, что углы, образованные прямыми PF1 и PF2 с l, равны.

Упражнение 2. Сформулируйте и докажите оптическое свойство для парабол и гипербол.

Решение. Для парабол оптическое свойX P ство формулируется следующим образом.

l Пусть прямая l касается параболы в точке P.

Проекцию точки P на директрису обозначим через P. Тогда l является биссектрисой угла F1 FFPP (рис. 1.11).

Предположим, что биссектриса угла FPP (обозначим ее через l) пересекает параболу еще в какой-нибудь точке. Обозначим Рис. 1.эту точку через Q, а ее проекцию на директрису – через Q. По определению парабо– лы FQ = QQ. С другой стороны, треугольник P FPP равнобедренный, и биссектриса угла P – это серединный перпендикуляр к FP.

– F А значит, для любой точки Q, лежащей Q на этой биссектрисе, выполняется равенство l QP = QF = QQ. Но этого не может быть, так как Q – единственная точка на директрисе – Q P параболы, в которой достигается минимум расстояния до точки Q. Рис. 1.14 Глава 1. Элементарные свойства кривых второго порядка Теперь сформулируем оптическое свойP ство для гиперболы.

FЕсли прямая l касается гиперболы в точке P, то l является биссектрисой угла F1PF2, Q где F1 и F2 – фокусы гиперболы (рис. 1.12).

– F1 FПредположим, что биссектриса l угла F1PF2 пересекает гиперболу еще в какой-ниl будь точке Q (лежащей на той же дуге, что и P). Для удобства будем считать, что точка P лежит на дуге, которая ближе к фокусу F1.

Рис. 1. Обозначим через F1 точку, симметричную F относительно l. Тогда F1Q = QF1, F1P = PF1; кроме того, точки F2, Fи P лежат на одной прямой. Итак, F2P - PF1 = F2Q - F1Q. В силу вы шеуказанных равенств получаем F2F1 = F2P - PF1 = F2Q - QF1. Но по неравенству треугольника F2F1 > F2Q - QF1.

Можно также получить доказательства этих утверждений, аналогичные доказательству оптического свойства для эллипса. Для этого достаточно воспользоваться результатами упражнения 1.

Оптическое свойство параболы было известно еще древним грекам.

Скажем, Архимед, расположив много медных щитов так, что они образовали параболическое зеркало, сжег осаждавший Сиракузы флот римлян.

Упражнение 3. Рассмотрим семейство софокусных коник (так называются коники, у которых фокусы совпадают). Докажите, что любые гипербола и эллипс из этого семейства пересекаются под прямыми углами (углом между двумя кривыми называется угол между касательными к ним в данной точке их пересечения, см. рис. 1.13).

Решение. Пусть эллипс и гипербола с фокусами F1 и F2 пересекаются в точке P. Тогда касательные к ним в этой точке будут биссектрисами внешнего и внутреннего углов F1PF2 соответственно. Следовательно, они будут перпендикулярны.

P F1 FРис. 1.§ 1.4. Изогональное свойство коник Теорема 1.2. Пусть хорда PQ содержит фокус F1 эллипса, R – точ– Q ка пересечения касательных к элR липсу в точках P и Q. Тогда R – – это центр вневписанной окружноFFсти треугольника F2PQ, а F1 – это – P точка касания этой окружности со стороной PQ (рис. 1.14).

Доказательство. В силу оптиРис. 1.ческого свойства PR и QR – это бис– сектрисы внешних углов треугольника F2PQ. А значит, R – центр его вневписанной окружности. Точ– ка касания вневписанной окружности со стороной (обозначим ее че рез F1) вместе с противоположной вершиной F2 делят периметр тре угольника пополам, т. е. F1P + PF2 = F2Q + QF1. Но этим свойством об ладает F1, и такая точка только одна. Значит, F1 и F1 совпадают.

Следствие. Если точку пересечения касательных к эллипсу в концах хорды, содержащей фокус, соединить с этим фокусом, получившаяся прямая будет перпендикулярна хорде.

В случае гиперболы теорема 1.2 тоже верна, но вместо вневписанной окружности надо рассматривать вписанную.

§ 1.4. Изогональное свойство коник Оптическое свойство позволяет элементарно доказать совсем удивительные свойства.

