Рассмотрим геометрический ряд xn. Его сумма S(x) =, x (-1;1). Диф 1- x n=ференцируя геометрический ряд почленно один, два и более раз, будем получать ряды, общие члены которых равны соответственно произведениям: nxn-1, n (n -1) xn-2, …(1). По теореме 3 суммы рядов, получаемых дифференцирова нием, будут равны соответственно: S (x), S (x) …. Итак, чтобы найти суммы n-рядов nx, n(n -1)xn-2,…, надо последовательно дифференцировать сумn=1 n= му геометрического ряда xn.
n=Если общий член ряда, сумму которого надо найти, является произведением и имеет более сложную структуру, чем рассмотренные, то его можно свести к ним. Например: (n2 - 2n) xn = n(n -1) xn - nxn = x2 n(n -1)xn-2 - x nxn-1.
2 n-Следовательно, - 2n)xn = x2 -1)xn-2 - x (n n(n nx. (Суммирование в пер- n=0 n=2 n= вом слагаемом правой части начинаем с 2, так как при n = 0 или n = 1, коэффициент n n -1 = 0 ).
( ) Интегрируя геометрический ряд xn почленно несколько раз, будем полу n=xn+1 xn+чать ряды, общие члены которых являются дробями:,, ….
n +1 (n +1)(n + 2) По теореме 2 их суммы можно получить, интегрируя сумму геометрического ряда соответствующее число раз.
Разумеется, при рассмотрении конкретных примеров за основу могут 2n быть взяты и другие геометрические ряды:, x2n+1, …, а также разлоx n=0 n=жения элементарных функций. Поскольку операции дифференцирования и интегрирования взаимно обратны, то для того чтобы найти исходный ряд надо данный ряд интегрировать и дифференцировать соответствующее число раз. При этом в силу теоремы 4 интервалы сходимости рассматриваемых рядов не меняются.
n n 1) Пусть S(x) = (2 + (-1)n n) xn, а S1(x), S2 (x) суммы рядов 2 xn и n=1 n= n (-1) nxn соответственно. Тогда в общей части их областей сходимости n=S x = S1 x + S2 x. Найдем каждую из сумм S1 x, S2 x. Заметим, что ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n 2 xn = (2x) - геометрический ряд со знаменателем q = 2x. Следовательn=1 n=2x но, S1(x) =, если 2x < 1, или, если x <. Чтобы подсчитать вторую сум1- 2x n n му, заметим, что (-1) n xn = x (-1) n xn-1, а ряд n=1 n= n (-1) n xn-1 = -1 + 2x - 3x2 + 4x3 -... получается дифференцированием геоn= n метрического ряда (-1) xn = -x + x2 - x3 +..., сумма которого равна 1+xx при n=x < 1. По теоремам 3 и 4 для любого x (-1;1) имеет место равенство:
x n n (-1) n xn-1 = (-1) xn = - xx, а S2(x) = x (-1+ x) = - (1+xx)2, x (-1,1).
1+ n=1 n=2x x 1 В итоге получаем, что искомая сумма S(x) = -, x (-, ).
1- 2x (1+ x)2 2 2) Общий член ряда 2) выразим через произведения вида (1):
(n2 - 2n - 2) xn+1 = n (n -1) xn+1 - (n +1) xn+1 - xn+1 = x3 n (n -1) xn-2 - x (n +1) xn - xn+1.
Следовательно, в общей части области сходимости рядов (n -1) xn-2, n n= xn+1 справедливо равенство:
(n +1) xn и n=0 n= xn+1. (2) (n - 2n - 2) xn+1 = x3 n (n -1) xn-2 - x (n +1) xn - n=0 n=2 n=0 n=Подсчитаем суммы рядов в правой части равенства (2):
x n+x = 1- x, x (-1,1) ;
n= + n+(xn+1) = (n +1) xn = x = x x = 1- xx)2x = (1-1x)2, x (-1,1) ;
(11- n=0 n=0 n= n n n xn-1 = xn-1 = ( ) n(n -1) xn-2 = n (x ) = x = x x = 1- n=2 n=1 n=1 n=1 n= 2 1- x 1 ( ) == ==, x.
(-1,) (1- x)2 1- x 4 1- x ( ) ( ) Следовательно, искомая сумма равна:
x (n - 2n - 2) xn+1 = x3 (1-2x)3 - x (1-1x)2 - 1- x, x (-1,1).
n=3) Учитывая соображения, высказанные ранее, нетрудно догадаться, что ряд 3) получается двукратным интегрированием геометрического ряда n (-1) xn = 1- x + x2 - x3 +..., сумма которого равна дроби 1+ x при x (-1,1).
n=Действительно, в силу теорем 5 и 7 для любого x (-1,1) справедливы равенx x n+ (-1)n xn+1 (-1)n t (-1)n xn+n n ства: ; dt =.
