WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
АДЫГЕЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК ЗАМЯТИН В.Н.

ШАОВА С.М.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие Майкоп 2010 УДК 517(075.8) ББК 22.161.Я73 3-26 Печатается по решению кафедры математического анализа и методики преподавания математики и редакционно-издательского Совета Адыгейского государственного университета НАУЧНЫЙ РЕДАКТОР:

кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа АГУ К. С. Мамий.

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа АГУ М. М. Шумафов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и вычислительной техники АГУ Д. С. Ушхо.

3-26 Замятин В.Н., Шаова С.М. Числовые и функциональные ряды.

Учебно - методическое пособие. - Майкоп: Изд-во АГУ, 2010.- 69 с.

Пособие посвящено всестороннему изучению одного из разделов математического анализа «Числовые и функциональные ряды».

Каждый параграф содержит краткие сведения из теории, набор типовых примеров с решениями, методические рекомендации для решения определенных классов задач и задачи для самостоятельной работы с ответами.

Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Математика».

2 Оглавление Введение……………………………………………………………………………. 5 Глава 1. Числовые ряды §1. Некоторые сведения из теории рядов…………………………………….

6 §2. Исследование ряда на сходимость и нахождение его суммы по определению.................................................................................................... 8 §3. Задания для самостоятельной работы………………………………………... 10 §4. Необходимое условие сходимости ряда…………………………………. 11 §5. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости…………… 12 1. Признаки сравнения……………………………………….. 12 2. Признак Даламбера ……………………………………….. 16 3. Признак Коши …………………………………………….. 4. Интегральный признак Коши ……………………………. 5. Признак Раабе ……………………………………………... 6. Признак Гаусса ……………………………………………. §6. Задания для самостоятельной работы ……………………………………….. §7. Ряды с произвольными членами. Абсолютно и условно сходящиеся ряды …………………………………………………………… §8. Задания для самостоятельной работы ……………………………………….. Глава 2. Функциональные последовательности и ряды.

Равномерная сходимость §1. Сходимость последовательностей функций …………………………….. §2. Равномерная сходимость последовательностей функций ……………... §3. Задания для самостоятельной работы …………………………….................. §4. Сходимость функциональных рядов …………………………………….. §5. Задания для самостоятельной работы ……………………………………….. §6. Равномерная сходимость функциональных рядов ……………………... §7. Задания для самостоятельной работы ……………………………………….. §8. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов …………… §9. Задания для самостоятельной работы ……………………………………….. §10. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда ……………….. §11. Задания для самостоятельной работы ………………………………………. §12. Разложение функций в степенные ряды ………………………………... §13. Задания для самостоятельной работы ………………………………………. Глава 3. Приложения теории рядов §1. Суммирование рядов ……………………………………………………... 1. Нахождение сумм числовых рядов ……………………… 2. Нахождение сумм функциональных рядов интегрирова- нием или дифференцированием………………………….. §2. Задания для самостоятельной работы………………………………………... §3. Приближенные вычисления с помощью рядов ………………................. 1. Вычисление приближенных значений функций ………... 2. Вычисление приближенных значений интегралов……… §4. Задания для самостоятельной работы ……………………………………….. Литература …………………………………………………………………............ Введение Теория рядов является одним из важнейших разделов математического анализа. ”…И не столько потому, что многочисленными применениями его проникнуто все здание как самого анализа, так и почти всех опирающихся на него прикладных наук, сколько по той причине, что на сравнительно несложном материале, какой представляет нам собою теория рядов, типичные для всего анализа ходы мыслей, цепи представлений и образов и даже целые логические схемы выступают с особенной ясностью и рельефностью; хорошо известно, что учащемуся, который активно и прочно овладел теорией рядов, дальнейшее усвоение разделов анализа обычно уже не доставляет никаких затруднений.” Соглашаясь с этими словами известного советского математика и педагога А.Я. Хинчина, добавим еще, что теория рядов – это неотъемлемая часть образования математика, физика, инженера, учителя средней школы, ибо она является аппаратом для вычисления значений функций и интегралов, не берущихся в конечном виде, для проведения технических расчетов (например, для определения прогиба балок в строительных конструкциях), она используется при введении новых понятий в различных областях математики (например, понятия интеграла Лебега от простой функции, голоморфной функции в теории функций комплексной переменной), служит средством получения важных результатов как в самой математике, так и в математической физике. Теория рядов непосредственно соприкасается со школьным курсом математики, например, по таким вопросам как арифметическая и геометрическая прогрессии, предел последовательности, бином Ньютона, вычисление значений тригонометрических функций и др.

