WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |

x4 + n n3 2n nx n=1 n=1 n=Ответы. 131) Сходится абсолютно при x > 1.132) Сходится абсолютно при -1 < x < 1. 133) Сходится абсолютно при e-1 < x < e. 134) Сходится абсолютно при любых x. 135) Сходится абсолютно при x > 1. 136) Сходится абсолютно при x > 0. 137) Сходится абсолютно при x 0. 138) Сходится абсо лютно при - + k x < + k, и условно при x = + k, k. 139) Сходится 4 4 абсолютно при - 2 < x < 2. 140) Сходится абсолютно при x -2n, n. 141) Расходится при всех x 3. 142) Сходится абсолютно при x -n, n. 143) Сходится абсолютно на R. 144) Сходится абсолютно при x 0. 145) Сходится абсолютно на R. 146) Сходится условно на R. 147) Сходится абсолютно при x tg1. 148) Сходится абсолютно на R.

§6. Равномерная сходимость функциональных рядов Определение. Ряд fn(x) называется равномерно сходящимся на мно n=жестве, если последовательность Sn(x) его частичных сумм равномерно сходится на к сумме ряда S(x).

Другими словами, ряд fn(x) называется равномерно сходящимся на n=множестве, если rn(x) = S(x)- Sn(x) сходится равномерно к нулю на множестве.

Приведем запись этого определения с помощью логических символов:

( fn(x) S (x) на ) > 0 N : n > N x rn x <.

( ) ( ) ( ) () () n=Из данного определения равномерной сходимости ряда и критерия равномерной сходимости функциональной последовательности вытекает следующий удобный на практике критерий равномерной сходимости функционального ряда.

Для того чтобы функциональный ряд fn(x) равномерно сходился n=на множестве необходимо и достаточно, чтобы limsup rn(x) = 0.

n x К достаточным признакам равномерной сходимости функциональных рядов относятся следующие признаки.

Мажорантный признак Вейерштрасса. Если для функционального ря да fn(x) существует сходящийся числовой ряд, такой, что x и an n=1 n= n fn(x) an, то ряд fn(x) сходится абсолютно и равномерно на мно n= жестве. Ряд называется мажорантным рядом для функционального an n=ряда.

Признак Вейерштрасса применяют для исследования абсолютно сходящихся рядов. Но так как это только достаточный признак равномерной сходимости, то множество функциональных рядов, для которых на множестве существует сходящийся мажорантный числовой ряд, уже множества рядов, абсолютно и равномерно сходящихся на.

Признак Дирихле. Ряд (x)bn(x) сходится равномерно на множестве an n=, если выполняются следующие условия:

1) последовательность частичных сумм ряда (x) равномерно ограниbn n=n чена на множестве, т. е. существует M > 0, что неравенство (x) M bk k =справедливо для всех n и всех x ;

2) последовательность (an(x)) монотонна при каждом x и равномерно стремится к нулю.

Признак Абеля. Ряд (x)bn(x) равномерно сходится на множестве, an n=если выполняются следующие условия:

1) ряд (x) равномерно сходится на множестве ;

bn n=2) последовательность (an(x)) равномерно ограничена на множестве и монотонна при каждом x.

Так же, как и для числовых рядов, область применения признаков Абеля и Дирихле - неабсолютно сходящиеся ряды.

При использовании признаков Абеля и Дирихле часто приходится рассматривать числовые последовательности или числовые ряды. Так как числовую последовательность можно рассматривать как функциональную последовательность, состоящую из постоянных функций, то её можно считать равномерно сходящейся на данном множестве. Такое же утверждение относится и к числовому ряду.

Покажем на соответствующих примерах, как используются для исследо- вания рядов определение равномерной сходимости и критерий равномерной сходимости ряда.