(-1) t dt = n +1 n +1 (n +1)(n + 2) n=0 n=0 n=0 n=0 Следовательно, и сумма ряда 3) может быть получена путем двукратного интегрирования функции. Интегрируем первый раз:
1+ x x x 1+ t dt = ln 1+ t = ln(1+ x).
(Знак модуля опускаем потому, что при x (-1,1) функция 1+ x строго положительна). Интегрируем еще раз:
x x x t t +1-x x x dt = x ln(1+ x) - t + ln(1+ t) = 0 0 ln(1+ t)dt = t ln(1+ t) - 1+ t dt = x ln(1+ x) - t +0 0 = x ln(1+ x) - x + ln(1+ x).
Итак, искомая сумма равна x ln(1+ x) - x + ln(1+ x), x (-1,1).
Замечание. Нередко второе интегрирование бывает не таким простым, как в рассмотренном примере. Чтобы его избежать, можно вычисления проводить иначе. Покажем, как это делается, на следующем примере.
2n+ t 4) Полагая t = sin x, ( t 1) получим степенной ряд. Предста- 2n(2n +1) n=вим его в виде суммы двух более простых рядов. Для этого сначала разложим 1 1 1 дробь на простейшие дроби: = -. Умножая обе 2n(2n +1) 2n(2n +1) 2n 2n +2n+1 2n+1 2n+t t t 2n+части данного равенства на t, получим: = -. Следова2n(2n +1) 2n 2n +2n+1 2n 2n+1 2n t t t тельно, = t -. (3). Теперь найдем суммы рядов t2n 2n(2n +1) 2n +1 2n n=1 n=1 n=1 n=2n+ t 2n-1 2n и, интегрируя почленно геометрические ряды t и t соот2n +n=1 n=1 n= 2n-1 2n-ветственно. Так как t = t + t3 +... + t +... = 1-tt, t (-1,1), n= t 2n 2 4 2n а = t + t +... + t +... =, t (-1,1), то в силу теоремы 2 и 4 для любоt 1- t n=tt 2n t s 1 d(1- s2 ) 1 го t (-1,1) имеем: = = - ln1- s2 t = - ln(1- t ), 1- s2 ds = - 2n 1- s2 2 n= t t t t t2n+1 t s2 t -s2ds 1- s2 -1 ds 1 1+ s 1 1+ t = ds = - = ds = - = t - ln.
1- ds 1- = t - ln 2n +1 s2 0 1- s2 0 1- s2 0 0 s2 2 1- s 2 1- t n=1 2n+ t 1 1 1+ t Отсюда и из (3) получаем: = - t ln(1- t ) + t - ln, t (-1,1).
2n(2n +1) 2 2 1- t n=Возвращаясь к первоначальной переменной, получим окончательно:
sin2n+1 x 1 1 1- sin x = - sin x ln(1- sin2 x) + sin x + ln, x + n, n 2n(2n +1) 2 2 1+ sin x n=§2. Задания для самостоятельной работы Найти сумму ряда.
3 2 2 2 2 §3. Приближенные вычисления с помощью рядов 1. Вычисление приближенных значений функций Пусть функция f разлагается в ряд Тейлора на некотором промежутке:
n ( ) f 0 f ( ) ( ) f x = f 0 + f 0 x + x2 +...+ xn +....
( ) ( ) ( ) 2! n! Если x0 - точка этого промежутка, то точное значение функции в точке хn ( ) f 0 f ( ) ( ) 2 n выражается равенством: f x0 = f 0 + f 0 x0 + x0 +...+ x0 +.... (1) ( ) ( ) ( ) 2! n! Заменяя сумму числового ряда (1) его n-ой частичной суммой Sn(x0 ), получим приближенное значение функции в точке x0 :
(n) f (0) f (0)x0.
2 n f (x0 ) Sn(x0 ) = f (0)+ f (0)x0 + x0 +... + 2! n! Совершаемая при этом абсолютная погрешность равна:
f (x0 )- Sn(x0 ) = Rn(x0 ), где Rn(x0 )- сумма остатка ряда (1).
При вычислении приближенных значений функции с помощью степенных рядов обычно приходится решать одну из взаимно-обратных задач.
Задача А. Взяв для вычисления приближенного значения функции определенное, заданное число членов ее разложения в ряд Тейлора, оценить совершаемую погрешность.
Задача В. По заданной абсолютной погрешности (точности вычислений), найти число членов разложения функции, необходимое для вычисления ее приближенного значения с заданной точностью.
Чтобы решить первую задачу, достаточно оценить сверху Rn(x0 ), а для решения второй, требуется решить неравенство Rn(x0 ). Часто его решить довольно трудно. Поэтому можно сначала сделать промежуточную оценку, подбирая более простую по ее аналитическому выражению функцию n такую, что Rn (x0 ) n. Затем, решая неравенство n, находят n, при котором n, а значит и Rn(x0 ) не превышают.
