WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 14 |
А. В. Акопян А. А. Заславский ГЕОМЕ ТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА Для учащихся старших классов Москва Издательство МЦНМО 2007 УДК 22.151 ББК 514 А40 Книга посвящена тем свойствам коник (кривых второго порядка), которые формулируются и доказываются на чисто геометрическом языке (проективном или метрическом). Эти свойства находят применение в разнообразных задачах, а их исследование интересно и поучительно. Изложение начинается с элементарных фактов и доведено до весьма нетривиальных результатов, классических и современных. Раздел «Некоторые факты классической геометрии» является содержательным дополнением к традиционному курсу евклидовой планиметрии, расширяющим математический кругозор читателя.

Книга демонстрирует преимущества чисто геометрических методов, сочетающих наглядность и логическую прозрачность. Она содержит значительное количество задач, решение которых тренирует геометрическое мышление и интуицию.

Книга может быть полезна для школьников старших классов, студентов физико-математических специальностей, преподавателей и широкого круга любителей математики.

Акопян А. В., Заславский А. А.

А40 Геометрические свойства кривых второго порядка. – М.: МЦНМО, 2007. – 136 с.

– – ISBN 978-5-94057-300-5 ББК 514 ISBN 978-5-94057-300-5 © Издательство МЦНМО, 2007.

Оглавление Вступительные слова 5 Глава 1. Элементарные свойства кривых второго порядка 7 § 1.1. Определения 7 § 1.2. Аналитическое определение и классификация кривых второго порядка 10 § 1.3. Оптическое свойство 12 § 1.4. Изогональное свойство коник 15 § 1.5. Кривые второго порядка как проекции окружности 20 § 1.6. Эксцентриситет и еще одно определение коник 22 § 1.7. Замечательные свойства параболы 24 Глава 2. Некоторые факты классической геометрии 31 § 2.1. Инверсия и теорема Фейербаха 31 § 2.2. Основные сведения о проективных преобразованиях 33 § 2.3. Некоторые факты из геометрии треугольника 41 § 2.4. Радикальные оси и пучки окружностей Глава 3. Проективные свойства коник § 3.1. Двойное отношение четырех точек кривой. Параметризация.

Обратные теоремы Паскаля и Брианшона § 3.2. Полярное соответствие. Принцип двойственности § 3.3. Пучки кривых. Теорема Понселе 4 Оглавление Глава 4. Евклидовы свойства кривых второго порядка § 4.1. Особые свойства равносторонней гиперболы § 4.2. Вписанные коники § 4.3. Нормали к конике. Окружность Иоахимсталя § 4.4. Теорема Понселе для софокусных эллипсов Решения задач Предметный указатель Список литературы Вступительные слова Кривые второго порядка, или коники, традиционно считаются объектом аналитической геометрии и изучаются на первых курсах технических вузов. При этом из их геометрических свойств упоминаются, в лучшем случае, только оптические. Между тем, эти кривые обладают рядом других весьма красивых свойств, большая часть которых может быть доказана методами элементарной геометрии, вполне доступными старшеклассникам. Кроме того, коники могут применяться для решения геометрических задач, на первый взгляд никак с ними не связанных. В данной работе приводятся наиболее интересные факты, связанные с кривыми второго порядка, в том числе доказанные в последнее время.

Глава 1 книги посвящена элементарным свойствам коник. Большая часть изложенных в ней фактов широко известна, но и остальные достаточно просты, так что эта глава не требует от читателя подготовки, выходящей за рамки школьной программы.

Некоторые несложные, но важные утверждения предлагаются в этой главе в качестве упражнений. Мы рекомендуем читателям, прежде чем читать решения упражнений, попытаться выполнить их самостоятельно.

Это облегчит понимание дальнейших частей книги. Глава 2 носит вспомогательный характер. В ней изложены некоторые факты из классической геометрии, нужные для понимания последующих глав, которые в школе не изучаются в достаточном объеме.

В главе 3 излагаются общие для всех ко6 Вступительные слова ник проективные свойства, к числу которых относятся и довольно сложные, например теоремы о пучках коник. Наконец, глава посвящена метрическим свойствам, которые, как правило, присущи только коникам определенного вида. Эта глава является наиболее сложной и требует для понимания достаточно глубокого ознакомления с предыдущими главами книги.

