WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

sin nx sin nx 2) В точке ряд - сходится. Положим fn (x) = и составим n=nn cos nx ряд из производных fn(x) =. Его члены непрерывны на отрезке n=1 n=n,, и по признаку Дирихле (см.§6) ряд сходится равномерно на этом от- резке. Таким образом, условия теоремы 3 выполнены на отрезке,, и по- этому функция f дифференцируема на нём.

3) Теорему о почленном дифференцировании применить нельзя, так как n- ряд из производных fn(x) = x расходится в точке x = -1. И всё же n=1 n=функция f дифференцируема на ) [-1,1. Это становится очевидным, если xn заметить, что f (x) = = - ) [-1, - xn = -ln(1- x), x (§12).

nn n=1 n= Пример 180. Показать, что ряд sin nx допускает почленное интегриро2n n=вание на отрезке и написать полученный при этом числовой ряд.

[-2;] Члены ряда непрерывны на отрезке и ряд сходится равномерно [-2;] на этом отрезке, так как имеет мажорантный ряд, следовательно, по 2n n=теореме 2 его можно почленно интегрировать, то есть 33 nx sin nx 1 dx = sin nx d nx = cos 2n ( ) ( - cos3n.

) sin dx = 2n 2n 2n n 2n n n=1 n=1 n=1 n=-2 -2 -§9. Задания для самостоятельной работы Найти область определения функции f и исследовать ее на непрерывность в области определения.

lnn x 185) f (x) = + )n.

181) f (x) =.

(x n n3 n=n= lnn x 186) f (x) = 182) f (x) =.

(2x + 1)n.

n n n=n= cosnx n 187) f (x) =.

183) f (x) = (-1) lnn x.

n2 ln(n +1) n=n=n ln2n x e-nx 184) f (x) =. 188) f (x) =.

n2 +n n=1 n=1 Ответы. 181) D f =,e, f непрерывна на D(f); 182) D f =,e, f ( ) ( ) e e непрерывна на D f ; 183) D f = 1,e, f непрерывна на D f ; 184) ( ) ( ) ( ) e D f = 1,e, f непрерывна на D f ; 185) D f =(-1,1), f непрерывна ( ) ( ) ( ) e на D f ; 186) D f = 1,, f непрерывна на D f ; 187) D f =R, f непре( ) ( ) ( ) ( ) 2 рывна на D f ; 188) D f =[0,+ ), f непрерывна на D f.

( ) ( ) ( ) Исследовать функцию f на дифференцируемость на указанных ниже промежутках.

(-1)n 194) f (x) = 189) f (x) =, x [0,+).

sin nx, x (-,+).

n + x n=n=n x (-1)n 195) f (x) =, x (-, +).

190) f (x) =, x [-1,1].

n(x - n) n2 + x n=n= 1 x 191) f (x) =, x (-, +). 196) f (x) =, x[0, +).

n2 + x2 n(n - x2) n=1 n= x -n2x 197) f (x) =, x [1, 2].

192) f (x) =, x (-,+).

e n2 + xn=n= 193) f (x) = cos nx, x (-,+).

n=nОтветы. 189) дифференцируема на [0,+ ); 190) дифференцируема на [-1,1 ; 191) дифференцируема на R; 192) дифференцируема на R \ {0}; 193) ] дифференцируема на R; 194) дифференцируема на R; 195) дифференцируема на R \ N; 196) дифференцируема на [0,+ ), за исключением точек x = n, n ; 197) дифференцируема на [1,2].

Показать, что данный ряд допускает почленное интегрирование на отрезке a;b и написать полученный при этом числовой ряд.

[ ] n x - cos nx 198), 0, 2;5. 199) ] [ ] [-1;6.

( n5n ), n! n=1 n= 3n+1 n+).

11 1 -(-sin 5n - sin n;

Ответы. 198) 199) n!nn5n n +5n= n=§10. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда.

