n - ln n n n n - ln n n=1 n=Однако о поведении данного знакочередующегося ряда ничего определенноn+ (-1) го сказать нельзя. Исследуем ряд на сходимость с помощью при n - ln n n=n знака Лейбница. Так как liman = lim = lim = 0, то условие б) приln n n - ln n 1n знака выполняется. Чтобы убедиться в убывании последовательности (an ), -x рассмотрим функцию f (x) =. Так как производная f (x) = x - ln x (x - ln x) при x 1, f убывает на промежутке [1,+); тогда, и последовательность (an ) тоже будет убывающей. По признаку Лейбница данный ряд сходится, но так как ряд, составленный из модулей членов данного ряда, расходится, то ряд сходится условно. Рассмотрим применение признаков Абеля и Дирихле. На практике в признаке Дирихле в качестве последовательности (an ) чаще всего берется (n) или последовательность ((-1) ), или одна из последовательностей (cos n) n (k или (sin n). Ограниченность последовательности (-1) ) устанавливается k =~ непосредственно. Ограниченность последовательностей (An ) и (An), где n n An = cos + cos 2 + L + cos n = k, An = sin + sin 2 + L + sin n = k cos ~ sin k =1 k =1 ~ следует из оценок: An, An, 2k, k.
sin sin 2 Пример 78. Применяя признаки Абеля или Дирихле, показать, что данный ряд сходится условно.
n(n-1) n +1 (-1) sin n n 1) ; 3).
(-1) n2 +ln n ; 2) n2 n + ln n 3n + n=2 n=1 n= n2 + n + Исследуем на сходимость ряд an =.
n2 ln n n=2 n=Имеем:
n2 + n +1 1 1 = + +.
n2 ln n ln n nln n n2 ln n n=2 n=2 n=2 n= 1 n2 + n +Так как ряд расходится, то и ряд an = тоже расходится.
ln n n2 ln n n=2 n=2 n= n +n Ряд (-1) n2 +ln n является знакочередующимся, однако признак Лейбница nn=к нему применить трудно. Воспользуемся для исследования ряда признаком n n (-1) n2 + n +1 (-1) Абеля. Положим an = и bn =. Ряд сходится, как ряд ln n n2 ln n n=n2 + n +1 1 лейбницевского типа. Для bn = = 1+ + имеем при n 0 < bn 3, n2 n nследовательно, последовательность ограничена. Монотонность последовательности (bn ) очевидна. В силу признака Абеля данный ряд сходится. Итак, n +n ряд (-1) n2 +ln n сходится условно.
nn= 2) Данный ряд является знакопеременным. Ряд, составленный n + ln n n= 1 1 из модулей его членов, расходится, так как ~, а ряд расходит n + ln n n n n=ся. Исследуем данный ряд на сходимость по признаку Дирихле. Положим n n(n-1) an = (-1) и bn =. Тогда частичные суммы An = ограничены, так ak n + ln n k =как An могут принимать только значения 0, -1, -2. Последовательность (bn ), монотонно убывая, стремится к нулю. В силу признака Дирихле данный ряд сходится, причем условно.
3) Данный ряд является знакопеременным. Исследуем ряд на сходимость по признаку Дирихле. Положим an = sin n и bn =. Тогда частичные 3n + n суммы An = k, то есть ограничены. Последовательность sin 1 k =sin bn =, монотонно убывая, стремится к нулю. В силу признака Дирихле 3n + данный ряд сходится.
sin n sin n Рассмотрим ряд. Оценка: не дает информации о 3n + 2 3n + 2 3n + n=поведении ряда. Если воспользоваться оценкой sin n sin2 n, то получим sin n sin2 n 1 sin 2n sin 2n = -. Ряд так же, как и исходный ряд, 3n + 2 3n + 2 2(3n + 2) 2(3n + 2) 2(3n + 2) n= сходится в силу признака Дирихле, а ряд расходится. Следова 2(3n + 2) n= sin2 n тельно, расходится ряд, а в силу признака сравнения расходится и 3n + n= sin n sin n ряд. Итак, данный ряд сходится условно. 3n + 2 3n + n=1 n=§8. Задания для самостоятельной работы Применяя признак Лейбница, показать, что данный ряд сходится условно.
n+1 n (-1) (-1) n n+79). 80).
