WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

При решении практических задач часто встречаются силы, распределенные по длине балки (стержня). Такие силы определяются плотностью распределения, которую будем обозначать q. Плотность распределения характеризует силу, действующую на единицу длины, и измеряется в ньютонах деленных на метр (Н/м).

Рис.1 Рис.2 Рис.На рис. 2 показана сила с постоянной плотностью распределения в каждой точке прямолинейного отрезка AB. Такую силу будем заменять сосредоточенной силой Q так, что Q = q AB и AD = DB (рис.3).

На рис. 3 показана распределенная сила с линейной плотностью распределения. Ее будем заменять сосредоточенной силой Q так, что q AB Q = и AD = 2 DB (Рис.5) Рис.4 Рис.2. Связи и их реакции.

Взаимодействие тел происходит в соответствии с третьим законом Ньютона. Силы взаимодействия равны по абсолютной величине, имеют одну линию действия и направлены противоположно. Важно, что эти силы приложены к разным телам и не могут друг друга уравновесить. При решении задачи механики рассматривается состояние равновесия или движения какого-то определенного тела. В этом случае тела, с которыми оно взаимодействует, называют связями. Они ограничивают движение рассматриваемого твердого тела. Сила взаимодействия, которая действует со стороны связи на рассматриваемое твердое тело, называется реакцией связи. Таким образом, если отбрасывается связь, то для того, чтобы механическое состояние твердого тела не изменилось, нужно добавить реакцию связи. Отбросив все связи, и добавив вместо них все реакции связей, рассматриваемое твердое тело отделяется от других тел, с которыми оно взаимодействует, и можно применять методы механики для изучения его механического состояния. Чаще всего реакции являются неизвестными и, решая задачи механики, их нужно определить.

Активные силы - это известные или заданные силы, которые действуют на рассматриваемое твердое тело (пример: сила тяжести).

Реакции связей возникают, как ответ на действие активных сил.

Пример: взаимодействие колеса с дорогой. Сила тяги (трения) ведущих колес возникает при взаимодействии колес с дорогой, как ответная реакция на приложенный к ним момент вращения со стороны двигателя через трансмиссию.

3. Система сил, действующая на твердое тело.

Множество сил, состоящих из реакций и активных сил, называется системой сил, приложенной к изучаемому твердому телу.

Систему сил обозначают так :

(F1, F2,...,Fm; R1, R2,...,Rn) активные силы реакции Под действием этих сил твердое тело может находиться в определенном механическом состоянии: равновесии или движении.

Чтобы определить механическое состояние, должна быть задана система отсчета, по отношению к которой это состояние определяется.

Чаще всего рассматриваются инерциальные системы отсчета, то есть те, которые движутся без ускорения. Существование таких систем отсчета обосновывает первый закон Ньютона. Для таких систем под равновесием материальной точки понимается состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Если система сил расположена в одной плоскости, то она называется плоской, если нет, то пространственной. Если под действием системы сил твердое тело находится в равновесии по отношению к выбранной системе отсчета, то система сил называется уравновешенной или эквивалентной нулю (рис.6).

Рис.В статике излагается общее учение о силах и системах сил, а также изучается равновесие материальных тел. В частности, с помощью математических уравнений определяется, когда система сил будет уравновешенной.

4. Аксиомы о системах сил.

Аксиома 1. Система из двух сил будет уравновешенной, если эти две силы имеют одну линию действия, равны по абсолютной величине и направлены в противоположные стороны (рис.7).

F1 = -F2, (F1;F2)~ Рис.Аксиома 2. Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к этой системе добавить или от нее отбросить уравновешенную систему сил.

Следствие. Силу можно переносить вдоль линии ее действия, не изменяя ее воздействия на твердое тело.

Аксиома 3. (Правило параллелограмма.) Две силы, приложенные в одной точке, можно заменить одной силой, приложенной в той же точке и являющейся диагональю параллелограмма, у которого эти векторы являются сторонами (рис.8).

F = F1 + FСила F - равнодействующая сил F1 и F2.

