WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
Санкт-Петербургский государственный университет К.В. Холшевников, И.И. Никифоров СВОЙСТВА ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Учебное пособие Санкт-Петербург 2008 ББК 22.6 Х74 Рецензенты: доктор физ.-мат. наук Ю.Д.Медведев (Институт прикладной астрономии РАН), доктор физ.-мат. наук, проф. А.С.Шмыров (С.-Петербургский гос. ун-т) Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Математико-механического факультета С.-Петербургского государственного университета Холшевников К.В., Никифоров И.И.

Х74 Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах: Учебное пособие. – СПб., 2008. – 72 с.

В книге изложены базовые элементы теории гравитационного (и формально совпадающего с ним электростатического) потенциала и изучены простейшие случаи явного его выражения через элементарные функции и эллиптические интегралы.

Описаны важнейшие свойства гравитационного потенциала и его градиента для компактных тел в трехмерном пространстве; рассмотрены одномерные, двумерные и трехмерные тела.

Отдельная глава посвящена потенциалу неограниченных тел.

Многочисленные примеры иллюстрируют общую теорию. В задачах предлагается вычислить потенциал не рассмотренных в основном тексте тел или убедиться в справедливости общих свойств на рассмотренных примерах. В качестве метода вычисления гравитационного потенциала используется только прямое интегрирование, доступное студенту III курса технических вузов или естественных факультетов университетов. Изощренные обходные приемы, требующие более основательной математической подготовки, не применяются.

Книга может использоваться в качестве учебного пособия студентами и аспирантами при изучении теории тяготения, гравиметрии, геодезии, небесной механики и звездной динамики, электростатики, а также может быть полезной и служить справочником для специалистов соответствующего профиля.

ББК 22.6 © К.В.Холшевников, И.И.Никифоров, 2008 © С.-Петербургский гос. университет, Оглавление Введение............................ Глава 1. Потенциал точки и его основные свойства. Глава 2. Потенциал протяженного тела......... Глава 3. Потенциал одномерных тел........... Глава 4. Потенциал двумерных тел........... Глава 5. Потенциал трехмерных тел........... Глава 6. Потенциал некоторых неограниченных тел. Глава 7. Вспомогательные математические формулы Литература........................... Именной указатель....................... Предметный указатель..................... Введение Настоящее пособие посвящено теории тяготения, важнейшей частью которой является теория гравитационного потенциала.

В основе теории притяжения лежит закон всемирного тяготения, открытый Исааком Ньютоном (1643–1727) и опубликованный в его знаменитых Philosophiae naturalis principia mathematica в 1687 г.

Понятие потенциала введено позже Адриеном Мари Лежандром (1752–1833) и Жозефом Луи Лагранжем (1736–1813). По своему смыслу потенциал это работа, которую надо затратить для удаления частицы единичной массы из гравитационного поля произвольных неподвижных масс на бесконечность. Для электростатического поля говорят о работе, необходимой для ухода единичного отрицательного заряда из поля, создаваемого произвольными положительными зарядами. Такое определение подразумевает, что работа не зависит от формы пути. Это эквивалентно тому факту, что гравитационная или электростатическая сила как вектор образует поле градиента некоторой скалярной функции, которая и есть потенциал (с точностью до массы или заряда частицы). Установление потенциальности гравитационных полей очень помогло систематизации и упрощению выкладок, бывших громоздкими и не совсем надежными. Не менее важно, что понятие потенциала послужило ступенькой к обоснованию в более позднюю эпоху закона сохранения энергии.

Наиболее яркие применения понятия потенциала относятся к небесной механике, особенно к той ее части, которая занимается фигурами равновесия гравитирующих небесных тел, а также к гравиметрии. Красота теории, ее важные приложения, казавшиеся вначале непреодолимыми математические трудности привлекли к ней внимание выдающихся ученых. Назовем лишь А.Клеро, П.С.Лапласа, С.Д.Пуассона, Дж.Грина, К.Ф.Гаусса, А.Пуанкаре, А.М.Ляпунова. И в наше время теория продолжает развиваться.