(-1) ln 1+ 1. 81) 3n - 2 n n + n=1 n=1 n=n (-1) n+1 n 82). 83) (-1) sin n +1 n. 84) (-1) tg 3n.
n(ln n)(ln ln n) n=2 n=1 n=Применяя признаки Абеля или Дирихле, показать, что данный ряд сходится.
n n ln100 n n (-1) n cos n 85) sin. 86). 87).
n 4 ln n n n=1 n=2 n=n n (n-1) cos 2n 88). 89) (-1) 1n 1+ 1.
ln ln n n n=2 n=Исследовать сходимость (абсолютную и условную) ряда.
n n+ (-1). (-1) sin n 90) 91). 92).
ln(n +1) n(n + 3) n=1 n=1 n=n+ n2 (-1) n n 93) 94). 95) (-1) 7n. (-1).
n ln3 n n=1 n=2 n= sin 1 cos n n n n 96) 97).
(-1) n n. (-1) arctg 2n 98) n! n=1 n=1 n= n -n n 99) (-1) n +1 1n. 100) (-1) sin 1. 101) (-1) 2n1-1.
n n n=1 n=1 n=n (-1). + n n 102) 103) 104) (-1) cos 6n. (-1) nn!5.
n ln 3n n=1 n=1 n=n 2n2 2n +n n n 105) (-1) n4 - n2 +1. 106) (-1) 3n - 2. 107) (-1) ln25 n.
n n=1 n=1 n= n+ n(n-1) (-1) nn 108). 109) 1- (-1) cos 1n. 110) (-1) 1n.
n=1 n=1 n=n20 + 4n3 + sin n (-1) n n 2 n 111).
(-1) arctg n. 112) (-1) 3n +1. 113) n n2 + sin2 n n=1 n=1 n=n+1 n+ (-1) 2n (-1) n 114). 115) 116).
(-1) tg 3n.
n! n - ln n n=1 n=1 n=n arcsin (2n)!! cos n n n n +117).
Глава 2. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость §1. Сходимость последовательности функций Определение. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2,K, n,Kставится в соответствие по определенному закону некоторая функция fn x, заданная на множестве E, то множество занумерованных функций ( ) f1 x, f2 x,…, fn x,…называется функциональной последовательностью.
( ) ( ) ( ) Определение. Пусть на множестве дана последовательность функций ( fn ). Функциональная последовательность называется сходящейся в точке x0, если числовая последовательность ( fn(x0 )) сходится.
Определение. Последовательность ( fn ), сходящуюся в каждой точке x, называют сходящейся поточечно на множестве, или, короче, сходящейся на множестве.
В этом случае на множестве E определена функция f, значение которой в каждой точке x, равно пределу последовательности ( fn(x)). Эту функцию называют предельной функцией последовательности ( fn ) и пишут lim fn(x) = f (x), x.
n Нахождение предельной функции функциональной последовательности.
Пример 120. Найти предельную функцию f последовательности ( fn ) на указанном множестве:
nxn 1) fn(x)=, x [0,+); 2) fn (x)= n x -1, x [1,3];
x + 3n + 3) fn(x)=n x + - x, x (0,+).
n Для вычисления предела функциональной последовательности ( lim fn(x)) можно использовать все известные методы вычисления предела n числовой последовательности, так как при нахождении этого предела аргумент x считаем, хотя и произвольным из указанного множества, но фиксированным.
nx2 x1) Если x 0, то lim fn(x) = lim =.
n n x + 3n + 2 Здесь использовалось правило нахождения предела на бесконечности дробно-рациональной функции натурального аргумента. Если x = 0, то xn fn x = 0. Следовательно, f (x)=, x [0,+).
( ) n x -n 2) lim n x -1 = lim = ln x. Следовательно, f (x) = ln x, x [1,3].
n n n 1 n x + - x x + + x n n 1 3) lim n x + - x = lim = lim = n n n n x + + x x + + x n n 1 =. Следовательно, f (x)=, x (0,+). 2 x 2 x §2. Равномерная сходимость последовательности функций Определение. Последовательность функций ( fn ) называется равномерно сходящейся на множестве к предельной функции f, если для любого по ложительного можно указать такой номер, что для всех x и n выполняется неравенство fn x f x <.
( )- ( ) На практике равномерную сходимость последовательности функций легче устанавливать с помощью следующего критерия:
Для того чтобы последовательность функций ( fn ) сходилась равномерно на множестве к предельной функции f, необходимо и достаточно, чтобы li fn x - f x = 0.
msup ( ) ( ) n x Для использования данного критерия необходимо:
а) найти предельную функцию f последовательности функций ( fn );
б) для любого, но фиксированного n найти fn x f x, затем ( )- ( ) sup fn x f x ;
( )- ( ) x в) найти li sup fn x - f x.
