WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

n 3n + n2 (n + 2)2n n=1 n=1 n=n2 4 + 3cos n 0 < 2 3+(-1) 4, 1) Так как при любом n 5n > 0 и то для n 3 + (-1) n 0 <. Тогда по признаку сравнения из сходимости ряда 5n 5n n 4 3 + (-1) следует сходимость ряда.

5n 5n n=1 n=sin 3n 2) Из неравенства sin x 1 x R имеем: n 0 <. По n n n n признаку сравнения из сходимости ряда следует сходимость ряда n n n= sin 3n.

n n n=1 1 1 1 3) Так как n 0

n 3n-n= 4) Так как n arctg(n2 + 2n)<, то можно оценить n-й член ряда двумя способами:

arctg(n2 + 2n) 1 arctg(n2 + 2n) n 0 < < < или 0 < <.

3n + n2 2 n2 n2 3n + n2 2 3n В обоих случаях ряды с большими членами сходятся. Следовательно, и данный ряд сходится.

n 5) Наибольшее значение, которое может принимать cos, равно 1 (при n n = 6k, k ), поэтому наибольшее значение выражения 4 + 3cos равно 7.

Отсюда получаем следующую оценку снизу n-го члена ряда n + 2 n + 2 n > > =.

n 7n2 7n2 7n n2 4 + 3cos 1 По признаку сравнения из расходимости ряда следует расходимость 7 n n=данного ряда как ряда с большими членами.

n 1 6) При n имеем n ~ n + 2, а поэтому ~. Так как ряд (n + 2)2n 2n 2n n=сходится, то по следствию 1 данный ряд сходится. Пример 24. Исследовать сходимость ряда, получив асимптотическую c формулу вида an ~ при n.

n n2 + 2n -1 1 1 + 1) ; 2) arctg ; 3) ln n4 n43n3 +1.

n3 + n + 5 n2 +2 n n=1 n=1 n=n2 + 2n -1 1) Так как при n n2 + 2n -1 ~ n, n3 + n + 5~ n3, то ~.

n3 + n2 + 5 nСледовательно, данный ряд сходится (следствие 2).

1 1 2) Известно, что при x 0 arctgx ~ x. Поэтому arctg ~. Так n2 n 2n2 n как = > 1, то по следствию 2 данный ряд сходится.

3) Замечая, что подлогарифмическое выражение при n стремится к n4 + 3n3 +1 3n3 3n1, представим его в виде = 1+, где 0 при n.

n4 +1 n4 +1 n4 +Тогда, воспользовавшись соотношением эквивалентности ln(1+ x)~ x, x 0, получаем 3n3 3n3 ln1+ ~ ~, n n4 +1 n4 +1 n и поэтому данный ряд расходится (следствие 2). Пример 25. Найти все значения, при которых сходится ряд tg n e -1.

n= Воспользуемся асимптотическими формулами: tg x = x + (x), 1 1 ex -1 = x + (x), x 0. Тогда получим, что при n tg = +, n n n 1 tg tg 1 1 1 1 1 1 n n e -1 = tg + tg. Поэтому e -1 = + + tg = +, n.

n n n n n n n tg e n Итак, при n -1 ~. Следовательно, данный ряд сходится при n > 1(следствие 2). 2. Признак Даламбера Признак Даламбера. Пусть - ряд с положительными членами и an n=an+существует конечный или бесконечный предел lim = l ; тогда при l < 1 ряд n an сходится, а при l > 1 расходится.

an n=При l = 1 признак Даламбера определенного ответа не дает, поскольку есть как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых l = 1. В этом случае надо применить другой признак.