Теорема 1.3. Проведем из любой точки P, лежащей вне эллипса, две касательные к нему. Пусть они касаются эллипса в точках X и Y. Тогда углы F1PX и F2PY равны (F1 и F2 – фокусы эллипса).

– Доказательство. Пусть F1, F2 – точки, симметричные F1 и F2 от– носительно PX и PY соответственно (рис. 1.15).

P FX Y FF1 FРис. 1.16 Глава 1. Элементарные свойства кривых второго порядка Тогда PF1 = PF1 и PF2 = PF2. Кроме того, точки F1, Y и F2 лежат на одной прямой (в силу оптического свойства). То же самое верно и для точек F2, X и F1. Получаем F2F1 = F2X + XF1 = F2Y + YF1 = F2F1. Сле довательно, треугольники PF2F1 и PF1F2 равны (по трем сторонам).

А значит, F2PF1 + 2F1PX = F2PF1 = F1PF2 = F1PF2 + 2F2PY.

Отсюда получаем, что F1PX = F2PY, что и требовалось.



Из рис. 1.16 видно, что аналогичное свойство выполнено для гиперболы.

X P F1 FY F FРис. 1.Пусть теперь эллипс (гипербола) с фокусами F1, F2 вписан в треугольник ABC. Из доказанного утверждения следует, что BAF1 = = CAF2, ABF1 = CBF2 и ACF1 = BCF2.

В § 2.3 будет показано, что для любой (за редким исключением) точки плоскости X существует единственная такая точка Y, что X и Y являются фокусами коники, касающейся всех сторон треугольника. Такая точка Y называется изогонально сопряженной точке X относительно треугольника.

Из конструкции, с помощью которой мы доказали теорему 1.3, можно получить еще один интересный результат. Поскольку тре угольники PF2F1 и PF2F1 равны, равны углы PF1F2 и PF1F2. Получаем PF1X = PF1F2 = PF1F2 = PF1Y.

1. Мы рассмотрели случай, когда F1, F2 лежат внутри угла F1PF2, причем F1 лежит внутри угла F2PF1. В других случаях рассуждения аналогичны.

2. Предлагаем читателям разобрать два возможных случая: точки касания на одной ветви и на разных.

§ 1.4. Изогональное свойство коник Таким образом, доказана следующая теорема, являющаяся обобщением теоремы 1.2.

Теорема 1.4. В обозначениях теоремы 1.3 прямая F1P является биссектрисой угла XF1Y (рис. 1.17).

Теорема 1.5. Геометрическим местом точек, из которых данный эллипс виден под прямым углом (т. е. проведенные к нему из этой точки касательные перпендикулярны), является окружность с центром в центре эллипса (рис. 1.18).

P P FX X Y Y F1 F2 F1 FРис. 1.17 Рис. 1.Доказательство. Обозначим фокусы этого эллипса через F1 и F2.

Пусть касательные к эллипсу в точках X и Y пересекаются в точке P.

Отразим F1 относительно PX. Полученную точку обозначим через F1.

Тогда из теоремы 1.3 следует, что XPY = F1PF2 и F1F2 = F1X + F2X, т. е. длина отрезка F1F2 равна большой оси эллипса (длине веревки, к которой привязана коза). Угол F1PF2 прямой тогда и только то гда, когда F1P2 + F2P2 = F1F2 (по теореме Пифагора). Следовательно, угол XPY прямой тогда и только тогда, когда сумма F1P2 + F2P2 равна квадрату большой оси эллипса. Но, как легко показать, это условие определяет окружность. Действительно, пусть точка F1 имеет декартовы координаты (x1, y1), а F2 соответственно (x2, y2). Тогда координаты искомых точек P будут удовлетворять условию (x - x1)2 + (y - y1)2 + (x - x2)2 + (y - y2)2 = C, где C – это квадрат большой оси. Но поскольку коэффициенты при x– и y2 равны (а именно 2) и коэффициент при xy равен 0, множеством точек, удовлетворяющих этому уравнению, будет окружность. Легко понять из соображений симметрии, что центром этой окружности будет середина отрезка F1F2.

