WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 ||

32. Допустим, искомое множество непусто. Тогда BAP = BCP, DAP = DCP и, значит, A = C. Аналогично B = D, т. е. ABCD – – параллелограмм. С другой стороны, если ABCD – параллелограмм и – радиусы описанных окружностей треугольников ABP и BCP равны, то из равенства BAP = BCP следует, что точка P лежит на равносторонней гиперболе с центром в середине отрезка AC, проходящей через точки A, B, C. Так как точка D лежит на этой же гиперболе, точка P удовлетворяет условию.

33. Поскольку точка Q лежит на описанной окружности треугольника ABC, точка, симметричная ей относительно центра равносторонней гиперболы, описанной около четырехугольника QABC, попадает в ортоцентр этого треугольника. Следовательно, точка P является ортоцентром треугольника ABC. Но по построению она же является центром описанной окружности, а ортоцентр и центр описанной окружности могут совпадать только в правильном треугольнике.

34. Пусть K, L, M и N – середины отрезков AB, BC, CD и AD – соответственно. Через O обозначим центр описанной окружности, а через Hd – ортоцентр треугольника ABC. Из доказательства теоре– мы 4.1 следует, что P – это середина отрезка DHd. Легко понять, что – прямая OK параллельна прямой AHd, которая в свою очередь параллельна PM. Аналогично прямая OL параллельна PN. А это означает, что точки P и O симметричны относительно центра параллелограмма KLMN. Но центр этого параллелограмма и есть центр тяжести четырехугольника ABCD.

Решения задач 35. Пусть точки лежат на конике. Сделаем проективное преобразование, переводящее прямую AB в бесконечно удаленную прямую, а затем аффинным преобразованием добьемся, чтобы точка C была ортоцентром треугольника ABC. Тогда коника, проходящая через данные точки, будет равносторонней гиперболой, т. е. направления на A и B будут перпендикулярны. Так как C – ортоцентр треугольни– ка ABC, существует окружность (возможно, мнимая), относительно которой треугольник ABC автополярен. В силу перпендикулярности прямых AC и BC треугольник ABC также будет автополярен относительно этой окружности.

Обратно, пусть треугольники ABC и ABC автополярны относительно некоторой коники. Переведем эту конику в окружность, а C – – в ее центр. Тогда точка C будет ортоцентром треугольника ABC, а A, B – бесконечно удаленными точками, направления на которые пер– пендикулярны. Следовательно, равносторонняя гипербола, проходящая через A, B, C, C, с асимптотами, параллельными этим направлениям, будет искомой коникой.

36. Пусть некоторая коника, проходящая через точки A, B, C, O, пересекает бесконечно удаленную прямую в точках P, Q. Аналогично предыдущей задаче доказывается, что треугольник POQ автополярен относительно той же коники, что и треугольник ABC. Значит, неподвижными точками инволюции, порождаемой на бесконечно удаленной прямой пучком ABCO, будут точки пересечения с. Но это и означает, что проходящая через эти точки серединная коника гомотетична.

37. Указание. Из теоремы Брианшона следует, что диагонали описанного около коники четырехугольника и прямые, соединяющие точки касания коники с его противоположными сторонами, пересекаются в одной точке. Применив это следствие к четырехугольнику, образованному сторонами треугольника ABC и бесконечно удаленной прямой, получим утверждение задачи.

38. Ответ. Центром гомотетии является центр тяжести треугольника, а ее коэффициент равен 2.

39. Из предыдущей задачи следует, что середины отрезков, соединяющих центр тяжести с вершинами, лежат на эллипсе Штейнера.

Следовательно, этот эллипс имеет с коникой центров (то, что это коника, следует из теоремы 3.17) шесть общих точек – середины сторон – и указанных отрезков.

40. Пусть Ia, Ib, Ic – центры вневписанных окружностей треуголь– ника ABC. Так как ABC – ортотреугольник треугольника IaIbIc, по– ляры точки P относительно равносторонних гипербол, проходящих через точки Ia, Ib, Ic, проходят через P. По теореме 3.9 прямые AA, BB, CC пересекаются в точке, являющейся полюсом прямой PI, где 132 Решения задач I – центр окружности, вписанной в треугольник ABC, относительно – коники IaIbIcIP. Но эта коника является равносторонней гиперболой, так что полученная точка лежит на PP.