Рис.5. Сходящаяся система сил.

Определение. Если линии действия всех сил некоторой системы сил пересекаются в одной точке, то она называется сходящейся. Сходящуюся систему сил можно заменить одной силой, называемой равнодействующей, равной геометрической сумме всех сил системы и приложенной в точке пересечения их линий действия. Для нахождения равнодействующей все силы надо перенести в точку пересечения линий действия сил и последовательно сложить по правилу параллелограмма.

5. Проекция силы на оси координат на плоскости.

x1 x F = F A'B'= Fx = F cos A"B"= Fy = F sin F = Fx + Fy ; Fx Fy Рис.Проекции силы F на оси Ox и Oy определяются с помощью угла (рис.9).

7.Проекция силы на оси координат в пространстве.

Проекции силы на оси координат в пространстве определяются методом двойного проецирования. Сначала сила F проецируется на плоскость xOy и на ось Oz. Затем сила Fxy проецируется на оси Ox и Oy (рис.10).

Fxy = прxOy F - ; 0 < 2 Fxy = F cos Fx = F cos cos F = F cos sin y F = F sin z F = Fxi + Fy j + Fzk F = Fx + Fy + Fz Рис.8. Момент силы относительно точки на плоскости (скалярный момент силы).

Момент силы относительно точки определяет вращательный эффект силы. Для определения момента задаются положительное (против хода часовой стрелки) и отрицательное направления вращения относительно точки на плоскости.



Рис.Расстояние h от точки A до линии действия силы F называется плечом силы относительно точки A (рис.11).

Момент силы относительно точки А на плоскости есть скалярная величина, равная M (F)= ±F h A Знак «+» берётся, если вращательное направление действия силы вокруг точки A положительное, и знак «–», - если отрицательное.

9. Момент силы относительно точки в пространстве (векторный момент силы).

Момент силы относительно точки определяет вращательное воздействие силы относительно точки А в пространстве (рис.12).

Момент силы F относительно произвольной точки А - это вектор M (F), определяемый следующим образом:

A • M (F) = AB F sin(AB, F) A • M (F)перпендикулярен плоскости треугольника ABC.

A • Вектор M ( F) направлен так, что с его конца вращательный эфA фект силы F наблюдается в положительном направлении (против хода часовой стрелки).

Рис.Математически вектор M (F) вычисляется, как векторное произвеA дение M (F)= AB F.

A 10. Момент силы относительно оси.

Момент силы относительно оси - это скалярная величина, равная моменту проекции силы F на любую плоскость, перпендикулярную оси, вычисленному относительно точки пересечения этой плоскости с осью, как момент относительно точки на плоскости (рис.12).

Fxy = прxOy F M (F)= M (Fxy) (в плоскости xOy) z O Момент считается положительным, если с положительного конца оси Oz видно, что сила стремится повернуть тело против часовой стрелки.

Связь между моментом силы относительно точки O (начала координат) M (F) и моментами относительно осей координат M (F), M (F), O x y M (F) определяется векторным произведением:

z i j k OBy OBz OBx OBy OBx OBz M (F)= OB F = OBx OBy OBz = i + j + k = O Fy Fz Fx Fy Fx Fz Fx Fy Fz = M (F) i + M (F) j + M (F) k x y z 11. Пара сил. Пара сил - это система из двух сил, которые имеют параллельные линии действия, равны по абсолютной величине и направлены в противоположные стороны (рис.13).

(F1; F2) - пара сил.

Рис.Плоскость П, в которой лежат эти силы, называется плоскостью действия пары. Расстояния между линиями действия сил пары называется плечом пары. Силовое воздействие пары характеризуется ее моментом, называемым моментом пары. Сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю. Модуль момента пары равен произведению модуля одной из сил, составляющих пару, на плечо пары.

M(F1; F2) = M (F1) = M (F2) B A Если пара рассматривается в пространстве, то момент пары есть вектор, направленный перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда видно, что пара стремится повернуть тело против часовой стрелки.