18 Глава 1. Элементарные свойства кривых второго порядка Для гиперболы такая окружность существует, вообще говоря, не всегда. Когда угол между асимптотами гиперболы острый, радиус окружности будет мнимым. Если асимптоты перпендикулярны, то окружность вырождается в точку – центр гиперболы.

– Примечание. Пусть даны точки P1, P2,..., Pn и числа k1, k2,..., kn и C. Геометрическим местом точек X, удовлетворяющих уравнению 2 2 k1XP1 + k2XP2 +... + knXPn = C, будет окружность. Эта окружность называется окружностью Ферма—Аполлония. Понятно, что иногда она будет мнимого радиуса (когда).

Теорема 1.6. Пусть на эллипс накинули нить, которую натянули с помощью карандаша. Тогда карандаш при вращении вокруг эллипса опишет другой эллипс, софокусный с данным эллипсом (рис. 1.19).

Y X l M R P N L F1 FРис. 1.Доказательство. Очевидно, что получившаяся фигура (обозначим ее через ) будет иметь гладкую границу. Покажем, что в каждой точке X на фигуре касательная будет совпадать с биссектрисой внешнего угла F1XF2.

Пусть XM и XN – касательные к. Тогда F1XN = F2XM, а зна– чит, биссектриса внешнего угла NXM будет совпадать с биссектрисой внешнего угла F1XF2. Обозначим ее через l.

Пусть Y – произвольная точка на прямой l, YL и YR – касатель– – ные к, причем они проведены с тех же сторон, как показано на рис.

1.19. В дальнейших рассуждениях будет использоваться, что точка Y лежит «слева» от X, другой случай рассматривается аналогично.

Обозначим через P точку пересечения прямых XM и YL. Легко понять, что YN < YR + RN, а LM < LP + PM. Кроме того, посколь§ 1.4. Изогональное свойство коник ку l – внешняя биссектриса угла NXP, имеем PX + XN < PY + YN.

– А значит, MX + XN + NM < MX + XN + NL + LP + PM = = PX + XN + NL + LP < PY + YN + NL + LP = LY + YN + NL < < LY + YR + RN + NL = LY + YR + RL (здесь под дугами подразумеваются дуги, по которым идет нить). Следовательно, точка Y будет вне фигуры. То же верно для любой точки Y на прямой l. Получается, что содержит единственную точку прямой l, т. е. касается этой прямой. Из доказанного также сразу следует, что полученная кривая выпукла.

Итак, сумма расстояний до фокусов F1 и F2 в любой момент времени не меняется. Из этого можно сделать вывод, что она постоянна, а значит, траектория карандаша совпадает с эллипсом.

Строго это можно доказать так. Пусть точка X лежит вне эллипса. Поставим карандаш в точку X и натянем нить вокруг него и эллипса. Пусть f(X) – длина такой нити, а g(X) = F1X + F2X (точку мы понимаем как пару – ее координат; таким образом, и функции f и g зависят от пары действительных чисел). Можно показать, что эти функции непрерывно дифференциру“ ” “ ” дf дf дg дg емы, причем векторы grad f =, и grad g =, отличны от нуля дx дy дx дy во всех точках. Тогда по теореме о неявной функции кривая, описываемая карандашом при фиксированной длине нити (т. е. линия уровня функции f), гладкая (непрерывно дифференцируемая). Отсюда следует, что кривую можно параметризовать дифференцируемой функцией R = R(t) (это опять же пара координатных функций x = x(t), y = y(t)), вектор производной которой отличен от нуля. Выше фактически доказано, что касательный к кривой вектор “ ” dR dx dy =, касается линии уровня функции g, т. е. ортогонален вектору dt dt dt grad g(R) в точке R = R(t). Рассмотрим функцию g(R(t)). Ее производная равна dg(R(t)) дg dx(t) дg dy(t) = + dt дx dt дy dt (это запись упомянутой выше ортогональности), т. е. функция g(R(t)) – кон– станта. Это и означает, что наша кривая лежит на эллипсе с теми же фокусами. Поскольку на любом луче, исходящем из F1, должна лежать точка нашей кривой, она совпадает с эллипсом.





Задача 2. Пусть вокруг коники с фокусом F описан 2n-угольник, стороны которого окрашены попеременно в черный и белый цвета.