Рассмотрим, как найти функцию n для двух типов рядов: знакочередующегося лейбницевского ряда и сходящегося положительного ряда.
Если ряд (1) – лейбницевский, то, как известно, модуль остатка ряда не (n+1) f (0)x0.
n+превышает модуля первого члена этого остатка: Rn(x0 ) n! (n+1) f (0)x0 зависит только от n и его можно принять в качестве n+Выражение n! искомой функции n.
Если ряд (1) – положительный, то зачастую можно подобрать геометри ческий ряд аqk, все члены которого не меньше соответствующих членов k =n+ k n-го остатка ряда (1) и 0 q 1. Тогда Rn(x0 ) = Rn(x0 ) aq = aqn+1.
1- q k =n+aqn-Следовательно, в качестве n можно взять функцию.
1- q Пример 243. а) Вычислить e, взяв 3 первых члена разложения функции f (x) = ex в ряд Тейлора и оценить погрешность.
б) Вычислить e с точностью до 0,01.
x2 xn xn а) Известно, что при x R, ex = 1+ x + +... + +... = (2) 2! n! n! n=1 1 1 n Следовательно, e = 1- + - +... + (-1) +... (3) 3 32 2! 33 3! 3n n! 1 Ряд (3)- лейбницевский, поэтому, полагая e 1- +, мы совершаем 3 32 2! 1 погрешность, модуль которой не превышает числа = < 0,01.
33 3! 27 1 - 2 1 3 Итак, e с точностью 0,01 равно: e + = 0,72.
3 18 б) Чтобы решить обратную задачу, заменим ряд (3) его частичной сум1 1 n мой: е 1- + +... + (-1). Совершаемая при этом погрешность не 3 32 2! 3n n! превышает модуля первого члена остатка ряда (3):. Решая 3n+1 n +1 ! ( ) 1 подбором неравенство (4), мы найдем номер последнего 3n+1 (n +1)! члена частичной суммы ряда, который надо взять для вычислений с требуемой точностью. (Не забудем, что отсчет номеров членов рядов (2) и (3) начинается с нуля). При n = 1 неравенство (4) ложно. При n 2 неравенство (4) верно. Итак, для подсчета е с точностью до 0,01 берем 3 члена ряда (3):
1 нулевой, первый и второй. Следовательно, е 1- + 0,72.
3 32 2! Пример 244. а) Вычислить е3, взяв три первых члена разложения функции f (x) = ex в ряд Тейлора и оценить погрешность.
3!33 1- 1 3!33 11 287 286 143 Отсюда следует, что если взять три члена разложения, то погрешность вычислений не превзойдет 0,01. Итак, е3 1+ 0,333 + 0,056 =1,389 1,39.
б) Так же, как и в задаче а) точное значение е3 выражается равенством:
1 1 1 е3 = 1+ + + +... + +..., но теперь неизвестно, сколько слагаемых 3 2!32 3!33 n!3n надо взять для вычислений с требуемой точностью. Полагая 1 1 1 e3 1+ + + +... +, мы допускаем погрешность, равную 3 2! 32 3!33 n!3n 11 1 1 1 Rn =+ +... =1+ + +....
3 n +1 !3n+1 n + 2 !3n+n +1 !3n+1 n + 2 3 n + 2 n + 3 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Заменяя все множители n + 3, n + 5K во всех знаменателях числом n + 2, мы увеличим каждую дробь и придем к убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q =. Получаем 3(n + 2) 11 1 Rn = 1+ + +...
3 n +1 !3n+1 n + 2 3 n + 2 n + 3 ( ) ( )( ) ( ) 11 n + =.
n +1 !3n+1 1- 1 n +1 !3n 3n + ( ) ( ) ( ) 3 n + ( ) n + Решая подбором неравенство <, находим, что оно выполn +1 !3n 3n + 5 ( ) ( ) няется, уже начиная с n = 2. Учитывая, что в степенных рядах отсчет начинается с нуля, берем для вычислений с заданной точностью три члена: нулевой, первый и второй. Итак, имеем 1 е3 1+ + =1+ 0,333+ 0,056 =1,389 1,39.
3 2!2. Вычисление приближенных значений интегралов Степенные ряды используют и для вычисления приближенных значеb ний определенных интегралов f x dx. Обычно это делают тогда, когда по( ) a дынтегральная функция f имеет первообразную, не выражающуюся через элементарные функции в конечном виде или тогда, когда точное значение b f x dx найти трудно. Разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд ( ) a xn на отрезке [a,b], входящем в интервал сходимости ряда и интегрируя an n=его почленно, получим представление интеграла в виде суммы числового bb bn+1 - an+ряда: f x dx = ( ) a an n xn dx = n +1.
n=0 n=aa Остается найти приближенное значение суммы полученного ряда, что можно сделать так, как в пункте 1.
ln(1- 2x)dx с точностью до 0,01.
