WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

n - ln n n n n - ln n n=1 n=Однако о поведении данного знакочередующегося ряда ничего определенноn+ (-1) го сказать нельзя. Исследуем ряд на сходимость с помощью при n - ln n n=n знака Лейбница. Так как liman = lim = lim = 0, то условие б) приln n n - ln n 1n знака выполняется. Чтобы убедиться в убывании последовательности (an ), -x рассмотрим функцию f (x) =. Так как производная f (x) = x - ln x (x - ln x) при x 1, f убывает на промежутке [1,+); тогда, и последовательность (an ) тоже будет убывающей. По признаку Лейбница данный ряд сходится, но так как ряд, составленный из модулей членов данного ряда, расходится, то ряд сходится условно. Рассмотрим применение признаков Абеля и Дирихле. На практике в признаке Дирихле в качестве последовательности (an ) чаще всего берется (n) или последовательность ((-1) ), или одна из последовательностей (cos n) n (k или (sin n). Ограниченность последовательности (-1) ) устанавливается k =~ непосредственно. Ограниченность последовательностей (An ) и (An), где n n An = cos + cos 2 + L + cos n = k, An = sin + sin 2 + L + sin n = k cos ~ sin k =1 k =1 ~ следует из оценок: An, An, 2k, k.

sin sin 2 Пример 78. Применяя признаки Абеля или Дирихле, показать, что данный ряд сходится условно.

n(n-1) n +1 (-1) sin n n 1) ; 3).

(-1) n2 +ln n ; 2) n2 n + ln n 3n + n=2 n=1 n= n2 + n + Исследуем на сходимость ряд an =.

n2 ln n n=2 n=Имеем:

n2 + n +1 1 1 = + +.

n2 ln n ln n nln n n2 ln n n=2 n=2 n=2 n= 1 n2 + n +Так как ряд расходится, то и ряд an = тоже расходится.

ln n n2 ln n n=2 n=2 n= n +n Ряд (-1) n2 +ln n является знакочередующимся, однако признак Лейбница nn=к нему применить трудно. Воспользуемся для исследования ряда признаком n n (-1) n2 + n +1 (-1) Абеля. Положим an = и bn =. Ряд сходится, как ряд ln n n2 ln n n=n2 + n +1 1 лейбницевского типа. Для bn = = 1+ + имеем при n 0 < bn 3, n2 n nследовательно, последовательность ограничена. Монотонность последовательности (bn ) очевидна. В силу признака Абеля данный ряд сходится. Итак, n +n ряд (-1) n2 +ln n сходится условно.

nn= 2) Данный ряд является знакопеременным. Ряд, составленный n + ln n n= 1 1 из модулей его членов, расходится, так как ~, а ряд расходит n + ln n n n n=ся. Исследуем данный ряд на сходимость по признаку Дирихле. Положим n n(n-1) an = (-1) и bn =. Тогда частичные суммы An = ограничены, так ak n + ln n k =как An могут принимать только значения 0, -1, -2. Последовательность (bn ), монотонно убывая, стремится к нулю. В силу признака Дирихле данный ряд сходится, причем условно.

3) Данный ряд является знакопеременным. Исследуем ряд на сходимость по признаку Дирихле. Положим an = sin n и bn =. Тогда частичные 3n + n суммы An = k, то есть ограничены. Последовательность sin 1 k =sin bn =, монотонно убывая, стремится к нулю. В силу признака Дирихле 3n + данный ряд сходится.

sin n sin n Рассмотрим ряд. Оценка: не дает информации о 3n + 2 3n + 2 3n + n=поведении ряда. Если воспользоваться оценкой sin n sin2 n, то получим sin n sin2 n 1 sin 2n sin 2n = -. Ряд так же, как и исходный ряд, 3n + 2 3n + 2 2(3n + 2) 2(3n + 2) 2(3n + 2) n= сходится в силу признака Дирихле, а ряд расходится. Следова 2(3n + 2) n= sin2 n тельно, расходится ряд, а в силу признака сравнения расходится и 3n + n= sin n sin n ряд. Итак, данный ряд сходится условно. 3n + 2 3n + n=1 n=§8. Задания для самостоятельной работы Применяя признак Лейбница, показать, что данный ряд сходится условно.

n+1 n (-1) (-1) n n+79). 80).