Пример 149. Исследовать на равномерную сходимость следующие функциональные ряды на указанных промежутках:

n- (-1), [0,+). 2) x 1), a) (,+), > 0; b) (0,+).

n + x ((n -1)x +1)(nx +1) n=1 n= 1) На промежутке [0,+) дробь > 0. Значит данный ряд - знакочеn + x редующийся и по признаку Лейбница он сходится при любом x [0,+). Выясним, будет ли эта сходимость равномерной. По следствию из теоремы Лейбница об оценке остатка сходящегося знакочередующегося ряда для лю1 бого x [0,+) справедливо неравенство rn(x). Решая неравенn +1+ x n +1 1- ство <, получаем n >. Следовательно, при 1 в качестве N( ) n +1- можно взять любое натуральное число, а при 0 < < 1 N( ) = +1.

Итак, > 0 N : n > N x rn x <. Следовательно, ряд ( ) ( ) ( ) () сходится равномерно на промежутке [0,+).

Этот же результат можно получить быстрее, используя критерий равномерной сходимости ряда. Действительно, так как 0 sup rn x, то ( ) x 0,+ n +[ ) lim sup rn(x) = 0, и данный ряд сходится равномерно на промежутке [0,+). n x[0,+) 1 2) a) Представим общий член ряда в виде fn(x) = - и най(n -1)x +1 nx +дем частичную сумму ряда:

x 1 1 1 1 1 1 Sn(x) = + - - + +…+ - = 1-.

x +1 x +1 2x +1 2x +1 3x +1 (n -1)x +1 nx +1 nx + Тогда S(x) = lim Sn(x) = 1, rn(x) = S(x)- Sn(x) =, < x < +. Замечая, что при n nx +x > > 0 имеем nx > n, получаем оценку 0 < rn(x)<. Следовательно, 1+ n rn(x) 0 на интервале (,+), а ряд равномерно сходится этом промежутке.

b) Так как в этом случаеlim sup rn(x) = lim sup = lim1 = 1, то ряд схоn n n x(0,+) x(0,+) nx +дится неравномерно на интервале (0,+). Рассмотрим применение признака Вейерштрасса к исследованию функциональных рядов на равномерную сходимость.

Предварительно заметим следующее. При исследовании функциональ ных рядов fn(x) методом Вейерштрасса оптимальным (с наиболее точной n= оценкой) мажорантным рядом является ряд sup fn(x). Но часто бывает досx n=таточно более грубой, но легче получаемой оценки для fn(x).

Пример 150. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость на указанных промежутках следующих функциональных рядов:

1 x 1), [0,+); 2) 1+ n4 x2, (-,+);

n=1 n=22n + (n +1)x (x +1)sin2 nx 3), [- 3,0]; 4) sin nx ln1+ xn, (0,).

n n +n=1 n=1 1) В данном примере легко найти sup fn(x) = sup =.

x[0,+) x[0,+) 2n 22n + (n +1)x Поэтому в качестве мажорантного ряда можно взять сходящийся геометри ческий ряд. Следовательно, по признаку Вейерштрасса данный ряд схо 2n n=дится равномерно на промежутке [0,+).

1- x2n 2) Найдем sup fn(x). Так как ( fn(x)) =, то для каждого фиксиx x <+ (1+ x2n4) рованного n наибольшее значение fn(x) принимает при x =. Следовательn1 но, sup fn(x) = fn = и сходящимся мажорантным рядом является ряд x <+ n2 2n.

2nn= 3) Пользуясь тем, что на отрезке [- 3,0] выполняются неравенства x +1 sin2 nx 0 sin2 nx 1, - 2 < x +1 1, получаем fn(x) =. Из сходимоn n +1 n n + 2 2 сти ряда ~, n по признаку Вейерштрасса следует n n +1 n n +n= n равномерная сходимость данного функционального ряда на отрезке [- 3,0].