Авторы благодарят за ценные замечания И. И. Богданова и Е. Ю. Бунькову.

Г Л А В А Элементарные свойства кривых второго порядка § 1.1. Определения Пусть коза привязана веревкой к колышку.

Ясно, что в этом случае она съест траву внуb три круга, центром которого является колышек, а радиус равен длине веревки. Привяжем теперь козу к двум колышкам с помоF1 F2 a щью веревки и скользящего по ней кольца.

В этом случае область, внутри которой коза съест траву, будет выглядеть как на рис. 1.1.

Граница этой фигуры характеризуется тем свойством, что сумма расстояний от лю- Рис. 1.1. F1 и F2 – – – бой ее точки до колышков равна длине ве- фокусы, a и b – большая и малая оси ревки. Такая кривая называется эллипсом, а точки, в которые воткнуты колышки, – – фокусами.

Понятно, что эллипс выглядит как «вытянутая окружность». У него, очевидно, есть две оси симметрии. Это прямая, соединяющая фокусы, и серединный перпендикуляр к отрезку с концами в фокусах. Эти две прямые называются большой и малой осями эллипса, а длины их частей, лежащих внутри эллипса, – длинами большой и малой – осей. Расстояние между фокусами называют фокусным расстоянием.

Также очевидно, что длина веревки, к которой привязана коза, равна длине большой оси эллипса, внутренность которого она выедает.



Интуитивно ясно, что коза может добраться до любой точки внутри эллипса и пожевать там траву, а до точек вне этого эллипса она добраться не может. Но если переформулировать это утверждение на чисто математическом языке, оно уже не так очевидно.

8 Глава 1. Элементарные свойства кривых второго порядка Упражнение 1. Докажите, что сумма Y X расстояний от любой точки внутри эллипса до фокусов меньше, а от точки вне эллипса больше длины большой оси.

F1 FРешение. Обозначим фокусы эллипса через F1 и F2, а точку через X. Точку пересечения луча F1X с эллипсом обозначим через Y.

Пусть сначала точка X лежит внутри эллипРис. 1.са. По неравенству треугольника F2X < XY + + YF2, а значит, F1X + XF2 < F1X + XY + YF2 = F1Y + F2Y (рис. 1.2).

Но F1Y + F2Y равно длине веревки, к которой привязана коза, т. е. большой оси эллипса. Рассуждая аналогично в случае, если точка X лежит вне эллипса, получаем F2Y < XY + XF2. Следовательно, F1X + XF2 = F1Y + YX + XF2 > F1Y + F2Y.

Эллипсы часто встречаются в механике. Так, например, планета, двигаясь вокруг Солнца, описывает эллипс, причем Солнце находится в одном из его фокусов (закон Кеплера).

Эллипс является одним из примеров кривых второго порядка, или коник. Другими примерами таких кривых являются парабола и гипербола.

Гиперболой называется множество точек, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, постоянен.

Гипербола состоит из двух дуг, которые сколь угодно близко приближаются к двум прямым, называемым асимптотами гиперболы (рис. 1.3). Гипербола с перпендикулярными асимптотами называется равносторонней.

Прямая, проходящая через фокусы гиперболы, является ее осью симметрии и называется действительной осью. Перпендикулярная ей прямая, проходящая через середину b отрезка между фокусами, также является осью симметрии и называется мнимой осью гиперболы.

Если комета летит мимо Солнца и силы притяжения Солнца недостаточно, чтоF1 F2 a бы оставить комету в пределах солнечной системы, то траекторией кометы будет дуl1 lга гиперболы, фокус которой находится в центре Солнца.

Параболой называется множество тоРис. 1.3. F1 и F2 – фокусы, – чек, расстояния от которых до фиксироa и b – действительная и – ванных точки и прямой равны. Эти точ- мнимая оси, ка и прямая называются фокусом и ди- l1 и l2 – асимптоты – § 1.1. Определения ректрисой параболы соответственно. Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (рис. 1.4). Очевидно, что эта прямая является осью симметрии параболы. l Например, камень, брошенный под углом к горизонту, летит по параболе.