Признак Даламбера можно применять к рядам, общий член которых содержит, например, функции an, nn, sin, tg, разнообразные произведения вида n!; 2n -1 !!; 2n !!; 2 5…(3n -1) и др. Примерами рядов, к которым приме( ) ( ) няют признак Даламбера, могут служить следующие ряды:

9 … n2 n2 (n +1)! n! ; ;.

sin 2n ; 1154…(4n - 3); ntg 2n+1 ; 3n 2n n! nn n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 n= Напомним, что по определению для любого фиксированного n имеют место следующие обозначения:

n!= 1 2 3…(n -1) n; (2n -1)!!= 1 35 …(2n - 3)(2n -1); (2n)!!= 2 4 …(2n - 2) 2n.

Например, 5!= 1 2 3 4 5, 5!!= 1 3 5.

(2n)! Пример 26. Исследовать на сходимость ряд.

n=1 3n (2n)! (2(n +1))! (2n + 2)! В данном примере an = ; an+1 = =. Обратите 2 2 3n 3(n+1) 3(n+1) внимание на запись члена an+1. Он получается из an при замене в нем n на n +1. Находим an+1 1 2 K 2n (2n +1)(2n + 2) 3n (2n +1)(2n + 2) lim = lim = lim = 0. (см. §1) n n n an 32n+3n +2n+1 1 2 K 2n an+Так как lim < 1, то по признаку Даламбера ряд сходится. n an 3. Признак Коши Признак Коши. Пусть ряд - ряд с неотрицательными членами и an n=n существует конечный или бесконечный предел lim an = l ; тогда при l < 1 ряд n сходится, а при l > 1 расходится.

an n=При l = 1 ничего определенного о сходимости ряда сказать нельзя.

Признак Коши удобно применять для исследования тех рядов, общий член которых представляет собой степень с показателем n. Такими рядами, например, являются следующие ряды:

n2 n +1 -n n n 3-n ; 2n+1 ; arcsin 1.

n n n=1 n=1 n= Пример 27. Исследовать на сходимость ряд.

n (ln n) n=1 n Находим lim an = lim n = lim = 0 < 1. По признаку Коши ряд n n n n ln n (ln n) сходится. 4. Интегральный признак Коши Признаки Даламбера и Коши при всей их широте недостаточно чувствительны. Например, с их помощью невозможно отличить поведение таких 1 1 двух рядов как гармонический ряд 1+ + + K + + K и ряд обратных квадра2 3 n 1 1 тов 1+ + + K + + K, первый из которых расходится, а второй сходится.

22 32 nБолее чувствительным признаком является интегральный признак Коши. Он четко проводит различие между сходящимися и расходящимися рядами, даже если члены одного ряда лишь незначительно отличаются от членов другого.

Интегральный признак Коши. Если f :[1,+) R - неотрицательная, не возрастающая, непрерывная функция, то ряд = f (n) и интеграл an n=1 n=+ f (x)dx сходятся или расходятся одновременно.

Признак целесообразно использовать, например, тогда, когда интеграл + f (x)dx легко находится. Иллюстрацией могут служить следующие ряды:

1 ( > 0); ;

n e-n.

n n=1 n=1 n=(2n -1) Существуют и такие ряды, которые исследуются только с помощью инте 1 грального признака: ;, ( > 0).

n ln n nln n(ln ln n) n=2 n= Пример 28. Исследовать на сходимость ряд.

n=n ln2 n 1 Так как an = f (n) =, то f (x) =. Функция f положитель2 3 n(ln n) x(ln x) на, непрерывна и монотонно убывает на промежутке [2,+). Находим + + dx d(ln x) = =33 ln x |+ = +.

2 2 3 x(ln x) (ln x) Так как несобственный интеграл расходится, то ряд также расходится. В тех случаях, когда указанные выше простые признаки не дают ответа, приходится прибегать к более сложным признакам, таким как признаки Раабе и Гаусса.

5. Признак Раабе Признак Раабе. Пусть -ряд с положительными членами и сущестan n= an вует конечный или бесконечный предел li n -1 = r ; тогда при r > 1 ряд m n an+ сходится, а при r < 1 расходится.

an n=При r = 1 ничего определенного о поведении ряда сказать нельзя.