Важным частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.

n Определение. Ряд (x - x0 ), где (an )- числовая последовательность, an n=называется степенным рядом.

n Известно, что всякий степенной ряд (x - x0 ) сходится абсолютно в an n=некотором интервале с центром в точке x0 радиуса R (0 R +). Этот интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по одной из формул:

an+1) если существует (конечный или бесконечный) lim = l или n an n lim an = l, то R = ;

n l _ n 2) если существует (конечный или бесконечный) lim an = l, то R = n l (формула Коши-Адамара).

При этом, если l = 0, то R = ; если l =, то R = 0.

Выбор формулы определяется видом зависимости an от n. На концах интервала сходимости поведение ряда может быть различным. Поэтому область сходимости степенного ряда есть промежуток с центром в точке x0 радиуса R (0 R +). Чтобы найти область сходимости степенного ряда, надо:

1) найти радиус R ;

2) исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости, то есть в точках xo - R и x0 + R.

n Если степенной ряд (x - x0 ) сходится абсолютно на одном из концов an n=интервала сходимости, то сходится абсолютно и на другом его конце, по n скольку ряд из модулей an(x - x0 ) на концах интервала сходимости пре n=вращается в один и тот же числовой ряд.

Так как степенной ряд - функциональный ряд, то для нахождения его области сходимости можно пользоваться и методами, применяемыми при исследовании области сходимости функционального ряда.

Пример 200. Найти интервал сходимости степенного ряда:

xn n 1) ; 2) xn.

n n10n-n=1 n=an+1 n10n-1 1) Так как существует li = lim =, то R = 10 и m (-10,)- n an n n +1 10n ( ) это интервал сходимости ряда.

n n 2) В этом случае l = lim nn x = lim n x = +, если x 0. Поэтому R = 0 и n n ряд сходится только в точке x = 0. Пример 201. Определить область сходимости степенного ряда:

n n 2) 3n + (- 2) n-1 n n 1) x2n ; 2) (x +1).

2 (-1) (x -n2 ; 3) n n=1 n=1 n= n 1) Перепишем ряд в виде (2x2) и обозначим 2x2 = t. Тогда вопрос о n=сходимости исходного ряда сводится к вопросу о сходимости положительно n го ряда, который, как известно, сходится при t < 1. Поэтому исходный t n=ряд сходится при тех значениях x, для которых выполняется условие 2x2 < 1 1 или x <. Итак, ряд сходится на интервале -,.

2 2 2) 1-й способ. Находим радиус интервала сходимости:

an nR = lim = lim =1.

n an+1 n n +1 ( ) По виду n-го члена ряда определяем, что центр интервала сходимости - точка 2, поэтому искомым интервалом является (1,3). Исследуем поведение ряда на концах этого интервала. При x = 1 получим ряд n 2n- (-1) n-= -, (-1) (-1) = n=1 n=1 n=n2 3 n2 3 nкоторый расходится, так как = < 1. Поэтому данный степенной ряд в точке n- (-1), который сходится, как ряд 1 расходится. При x = 3 получим ряд n=nлейбницевского типа. Итак, область сходимости степенного ряда есть промежуток (1,3].

2-й способ. Применяя признак Даламбера, имеем n+x - 2 nfn+1(x)= lim nlim = x - 2 lim = x - 2.

n n n 2 n 3 fn(x) (n +1) x - 2 (n +1) Данный ряд сходится при всех значениях x, удовлетворяющих условию x - 2 < 1. Решая неравенство, получим 1 < x < 3. Исследование ряда на концах интервала проведено выше.

an n 3) Так как не существует lim и lim an, то радиус интервала сходиn an+1 n n мости находим по формуле Коши - Адамара. Учитывая, что n = 1 при n, получаем 2k 2k n 2k _ 2k 2k 3n + (- 2) 32k + (- 2)= lim 32k 1+ n 2k l = lim = lim = 3 lim n k k k 1+ 3 = 3.

n 2k 2k Тогда R = и, так как центром интервала сходимости является точка -1, 4.

