WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

Он определяется экспериментально, измеряется в системе СИ в метрах и определяет плечо пары (P; N) при качении колеса.

Fпред значительно меньше, чем сила трения скольжения Fтр, поэтому в технике, по возможности, скольжение заменяют качением.

16. Методика решения задач статики Общая схема решения задач о равновесии тела (или конструкции, состоящей из нескольких тел) содержит несколько этапов.

Необходимо:

1. Выбрать тело (или конструкцию), исследование равновесия которого позволит определить требуемые величины. Начертить расчётную схему - упрощённый рисунок, на который вынесены лишь необходимые для решения линейные размеры и углы, а несущественные детали опущены.

2. Изобразить на схеме активные силы, заданные в условии задачи.

3. Если тело несвободно, отбросить наложенные на него механические связи, заменив их действие реакциями в соответствии с видами связей. После такой замены тело становится свободным.

4. Проверить выполнение необходимого условия статистической определимости задачи: число неизвестных, появившихся на расчётной схеме, не должно превышать числа уравнений равновесия для рассматриваемой системы сил.

5. Если задача статически определима, то, используя условия равновесия системы сил, составить систему уравнений равновесия и решить её.

При решении задачи рекомендуется действовать строго по описанной схеме.

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО СТАТИКЕ ЗАДАНИЕ С-Определить реакции опор конструкции. Схемы конструкций представлены на рис. 1.1-1.5 (размеры - в м), нагрузка приведена в таблице 1.

При этом величины сил P1 и P1, а также P2 и P2 равны соответственно между собой (P1 = P1; P2 = P2).

Таблица 1.

№№ варианта P1, кН P2, кН q, кН / м М, кН м 1 6 - 25 0,2 5 8 26 - 3 8 10 33 1,4 10 - 25 1,5 12 - 27 1,6 14 12 - 0,7 16 8 18 1,8 12 6 20 1,9 14 - 28 1,10 8 - 26 0,11 15 10 29 1,12 15 8 28 1,13 7 6 15 1,14 5 - 30 0,15 6 10 24 1,16 8 11 31 0,17 9 15 26 1,18 7 16 27 0,19 6 18 35 1,20 7 16 32 0,21 8 17 30 1,22 5 6 34 2,23 14 7 10 24 10 6 7 1,25 11 14 20 0,26 15 16 14 27 14 4 8 2,28 10 - 7 29 18 6 8 30 16 10 14 Рис. 1.Рис. 1.Рис. 1.Рис. 1.Рис. 1.ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ Дано: схема конструкции (рис. 1.6); G = 10 кН; P = 5 кН; q = 0,кН/м; = 30o, размеры – в м. Определить реакцию опоры A и реакцию стержня CD.

РЕШЕНИЕ Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к балке AB.

Отбрасываем связи: шарнирно-неподвижную опору A, стержень CD и нить.

Действие связей на балку заменяем их реакциями (рис. 1.7). Так как направление реакции шарнирнонеподвижной опоры A неизвестно, то определяем ее Рис. 1.составляющие X и YA.

A Покажем также реакцию SCD стержня и реакцию S нити, модуль которой равен P.

Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем сосредоточенной силой Q с модулем Q = 2q = 20,5 = 1 кН и приложенной в центре тяжести эпюры этой нагрузки.

Рис. 1.Для плоской системы сил, приложенных к балке, составляем три уравнения равновесия:

FKx = 0; X - S cos30o = 0; (1) A CD K FKy = 0; YA - Q - G + SCD cos60o + S = 0; (2) K m (FK ) = 0; - Q 1- G 3 + SCD 4 sin30o - M + S 6 = 0; (3) A K Из уравнения (3) Q 1+ G 3 + M - S 6 11+10 3 + 8 - 5 SCD = = = 4,5кН.

4 sin 30o 4 0,Из уравнения (1) X = SCD cos30o = 4,5 0,866 = 3,90кН.

A Из уравнения (2) YA = Q + G - SCD cos60o - S =1+10 - 4,5 0,5 - 5 = 3,75кН.

Значения XА, YА, SCD получаются положительными, это указывает на то, что принятые направления этих сил совпадают с их действительными направлениями.

ЗАДАНИЕ С-Определение реакций опор составной конструкции.

Определить реакции опор и давление в промежуточном шарнире C заданной составной конструкции. Схемы конструкции представлены на рис. 2.1–2.5, а необходимые данные - в таблице 2.

Таблица №№ P, М, q, a,,, п/п кН кНм кН/м м град. град.