В качестве иллюстрации нетривиальности не только самой теории, но и ее приложений заметим, что вычисление потенциала однородного трехосного эллипсоида потребовало усилий трех поколений ученых. Желающим ознакомиться с темой подробнее мы рекомендуем приведенные в списке литературы монографии и руководства (Антонов и др., 1989), (Антонов и др., 2008), (Брело, 1974), (Владимиров, 2003), (Гюнтер, 1953), (Жуковский, 1950), (Кондратьев, 2007), (Ландкоф, 1966), (Михлин, 1977), (Сретенский, 1946), (Субботин, 1949), (Тиман, Трофимов, 1968), (Уэрмер, 1980), (Холшевников и др., 2005), (Шкодров, 1989), (Binney, Tremaine, 2008), (Poincar, 1899). История вопроса подробнейшим образом описана в монографии (Тодхантер, 2002).

В настоящем пособии основное внимание уделено примерам, в которых вычисляется в конечном виде потенциал просто устроенных тел. Эти примеры подробно исследуются. Формулируются общие свойства потенциала в зависимости от размерности притягивающих тел и дифференциальных свойств плотности. Доказательства этих свойств иногда приведены в книге, а в трудных случаях читатель отсылается к подробным руководствам по теории потенциала. Под плотностью может пониматься как плотность гравитирующих масс, так и плотность зарядов статического электрического поля математически это безразлично. Необходимость представлять себе общие свойства потенциала вытекает из того, что не всегда удается выписать конкретные выражения для потенциалов, численное же интегрирование (или вообще численное решение уравнения Пуассона) часто требует большой затраты времени и страдает недостатком наглядности и общности. Знание теории потенциала иногда позволяет почти мгновенно отвечать на вопросы, которые иначе потребовали бы длительных выкладок.



Все примеры мы тщательно проверили во избежание ошибок при переписывании формул из одного руководства в другое. Расчеты приведены в открытую, т.е. их может детально проверить каждый, владеющий техникой дифференцирования и знакомый с таблицей основных интегралов. Более сложные интегралы от элементарных функций, встречающиеся в промежуточных выкладках, выделены в самостоятельную главу. Опять-таки неопределенные интегралы каждый желающий может проверить дифференцированием.

Предполагается знакомство читателя с курсами математического анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений и математической физики. К каждой главе приложен список задач.

Схема изложения материала выглядит следующим образом.

В главе 1 определяется сила притяжения материальной точки в пространстве R3 согласно закону Ньютона. Затем потенциал материальной точки Q в R3 определяется как гравитационная энергия пробной точки Q в силовом поле, подчиненном закону обратных квадратов. Далее доказывается, что вне притягивающей точки потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, что означает гармоничность потенциала в R3 вне притягивающей точки. Наконец, выводится формула Остроградского–Гаусса для потока градиента потенциала через замкнутую поверхность.

В главе 2 определяется потенциал V (Q) протяженного тела T размерности n, n = 1, 2, 3. Устанавливаются дифференциальные свойства V в R3 и асимптотика V при Q T и Q. Приводятся формулы Остроградского–Гаусса и Пуассона. Обсуждаются свойства симметрии потенциала.

В главах 3–5 находятся потенциалы в R3 конкретных компактных одномерных, двумерных и трехмерных тел, соответственно.

В главе 6 вычисляются потенциалы в R3 конкретных неограниченных одномерных и двумерных тел.

В главу 7 вынесены вспомогательные математические формулы.

За редкими исключениями в книге принята единая система обозначений. Векторы выделяются жирным шрифтом. Их модули обозначаются теми же буквами обычным шрифтом. Матрицы изображаются рукописными буквами. Притягивающее тело всегда предполагается замкнутым и обозначается буквой T. Точки пространства RN обозначаются через Q; точки притягивающего тела T Q, а его масса M; потенциал V ; оператор Лапласа ;

элементы длины, площади и объема ds, d и d.

Плотность одномерной кривой обозначается буквой, двумерной поверхности, трехмерного тела.

Через, обозначаются различные угловые переменные. Часто встречаются цилиндрические R,, z и сферические r,, координаты. Расстояние между двумя точками обозначаем буквой s;

иногда, если одна из точек выделена, то через r (в двумерном случае R). Переменная интегрирования часто обозначается через t.