m ( ) ( ) n x Бывают случаи, когда sup fn x f x найти трудно, тогда приходится ( )- ( ) x его оценивать. Если 1) sup fn x - f x bn, где limbn = 0 ; тогда и li sup fn x f x = 0;
m ( ) ( ) ( )- ( ) n x x 2) sup fn x - f x an, где lim an 0 ; тогда и li sup fn x - f x 0.
m ( ) ( ) ( ) ( ) n x x Пример 121. Исследовать на равномерную сходимость последовательность ( fn ) на указанных множествах:
nx2 x 1) fn(x)=, 0 x 2; 2) fn(x) = sin, - < x < + ;
n + x n 1 arctg nx 3) fn(x) = x2 +, - < x < + ; 4) fn(x) =, 0 x < +.
nn2 + x 1) Находим предельную функцию данной последовательности.
nx f (x) = lim fn(x) = lim = x2, 0 x 2.
n n n + x nx2 xТогда fn(x)- f (x) = - x2 = = n(x). Найдем sup fn(x)- f (x) = supn x.
( ) n + x n + x x[0,2] x 0,[ ] x2 3n + 2x () Замечаем, что n x => 0 на интервале (0,2). Следовательно, при ( ) n + x ( ) каждом фиксированном n функция n(x) монотонно возрастает на отрезке 0,2 и, так как она непрерывна на этом отрезке, то принимает наибольшее [ ] значение в точке 2, то есть sup n x = sup fn x f x =. Находим ( ) ( )- ( ) x 0,2 x 0,2 n + [ ] [ ] lim sup fn(x)- f (x) = lim = 0. Следовательно, fn(x) x2 на отрезке 0,2.
[ ] n n x[0,2] n + x 2) Для любого x (-,+) lim sin =0. Следовательно, f (x)=0 на R. Поn n x скольку sup fn(x)- f (x) = sup sin = 1, то lim sup fn(x)- f (x) = lim1 = 1 0. Отсюда n n xR xR n xR следует, что последовательность ( fn(x)) сходится неравномерно на R.
3) При любом фиксированном x (-,+) f (x) = lim x2 + = x. Нахоn n1 дим fn(x)- f (x) = x2 + - x =.
n n2 x2 + + x n Очевидно, что при x = 0 знаменатель дроби принимает наименьшее значение, а дробь принимает наибольшее значение равное. Отсюда следует, что n limsup fn(x)- f (x) = lim = 0, и, следовательно, fn(x) x на R.
n n xR n arctg nx 4) f (x) = lim fn(x) = lim = 0, 0 x < + (при n fn(x) есть отношеn n n2 + xние ограниченной функции на бесконечно большую). Находим arctg nx arctg nx fn(x)- f (x) = =, 0 x < +. В силу неравенств arctg < n2 + x2 n2 + xarctg nx и n2 + x2 n x [0,+) имеем, что 0 sup <. Поэтому x[0,+) n2 + x2 2n lim sup fn(x)- f (x) = 0 и fn(x) 0 на промежутке [0,+). n x[0,+] §3. Задания для самостоятельной работы Исследовать на равномерную сходимость последовательности ( fn(x)) на указанных множествах.
122) fn(x) = xn ; a) 0 x ; b) 0 x 1. 123) fn(x) = xn - xn+1; 0 x 1.
nx 124) fn(x) = xn - x2n; 0 x 1. 125) fn(x) = ; 0 x 1.
x + n +2nx 126) fn(x) = ; a) 0 x 1; b) 1 < x < +. 127) fn(x) = ; 0 < x < +.
1+ n2 x2 x + n sin nx 128) fn(x) = ; - < x < +. 129) fn(x) = arctg nx; 0 < x < +.
§4. Сходимость функциональных рядов Определение. Выражение (символ) вида f1 x + f2 x +K+ fn x +K = fn x, ( ) ( ) ( ) ( ) n=где fi x i =1, 2,… члены некоторой функциональной последовательности ( ) ( )- fn x, называется функциональным рядом.
( ) ( ) Определение. Пусть n функции fn определены на множестве и x0. Ряд fn(x) называется сходящимся в точке x0, если числовой ряд n= fn(x0 ), (составленный из значений функций fn в точке x0 ), сходится. Он n= называется абсолютно сходящимся в точке x0, если сходится ряд fn(x0 ).
n=Определение. Ряд называется сходящимся на множестве, если он сходится в каждой точке этого множества.
Определение. Множество всех точек сходимости ряда fn(x) называет n=ся областью сходимости этого ряда.
n Определение. Сумму Sn(x) = fk (x) называют n-ой частичной суммой k =ряда, а предел последовательности частичных сумм сходящегося на множестве ряда называют его суммой S(x).