4) Заметим, что для 0 < x < + и n справедливы одновременно нера1 1 x x венства: sin, ln <. Тогда 1+ n nx nx n 1 x 1 x fn(x) = sin ln1+ < =. Итак, для данного функционального ря nx nx n n n n да существует сходящийся мажорантный ряд, поэтому, функцио n n n=нальный ряд сходится равномерно на интервале (0,+). Рассматриваемые ниже ряды исследуются с помощью признаков Дирихле и Абеля.

Пример 151. Исследовать на равномерную сходимость на указанных промежутках следующие функциональные ряды:

n-1 n (-1) ln n cos nx (-1) xn 1), [1,+); 2),, 2 -, > 0; 3), [1,+);

[] n + x n n xn +n=1 n=1 n=ln n n- 1) Обозначим bn(x) = (-1), an(x) =. Частичные суммы Bn(x) ряда n + x n-(x) = bn (-1) равномерно ограничены на рассматриваемом множестве, n=1 n=так как n 0 Bn(x) 1.

Докажем, что при каждом фиксированном x [1,+) последовательность (an(x)) монотонно убывает. Так как при любом > 0 верно неравенство ln(1+ ) < и при достаточно больших n 2n > n + x, то для любого x [1,+) n +(n + x)ln - ln n ln(n +1) ln n (n + x)(ln(n +1)- ln n)- ln n n an+1(x)- an(x) = - = < = n +1+ x n + x (n + x)(n +1+ x) (n + x) (n + x)ln1+ - ln n n ln n 1 1 ln n 1 2 - ln n n = < - < = < 0.

- 2 n + x n + x n 2n n + x 2n (n + x) (n + x) При любом n и для всех x 1 имеет место неравенство ln n ln n ln n an(x) = <. Но, как известно, 0, n. Поэтому an(x) 0 на x + n n n промежутке [1,+).

По признаку Дирихле ряд сходится равномерно на рассматриваемом промежутке.

Замечание. Признак Вейерштрасса в данном примере применить нельзя:

n- (-1) ln n ln n ln n x [1,+), n. Но числовой ряд расходится, а n + x n +1 n +n=улучшить оценку нельзя.

2) Обозначим bn x = cos nx, an x =. Частичные суммы Bn(x) ряда (x) ( ) ( ) bn n n=равномерно ограничены на отрезке,2 -, > 0. Действительно, так как [] n n Bn x = ( ) [] cos kx 1 x, x 2 k, k, то cos kx 1 для x, 2 -.

k =1 k =sin sin 2 Последовательность (an(x)), монотонно убывая, стремится к нулю. Согласно признаку Дирихле данный ряд сходится равномерно на рассматриваемом отрезке.

n n (-1) xn (-1) сходится, как ряд 3) Обозначим bn(x) =, an(x) =. Ряд n xn +1 n n=лейбницевского типа и, так как он является числовым рядом, то его можно считать равномерно сходящимся на промежутке [1,+).

Запишем an(x) в виде: an(x) = 1-. Из того, что x 1, имеем при xn +1 n следующие неравенства: xn +1 2, 0, а, следовательxn +1 но, 0 < an x 1, то есть (an(x)) равномерно ограничена на промежутке [1,+).

( ) Докажем, что последовательность (an(x)) монотонна при каждом фиксированном x [1,+). При фиксированном x 1 показательная функция xn монотонно возрастает на множестве, следовательно, функция убывает, xn +а an(x) = 1- возрастает на. По признаку Абеля ряд сходится равномерxn +но на промежутке [1,+). §7. Задания для самостоятельной работы Исследовать функциональный ряд на равномерную сходимость в указанном промежутке.

x 152), 0 x 1. 153), 0 < x <.

((n -1)x +1)(nx +1) (x + n)(x + n +1) n=1 n= 154), 0 x <. 155) xn(1- x), 0 < x < 1.

(x + 2n +1)(x + 2n -1) n=1 n= n-n-156) (1x(1- x), a) 0 x 1, b) 1 x 1. 157) x x2), - 2 < x < 2.

n=1 n=n-1 n (-1) xn (-1) xn 158), [0,1]. 159), [0,1].