Предлагаемое пособие представляет собой руководство по решению задач и призвано оказать помощь студентам в организации их самостоятельной работы в межсессионный период по изучению теории рядов и ее приложений.

Пособие состоит из трех глав. Содержание пособия видно из оглавления.

Каждый параграф пособия содержит необходимые теоретические сведения, примеры решения типовых задач и задачи для самостоятельной работы. Для удобства читателей задачи для самостоятельной работы с ответами приводятся в конце каждого параграфа.



Авторы ставили своей целью не только привести образцы решения типовых и нестандартных задач, указать рациональные способы решения, но и дать подробные методические указания, сформулировать и обосновать основные алгоритмы, пригодные для решения целых классов задач, предупредить учащегося в возможных ошибках и заблуждениях.

Наличие большого числа задач разной трудности, иллюстрирующих ту или иную тему, дает возможность преподавателю использовать пособие для работы в аудитории, для домашних заданий и при составлении контрольных работ для очной и заочной формы обучения.

Глава I. Числовые ряды §1. Некоторые сведения из теории рядов Определение. Пусть a1, a2,K, an,K- числовая последовательность. Выражение a1 + a2 +… + an + … называется числовым рядом и обозначается сим волом.

an n=n Определение. Сумма Sn = n первых членов ряда называется nak an k =1 n=ой частичной суммой этого ряда.

Определение. Ряд называется сходящимся, если последовательan n=ность его частичных сумм (Sn ) имеет конечный предел S. Предел последовательности частичных сумм называется суммой ряда.

Следовательно, если число S - сумма ряда, то S = lim Sn.

n Определение. Если последовательность (Sn ) не имеет конечного преде ла (предел не существует или бесконечен), то ряд называется расходяan n=щимся.

Следовательно, расходящиеся ряды суммы не имеют.

Определение. Ряд называется n-м остатком ряда.

ak an k =n+1 n=Ряд и его остаток сходятся или расходятся одновременно, поэтому часто при исследовании вопроса о сходимости ряда вместо него рассматривают n-й остаток.

Отметим основные вопросы теории рядов:

исследование рядов на сходимость;

нахождение суммы ряда или ее оценка;

применение сходящихся рядов при решении разнообразных математических задач, например, приближенное вычисление значений функций с любой сте пенью точности, вычисление интегралов, пределов функций, нахождение решений дифференциальных уравнений и др.

Приведем справочный материал, который будет использован.

1) Пусть R.Числовой ряд называется обобщенным гармониче n n=ским рядом, а при = 1- гармоническим. Он сходится при > 1 и расходится при 1.

n-2) Числовой ряд aq называется геометрическим рядом. Он сходится n=при q < 1 и расходится при q 1. Сумма сходящегося геометрического ряда a вычисляется по формуле S =.

1- q и сходятся, а их суммы равны соответственно 3) Если ряды an bn n=1 n= A и B, то при любых, µ R сходится ряд an + µ bn ) и его сумма равна ( n= A + µ B.

4) Таблица эквивалентностей и асимптотических формул.

Эквивалентность при x 0 Равенство при x sin x ~ x sin x = x + (x) tg x ~ x tg x = x + (x) arcsin x ~ x arcsin x = x + (x) arctg x ~ x arctg x = x + (x) xx1- cos x ~ 1- cos x = + (x2) ex -1 ~ x ex -1 = x + (x) ln(1+ x) ~ x ln(1+ x) = x + (x) (1+ x) -1 ~ x (1+ x) = 1+ x + (x) x x a -1 ~ x ln a a = 1+ x ln a + (x) n an 5) При a > 1 и > 0 lim = +, lim = + и при достаточно n n log n n a больших n loga n < n < an.

6) Для любых имеем неравенство sin min{,1}. Чтобы получить лучшую оценку для sin, надо брать оценку sin 1, если принимает значение вне отрезка [-1,1], и оценку sin, если [-1,1]. Поясним это утверждение. 1) Если [-1,1], то sin 1. 2) Если [-1,1], то > 1 и оценка sin менее точна, чем оценка sin 1.

Чтобы исследовать ряд на сходимость, пользуются либо определением сходящегося ряда, либо свойствами сходящихся рядов, либо, чаще всего, признаками сходимости.