1 10 5 1,4 1,0 45 2 12 8 1,0 2,0 60 3 15 4 0,8 1,5 30 4 14 6 1,8 1,0 75 5 20 4 1,4 2,0 60 6 16 10 1,2 1,0 30 7 18 8 1,6 1,5 60 8 20 12 2,2 1,0 75 9 22 6 1,2 2,0 45 10 30 8 2,4 1,5 30 11 10 5 1,4 1,0 45 12 12 8 1,0 2,0 60 13 15 4 0,8 1,5 30 14 14 6 1,8 1,0 75 15 20 4 1,4 2,0 60 16 16 10 1,2 1,0 30 17 18 8 1,6 1,5 60 18 20 12 2,2 1,0 75 19 22 6 1,2 2,0 45 20 30 8 2,4 1,5 30 21 10 5 1,4 1,0 45 22 12 8 1,0 2,0 60 23 15 4 0,8 1,5 30 24 14 6 1,8 1,0 75 25 20 4 1,4 2,0 60 26 16 10 1,2 1,0 30 27 18 8 1,6 1,5 60 28 20 12 2,2 1,0 75 29 22 6 1,2 2,0 45 30 30 8 2,4 1,5 30 Рис. 2.Рис. 2.Рис. 2.Рис. 2.Рис. 2.ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ Дано: схема конструкции (рис. 2.6а); P = 8 кН; M = 20 кНм;

q = 2 кН/м ; a = 1 м; = 60о; = 30о. Определить реакции опор A и B и давление в промежуточном шарнире C.

РЕШЕНИЕ Данная конструкция состоит из двух тел, сочлененных шарниром C.

Задачу можно решить двумя способами.

Первый способ. Мысленно освобождаемся от связей, наложенных на каждое из тел, заменяя их на соответствующие реакции. Рассматриваем системы уравновешивающихся сил, приложенных к каждому телу в отдельности.

На первое тело (рис. 2.6б) действуют: сила P, пара сил с моментом M, реакция опоры A и давление балки CD в точке C. Реакция жесткой заделки A представляется силами X, YAи парой сил с моментом MА, а давA ление балки CD - составляющими XC и YC. Указанные силы расположены на плоскости произвольным образом, поэтому составляем три уравнения равновесия:

(1) F = 0 ; X + XC - P cos = 0 ;

Kx A K (2) F = 0 ; YA + YC - P sin = 0 ;

Ky K (3) m (FK ) = 0 ; X OA + M + YC OC - M + P OK = 0 ;

0 A A K где OA = 2 a = 2м, OC = 1,5 a = 1,5м, OK = a sin =1 = 0,87м.



На второе тело (рис. 2.6в) действуют: распределенные силы интенсивности q, реакция опоры B и давление первого тела в точке C. Равномерно распределенные силы заменяем их равнодействующей Q, приложенной в середине участка CD и направленной по вертикали вниз. Ее модуль определяется по формуле:

Q = q CD = 2 3,5 = 7 кН.

Реакция NB опоры B перпендикулярна к балке CD, а давление перво го тела представляется составляющими XC и YC. Согласно аксиоме о равенстве действия и противодействия Рис. 2. XC = X и XC XC, C YC = YC и YC YC.

Уравнения равновесия сил, приложенных к балке CD имеют вид:

(4) F = 0 ; - XC - NB sin = 0 ;

Kx K (5) F = 0 ; - YC + NB cos - Q = 0 ;

Ky K (6) m (FK ) = 0 ; NB CB - Q CF = 0 ;

C K CD 3,5 где CB = a =1 м, CF = cos = = 1,52 м.

2 2 Уравнения равновесия (1)-(6) образуют полную систему уравнений, откуда определяются все шесть неизвестных величин: XА, YА, MА, XС, YС, NB.

Из уравнения (6) находим CF 1,NB = Q = 7 =10,64 кН.

CB Из уравнения (5) YC = NB cos - Q = 10,64 - 7 = 2,21 кН.

Из уравнения (4) XC = -NB sin = -10,64 = -5,32 кН.

Отрицательный знак указывает, что в действительности сила XC (соответственно и XC ) будет направлена в сторону противоположную принятой. Истинные направления сил XC и YC, представляющих собой составляющие давления RC балки CD на первое тело конструкции, показаны на рис. 2.6г.