41. Любая точка плоскости может быть перспектором вписанной в данный треугольник коники, причем соответствующая коника единственна. Ясно, что при перемещении перспектора коника меняется непрерывно. Следовательно, перспекторы эллипсов лежат внутри описанного эллипса Штейнера, а перспекторы гипербол – – вне. Применим теперь теорему 4.7. При изотомическом сопряжении внутренность треугольника перейдет в себя, а точки сегмента, ограниченного, например, стороной AB треугольника и стягиваемой ей дугой эллипса, не содержащей третьей вершины C, – в точки угла, – вертикального к углу C. Соответственно множеством центров вписанных эллипсов будет внутренность серединного треугольника и три угла, вертикальных к его углам.

42. Пусть X, Y – точки касания эллипса с параллельными ка– сательными, T – точка касания эллипса и окружности, U, V – точ– – ки пересечения касательной к эллипсу в точке T с параллельными касательными, U, V – точки пересечения параллельных касатель– ных с какой-то другой касательной к эллипсу. Тогда, рассуждая так же, как при доказательстве последней теоремы, получаем, что XU+UV +VY

Предметный указатель асимптоты гиперболы гипербола Аполлония Кипера равносторонняя 8, Фейербаха двойное отношение 35, директриса изогональное сопряжение 16, 44, изотомическое сопряжение 58, инверсия инволюция коника 8, коническое сечение кривая второго порядка 8, лемма Симсона нормаль окружность Аполлония девяти точек Иоахимсталя педальная Ферма–Аполлония чевианная Эйлера ось гиперболы действительная мнимая параболы радикальная эллипса большая малая парабола 8, 134 Предметный указатель перспектор 108 теорема Емельяновых полный четырехсторонник 111 Монжа полюс 38 Ньютона трилинейный 40 Понселе 63, 69, 118, поляра 38 Сонда трилинейная 40 Фейербаха полярное соответствие 38 Фрежье 78, полярный образ 72 точка Аполлония принцип двойственности 39 Брокара прямая Гаусса 91, 112 Жергонна Обера 112 изогонально сопряженная Симсона 27 Лемуана пучок 79 Микеля окружностей 60 Нагеля гиперболический 60 предельная пучка окружноспараболический 60 тей эллиптический 61 Торричелли Фейербаха радикальный центр треугольник автополярный окружностно-чевианный симедиана педальный соосные окружности подерный степень точки чевианный сферы Данделена угол Брокара теорема о пучке коник о трех кониках 89 эксцентриситет двойственная 90 эллипс о четырех кониках 89 Брокара двойственная 90 Штейнера вписанный Дроз-Фарни 115 описанный 55, Список литературы [1] Александров П. С.

Лекции по аналитической геометрии.

М.: Наука, 1968.

[2] Яглом И. М.

Геометрические преобразования, Т. 1, 2.

М.: Гостехиздат, 1955–1956.

[3] Заславский А. А.

Геометрические преобразования.

М.: МЦНМО, 2003.

[4] Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л.

Новые встречи с геометрией.

М.: Наука, 1978.

[5] Берже М.

Геометрия, Т. 1, 2.

М.: Мир, 1984.

[6] Кокстер Х. С. М.

Действительная проективная плоскость.

М.: Физматгиз, 1959.

[7] Гильберт Д., Кон-Фоссен С.

Наглядная геометрия.

М.: Наука, 1981.

[8] Емельянов Л. А., Емельянова Т. Л.

Семейство Фейербаха.

// Математическое просвещение.

Третья серия. Вып. 6. 2002. С. 78–92.

[9] Lemaire J.

L’hyperbole quilatre.

Paris: Vuibert, 1927.

[10] Ehrmann J.-P., van Lamoen, F.

A projective generalization of the Droz-Farny line theorem.

// Forum Geom. 2004. № 4. P. 225–227.

В книге использованы шрифты гарнитуры Школьная фирмы ParaType.

Эскизы иллюстраций выполнены А. В. Акопяном в свободно распространяемой программе Kig (KDE Interactive Geometry). При подготовке издания они были перерисованы в программе MetaPost.

А. В. Акопян А. А. Заславский ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА Технический редактор В. Ю. Радионов Редактор Е. Ю. Бунькова Корректор О. А. Васильева Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., Тел. (495) 241–74–Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография ”Наука“» 121099, Москва, Шубинский пер.,

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 ||










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.