Формулы и рисунки нумеруются двумя числами, первое соответствует номеру главы.

Мы благодарим рецензентов книги, внимательно прочитавших рукопись и сделавших ценные замечания, которые мы постарались учесть, отчего книга, как нам представляется, несомненно выиграла.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 08-02-00361), гранта Президента РФ для государственной поддержки коллективов ведущих научных школ РФ (грант НШ-1323.2008.2) и Аналитической ведомственной целевой программы Развитие научного потенциала высшей школы (2006–2008 годы) Федерального агентства по образованию Министерства образования и науки РФ (грант РНП 3.1.1.11054).

Глава Потенциал точки и его основные свойства По закону всемирного тяготения Ньютона любые две материальные точки притягивают друг друга с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Как видим, обе точки равноправны. Но для развития теории притяжения протяженных тел выгоднее нарушить эту симметрию. Считаем одну точку Q массы m притягивающей, а другую точку Q притягиваемой. Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета точки Q и Q определяются радиус-векторами r и r. Согласно сформулированному закону точка Q вне зависимости от ее массы испытывает ускорение Gm w(Q) = - s, (1.1) sгде s = r - r, s = |s|, G постоянная тяготения (см. рис. 1.1).

Замечание. Значение постоянной тяготения зависит от принятой системы единиц. В системе СИ мG = 6.673 · 10-кг · ссогласно (Mohr, Taylor, 1999). Как видим, точность определения G не слишком велика. Точность же определения произведения постоянной тяготения на массу для многих тел Солнечной системы значительно выше. Например, для Солнца и Земли м3 мGm = 1.32712442076 · 1020, Gm = 3.986004418 · с2 сz Q s Q r r O y x Рис. 1.1. К потенциалу материальной точки: Q притягиваемая точка, Q притягивающая точка.

согласно (Fukushima, 2000; Fukushima, 2002). Следуя принятому в руководствах по теории ньютоновского потенциала правилу, мы полагаем G = 1, что возможно за счет выбора системы единиц измерения. Это не вполне корректно (возникает проблема физической размерности), но допустимо: в окончательное выражение для силы притяжения, гравитационного ускорения и потенциала G всегда входит множителем.





Уникальное свойство гравитационного взаимодействия: ускорение (т.е. напряженность векторного гравитационного поля, создаваемого точкой Q ) не зависит от массы притягиваемой точки.

Определим теперь гравитационный потенциал V (Q), индуцируемый материальной точкой Q, как скалярную функцию, градиент которой равен ускорению w(Q). Легко проверить дифференцированием, что m V (Q) =. (1.2) s Выберем привилегированную систему отсчета с началом в материальной точке Q (направления осей безразличны). В этом случае формула (1.2) упрощается:

m V (Q) =. (1.3) r В декартовой системе точки и векторы имеют координаты Q(x, y, z), Q (x, y, z ), r(x, y, z), r (x, y, z ), s(x - x, y - y, z - z ), так что r = x2 + y2 + z2, r = x 2 + y 2 + z 2, s = (x - x )2 + (y - y )2 + (z - z )2.

Напомним, что физический смысл имеет лишь разность потенциалов. Иными словами, потенциал определен с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Разность V (Q)-V (Q0), от этого слагаемого не зависящая, представляет собой работу, которую надо совершить против гравитационных сил, чтобы переместить пробную точку единичной массы из Q в Q0. Фиксация аддитивной постоянной равносильна фиксации V (Q0):

m V (Q) = + V (Q0).

r Какую точку разумно выбрать за Q0 В пространстве R3 есть лишь одна выделенная точка Q. Но она не годится, т.к. в ней потенциал обращается в бесконечность. За редкими исключениями за Qвыбирают бесконечно удаленную точку, полагая там потенциал нулевым. В дальнейшем мы будем считать m V (Q) =, (1.4) s а в привилегированной системе отсчета с началом в материальной точке Q m V (Q) = V (r) =. (1.5) r Потенциал (1.5) имеет физический смысл работы, требуемой для удаления пробной точки Q единичной массы на бесконечность. Его принимают за гравитационную потенциальную энергию (со знаком минус) единицы массы Q в поле притягивающего центра Q. Он же определяет вторую космическую скорость v2(r), которую надо сообщить точке Q для удаления ее с расстояния r от Q до бесконечного расстояния. По закону сохранения энергии v2 m - = 0, 2 r откуда 2m v2 =. (1.6) r Установим основные свойства потенциала (1.5).