F В каком-то смысле, с геометрической точки зрения, парабола всего одна (как и окружность). Точнее говоря, все параболы подобны, l т. е. они переводятся друг в друга поворотной Рис. 1.4. F – фокус, – гомотетией.

l и l – директриса и ось – Рассмотрим семейство эллипсов с фокупараболы сом в фиксированной точке и проходящих через заданную точку. Второй же фокус устремим к бесконечности вдоль какого-то Z X направления. Тогда эти эллипсы будут стреF X миться к параболе с тем же фокусом и осью, Z параллельной направлению, вдоль которого мы уводили второй фокус. Аналогичный эксY Y перимент можно повторить и для гипербол.

Таким образом, парабола является предельРис. 1.ным случаем как эллипса, так и гиперболы.

Упражнение 2. Сформулируйте и докажите для параболы и гиперболы утверждения, аналогичные утверждению из упражнения 1.

Решение. Для точек внутри параболы расстояние до фокуса меньше, чем расстояние до директрисы, а для точек вне параболы наоборот (рис. 1.5).

Проекцию точки X на директрису обозначим через Y, а точку пересечения XY с параболой через Z. Через F обозначим фокус параболы. По определению параболы FZ = ZY. Если точка X лежит внутри параболы, то XY = XZ + ZY. По неравенству треугольника FX < FZ + ZX = ZY + ZX = XY. Если точка X и парабола лежат по разные стороны от директрисы, то утверждение очевидно. Пусть точка X лежит вне параболы, но по ту же сторону от директрисы, тогда ZY = ZX + XY, и по неравенству треугольника FX + XZ > FZ = ZY = = ZX + XY. А значит, FX > XY, что и требовалось доказать.

В случае с гиперболой это утверждение формулируется следующим образом: пусть модуль разности расстояний от любой точки на гиперболе до фокусов F1 и F2 равен d. Обозначим дугу гиперболы, внутри которой лежит F1, через Г. Тогда для точек X вне Г величина XF2 - XF1 меньше d, а внутри – больше.

– Пусть точка X лежит внутри части, отсекаемой дугой Г. Обозначим точку пересечения луча F2X и Г через Y. Получаем, что 10 Глава 1. Элементарные свойства кривых второго порядка F2X = F2Y + YX. По неравенству треугольника F1X < F1Y + YX, значит, F2X - F1X > X Y > (F2Y + YX) - (F1Y + YX) = F2Y - F1Y = d.

Если же точка X лежит вне Г, то, взяв за точку Y пересечение F1X и Г, получим F1X = F1 F= F1Y + YX. По неравенству треугольника Y F2X < F2Y + YX. Следовательно, F2X - F1X < < (F2Y + YX) - (F1Y + YX) = F2Y - F1Y = d.

X Отметим (пока без доказательства), что и эллипс, и парабола, и гипербола обладают Рис. 1.следующими свойствами: любая прямая пересекает каждую из этих кривых не более чем в двух точках, и из любой точки плоскости к кривой можно провести не более двух касательных. Эти свойства являются очевидными следствиями результатов § 1.5.

Упражнение 3. Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся двух данных.

Решение. Рассмотрим для определенности случай, когда окружности с центрами O1, O2 и радиусами r1, r2 лежат одна вне другой. Если окружность с центром O и радиусом r касается обеих окружностей внешним образом, то OO1 = r + r1, OO2 = r + r2 и, значит, OO1 - OO2 = = r1 - r2, т. е. O лежит на одной из ветвей гиперболы с фокусами O1, O2. Аналогично если окружность касается обеих данных внутренним образом, то ее центр лежит на другой ветви этой гиперболы. Если же одно из касаний внешнее, а другое внутреннее, то модуль разности расстояний OO1 и OO2 равен r1 + r2, т. е. O описывает другую гиперболу с теми же фокусами. Аналогично если одна окружность лежит внутри другой, то искомое ГМТ состоит из двух эллипсов с фокусами O1, O2 и большими осями, равными r1 + r2 и r1 - r2. Случай пересекающихся окружностей разберите самостоятельно.





§ 1.2. Аналитическое определение и классификация кривых второго порядка В предыдущем параграфе мы упомянули, что эллипс, парабола и гипербола являются частными случаями кривых второго порядка. Сейчас мы уточним это утверждение и покажем, что, в определенном смысле, других кривых второго порядка не существует.

Определение. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых в некоторой (а значит и в любой) декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второго порядка:

(1) a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0.