§2. Исследование ряда на сходимость и нахождение его суммы по определению Пример 1. Найти n-ю частичную сумму Sn ряда и сумму S ряда:

n- (-1); 2) 4n + 1).

2 3n-(n +1) (n + 2) n=1 n= 1) Члены данного ряда составляют геометрическую прогрессию с первым членом a = 1 и знаменателем q = -. Используя формулу суммы n a(1- qn), получаем n-ю часпервых членов геометрической прогрессии Sn = 1- q тичную сумму данного ряда n 1- - n 3 3 1 (-1) Sn = = -.

1 4 4 3n- 1- - По определению сумма ряда S = lim Sn. Отсюда следует, что n n 3 1 (-1) 3 S = lim - =. Итак, ряд сходится и его сумма равна.

n 4 4 3n-1 4 2) Составим Sn -сумму n первых членов ряда:

10 14 4n + Sn = + +… +.

2 22 32 32 (n +1) (n + 2) Сразу трудно сделать какое-либо заключение о пределе Sn. Надо преобразовать Sn так, чтобы она имела более простой вид. Для этого представим общий член ряда в виде разности двух дробей. Вычисляя разность 1 1 2n + 3 - = = an, 2 2 2 (n +1) (n + 2) (n +1) (n + 2) получим, что 1.

an = 2 2 - (n +1) (n + 2) Придавая в этом выражении n значения 1, 2,3,K, n, представим каждый член суммы Sn в виде разности двух слагаемых. Получим 1 1 1 1 1 1 1 1 = Sn = 2 - - - + + + K+ - + 2 2 n(n +1) (n +1) (n + 2) 22 32 32 42 42 1.

= 2 - (n + 2) 1 1 Теперь находим сумму ряда: S = 2 lim - =. n 4 (n + 2) Замечание. Для представления an в виде разности дробей можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов.

Пример 2. Доказать, что если члены ряда представимы в виде an n=an = bn - bn+1 и существует конечный предел lim bn = b, то ряд сходится и его n сумма равна b1 - b, то есть = bn - bn+1 = b1 - b.

() a n n=1 n=n n Имеем Sn = = bk - bk +1 = b1 - b2 + b2 - b3 +K+ bn - bn+1 = b1 - bn+1.





() ( ) ( ) () a k k =1 k =Так как по условию lim bn = b, то получаем, что S = lim Sn = b1 - b. n n Пример 3. Доказать, что ряд сходится и найти его сумму.

4n + 6 1 1) ; 2) 3n + 5n.

2 (n +1) (n + 2) n=1 n= 1) Этот пример был решен ранее (см. пр. 1). Его решение можно существенно упростить, используя утверждение из примера 2. Имеем 2 an = - (см. пр. 1).

2 (n +1) (n + 2) Обозначим bn =, тогда an = bn - bn+1, n. Так как lim bn = b = 0, то ряд n (n +1) 1 сходится и его сумма S = b1 - b = - 0 =.

2 1 2) Данный ряд можно рассмотреть как сумму рядов и. Ряд 3n 5n n=1 n= 1 - геометрический ряд и, так как q = < 1, то он сходится. Аналогичны 3n n= ми рассуждениями получаем, что ряд тоже сходится. Тогда по свойству 5n n= 1 сходящихся рядов (§1) их сумма, то есть ряд 3n + 5n, сходится. По из n=вестной формуле суммы сходящегося геометрического ряда (§1) получаем 1 1 1 1 3 = =, = =.

3n 1- 1 2 5n 1- 1 n=1 n=3 1 1 Итак, данный ряд сходится и его сумма S = + =. 2 4 §3. Задания для самостоятельной работы В следующих примерах, рассмотрев предел частичной суммы ряда, установить его сходимость и величину суммы.

2 4 8 4) 1+ + + + K. 5).

3 9 27 (n +1)(n + 2) n= 2 4 8 6) 1- + - + K. 7).

3 9 27 n (n +1) n= 1 1 1 8) 1- - - -K. 9).

2 4 8 (2n -1)(2n + 5) n= 1 1 1 1 1 1 10) 1+ + + + + + + K. 11).

2 3 6 9 18 27 (3n - 2)(3n +1) n= 1 1 1 1 1 2n +12) 1+ - - + + -K. 13).

2 4 8 16 n (n +1) n= 1 1 1 14) 1+ + + + K. 15).

10 100 1000 (2n -1)(2n +1) n= 3n + 2n 16). 17).