7n -11 3n - n=1 n=Ответы. 152) Сходится неравномерно. 153) Сходится равномерно. 154) Сходится равномерно. 155) Сходится неравномерно. 156) а) Сходится нерав номерно. б) Сходится равномерно. 157) Сходится неравномерно. 158) Сходится равномерно. 159) Сходится равномерно.

Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость функционального ряда в указанном промежутке.

n 1 (-1), - 2 < x < +.

160), - < x < +. 161) x2 + n2 x + 2n n=1 n=n xn n x 3 162), - 3 x 3. 163), - x.

n! n +1 2 2 n=1 n=n x sin nx 164), - < x < +. 165).

(2(n - 2), 1 x -1)2n n=1 n=n4 + xn (x + 5) cos nx 166), - 6 x -4. 167), - < x < +.

nn n n=1 n=n (x + 3) n! 168), - 5 x -1. 169), 0 x < +.

nn 3n 1+ 2(n +1)x n=1 n= x170) 171) ln1+ n ln2 n x < a. 1+nx, - < x < +.

, n5xn=2 n= Доказать равномерную сходимость функционального ряда в указанном промежутке.

n sin nx (-1), 0 x 172), 0 < 1, x 2 -, > 0. 173) n n + sin x n=1 n=2n n(n-1) cos (-1) 174), x 10. 175), - < x < +.

n=1 n=n2 + ex n2 + xn sin xsin nx (-1) 176), 0 x < +. 177), 0 < x < +.

n + x n + x n=1 n=§8. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов К. Вейерштрасс и другие математики XIX века распространили известные утверждения о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости сумм конечного числа функций на суммы равномерно сходящихся рядов.

Приведем формулировки соответствующих свойств для функциональных рядов.

Теорема 1 (о непрерывности суммы ряда). Если ряд fn (x), все члены n=которого непрерывны на множестве E, сходится равномерно на E, то его сумма S непрерывна на множестве E.

Теорема 2 (о почленном интегрировании ряда). Если ряд fn (x), все n=члены которого интегрируемы на отрезке a,b, сходится равномерно на [ ] a,b, то его можно почленно интегрировать на любом отрезке x0, x a,b, [ ] [ ] [ ] xx x т.е. ( fn(t))dt = fn (t)dt. (При этом ряд из интегралов fn(t)dt сходится n=1 n=x0 n=1 x0 xравномерно на отрезке a,b ).

[ ] Теорема 3 (о почленном дифференцировании ряда). Если ряд fn (x) n= сходится хотя бы в одной точке x0 a,b, а ряд из производных fn (x), все [ ] n=члены которого непрерывны на отрезке a,b, сходится равномерно на a,b, [ ] [ ] то ряд fn (x) можно почленно дифференцировать на отрезке [а,b], то есть n= в любой точке x [a,b]: fn(x) = fn(x).

n=1 n= При этом сам ряд fn (x) сходится равномерно на a,b, а его сумма S [ ] n=имеет непрерывную производную на этом отрезке.

Замечание. Теоремы 1-3 являются достаточными признаками. Следовательно, если условия этих теорем не выполнены, то это ещё не означает, что суммы рядов не обладают описанными в теоремах свойствами.

Исследование свойств сумм функциональных рядов Пример 178. Найти область определения D( f ) функции f и исследовать её на непрерывность в области определения.

lnn x 1) f (x) = ; 2) f (x) = e-n x2.

x nn=1 n= В этих примерах функция f – это сумма ряда. Так как сумму имеют лишь сходящиеся ряды, то найти область определения функции f – это значит найти область сходимости ряда. Способы её нахождения рассмотрены в §4. Устанавливать непрерывность функции f в области её определения можно с помощью теоремы о непрерывности суммы ряда (теорема 1).