Таким образом, вопрос о сходимости функционального ряда fn(x) в n=фиксированной точке сводится к вопросу о сходимости соответствующего числового ряда. Следовательно, для исследования функционального ряда на сходимость можно воспользоваться известными признаками сходимости числовых рядов, при этом необходимо учесть, что при фиксированных значениях x функциональный ряд превращается, вообще говоря, в знакопеременный числовой ряд.
Отметим, что при использовании таких признаков, как признаки Даламбера и Коши, теперь приходится находить пределы функциональных (а не числовых) последовательностей, а эти пределы в общем случае являются функциями. Поэтому необходимы некоторые дополнительные исследования.
Например, используя для исследования функционального ряда признак Даламбера, находим fn+1(x)= l(x).
lim n fn(x) Согласно признаку Даламбера ряд fn(x) сходится при тех x, которые удов n=летворяют неравенству l(x) < 1, и расходится при тех x, которые удовлетворяют неравенству l(x) > 1. Поскольку множества {x / l(x) < 1} и {x / l(x) > 1} не пересекаются, то при поиске области сходимости достаточно решать одно неравенство l(x) < 1. В точках, в которых l(x) = 1 надо проводить дополнительные исследования (так как признак Даламбера в этом случае не дает ответа).
Рекомендации по выбору подходящего признака для исследования ряда остаются теми же, что и для числового ряда.
Пример 130. Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующих рядов:
n n x n x + 2 cos nx 1) ; 4).
1+xx ; 2) sin n!; 3) 2n n2 + 4 2x +1 enx n=1 n=1 n=1 n= 1) Воспользуемся признаком Коши. Найдем n x x n = lim.
l(x) = lim n 1+ x2n n n 1+ x2n Если x < 1, то x2n 0, n и l(x) = x < 1.
1 1 n Если x > 1, то l(x) = lim = < 1.
n x 1+ x-2n x xn Если x = 1, то =. В точках x = 1 и x = -1 ряд расходится, так как не 1+ x2n выполняется необходимое условие сходимости ряда.
Итак, областью сходимости (абсолютной) данного ряда является числовая ось с выколотыми точками 1 и -1.
2) Применяя признак Даламбера, найдем xx sin n +1 ! n +1 ! ( ) ( ) l x = lim = lim = lim = 0.
( ) n n n xx n +sin n! n! Так как l(x) = 0 < 1 для любого x, то данный ряд сходится (абсолютно) на всей числовой оси.
x + 3) Положим = q и исследуем на абсолютную и условную сходи2x + n мость ряд qn. Пользуясь признаком Даламбера, находим n2 + n=n+(n +1) q (n2 + 4) lim = q.
n n ((n +1) + 4) n q Ряд сходится абсолютно, если q < 1 и расходится, если q > 1. При q = 1 полу n n чаем ряд, который расходится, так как ~, n. При q = - n2 + 4 n2 + 4 n n=n -1 n ) ряд принимает вид (n + 4 и будет сходящимся по признаку Лейбница, но n= n неабсолютно, так как выше было доказано, что ряд расходится. Ис n2 + n=пользуя эти результаты, получаем, что исходный ряд сходится абсолютно x + при тех значениях x, для которых выполняется неравенство < 1, то есть 2x +при x > 1. И ряд сходится условно при тех значениях x, для которых x + = -1, то есть x = -1. Следовательно, область сходимости данного ряда 2x + есть множество (-,-1] (1,+), причем, в точке -1 ряд сходится условно, а в остальных точках сходится абсолютно.
4) Замечаем, что при любом фиксированном x < 0 fn(x) не стремится к нулю при n, то есть нарушается необходимое условие сходимости ряда.
Поэтому, если x < 0, данный ряд расходится. При x = 0 ряд превращается в расходящийся числовой ряд 1+1+1+ K. Исследуем ряд при x > 0, используя признак сравнения. В этом случае при n имеет место неравенство cos nx 1. Так как ряд сходится (как геометрический ряд со знамена enx enx enx n=телем q = < 1), то данный ряд сходится (абсолютно) на интервале (0,+). ex §5. Задания для самостоятельной работы Определить область сходимости (абсолютной и условной) ряда.
n2 n 131) 132). 133) x.
1+1x. x ln n n=1 n=1 n= x n -n2x 134) 135). 136) sin 2n. e.
xn n=1 n=1 n=n nx tg x x 137). 138). 139) xntg.
enx n 2n n=1 n=1 n=n 1 n! (-1).
140). 141). 142) n x + 2n (x n=1 n=1 - 3) (x + n) n= n 1 143). 144) 145).
1+ x2n2.
x2 + n2 сos2 x + nn=1 n=1 n=n n (-1). arctg x 1 146) 147). 148).