(-1) ln 1+ 1. 81) 3n - 2 n n + n=1 n=1 n=n (-1) n+1 n 82). 83) (-1) sin n +1 n. 84) (-1) tg 3n.

n(ln n)(ln ln n) n=2 n=1 n=Применяя признаки Абеля или Дирихле, показать, что данный ряд сходится.

n n ln100 n n (-1) n cos n 85) sin. 86). 87).

n 4 ln n n n=1 n=2 n=n n (n-1) cos 2n 88). 89) (-1) 1n 1+ 1.

ln ln n n n=2 n=Исследовать сходимость (абсолютную и условную) ряда.

n n+ (-1). (-1) sin n 90) 91). 92).

ln(n +1) n(n + 3) n=1 n=1 n=n+ n2 (-1) n n 93) 94). 95) (-1) 7n. (-1).

n ln3 n n=1 n=2 n= sin 1 cos n n n n 96) 97).

(-1) n n. (-1) arctg 2n 98) n! n=1 n=1 n= n -n n 99) (-1) n +1 1n. 100) (-1) sin 1. 101) (-1) 2n1-1.

n n n=1 n=1 n=n (-1). + n n 102) 103) 104) (-1) cos 6n. (-1) nn!5.

n ln 3n n=1 n=1 n=n 2n2 2n +n n n 105) (-1) n4 - n2 +1. 106) (-1) 3n - 2. 107) (-1) ln25 n.

n n=1 n=1 n= n+ n(n-1) (-1) nn 108). 109) 1- (-1) cos 1n. 110) (-1) 1n.

n=1 n=1 n=n20 + 4n3 + sin n (-1) n n 2 n 111).

(-1) arctg n. 112) (-1) 3n +1. 113) n n2 + sin2 n n=1 n=1 n=n+1 n+ (-1) 2n (-1) n 114). 115) 116).

(-1) tg 3n.

n! n - ln n n=1 n=1 n=n arcsin (2n)!! cos n n n n +117).

(-1) n2 +1. 118) (-1) (n +1). 119) n 3n n=1 n=1 n=Ответы. 90) Сходится абсолютно. 91) Сходится условно. 92) сходится абсолютно. 93) Сходится абсолютно. 94) Сходится абсолютно. 95) Расходится. 96) Сходится абсолютно. 97) Сходится абсолютно. 98) Сходится абсолютно. 99) Сходится условно. 100) Сходится условно. 101) Сходится условно. 102) Расходится. 103) Сходится условно. 104) Сходится абсолютно.

105) Сходится абсолютно. 106) Сходится абсолютно. 107) Сходится условно. 108) Сходится условно. 109) Сходится условно. 110) Сходится условно.

111) Сходится условно. 112) Сходится условно. 113) Сходится абсолютно.

114) Расходится. 115) Сходится абсолютно. 116) Сходится условно. 117) Сходится условно. 118) Сходится абсолютно. 119) Сходится абсолютно.

Глава 2. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость §1. Сходимость последовательности функций Определение. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2,K, n,Kставится в соответствие по определенному закону некоторая функция fn x, заданная на множестве E, то множество занумерованных функций ( ) f1 x, f2 x,…, fn x,…называется функциональной последовательностью.

( ) ( ) ( ) Определение. Пусть на множестве дана последовательность функций ( fn ). Функциональная последовательность называется сходящейся в точке x0, если числовая последовательность ( fn(x0 )) сходится.

Определение. Последовательность ( fn ), сходящуюся в каждой точке x, называют сходящейся поточечно на множестве, или, короче, сходящейся на множестве.