12n (n - 2)(n + 2) n=1 n= 1 18). 19).

n(n +1)(n + 2) 4n2 + 4n - n=1 n= 2 - n 3n + 20). 21).

n(n +1)(n + 3) (n + n)(n + 4) n=1 n=23 Ответы. 4) 3. 5)0,5. 6) 0,6. 7) 2. 8) 0. 9). 10) 2,25. 11). 12) 1,2.

90 25 1 1 1 13) 1. 14) 10. 15) 2. 16) 10. 17). 18). 19). 20) -. 21).

9 21 48 4 3 36 §4. Необходимое условие сходимости ряда Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится, то an n=lim an = 0.

n Заметим, что условие an 0, n не является достаточным для схо димости ряда. Действительно, n-й член гармонического ряда стремится n n=к нулю при n, однако ряд является расходящимся.

Если lim an не существует или существует, но отличен от нуля, то ряд n расходится. Это утверждение можно считать достаточным условием an n=расходимости ряда.

Пример 22. Доказать расходимость следующих рядов, используя необходимое условие сходимости ряда.

n 3n + 4 3nn 1) ; 2) (-1) 2n2 + 3n + 4 ; 3) 3n3 - 2.

5n +1 2n2 +1 + n=1 n=1 n= 3n + 4 1) lim an = lim = 0, и поэтому ряд расходится.

n n 5n +1 2n2 + 3n + 2) Так как lim = 1, то lim a2k = 1, а lim a2k -1 = -1. Отсюда следует, n k k 2n2 +что последовательность (an ) не имеет предела, а ряд расходится.

3) Находим 3n3 n1- 1- 3n 3n3 = lim e lim an = lim = = e-2 0.

4 n3 n n n 1+ 3n3 e 3n 1+ 3n Так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда, то ряд расходится. §5. Ряды с неотрицательными членами.

Признаки сходимости Чтобы исследовать ряд с неотрицательными членами на сходимость, надо сначала попытаться проверить выполняется ли для него необходимое условие сходимости ряда: lim an = 0. Если оно не выполняется, то ряд расходитn ся. Если же lim an = 0, либо lim an найти не удается, надо воспользоваться одn n ним из достаточных признаков сходимости положительных рядов. Выбор того или иного достаточного признака для исследования сходимости ряда зависит от вида n-го члена ряда. В дальнейшем по этому вопросу будут даны некоторые рекомендации.

1. Признаки сравнения Признак сравнения. Если, начиная с некоторого номера, выполняется условие 0 an bn, то 1) из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

bn an n=1 n= 2) из расходимости ряда следует расходимость ряда.

an bn n=1 n= Признак сравнения (в предельной форме). Пусть для всех n an an 0, bn > 0 и существует предел lim = c.

n bn Тогда, 1) если 0 < c < +, то ряды и сходятся или расходятся одноan bn n=1 n=временно;

2) если c = 0, то из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

bn an n=1 n= 3) если c = +, то из расходимости ряда следует расходимость ряда bn n=.

an n=На практике довольно часто пользуются следующими следствиями из признака сравнения.

Следствие 1. Если, начиная с некоторого номера, an 0, bn > 0 и при n an ~ bn, то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

an bn n=1 n=Следствие 2. Если, начиная с некоторого номера, an > 0 и при n c an ~ (c > 0), то ряд сходится при > 1 и расходится при 1.

an n n=Из вышеприведенных признаков следует, что сходимость ряда с неотрицательными членами связана со скоростью стремления к нулю его членов.

Обычно, для сравнения с исследуемым рядом используются два an n= n-«эталонных» ряда:, R - обобщенный гармонический ряд и aq - n n=1 n=геометрический ряд, поведение которых известно (§1). Первый обычно выручает тогда, когда в состав n-го члена ряда входят степенные функции аргумента n, а второй – тогда, когда в состав n-го члена ряда входят показательные функции аргумента n. Например, ряды n, ( n - n -1),,K sin 1, tg, n4 +1 n n ln n n=1 n=1 n=1 n=1 n=сравнивают с обобщенным гармоническим рядом, а ряды 1,,… -с геометрическим рядом.

sin 1, n2n n=1 3n n=1 tg 2n n=Пример 23. Исследовать на сходимость следующие ряды:

n 3 + (-1) sin2 3n 1 1) ; 2) ; 3) sin ;

5n n 3n-n n n=1 n=1 n= arctg(n2 + 2n); n + 2 n 4) 5). 6).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.