Пример 245. Вычислить интеграл x Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд. Так как n xn (2x), x -,.
1 ln(1- x) = -, x (-1,1), то ln(1- 2x) = n n 2 n=1 n=Следовательно, в точках этого интервала, отличных от нуля, справедливо ln(1- 2x) 2n xn-1 22 x 23 xравенство: = - = -2 - - -...(3) x n 2 n=ln(1- 2x), и сумма ряда (3) при x = 0 тоже равна -2. ПоЗаметим, что lim = -xx ln(1- 2x) так, этому, если доопределить подынтегральную функцию f (x) = x чтобы новая функция F совпадала с f при x 0 и F 0 =-2, то для функции ( ) F разложение (3) будет верным и при x = 0. Интегрируя равенство (3) почленно в пределах от 0 до, получим:
x n n n n2 4n n=1 n2 2n n=1 n=1 n=0 n 1 Остается вычислить сумму S положительного ряда с точностью n2 n=1 1 1 1 1 1 до 0,001 и умножить ее на -1. Положим S Sn = + + +... +.
2 22 22 32 23 n2 2n Оценим погрешность, допускаемую при такой замене:
1 1 1 1 1 1 1 1 = + +... < + + +... =.
2 2 2 2n+1 2n+1 2 4 (n +1) (n + 2) 2n+2 (n +1) (n +1) 2n+1 Решив подбором неравенство, убеждаемся, что оно верно, (n +1) 2n+начиная с n = 4. Следовательно, для вычислений берем 4 слагаемых и получаln(1- 2x)dx - 1 1 1 ем: - - - -0,500 - 0,063 - 0,014 - 0,004 = x 2 22 22 32 23 42 =-0,581 -0,58. §4. Задания для самостоятельной работы Пример 246. Вычислить значение функции f в точке, взяв 3 первых члена ее разложения в ряд Тейлора и оценить погрешность.
Ответы:
1,15, 0,01.
x0 = 0,5 ;
1) f (x) = 1+ x, 3,107, 1 0,01.
2) f (x) = 33 1+ x, x0 = ;
1, 3) f (x) = cos 2x, 10-12.
x0 = ;
0,54, 0,01.
x0 = 1;
4) f (x) = cos2 x, 0,841, 0,001.
5) f (x) = sin x, x0 = 1;
1,220, 0,001.
x0 = 0,2 ;
6) f (x) = ex, 0,0953, 7) f (x) = ln x, x0 = 1,1;
10-4.
-0,1053, 8) f (x) = ln x, x0 = 0,9 ;
10-4.
0,095, 1 0,001.
x0 = 0,1;
9) f (x) =, 1+ x 1 0,92, 0,01.
x0 = 0,5 ;
10) f (x) =, 1+ xПример 247. Пользуясь соответствующими разложениями, вычислить с точностью до 0,001.
Ответы: Ответы:
3,107. 7,389.
2) e2, 1) 30, 1,649. 4) ln 3, 1,099.
3) e, 1,221. 0,135.
5) e0,2, 6) 35, 4,121. 9,165.
7) 70, 8) 84, 9) lg 5, 0,699. 0,174.
10) sin10o, 2 dx 11), 4,025. 12) x2dx, 0,310.
sin 256 + x0 x ln(1+ x2)dx, 0,384.
0,1- e 14) 0,190.
13), x x sin x 15) dx, 0,946.
x 16) x2dx, 0,157.
0 sin 0,5 arctgx 0,487.
17) dx, 18) xdx, 0,764.
cos x 0 0,25 0,sin x 0,071.
19) (1+ x)dx, 20) dx, 0,021.
ln 1- x 0 0,dx 0,404.
21) 1+ x4, Литература 1. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н.
Берман. – М.: Наука, 1960.
2. Виноградова, И.А. Математический анализ в задачах и упражнениях (числовые и функциональные ряды): учеб. пособие / И.А. Виноградова, С.Н.
Олехник, В.А. Садовничий. – М.: Факториал, 1996.
3. Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу / Б.П. Демидович. – М.: Наука, 1997.
4. Зорич, В.А. Математический анализ: в 2 ч. / В.А. Зорич. – М.: Наука, 1981.
5. Кудрявцев, Л.Д. Сборник задач по математическому анализу. Т. 2. Интегралы. Ряды: учеб. пособие / Л.Д. Кудрявцев. – М.: Физматлит, 2003.
6. Тер-Крикоров, А.М. Курс математического анализа / А.М. ТерКрикоров, М.И. Шабунин. – М.: Наука, 1988.
7. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Т. 2. / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1969.