В этом случае на множестве E определена функция f, значение которой в каждой точке x, равно пределу последовательности ( fn(x)). Эту функцию называют предельной функцией последовательности ( fn ) и пишут lim fn(x) = f (x), x.

n Нахождение предельной функции функциональной последовательности.

Пример 120. Найти предельную функцию f последовательности ( fn ) на указанном множестве:

nxn 1) fn(x)=, x [0,+); 2) fn (x)= n x -1, x [1,3];

x + 3n + 3) fn(x)=n x + - x, x (0,+).

n Для вычисления предела функциональной последовательности ( lim fn(x)) можно использовать все известные методы вычисления предела n числовой последовательности, так как при нахождении этого предела аргумент x считаем, хотя и произвольным из указанного множества, но фиксированным.

nx2 x1) Если x 0, то lim fn(x) = lim =.

n n x + 3n + 2 Здесь использовалось правило нахождения предела на бесконечности дробно-рациональной функции натурального аргумента. Если x = 0, то xn fn x = 0. Следовательно, f (x)=, x [0,+).

( ) n x -n 2) lim n x -1 = lim = ln x. Следовательно, f (x) = ln x, x [1,3].

n n n 1 n x + - x x + + x n n 1 3) lim n x + - x = lim = lim = n n n n x + + x x + + x n n 1 =. Следовательно, f (x)=, x (0,+). 2 x 2 x §2. Равномерная сходимость последовательности функций Определение. Последовательность функций ( fn ) называется равномерно сходящейся на множестве к предельной функции f, если для любого по ложительного можно указать такой номер, что для всех x и n выполняется неравенство fn x f x <.

( )- ( ) На практике равномерную сходимость последовательности функций легче устанавливать с помощью следующего критерия:

Для того чтобы последовательность функций ( fn ) сходилась равномерно на множестве к предельной функции f, необходимо и достаточно, чтобы li fn x - f x = 0.

msup ( ) ( ) n x Для использования данного критерия необходимо:

а) найти предельную функцию f последовательности функций ( fn );

б) для любого, но фиксированного n найти fn x f x, затем ( )- ( ) sup fn x f x ;

( )- ( ) x в) найти li sup fn x - f x.

m ( ) ( ) n x Бывают случаи, когда sup fn x f x найти трудно, тогда приходится ( )- ( ) x его оценивать. Если 1) sup fn x - f x bn, где limbn = 0 ; тогда и li sup fn x f x = 0;

m ( ) ( ) ( )- ( ) n x x 2) sup fn x - f x an, где lim an 0 ; тогда и li sup fn x - f x 0.

m ( ) ( ) ( ) ( ) n x x Пример 121. Исследовать на равномерную сходимость последовательность ( fn ) на указанных множествах:

nx2 x 1) fn(x)=, 0 x 2; 2) fn(x) = sin, - < x < + ;

n + x n 1 arctg nx 3) fn(x) = x2 +, - < x < + ; 4) fn(x) =, 0 x < +.

nn2 + x 1) Находим предельную функцию данной последовательности.

nx f (x) = lim fn(x) = lim = x2, 0 x 2.

n n n + x nx2 xТогда fn(x)- f (x) = - x2 = = n(x). Найдем sup fn(x)- f (x) = supn x.

( ) n + x n + x x[0,2] x 0,[ ] x2 3n + 2x () Замечаем, что n x => 0 на интервале (0,2). Следовательно, при ( ) n + x ( ) каждом фиксированном n функция n(x) монотонно возрастает на отрезке 0,2 и, так как она непрерывна на этом отрезке, то принимает наибольшее [ ] значение в точке 2, то есть sup n x = sup fn x f x =. Находим ( ) ( )- ( ) x 0,2 x 0,2 n + [ ] [ ] lim sup fn(x)- f (x) = lim = 0. Следовательно, fn(x) x2 на отрезке 0,2.