Модуль RC и угол определяются по формулам:

2 RC = XC + YC = (5,32)2 + (2,21)2 = 5,76 кН, YC = arctg = arctg0,4154 = 22o34.

XC Далее из уравнения (1) находим X = P cos - XC = 8 + 5,32 = 9,32 кН.

A Из уравнения (2) YA = P sin - YC = 8 - 2,21 = 4,72 кН.

Из уравнения (3) M = -X OA - YC OC + M - P OK = A A = -9,32 2 - 2,211,5 + 20 - 8 0,87 = -8,92 кНм.

Отрицательный знак указывает, что направление вращения пары в опоре А в действительности противоположно выбранному.

Второй способ. Рассматриваем систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции (рис. 2.6а). На конструкцию действуют:

сила P, пара сил с моментом M, равнодействующая Q распределенных сил и реакции опор A и B ( X,YA,M, NB ). При рассмотрении всей конструкA A ции в целом давления в шарнире C ( XC,YC и XC,YC ) не рассматриваются.

Уравнениями равновесия для указанной системы сил будут:

(7) F = 0 ; X - P cos - NB sin = 0 ;

Kx A K (8) F = 0 ; YA - P sin + NB cos - Q = 0 ;

Ky K (9) m (FK ) = 0 ; M + P h1 - M + NB h2 - Q h3 = 0 ;

A A K 3 где h1 = a sin + 2 a cos = + 2 =1,87 м, 2 3 h2 = a +1,5a cos + 2a sin = 1+1,5 + 2 = 3,30 м, 2 h3 = 1,5a +1,75a cos = 1,5 +1,75 = 3,02 м.

Далее следует рассматривать систему уравновешивающихся сил, приложенных к одному из тел конструкции, при этом целесообразно выбрать ту часть конструкции, на которую действует меньшее число сил. В данном случае рассматриваем систему сил, действующих на балку CD, условия равновесия которой выражаются уравнениями (4) – (6).

Таким образом, для определения шести неизвестных величин будем иметь систему уравнений (4) – (9).

В заключении отметим, что уравнения (7) – (9) могут быть использованы для проверки результатов решения задачи первым способом, а уравнения (1) – (3) - вторым способом.

ЗАДАНИЕ С-Приведение пространственной системы сил к заданному центру.

Определить главный вектор R и главный момент M0 заданной системы сил относительно центра O. Схемы вариантов приведены на рис. 3.1– 3.5, необходимые данные - в таблице 3.

Таблица 3.

М, №№ a=OE, b=OL, c=OB, F1, F2, F3, F4, F5,,, Нм п/п м м м H H H H H град град 1 15 20 15 9 14 12 14 15 60 30 2 30 40 30 12 18 16 18 20 75 15 3 45 60 45 15 22 20 22 25 30 60 4 60 80 60 18 26 24 26 30 15 75 5 15 20 15 21 30 28 30 35 60 30 6 30 40 30 24 34 32 34 40 75 15 7 45 60 45 27 38 36 38 45 30 60 8 60 80 60 30 42 40 42 50 15 75 9 15 20 15 33 46 44 46 55 60 30 10 30 40 30 36 50 48 50 60 75 15 11 45 60 45 12 54 16 54 20 30 60 12 60 80 60 15 58 20 58 25 15 75 13 15 20 15 18 17 24 17 30 60 30 14 30 40 30 21 19 28 19 35 75 15 15 45 60 45 24 21 32 21 40 30 60 16 60 80 60 27 23 36 23 45 15 75 17 15 20 15 30 25 40 25 50 60 30 18 30 40 30 33 27 44 27 55 75 15 19 45 60 45 36 29 48 29 60 30 60 20 60 80 60 9 31 12 31 15 15 75 21 15 20 15 9 14 12 14 15 60 30 22 30 40 30 12 18 16 18 20 75 15 23 45 60 45 15 22 20 22 25 30 60 24 60 80 60 18 26 24 26 30 15 75 25 15 20 15 21 30 28 30 35 60 30 26 30 40 30 24 34 32 34 40 75 15 27 45 60 45 27 38 36 38 45 30 60 28 60 80 60 30 42 40 42 50 15 75 29 15 20 15 33 45 44 46 55 60 30 30 30 40 30 36 50 48 50 60 75 15 Рис. 3.Рис. 3.Рис. 3.Рис. 3.Рис. 3.ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ Дано: F1 = 15 Н; F2 = 60 Н ; F3 = 30 Н; F4 = 20 Н; F5 = Н; M = 10 Нм; a = 0,5 м; b = 0,4 м; c = 0,3 м; = 600; = (рис. 3.6а).