Если пара рассматривается на плоскости, то момент пары – это скалярная величина, которая считается положительной, если пара стремится повернуть тело против часовой стрелки.

12. Основные виды связей и их реакций.

Аксиома 4 (о связях). Твердое тело можно освободить от связей, заменив их реакциями.

Каждая механическая связь представляет либо тело, либо механическое устройство, которое накладывает какие-либо ограничения на перемещение рассматриваемого тела в пространстве. При этом, в зависимости от вида связи, некоторые перемещения запрещены, а некоторые - разрешены.

Это обстоятельство позволяет заранее, не находя численных значений силовых факторов действия связи, указать на некоторые качественные их особенности, как например, направления. Правило, которому необходимо следовать при замене связей силами реакций, заключается в следующем:

реакция связи в общем случае может состоять из двух силовых факторов - силы, приложенной в точке наложения связи, и пары сил.

Если связь запрещает поступательное перемещение тела, появляется сила реакции, направление которой противоположно запрещенному перемещению. Если связь запрещает поворот тела, то возникает пара сил реакции связи, которая обеспечивает это запрещение, при этом вектор момента пары будет направлен вдоль оси запрещённого поворота. Ниже приведены некоторые виды связей, которые встречаются в технике. На рисунках приведены расчетные схемы этих связей и показано, как определить их реакции.

12.1. Некоторые связи и их реакции на плоскости.

1. Шарнирно-неподвижная опора (рис.14.) Рис.2. Шарнирно-подвижная опора (каток). (Рис.15.) Рис.3. Тонкий невесомый стержень с шарнирами на концах (серьга или стержневая связь). (Рис.16.) Рис.5. Разделение двух тел, связанных шарниром (рис.17).

В соответствии с третьим законом Ньютона силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению.

Рис.6. Жёсткая заделка на плоскости (рис.18) Рис.12.2. Некоторые связи и их реакции в пространстве.

7. Подшипник (B) и подпятник (A) в пространстве (рис.19).

Подпятник, в отличии от подшипника, фиксирует вал не только в радиальном направлении, но и в осевом.

Рис.4. Гладкая опорная поверхность (рис.20).

Реакция направлена по нормали к поверхности.

Рис.8. Сферический шарнир (шаровая опора). (Рис.21) Рис.9. Жесткая заделка в пространстве (рис.22) Рис.10.Гибкая невесомая нерастяжимая нить (рис.23) Реакция направлена вдоль нити.

Рис.13. Основные теоремы статики.

1. Теорема о параллельном переносе силы.

Силу, как вектор, можно параллельно перенести из одной точки тела в другую, добавив при этом пару сил с моментом, равным моменту исходной силы относительно точки переноса (рис.24).





Сила F1, приложенная в точке B, и пара сил с моментом M оказывают такое же воздействие, что и сила F, приложенная в точке А.

l F F1 = F2 = F -F= F(F1; F2) ~ (F) ~ (F, F1, F2) ~ (F1, M) M = m(F, F2)= mB(F) Рис.2. Теорема об эквивалентности пар. Не изменяя оказываемого на тело действия, пару сил можно заменить любой другой парой, лежащей в той же плоскости и имеющей тот же момент. Следствие: у данной пары можно произвольно менять модули сил и длину плеча, оставляя неизменным момент пары.

3. Теорема о переносе пары в любую плоскость, параллельную плоскости пары. Не изменяя оказываемого на тело действия, пару сил можно перенести в любую плоскость, параллельную плоскости заданной пары.

Из теорем 2 и 3 следует, что вектор момента пары является вектором свободным, то есть он не «привязан» к конкретной точке твердого тела, и его можно перемещать куда угодно в пределах тела.

4. Теорема о сложении пар.

Систему пар сил, действующих на твердое тело, можно заменить одной парой с моментом, равным геометрической сумме моментов заданной системы пар. Для этого все векторные моменты пар надо перенести в одну точку, а затем сложить их по правилу сложения векторов.