то интервалом сходимости ряда является интервал -,- Теперь исследу 3 ем поведение ряда на концах этого интервала. При x = - получим ряд n n n n 3n + (- 2) (-1) (-1) 1 = +, n 3n n=1 n n n=1 n=который сходится как сумма двух сходящихся рядов.

n 2 3n + (- 2) При x = - получим расходящийся ряд, так как его можно пред 3 n3n n= ставить как сумму расходящегося положительного ряда и сходящегося n n=n n (-1) ряда. Итак, область сходимости степенного ряда есть промежу n n=- 4 ток,-. 3 §11. Задания для самостоятельной работы Определить область сходимости степенного ряда.

xn 2n n+202). 203) 204) xn.

(-1) xn.

n2 n n! n=1 n=1 n=2n+ x2n+1 xn (x - 4).

n+205). 206) (-1) n (n + 2). 207) 2n(2n +1) 2n +n=1 n=1 n=n n (x - 2) x4n-3 (x -1) n 208). 209) 210).

(-1) 4n - 3.

n 4n n ln n n=1 n=1 n=n n -1) (2x +1) n!xn n 211) 212). 213).

(-1) (x 3n.

3n - 2 (2n -1)!! n=1 n=1 n=Ответы. 202) -1 x 1. 203) -1 < x 1. 204) x <. 205) -1 x 1.

206) -1 x 1. 207) 3 x < 5. 208) - 2 x < 6. 209) -1 x 1. 210) 0 x < 2.

211) - 2 < x < 4. 212) -1 x < 0. 213) - 2 < x < 2.

§12. Разложение функций в степенные ряды Пример 214. Написать три первых ненулевых члена ряда Тейлора функ- ции f (x) = sin2 x в окрестности точки x =.

Ряд Тейлора функции f в окрестности точки x = x0 имеет вид:

(n) f (x0 )(x - x0 ) +… + f (x0 )(x - x0 ) +….. (1) 2 n f (x0 )+ f (x0 )(x - x0 )+ 2! n! Чтобы записать ряд Тейлора для данной функции находим значения функции и ее производных в точке x = :

f = sin2 = 1, f (x) = sin 2 x, f = 0, 2 2 2 1 2 f (x) = 2 cos 2 x, f = -2, f (x) = -4 sin 2 x, f = 0, 2 (4) 4 (4) f (x) = -8 cos 2 x, f = 8.

Подставляя вычисленные значения в ряд (1), получим ряд Тейлора для данной функции:

2 1 1- x - - -K. + x 2 3 Очевидно, что для любой функции, бесконечно дифференцируемой в интервале (x0 - R, x0 + R ), можно составить ряд Тейлора по степеням x - x0.

Однако ряд Тейлора, составленный для функции f, не всегда сходится к самой функции f. Может оказаться, что он расходится, либо сходится, но к другой функции.

Если в интервале (x0 - R, x0 + R ) ряд Тейлора функции f сходится к самой функции f, то говорят, что функция f разлагается на этом интервале в ряд Тейлора, то есть для любых x (x0 - R, x0 + R ) имеет место равенство:

(n) f (x0 )(x - x0 ) +…+ f (x0 )(x - x0 ) +….

2 n f (x) = f (x0 )+ f (x0 )(x - x0 )+ 2! n! Существует много способов разложения функции в ряд Тейлора.

Рассмотрим один из способов, основанный на использовании разложений основных элементарных функций в степенной ряд:

n =1+ x + x2 +...+ xn +... =, x (-1;1), (2) x 1- x n= n = (-1 xn, x, ) (-1,) ( ) 1+ x n= x x2 xn xn ex = 1+ + +... + +... =, x R, (3) 1! 2! n! n! n= x3 x5 x2n+1 x2n+sin x = x - + -...+ (-1)nn +... = (-1) (2n +1)!, x R, (4) 3! 5! (2n +1)! n= x2 x4 x2n x2n n cos x = 1- + -... + (-1)n +... = (-1) (2n)!, x R, (5) 2! 4! (2n)! n= x2 x3 xn n-ln(1+ x) = x - + -...+ (-1)n-1 +... = (-1) xn, x (-1;1], (6) 2 3 nn n= x2 x3 xn xn ln(1- x) = -x - - -...- -... = -, x, (6) [-1,) 2 3 nn n=m(m -1) m(m -1)...(m - n +1) (1+ x)m = 1+ mx + x2 +...+ xn +... = 2! n! m(m -1)...(m - n +1) = xn, x (-1;1) (7) n! n= При этом мы также будем пользоваться тем, что степенные ряды, сходящиеся на одних и тех же промежутках, можно складывать, вычитать, перемножать и умножать на функцию, заданную на промежутке его сходимости.