Докажите, что сумма углов, под которыми из F видны черные стороны многоугольника, равна 180.

Задача 3. В выпуклый четырехугольник вписан эллипс, фокусы которого лежат на диагоналях (разных) четырехугольника. Докажите, что произведения противоположных сторон равны.

20 Глава 1. Элементарные свойства кривых второго порядка § 1.5. Кривые второго порядка как проекции окружности Проведем через центр окружности перпендикуляр к ее плоскости и возьмем на нем точку S. Прямые, соединяющие S с точками окружности, образуют конус. Рассмотрим сначала сечение конуса плоскостью, пересекающей все его образующие и не перпендикулярной оси симметрии.

Впишем в конус два шара, касающиеся плоскости в точках Fи F2 (рис. 1.20).

S YFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFX FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF YРис. 1.Пусть X – произвольная точка на линии пересечения конуса с – плоскостью. Проведем через X образующую SX и найдем точки Y1, Y2 ее пересечения с вписанными шарами. Тогда XF1 = XY1, XF2 = XYкак отрезки касательных к шарам, проведенных из одной точки.

Следовательно, XF1 + XF2 = Y1Y2. Но Y1Y2 – это отрезок образующей, – заключенный между двумя плоскостями, перпендикулярными оси конуса, и его длина не зависит от выбора точки X. Значит, линия пересечения конуса с плоскостью является эллипсом. Отношение его полуосей зависит от наклона секущей плоскости и, очевидно, может принимать любые значения. Следовательно, любой эллипс может быть получен как центральная проекция окружности.

Аналогично доказывается, что если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса, то в сечении получается гипербола (рис. 1.21).

§ 1.5. Кривые второго порядка как проекции окружности FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FF FF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFS S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S FFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFРис. 1.Наконец, рассмотрим случай, когда секущая плоскость параллельна одной образующей (рис. 1.22).

Впишем в конус сферу, касающуюся этой плоскости в точке F.

Эта сфера касается конуса по окружности, лежащей в плоскости.

F l S Рис. 1.22 Глава 1. Элементарные свойства кривых второго порядка Обозначим через l линию пересечения плоскостей и. Возьмем произвольную точку X сечения конуса плоскостью и найдем точку Y пересечения образующей SX с плоскостью и проекцию Z точки X на прямую l. Тогда XF = XY как касательные к сфере. С другой стороны, точки Y и Z лежат в плоскости, угол между XY и равен углу между образующей конуса и плоскостью, перпендикулярной его оси, а угол между XZ и – углу между плоскостями и. В силу вы– бора плоскости эти углы равны. Значит, XY = XZ как наклонные, образующие равные углы с плоскостью. Следовательно, XF = XZ, и точка X лежит на параболе с фокусом F и директрисой l.

Таким образом, всякая невырожденная кривая второго порядка может быть получена как сечение конуса. Поэтому такие кривые называют также коническими сечениями или просто кониками.

Надо сказать, что если вместо конуса будет цилиндр, то абсолютно такими же рассуждениями можно показать, что его сечением будет эллипс. Соответственно, эллипс может быть получен как параллельная проекция окружности.

Упражнение 1. Найдите геометрическое место середин хорд эллипса, параллельных данному направлению.

Решение. Рассмотрим эллипс как параллельную проекцию окружности. Тогда параллельным хордам эллипса и их серединам соответствуют параллельные хорды окружности и их середины, лежащие на диаметре окружности. Следовательно, геометрическим местом середин параллельных хорд эллипса также будет некоторый его диаметр (хорда, проходящая через центр).

Упражнение 2. С помощью циркуля и линейки найдите фокусы данного эллипса.

Решение. Построим две параллельные хорды эллипса. По предыдущему упражнению прямая, соединяющая их середины, является диаметром эллипса. Построив таким образом два диаметра, мы найдем центр эллипса O. В силу симметрии эллипса окружность с центром O пересекает эллипс в четырех точках, образующих прямоугольник со сторонами, параллельными осям эллипса. Теперь фокусы эллипса можно найти как точки пересечения большой оси и окружности с центром в конце малой оси и радиусом, равным большой полуоси.

Сферы, вписанные в конус и касающиеся секущей плоскости, называются сферами Данделена.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 14 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.