РЕШЕНИЕ Прежде, чем приступить к определению главного вектора R заданной системы сил и ее главного момента M0 относительно начала координат, введем углы, и разложим силу F4на две составляющие: F4 – на плоскости XOY и F4(3) - перпендикулярно к ней (рис. 3.6а).

F4 = F4 sin = 10 Н, F4(3) = F4 cos =17,32 Н.

Проекцию силы F4на ось найдем, как сумму проекций составляю щих F4 и F4(3), а ее момент относительно оси, согласно теореме Вариньо на, будет равен сумме моментов F4 и F4(3) относительно этой же оси.

Для проекций главного вектора на координатные оси получим выражения:

Rx = (1) F = -F1 + F2 cos + F4 sin, kx k =Ry = (2) F = F3 cos - F4 cos - F5, ky k =Rz = (3) F = -F2 sin + F3 sin + F4(3), kz k =где OA a OD b sin = = = 0,78, cos = = = 0,62, AD AD a2 + b2 a2 + bON c OA a sin = = = 0,51, cos = = = 0,86.





AN AN a2 + c2 a2 + c Подставив в (1) – (3) выражения для F4 и F4(3), заданные значения F1, F2, …, F5,,, а также найденные значения тригонометрических функций углов и, получим Rx = 44,27 Н, Ry = -16,25 Н, Rz =12,31 Н.

Модуль главного вектора а) б) в) Рис. 3.R = (Rx)2 + (Ry)2 + (Rz )2 = (44,27)2 + (-16,25)2 + (12,31)2 = 48,74 Н.

Направляющие косинусы Rx 44,cos(R,i )= = = 0,91, R 48, Ry -16,cos(R, j)= = = -0,33, R 48, Rz 12,cos(R,k)= = = 0,25.

R 48,Проекции главного момента системы сил относительно начала координат на координатные оси равны суммам моментов всех сил относительно соответствующих координатных осей. Поэтому, будем иметь:

Mox = M = (Fk ) = F3 h3 + F4(3) b + F5 c, (4) m x x k =Moy = M = (5) m (Fk ) = F2 h2 - F3 sin a, y y k = Moz = M = (Fk ) = F1 b + F3 cos a - F4 h4 - F5 a + M, (6) m z z k =Из рис. 3.h2 = a sin = 0,5 0,51= 0,26 м, h3 = AE sin = (AB - BE) sin = = (a - c ctg )sin = (0,5 - 0,3ctg600) sin 600 = 0,28 м, h4 = b sin = 0,4 0,78 = 0,31 м.

Подставив в (4) – (6) числовые значения всех необходимых величин, получим:

Mox = 22,92 Нм, Moy = 2,45 Нм, Moz = 7,87 Нм Модуль главного момента Mo = (Mox)2 + (Moy)2 + (Moz )2 = 22,922 + 2,452 + 7,872 = 24,36 Нм.

Направляющие косинусы Mox 22,cos(Mo,i )= = = 0,941, Mo 24, Moy 2,cos(Mo, j)= = = 0,101, Mo 24, Moz 7,cos(Mo,k)= = = 0,323.

Mo 24,Примечание. При вычислении моментов сил относительно координатных осей во многих случаях целесообразно разлагать силу на составляющие, параллельные осям координат, а затем применять теорему Вариньона. Проиллюстрируем этот метод на примере вычисления момента силы F4относительно оси Oz. Выше показано разложение силы F4 на две составляющие F4 и F4(3) (F4 = F4 + F4(3) ). Далее разложим силу F4, расположенную в координатной плоскости Oxy на две составляющие F4(1) и F4(2), параллельные соответственно осям Ox и Oy (рис. 3.6б). Следовательно, F4 = F4(1) + F4(2), а F4 = F4(1) + F4(2) + F4(3), то-есть сила F4 разложена на составляющие F4(1), F4(2), F4(3), параллельные осям координат (рис. 3.6в).

Модули сил F4(1) и F4(2) легко вычисляются:

F4(1) = F4 sin = F4 sin sin = 7,8 Н, F4(2) = F4 cos = F4 sin cos = 6,2 Н, На основании теоремы Вариньона получим M (F4) = M (F4(1) ) + M (F4(2) ) + M (F4(3)), z z z z M (F4(1)) = -F4(1) AB = -3,12 Нм, z M (F4(2)) = M (F4(3)) = 0.

z z Следовательно, M (F4) = -3,12 Нм.

z ЗАДАНИЕ С-Равновесие тела под действием произвольной пространственной системы сил Определить в зависимости от варианта задачи реакции в подпятнике или шаровом шарнире A, подшипнике B, в заделке O, усилия в стержнях, а также силу P или натяжение нити (всего шесть неизвестных). Схемы конструкций приведены на рис.4.1-4.5, а необходимые данные - в таблице 4 ( - угол между силой P1 и плоскостью xy).