1. Потенциал V (r) представляет собой функцию, вещественноаналитическую в R3 \ {Q }, т.е. во всем пространстве R3 за исключением притягивающего центра Q.

2. Потенциал сингулярен в притягивающем центре Q :

lim V (r) = при r 0.

Физически это означает, что отрыв от притягивающей точки требует бесконечной работы, что обеспечивает существование (теоретическое!) черных дыр ньютоновской гравитации.

3. В бесконечно удаленной точке потенциал обращается в нуль, точнее lim V (r) = 0 при r.

4. В пространстве R3 \{Q } потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа V = 0, (1.7) где оператор Лапласа 2 2 = + +. (1.8) x2 y2 zДля доказательства вычислим последовательно r x (r-1) x 2(r-1) 3x2 - r=, = -, =.

x r x r3 x2 rСкладывая последнее соотношение с аналогичными формулами при дифференцировании по y и z, убедимся в справедливости уравнения (1.7) для функции (1.5) в случае m = 1. Справедливость (1.7) при произвольном m следует из линейности оператора Лапласа. Справедливость (1.7) для функции (1.4) следует из инвариантности оператора Лапласа относительно сдвигов и вращений (Тиман, Трофимов, 1968). Впрочем, это нетрудно доказать и непосредственным дифференцированием.

Напомним, что удовлетворяющие уравнению Лапласа функции называются гармоническими. Тем самым потенциал гармоничен во всем пространстве, за исключением точки Q.

5. В теоретической физике важную роль играет понятие потока W векторного поля u через заданную поверхность S. Поток определяется поверхностным интегралом W = un d. (1.9) S Здесь un составляющая вектора u, ортогональная поверхности S; d элемент площади. Предполагается, что S кусочно-гладкая поверхность, а векторное поле u кусочнонепрерывно.

Обратимся к векторному полю, образованному градиентом потенциала w. Соответствующий поток W через замкнутую поверхность S определяется формулой Остроградского– Гаусса -4m, если Q находится внутри S, W = (1.10) 0, если Q находится вне S.

Докажем формулу (1.10) сначала для простейшего случая, когда S является сферой S(a), где a ее радиус.

Если центр сферы совпадает с Q, то доказательство совсем просто. По определению W = wn d, (1.11) S(a) где wn компонента вектора w, нормальная к поверхности сферы. Согласно (1.1) компонента wn = -m /a2 постоянна, площадь сферы равна 4a2, откуда и следует (1.10).

В случае произвольного положения точки Q введем систему отсчета с началом в центре сферы и осью z, проходящей через Q. Точка Q получает координаты (0, 0, b). Можно считать, что b > 0. Вектор r, пробегающий поверхность сферы, вектор нормали n к поверхности сферы, а также векторы s и w имеют в этой системе координаты 1 m s r = (x, y, z), n = (x, y, z), s = (x, y, z - b), w = -.

a sОтсюда m m (a2 - bz) wn = - sn = -.

s3 a(a2 - 2bz + b2)3/Интегрировать по сфере удобнее в сферических координатах x = a sin cos, y = a sin sin, z = a cos, d = a2 sin d d.

Формула (1.11) принимает вид (1 - c cos ) sin d W = -m d, (1.12) (1 - 2c cos + c2)3/2 где c = b/a. Внутренний интеграл равен 2, а во внешнем делаем подстановку t = 1 - 2c cos + c2:

t + m (1+c)2 - c2 dt W = - = 2c t3/(1-c)m 1 = - [(1 + c) - |1 - c|] - 1 - c2 -.

c 1 + c |1 - c| Если притягивающая точка Q находится внутри сферы S(a), то 0 < c < 1, а если вне сферы, то c > 1. Раскрывая модули, придем к формуле (1.10).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.