Пример 215. Разложить функцию f в ряд Тейлора по степеням x, используя разложения основных элементарных функций. Указать радиус сходимости полученного ряда.

x + 2 x а) f (x) = ; б) f (x) = 2x cos2 - x ;

x2 - 5x + 6 x в) f (x) = (3 + e- x )2 ; г) f (x) =.

4 - 5x а) Разложим дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов и преобразуем их так, чтобы можно было воспользоваться x + 2 - 4 5 1 5 1 разложением (2): = + = 2 -. Функцию x x x x2 - 5x + 6 x - 2 x - 3 1- 1- 12 3 можно рассматривать как сумму геометрического ряда, первый член котороx го равен единице, а знаменатель q =. Так как геометрический ряд сходится, x если q < 1, то при < 1, то есть при x < 2, имеем:

1 x x2 xn- 2 = 21+ + +... + +....

x 2 4 2n- 1Аналогичными рассуждениями при x < 3 получим 5 1 5 x x2 xn- - = -.

1+ + +... + +...

x 3 3 3 32 3n- 1Оба равенства выполняются при x < 2. Складывая их почленно, получим искомое разложение x + 2 5 1 1- 5 1 x + x2 +... + xn-1 +..., x (-2;2) = 2 - - - +.

x2 - 5x + 6 3 32 2 33 2n-2 3n xx б) Сначала преобразуем функцию: f (x) = 2x cos2 - x = x 2cos2 -1 = = x cos x.Затем, используя формулу (5), получим искомое разложение:

x2n 2n x2n+2n f (x) = x (-1) (2n)! = (-1) (2n)!, x R.

n=0 n=в) f (x) = (3 + e- x) = 9 + 6e- x + e- x2. Так как разложение (3) справедливо при любых x R, то разложения функций e- x и e- x2 получаются из (3) заменой x на - x или на - x2 соответственно:

x2 x3 xn e-x = 1- x + - +... + (-1)n +..., x R, 2! 3! n! x4 x6 x2n e-x = 1- x2 + - +... + (-1)n +..., x R.

2! 3! n! Тогда x2 x3 xn x4 x6 x2n f (x) = 9 + 61- x + - +... + (-1)n +... + x2 + - +... + (-1)n = 1- 2! 3! 2! 3! n! n! = 16 - 6x + 2x2 - x3 +..., x R.

г) Разложим данную функцию в степенной ряд, используя формулу (7).

x2 1 f (x) = = x2 (4 - 5x) = x2 1+ - x = 2 4 - 5x 1 1 1 - - -1 - - 2... - - (n -1) n = x2 1+ - x = 2 2 2 n! 2 n= n n n 1 (-1) 135...(2n -1)(-1) 5 1...(2n n = x2 1+ xn = x2 1+ 1 352n n! -1) 5 xn = 2 2n n! 4 2 n=1 n= 2 3 n 1 5 1 3 5 1 3 5 5 1 3 5...(2n -1) = x2 + x3 + x4 + x5 +... + xn+2 +....

2 16 23 2! 4 24 3! 4 2n+1 n! Из формулы (7) следует, что данное разложение верно, если -1 < - x < 1, то 4 есть при - < x <.

5 §13. Задания для самостоятельной работы Написать n отличных от нуля членов ряда Тейлора функции f в окрестности точки x = x0.

1+ x216) f (x) = e, x0 = -1, n = 3. 217) f (x) = tg x, x0 =, n = 4.

218) f (x) = ln( x +1), x0 = 14, n = 4.

Разложить данную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0, используя разложения основных элементарных функций.