[ ] n n x[0,2] n + x 2) Для любого x (-,+) lim sin =0. Следовательно, f (x)=0 на R. Поn n x скольку sup fn(x)- f (x) = sup sin = 1, то lim sup fn(x)- f (x) = lim1 = 1 0. Отсюда n n xR xR n xR следует, что последовательность ( fn(x)) сходится неравномерно на R.

3) При любом фиксированном x (-,+) f (x) = lim x2 + = x. Нахоn n1 дим fn(x)- f (x) = x2 + - x =.

n n2 x2 + + x n Очевидно, что при x = 0 знаменатель дроби принимает наименьшее значение, а дробь принимает наибольшее значение равное. Отсюда следует, что n limsup fn(x)- f (x) = lim = 0, и, следовательно, fn(x) x на R.

n n xR n arctg nx 4) f (x) = lim fn(x) = lim = 0, 0 x < + (при n fn(x) есть отношеn n n2 + xние ограниченной функции на бесконечно большую). Находим arctg nx arctg nx fn(x)- f (x) = =, 0 x < +. В силу неравенств arctg < n2 + x2 n2 + xarctg nx и n2 + x2 n x [0,+) имеем, что 0 sup <. Поэтому x[0,+) n2 + x2 2n lim sup fn(x)- f (x) = 0 и fn(x) 0 на промежутке [0,+). n x[0,+] §3. Задания для самостоятельной работы Исследовать на равномерную сходимость последовательности ( fn(x)) на указанных множествах.

122) fn(x) = xn ; a) 0 x ; b) 0 x 1. 123) fn(x) = xn - xn+1; 0 x 1.

nx 124) fn(x) = xn - x2n; 0 x 1. 125) fn(x) = ; 0 x 1.

x + n +2nx 126) fn(x) = ; a) 0 x 1; b) 1 < x < +. 127) fn(x) = ; 0 < x < +.

1+ n2 x2 x + n sin nx 128) fn(x) = ; - < x < +. 129) fn(x) = arctg nx; 0 < x < +.

n Ответы. 122) а) Сходится равномерно. б) Сходится неравномерно. 123) Сходится равномерно. 124) Сходится неравномерно. 125) Сходится равномерно.

126) а) Сходится неравномерно. б) Сходится равномерно. 127) Сходится равномерно. 128) Сходится равномерно. 129) Сходится неравномерно.

§4. Сходимость функциональных рядов Определение. Выражение (символ) вида f1 x + f2 x +K+ fn x +K = fn x, ( ) ( ) ( ) ( ) n=где fi x i =1, 2,… члены некоторой функциональной последовательности ( ) ( )- fn x, называется функциональным рядом.

( ) ( ) Определение. Пусть n функции fn определены на множестве и x0. Ряд fn(x) называется сходящимся в точке x0, если числовой ряд n= fn(x0 ), (составленный из значений функций fn в точке x0 ), сходится. Он n= называется абсолютно сходящимся в точке x0, если сходится ряд fn(x0 ).

n=Определение. Ряд называется сходящимся на множестве, если он сходится в каждой точке этого множества.

Определение. Множество всех точек сходимости ряда fn(x) называет n=ся областью сходимости этого ряда.

n Определение. Сумму Sn(x) = fk (x) называют n-ой частичной суммой k =ряда, а предел последовательности частичных сумм сходящегося на множестве ряда называют его суммой S(x).

Таким образом, вопрос о сходимости функционального ряда fn(x) в n=фиксированной точке сводится к вопросу о сходимости соответствующего числового ряда. Следовательно, для исследования функционального ряда на сходимость можно воспользоваться известными признаками сходимости числовых рядов, при этом необходимо учесть, что при фиксированных значениях x функциональный ряд превращается, вообще говоря, в знакопеременный числовой ряд.

Отметим, что при использовании таких признаков, как признаки Даламбера и Коши, теперь приходится находить пределы функциональных (а не числовых) последовательностей, а эти пределы в общем случае являются функциями. Поэтому необходимы некоторые дополнительные исследования.