Пример 29. Исследовать на сходимость следующие ряды:

n! n! n- p 1) (q > 0).

q(q +1)…(q + n) (2 + 1)(2 + 2)…(2 + n); 2) n=1 n= 1) Признак Даламбера к этому ряду неприменим, так как (n +1)! (2 + 1)(2 + 2)K(2 + n) an+1 n += = 1, n.

an (2 + 1)(2 + 2)K(2 + n)(2 + n +1) n! 2 + n +Воспользуемся признаком Раабе.

an 2 + n +Составим отношение =. Находим an+n + an 2 + n +1 lim n -1 = lim n -1 = lim n = + > 1.

n n an+1 n n +1 n + Следовательно, по признаку Раабе ряд сходится.

2) Воспользуемся признаком Раабе. Составим отношение p an n! n- p q(q +1)…(q + n)(q + n +1) n- p (q + n +1)1 q 1+ 1+ = = =.

- p - p an+1 n n +q(q +1)…(q + n) n! (n +1) (n +1) (n +1) (n +1) Преобразуя полученное выражение с помощью формулы Маклорена, полуan p 1 q 1+ чим = 1+ +.

an+1 n n n + Находим an p q pq qn pq lim n -1 = lim n1+ + + + -1 = lim p + + + n = n n an+1 n n n +1 n n +1 n n +1 n +1 n ( ) = p + q.

Согласно признаку Раабе ряд сходится, если p + q > 1. 6. Признак Гаусса Признак Гаусса. Пусть - ряд с положительными членами и an n=an µ = 1+ + O, n, an+1 n n1+ где µ = const, > 0; тогда ряд сходится, если µ < -1, и расходится, если µ -1.

Пример 30. Исследовать на сходимость следующие ряды:

p (2n -1)!! 1) ; 2) 12 5 K(2n -1).

(2n)!! 4 6 K 2n n=1 n=an+ 1) Составим отношение и преобразуем полученное выражение:

an an+1 2n +1 = = 1-.

an 2n + 2 2n + 1 1 Выделим главную часть переменной. Так как ~ при n, 2n + 2 2n + 2 2n 1 1 1 1 то = +. Отсюда = -. Следовательно, 2n + 2 2n n2 n2 2n(2n + 2) an+1 1 1 = 1- +, an 2 n 2n(2n + 2) 2 1 где = O. Так как µ = - > -1, то данный ряд расходится.

2n(2n + 2) n2 an+2) Составим отношение и преобразуем его, применяя формулу Макan pp p p -an+1 2n +1 p ( ) 1- лорена. Получим == =1- + + = an 2n + 2 2n + 2 2n + 2 2n + ( )n n p2 + 3p + 4 p p p -1 () p p p ( ) 1 p 1 =1- + - + + =1- + + = 2n 2n 2n + 2 n2 n2 2n + 2 2n 2n + ( ) 2 n ( ) p 1.

==1- + 2 n n p Так как µ = -, то ряд сходится, если p > 2, и расходится, если p 2. §6. Задания для самостоятельной работы Следующие ряды исследовать, пользуясь признаками сравнения, Даламбера, Коши, интегральным признаком Коши, необходимым признаком сходимости.

2n + n +1 sin2 n n 5n 31). 32). 33) 2n - n 3n(3n -1).

n n n=1 n=1 n= n2 + 1 sin2 n 34) ln. 35) +. 36).

n n2 + 5 1 2n 4 n n n=1 n=1 n=n 1+ (-1) narctg n +37). 38). 39) n n.

n + 3 n3 + n=1 n=1 n= 1 2n +1 22n 40). 41). 42).

n - cos2 3n nn2(n +1) n=1 n=1 n= n e -1 4 7 13K(3n + 4) 43). 44). 45).