1) а) D( f ). Для нахождения области сходимости ряда воспользуемся признаком Коши. Учитывая, что li n n =1, имеем:

m n lnn x n lim = ln x lim = ln x.

x x n(n n)1 Ряд сходится, если ln x <1, то есть, если < x < e. В точках и e получаем e e lnn( ) (-1)n 1 e сходящиеся ряды: = и. Следовательно, D( f ) =,e.

e n2 n=1 n2 n=1 nn=б) Непрерывность f. Покажем, что ряд сходится равномерно на отрезке. Для этого построим мажорантный ряд. В силу возрастания функции e,e y = ln x и свойств числовых неравенств имеем цепочку неравенств:

11 n x e ln ln x ln e -1 ln x 1 ln x 1 n ln x ee lnn x n lnn x 1 n.

n2 n Ряд - сходящийся мажорантный ряд для исходного ряда на множестве nn= 1 lnn x. Поэтому ряд сходится равномерно на отрезке,e. Отсюда и e,e e n n= из того, что члены данного ряда непрерывны на,e, вытекает, что функция e f непрерывна в своей области определения.

2) Данный пример можно решать по той же схеме, что и пример 1), но так как при любом фиксированном x R и n функция e-n x2, «быстро убывая», стремится к 0, то попытаемся сразу убить двух зайцев: доказать равномерную сходимость ряда x2 e-n x2 на множестве R и тем самым уста n=новить, что D f = R и f непрерывна на множестве R.

( ) Положим fn (x) = x2e-n x2 и построим мажорантный ряд на множестве R.

Для этого традиционным способом найдём наибольшее значение функции fn на R.

2 2 fn (x) = 2x e-n x2 - n2 2x3 e-n x2 = 2x e-n x2 (1- n2x2) ;

fn (x) = 0 x = 0 x = ± 0, ± - критические точки функции fn.

nn Изобразим схематично знак f, поведение f :

x 1 + - _ 0 + _ n n Следовательно, при любом фиксированном n с учётом чётности и неот1 1 рицательности функций fn имеем: max fn(x) = max fn (x) = fn(± ) =.

xR xR n e n 1 1 Так как ряд = сходится, то по признаку Вейерштрасса данный en2 e nn=1 n=ряд сходится равномерно, что и требуется.

Пример 179. Исследовать функцию f на дифференцируемость на указанных ниже промежутках.

(-1)n 1) f (x) =, x (-, +) ; 2) f (x) = sin nx, x [, ];

n + x2 n=1 n=n xn 3) f (x) =, x [-1,1).

n n= 1) Применяя теорему о почленном дифференцировании, покажем, что функция f дифференцируема в каждой точке числовой прямой. При x = (-1)n получаем сходящийся числовой лейбницевский ряд - значит первое n n=условие теоремы выполнено. Теперь возьмём произвольное фиксированное x (-, +) и выберем отрезок [-r,r], содержащий эту точку. Покажем, что на этом отрезке ряд из производных сходится равномерно, а его члены непре (-1)n (-1)n+1 2x рывны на [-r,r]. Положим fn (x) =. Тогда fn(x) = - непрерывна n + x2 (n + x2) на [-r,r]. Построим мажорантный ряд для ряда fn (x) на отрезке [-r,r]. Так n= 2 x 2r 2r как x r fn(x) =, то сходящийся ряд = 2r являет[-r, ] (n + x2)2 n2 n2 n=1 nn= ся мажорантным для ряда fn (x) на отрезке [-r,r] и ряд fn (x) сходится n=1 n=равномерно на отрезке [-r,r]. Таким образом, выполнены все условия теоремы о почленном дифференцировании. Поэтому сумма ряда – функция f - дифференцируема на [-r,r], а значит, и в выбранной точке x. Поскольку точка x выбиралась произвольно, то f дифференцируема на интервале (-, +).

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.