Например, используя для исследования функционального ряда признак Даламбера, находим fn+1(x)= l(x).

lim n fn(x) Согласно признаку Даламбера ряд fn(x) сходится при тех x, которые удов n=летворяют неравенству l(x) < 1, и расходится при тех x, которые удовлетворяют неравенству l(x) > 1. Поскольку множества {x / l(x) < 1} и {x / l(x) > 1} не пересекаются, то при поиске области сходимости достаточно решать одно неравенство l(x) < 1. В точках, в которых l(x) = 1 надо проводить дополнительные исследования (так как признак Даламбера в этом случае не дает ответа).

Рекомендации по выбору подходящего признака для исследования ряда остаются теми же, что и для числового ряда.

Пример 130. Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующих рядов:

n n x n x + 2 cos nx 1) ; 4).

1+xx ; 2) sin n!; 3) 2n n2 + 4 2x +1 enx n=1 n=1 n=1 n= 1) Воспользуемся признаком Коши. Найдем n x x n = lim.

l(x) = lim n 1+ x2n n n 1+ x2n Если x < 1, то x2n 0, n и l(x) = x < 1.

1 1 n Если x > 1, то l(x) = lim = < 1.

n x 1+ x-2n x xn Если x = 1, то =. В точках x = 1 и x = -1 ряд расходится, так как не 1+ x2n выполняется необходимое условие сходимости ряда.

Итак, областью сходимости (абсолютной) данного ряда является числовая ось с выколотыми точками 1 и -1.

2) Применяя признак Даламбера, найдем xx sin n +1 ! n +1 ! ( ) ( ) l x = lim = lim = lim = 0.

( ) n n n xx n +sin n! n! Так как l(x) = 0 < 1 для любого x, то данный ряд сходится (абсолютно) на всей числовой оси.

x + 3) Положим = q и исследуем на абсолютную и условную сходи2x + n мость ряд qn. Пользуясь признаком Даламбера, находим n2 + n=n+(n +1) q (n2 + 4) lim = q.

n n ((n +1) + 4) n q Ряд сходится абсолютно, если q < 1 и расходится, если q > 1. При q = 1 полу n n чаем ряд, который расходится, так как ~, n. При q = - n2 + 4 n2 + 4 n n=n -1 n ) ряд принимает вид (n + 4 и будет сходящимся по признаку Лейбница, но n= n неабсолютно, так как выше было доказано, что ряд расходится. Ис n2 + n=пользуя эти результаты, получаем, что исходный ряд сходится абсолютно x + при тех значениях x, для которых выполняется неравенство < 1, то есть 2x +при x > 1. И ряд сходится условно при тех значениях x, для которых x + = -1, то есть x = -1. Следовательно, область сходимости данного ряда 2x + есть множество (-,-1] (1,+), причем, в точке -1 ряд сходится условно, а в остальных точках сходится абсолютно.

4) Замечаем, что при любом фиксированном x < 0 fn(x) не стремится к нулю при n, то есть нарушается необходимое условие сходимости ряда.

Поэтому, если x < 0, данный ряд расходится. При x = 0 ряд превращается в расходящийся числовой ряд 1+1+1+ K. Исследуем ряд при x > 0, используя признак сравнения. В этом случае при n имеет место неравенство cos nx 1. Так как ряд сходится (как геометрический ряд со знамена enx enx enx n=телем q = < 1), то данный ряд сходится (абсолютно) на интервале (0,+). ex §5. Задания для самостоятельной работы Определить область сходимости (абсолютной и условной) ряда.

n2 n 131) 132). 133) x.

1+1x. x ln n n=1 n=1 n= x n -n2x 134) 135). 136) sin 2n. e.

xn n=1 n=1 n=n nx tg x x 137). 138). 139) xntg.

enx n 2n n=1 n=1 n=n 1 n! (-1).

140). 141). 142) n x + 2n (x n=1 n=1 - 3) (x + n) n= n 1 143). 144) 145).

1+ x2n2.

x2 + n2 сos2 x + nn=1 n=1 n=n n (-1). arctg x 1 146) 147). 148).

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.