3 7 11K(4n + 3) n ln n n=1 n=0 n=n2 + (2n)!! 1 4 7 K(3n - 2)48) n! 46). 47).

nn 7 9 11K(2n + 5) (3n)! n=1 n=1 n=n n + 2 1 10n3 + 49) sin. 50). 51) 1.

n! 3n 3n2 - 5n3 +1 n n=1 n=1 n=-n2 -n 1 2n 52).

n n 7n. 53) 4n + 3. 54) + n 2n + n=1 n=1 n= 1 1 nn 55). 56). 57).

n ln3 n lnn (n +1) n ln n n=2 n=2 n= (2n -1)!!sin 2n n 58). 59). 60) arcsin 1.

n ln n(ln ln n) n nn n n=3 n=1 n=n(n-1) n -1 4n - 61). 63) n +1. 62) ntg 2n+1.

n 3n n=1 n=1 n= (n!).

n 64) ( n2 + 3 - n2 +1). 66) arctg 3n + 2. 65) 3n +n=1 n=1 n=1 3n 67) tg 4n.

n=Следующие ряды исследовать, применяя признаки Раабе и Гаусса.

p p p 1 1+ +K+ 1 3 1 3 2 n-68) 1 + + + K. 69), a > 0.

a 2 2 4 2 4 n=a a(a + d) a(a + d)(a + 2d) 70) + + + K (a > 0, b > 0, d > 0).

b b(b + d) b(b + d)(b + 2d) n! p(p +1)(p + 2)…(p + n -1) 71), a > 0. 72).

(a +1)(a + 2)…(a + n) n! nq n=1 n=p 3 1 n!en 73) 74).

12 5 K(2n -1) nq.

4 6 K 2n nn+ p n=1 n= (2n -1)!! 1 2 58 …(3n - 4).

75). 76) (2n)!! 2n +1 3n n! n=1 n=Ответы. 31) Расходится. 32) Сходится. 33) Сходится. 34) Расходится.

35) Расходится. 36) Сходится. 37) Расходится. 38) Сходится. 39) Расходится.

40) Расходится. 41) Сходится. 42) Расходится. 43) Сходится. 44) Сходится.

45) Расходится. 46) Сходится. 47) Расходится. 48) Сходится. 49) Сходится.

50) Расходится. 51) Сходится. 52) Сходится. 53) Расходится. 54) Сходится.

55) Сходится. 56) Расходится. 57) Расходится 58) Сходится. 59) Сходится.

60) Сходится. 61) Сходится. 62) Сходится. 63) Сходится. 64) Сходится. 65) Расходится. 66) Сходится. 67) Расходится. 68) Сходится при p > 2. 69) Схо1 1 b - a дится при a < и расходится, если a >. 70) Сходится при > 1. 71) Схоe e d дится при a > 1 и расходится, если a 1. 72) Сходится при q > p. 73) Сходится p при + q > 1. 74) Сходится при p >. 75) Сходится. 76) Сходится.

2 §7. Ряды с произвольными членами. Абсолютно и условно сходящиеся ряды Определение. Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд. Если сходится ряд an n= an, составленный из модулей его членов, то данный ряд также сходится.

n= Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если схоan n= дится ряд an.

n= Определение. Если ряд сходится, а ряд an расходится, то ряд an n=1 n= называется условно сходящимся.

an n= Чтобы установить абсолютную сходимость ряда, к ряду an an n=1 n=можно применить все признаки сходимости положительных рядов, изучен ные в предыдущем параграфе. Если окажется, что ряд an сходится, то де n= лаем вывод, что ряд сходится абсолютно. Если же ряд an расходитan n=1 n= ся, то ряд может, как сходиться, так и расходиться. Однако в некоторых an n= случаях расходимость ряда an влечет за собой расходимость ряда, an n=1 n= например, если 1) ряд an расходится в силу того, что не выполняется не n= обходимое условие его сходимости; 2) расходимость ряда an установлена n=по признаку Даламбера или Коши. Действительно, в первом случае из расхо димости ряда an следует выполнение условия lim an 0, но тогда будет n n= выполняться и условие lim an 0, и ряд также расходится. Во втором an n n=случае условиями расходимости в признаках Даламбера и Коши являются an+n условия lim >1 и lim an > 1, из которых следует, что для ряда an на n an n n=рушается необходимое условие сходимости, а, следовательно, оно будет на рушаться и для ряда. Если же ряд an расходится по признаку сравan n=1 n= нения или по другой причине, то о поведении ряда ничего определенan n=ного сказать нельзя.