5. Основная теорема статики (теорема Пуансо). Теорема о приведении произвольной системы сил к любому центру. Произвольную систему сил можно привести к любому центру и заменить главным вектором, равным геометрической сумме всех сил, и главным моментом, равным сумме моментов всех сил, вычисленных относительно центра приведения.

Пусть точка В - центр приведения системы сил F1, F2,...,Fn.(Рис.25).

Воспользуемся теоремой о параллельном переносе сил. Перенесем все силы в точку В, добавив соответствующие моменты. Сложим все силы, получим главный вектор системы сил. Сложим все моменты, получим главный момент системы сил относительно точки B Рис.n n F1B + F2B +...+ FnB = = = FB FkB Fk k=1 k =n M1B + M +...+ M = = M 2B nB M kB B k =(F1, F2,...,Fn) ~ (FB,M ) B Главный вектор FB не зависит от центра приведения, а главный момент M - зависит.

B Таким образом, любая система сил при выборе произвольного центра приведения может быть заменена главным вектором и главным моментом, то есть силой и парой сил. Однако возможно дальнейшее упрощение системы. Можно так выбрать центр приведения, что произвольная система сил, не находящуюся в равновесии, приводится либо к равнодействующей, либо к паре сил, либо к динаме. Динама (динамический винт) – это такая совокупность силы и пары, при которой их вектора параллельны.

6. Теорема Вариньона.

Момент равнодействующей системы сходящихся сил относительно любого центра равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра. Это справедливо для момента сил относительно точки на плоскости, в пространстве и момента сил относительно любой оси.

7. Условия равновесия произвольной системы сил.

Теорема. Для того чтобы система сил была уравновешенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор равнялся нулю и главный момент тоже равнялся нулю независимо от центра приведения.

FB = (F1, F2,...,Fn) ~ 0, точка В - любая.

= M B Условие равновесия сил на плоскости (оси координат Вху).

n = Fkx = kn FB = = Fky = = M B kn (Fk )= M B k = На плоскости можно решить задачу статики, если число неизвестных не превышает трех. (Задача статически определима.) Условия равновесия сил в пространстве (оси координат Вхуz).

n = Fkx = kn Fky k =1 = n = Fkz =FB = 0 k, точка В - любая в пространстве.

n = M B (Fk )= M x k = n (Fk)= M k =1 y n (Fk )= M k =1 z В пространстве можно решать задачу статики, если число неизвестных не превышает шести. (Задача статически определима.) Статически неопределимые задачи, в которых число неизвестных превышает число уравнений, можно решить только с учетом деформации тел. Теоретическая механика не рассматривает деформацию, поэтому решением таких задач занимаются в других областях механики, где учитывается деформация тел.

14. Сила трения скольжения.

При попытке перемещать одно тело по поверхности другого возникает сила сопротивления, которая называется силой трения покоя (рис.26).

Fтр Fпред = fст N N - нормальная реакция, действующая на тело в поверхности контакта.

fст - статический коэффициент трения, который определяется экспериментально.

Он не зависит от площади поверхности контакта тела и определяется свойствами соприкасающихся поверхностей (их материалов, качества обработки, наличия или отсутствия смазки и т.д.).

После того, как начинается скольжение, возникает сила трения скольжения, которая определяется по формуле:

Fтр = fск N fск - динамический коэффициент трения.

Он находится экспериментально. Выполняется условие fск fст.

Рис.26 Рис.15. Трение качения.

Для того, чтобы катить колесо по негладкой поверхности (рис.27) нужно к его оси приложить силу F, которая должна превысить определенную силу Fпред.

Колесо и поверхность качения в области их контакта деформируются, поэтому равнодействующая N распределенной нормальной реакции будет смещена в сторону качения колеса на расстояние k от вертикали, проходящей через ось колеса и силу тяжести P. Пара сил (P; N) имеет момент, направленный противоположно направлению вращения колеса. Она определяет момент сопротивления качению. При равновесии колеса F r = M. Колесо начнет катиться при F = Fпред. В этом случае сопр k N Fпред r = k N = M, откуда Fпред =, где r - радиус колеса.

сопр r Коэффициент k называется коэффициентом трения качения.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.