Таблица q, a, c, b, M, №№ P1, P2,,o,o,o п/п м Н/м m м Нм Н Н 1 0,6 1,0 0,5 50 30 20 100 60 - - 2 0,2 1,2 0,8 40 50 10 50 30 15 - 3 0,5 1,0 1,0 60 40 15 20 45 - - 4 0,4 1,2 0,6 20 40 - 60 30 30 5 0,7 1,0 - 40 30 - 45 60 30 - 6 0,9 1,3 0,8 50 - 10 40 45 30 - 7 0,2 1,0 0,6 30 50 20 100 30 30 - 8 0,8 0,6 0,4 80 40 15 80 45 30 - 9 0,5 1,0 0,6 50 40 10 30 30 15 - 10 0,6 1,1 0,5 30 60 30 80 60 30 - 11 0,4 1,0 0,6 20 50 20 100 30 15 - 12 0,8 1,2 1,0 60 80 15 40 60 45 - 13 0,5 0,8 - 50 40 - 30 - 30 - 14 0,4 1,0 - 60 - 10 50 30 45 - 15 0,6 0,9 0,2 30 10 - 60 45 60 - 16 0,2 1,0 0,4 40 14 20 70 30 15 - 17 0,6 0,8 0,5 80 - 30 40 45 30 - 18 0,5 0,8 0,6 60 15 40 100 60 30 - 19 0,3 0,6 0,5 50 60 - 60 45 30 - 20 0,4 0,5 0,6 40 30 - 50 30 30 - 21 0,5 0,8 0,4 50 100 15 50 45 15 - 22 0,4 - 1,6 40 - - 60 30 15 - 23 0,3 0,5 1,8 - - 20 40 45 15 - 24 0,5 0,6 0.8 50 - - 80 30 15 - 25 0,4 0,5 2,0 60 50 - 40 45 60 26 0,5 0,8 1,2 50 40 20 60 60 15 - 27 0,3 0,7 1,0 80 30 30 50 45 15 - 28 0,3 0,8 1,2 30 50 10 40 30 15 - 29 0,2 0,6 1,0 50 40 15 50 45 30 - 30 0,3 0,6 1,0 40 50 20 30 60 15 - Рис. 4.Рис. 4.Рис. 4.Рис. 4.Рис. 4.ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ Дано: пластинка ABCD, P1=10 Н, Р2=20 Н, М=50 Нм, =600, =300, =450, a=1 м, b=0,8 м. Сила Р1 лежит в плоскости xBz. Нить прикреплена в точке D пластинки и точке E, лежащей в плоскости ZBY (рис. 4.6.а).

Определить реакции в шаровом шарнире A, подшипнике B и натяжение нити в точке D.

Рис. 4.РЕШЕНИЕ Выбираем правую систему координат с началом в точке B. Освобождаемся от связей и заменяем их действие реакциями. В точке A реакции шарового шарнира раскладываем на три составляющих X, YA, ZA. В точA ке B реакцию цилиндрического шарнира раскладываем на две составляющие в плоскости xBz ( X, ZB ). В точке D нити Т направлена вдоль ED к B точке крепления. Рассмотрим равновесие сил, приложенных к пластинке.

Система сил, приложенная к пластинке, произвольная. Среди них имеется шесть неизвестных (XA, YA, ZA, XB, ZB и T). Для определения неизвестных составим шесть уравнений равновесия:

(Fx)= 0, F = 0, m kx x k k (Fk)= 0, F = 0, m ky y k k (Fk)= 0.

m z F = 0, kz k k При решении задач воспользуемся двойным проектированием силы T. Cначала найдем модуль проекции этой силы на плоскость xBy и модуль проекции на ось z.

Tz = Tz = T sin.

Txy = Txy = T cos, Так как проекция силы на плоскость есть величина векторная, то можно найти модули ее проекций на оси координат x и y Tx = Tx = Txy sin = T cos sin, Ty = Ty = Txy cos = T cos cos.

Таким образом моменты силы T относительно всех осей Bx, By, Bz имеют вид:

Pages:     | 1 | 2 || 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.