Из сказанного выше следует, что в большинстве случаев для исследова ния абсолютной сходимости ряда достаточно исследовать поведение an n= ряда an, но в некоторых случаях, когда ряд an расходится, приходится n=1 n=исследовать и данный ряд.

Для исследования на сходимость знакопеременного ряда можно an n=воспользоваться одним из следующих признаков.

n-Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд a1 - a2 +L+ (-1) an +L (an 0) сходится, если а) an+1 < an, n = 1,2,L и б) lim an = 0.

n Если ряд не является знакочередующимся либо он является такоan n=вым, но признак Лейбница применить к нему затруднительно, то его можно исследовать с помощью признаков Абеля или Дирихле.

Признак Абеля. Ряд bn сходится, если an n= 1) ряд сходится; 2) последовательность (bn ) монотонна и ограничена.

an n= Признак Дирихле. Ряд bn сходится, если an n=n 1) частичные суммы An = ограничены; 2) последовательность (bn ) моноak k =тонно стремится к нулю.

Хотя в формулировках признаков Абеля и Дирихле не указано, что рассматриваемые ряды имеют члены разных знаков, но область их применения – именно такие ряды.

Из всего сказанного вытекает, что знакопеременный ряд можно an n=исследовать по следующей схеме.

1) Составляем ряд an.

n= 2) Найдем lim an. Если он не равен нулю, то ряд расходится. Если an n n=lim an = 0 или найти его нелегко, то переходим к следующему пункту.

n 3) Применим к ряду an один из признаков сходимости положитель n= ных рядов. Если ряд an сходится, то ряд сходится абсолютно. Если an n=1 n= согласно признаку Даламбера или Коши ряд an окажется расходящимся, n= то и знакопеременный ряд расходится. Если ряд an расходится по каan n=1 n=кой-нибудь другой причине, то переходим к следующему пункту.

4) Ряд исследуем на сходимость с помощью одного из признаков an n=Лейбница, Абеля или Дирихле. Если в результате исследования окажется, что ряд сходится, то эта сходимость условная.

an n=Для всех примеров, содержащихся в данном пособии, приведенный алгоритм должен привести к одному из трех результатов:

1) ряд сходится абсолютно; 2) ряд сходится условно; 3) ряд расходится.

Пример 77. Исследовать на абсолютную или условную сходимость следующие ряды:

n+ 1 qn n! (-1) n n 1) ; 4).

(-1) ln1+ n2 ; 2) (-1) cos 6n ; 3) nn n - ln n n=1 n=1 n=1 n= 1) Рассмотрим ряд 1+, составленный из модулей членов ln n n=данного ряда. Общий член этого ряда стремится к нулю при n. Приме1 ним к этому ряду признак сравнения. Поскольку при n ln 1+ ~ и n2 n 1 ряд сходится, то ряд 1+ сходится. Следовательно, исходный ln nn n=1 n=ряд сходится абсолютно.

2) Так как lim cos = 1, то для данного ряда не выполняется необходимое n 6n условие сходимости, и он расходится.

n q n! 3) Исследуем ряд an = на сходимость с помощью признака nn n=1 n=n+q (n +1)! nn q nn q q an+Даламбера. Находим lim = lim = lim = lim =.

n n n n+an e (n +1) (n +1) q n! 1+ n q an+Если q < e, то lim = < 1 и по признаку Даламбера an сходится, сле an e n=q an+довательно, данный ряд сходится абсолютно. Если q e, то lim = 1 и an e данный ряд расходится.

4) Применим к ряду = признак сравнения. Так как при an n - ln n n=1 n= 1 1 1 любых n и ряд расходится, то расходится и ряд.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.