1 x 219) f (x) =. 220) f (x) =.

x -1 2 - x sin x при x 0, 221) f (x) = cos2 x. 222) f (x) =.

x 1 при x = 0.

x + 223) f (x) = ln(2 + x). 224) f (x) =.

x2 - 5x + 1 225) f (x) =. 226) f (x) =.

x3 +1 2 - x - x227) f (x) = e- x2. 228) f (x) = ln(x2 + x - 6).

229) f (x) = x2 +1. 230) f (x) = x sin 5x.

Глава 3. Приложения теории рядов §1. Суммирование рядов 1. Нахождение сумм числовых рядов Пример 231. Найти сумму ряда.

1 1 1 1 1 1 1) + +...+ +...; 2) - + -...+ (-1)n+1 +... ;

2! 3! n! 3! 5! 7! (2n +1)! 2 4 1 1 1 1 1 3) - + - +...; 4) 1+ - + - +....

3! 5! 7! 9! 4 2! 42 2!82 2! 1) Данный ряд напоминает разложение функции ex (см. §12, гл.2), которое верно при любых x R. Нетрудно догадаться, что если в этом разложении положить x равным 1 и перебросить два его первых члена в левую часть, 1 1 1 то получим равенство e -1- = + +...+ +.... Следовательно, искомая сум1! 2! 3! n! ма равна e - 2.

При решении примеров 2), 3), 4), будем действовать аналогично. Заметим, что ряд 2) можно получить из разложения sin x при x = 1, ряд 3) – из того же разложения при x =, а ряд 4) – это разложение бинома (1+ x) при 1 1 1 = x =. Действительно, sin1 = 1- + - +.... Отсюда находим сумму ряда 2 3! 5! 7! 1 1 2): - + -... = 1- sin1.

3! 5! 7! 3 5 7 2 4 2 1 1 Далее:sin = - + - +..., 0 = - ( - + -...), - + -... =.

3! 5! 7! 3! 5! 7! 3! 5! 7! 1 1 1 1 1 1 1 1 Наконец: 1+ - + - +... = (1+ )2 =.

4 2! 42 2! 82 2! 162 2 Замечание. Вычисление сумм рядов таким способом используется при нахождении интеграла Лебега от так называемых простых функций.

2. Нахождение сумм функциональных рядов интегрированием или дифференцированием При рассмотрении данного вопроса будут использоваться теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании и дифференцировании функциональных рядов. (§8 гл. 2). Приведем еще аналогичные теоремы для степенных рядов. Формулировки этих теорем существенно упрощаются в силу того что, члены степенного ряда непрерывны в области сходимости и ряд сходится равномерно на любом отрезке, входящем в интервал сходимости.

Теорема 1 (о непрерывности суммы степенного ряда). Сумма степенного ряда непрерывна в каждой точке интервала сходимости. Более того, она непрерывна и на том конце интервала сходимости, на котором степенной ряд сходится. Таким образом, сумма степенного ряда непрерывна в области сходимости этого ряда.

Теорема 2 (о почленном интегрировании степенного ряда). Степенной ряд (x - x0)n можно почленно интегрировать на любом отрезке, входящем a n n=в интервал сходимости этого ряда. Если (x0 - R, x0 + R) - интервал сходимости, xx n то x (x0 - R, x0 + R) an t - x0 dt..

( ) a (t - x0)n dt = n n=x0 n=0 x Теорема 3 (о почленном дифференцировании). Степенной ряд a (x - x0)n можно почленно дифференцировать любое число раз в любой n n=точке интервала сходимости: x (x0 - R, x0 + R) (m) m ( ) an (x - x0)n.

() a (x - x0)n = n n=1 n=Теорема 4 (о равенстве радиусов сходимости). Радиусы сходимости ряm x ( ) n дов an t - x0 dt и an (x - x0)n равны. (Поведение этих ( ) () a (x - x0)n, n n=0 n=0 n=xрядов на концах интервала сходимости может быть различным.) Пример 232. Найти сумму ряда.

n 1) + (-1)n n)xn ; 2) - 2n - 2) xn+1 ;

(2 (n n=1 n= xn+2 sin2n+1 x n 3) 4).

(-1) (n +1)(n + 2) ;

2n(2n +1) n=0 n= Сначала поясним общую идею, используемую в решении таких задач.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.