§ 1.2. Аналитическое определение и классификация Если левая часть уравнения (1) разлагается на два множителя первой степени, то кривая является объединением двух прямых (возможно, совпадающих). В этом случае она называется вырожденной. Вырожденной считается также кривая, содержащая ровно одну действительную точку (например, x2 + y2 = 0).

В курсе аналитической геометрии показывается (см., например, [1]), что для любой невырожденной кривой существует система координат, в которой ее уравнение имеет достаточно простой вид. Опишем основную идею этого упрощения.

Вначале совершим поворот осей координат на угол. Это значит, что в уравнении (1) координаты x и y надо заменить соответственно на x cos - y sin и x sin + y cos. Выбирая значение, можно добиться того, что коэффициент при произведении xy станет равен нулю. Затем перенесем начало координат в точку (x0, y0), т. е. заменим x на x + x0 и y на y + y0. Выбором значений (x0, y0) можно добиться того, что уравнение (1) примет один из следующих канонических видов (I), (II), (III).

Непосредственное вычисление показывает, что кривая x2 y(I) + = 1, a b > 0, a2 bявляется эллипсом с центром в начале координат, фокусами в точках (± a2 - b2, 0) и большой и малой полуосями (т. е. половинами длин соответствующих осей), равными соответственно a, b. В частном случае a = b эллипс (I) является окружностью.

Кривая x2 y(II) - = 1, a > 0, b > 0, a2 bявляется гиперболой, пересекающей свою действительную ось в двух точках, расстояние между которыми равно 2a. Величина a называется действительной, а b – мнимой полуосью гиперболы.

– Прямые x/y = = ±a/b являются асимптотами гиперболы, а точки (± a2 + b2, 0) – ее – фокусами. При a = b гипербола (II) будет равносторонней.

В случае (III) y2 = 2px, p > 0, кривая является параболой, ось которой совпадает с осью абсцисс, фокус находится в точке (p/2, 0), а уравнение директрисы x = -p/2.

Кривая x2 y+ = -a2 bназывается мнимым эллипсом и не содержит ни одной действительной точки.

12 Глава 1. Элементарные свойства кривых второго порядка В дальнейшем, если не оговорено противное, кривая второго порядка подразумевается невырожденной и не мнимой.

Задача 1. Докажите, что уравнение y = 1/x задает гиперболу, и найдите ее фокусы.

§ 1.3. Оптическое свойство Как известно, если луч света падает на зеркальную поверхность, то отражается он от нее под таким же углом, под которым упал. Это связано с так называемым принципом Ферма, гласящим, что свет всегда выбирает кратчайший путь. Давайте докажем, что этот путь действительно будет кратчайшим.

Итак, дана прямая l и точки F1 и F2, лежащие по одну сторону от нее. Требуется найти такую точку P на прямой, что сумма расстояний от P до F1 и F2 будет минимальной. Отразив F2 относительно прямой l, получим точку F2. Очевидно, что F2X = F2X для любой точки X на прямой l. Поэтому нам достаточно найти такую точку P, что сумма расстояний от P до F1 и F2 будет как можно меньше. Очевидно, минимум достигается, когда точка P лежит на отрезке F1F2, пересекающем прямую l. Тогда требуемые углы, очевидно, равны (рис. 1.7).

Упражнение 1. a) Когда достигается максимум модуля разности расстояний от точки P до точек F1 и F2, лежащих по разные стороны от прямой l б) Пусть даны две прямые l и l и точка F, Fне лежащая на них. Найдите такую точку P Fна прямой l, что разность расстояний от нее до прямой l и до точки F (взятая со знаком) P l максимальна.

X Решение. a) Обозначим через F2 точку, симметричную F2 относительно прямой l.

FОчевидно, что F2X = F2X для любой точки X на прямой l. Нам достаточно найти такую Рис. 1.точку P, что разность расстояний от P до F и F2 будет как можно больше. Из неравен Fства треугольника следует что |F1P - F2P| < F < F1F2. И достигается этот максимум тогда и только тогда, когда точки F1, F2, P лежат на одной прямой. Поскольку точки F2 и F2 симl метричны, углы, которые образуют прямые X P F1P и F2P с прямой l, равны (рис. 1.8).

б) Обозначим через F точку, симметричFную F относительно l. Выберем ту из точек F и F, расстояние от которой до прямой l Рис. 1.§ 1.3. Оптическое свойство минимально (расстояние берется со знаком).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 14 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.