WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Методические указания к лабораторным работам по математическому моделированию Составитель Е.А. Маслов Томск – 2008 Численное решение двумерных нестационарных уравнений теплопроводности: методические указания к лабораторным работам по математическому моделированию / Сост.

Е.А. Маслов, Томск: Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2007. – 29 с.

Рецензент доцент Томского государственного университета, к.ф.-м.н. И.К. Жарова Редактор Е.Ю. Глотова Методические указания для выполнения лабораторных работ по курсу “Математическое моделирование плазмохимических процессов” предназначены студентам специальности 270113 – “Механизация и автоматизация строительства”, обучающимся по специализации “Плазменные технологии в строительной индустрии“.

Печатаются по решению методического семинара кафедры прикладной механики и материаловедения, протокол № 82 от 04. 12. 2007г.

Утверждены и введены в действие проректором по учебной работе В.В. Дзюбо с 01.01.2008 до 01.10.2013 Подписано в печать Формат 60х90/16.

Бумага офсет. Гарнитура Таймс, печать офсет.

Уч.-изд.л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2.

Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ.

634003, г. Томск, ул. Партизанская, 15.

Оглавление 1. Общие сведения.......................................................... 4 2. Метод конечных разностей (МКР)........................... 8 3. Линейные задачи теплопроводности....................... 9 3.1. Двумерное уравнение теплопроводности.................... 9 3.2. Алгоритм численного решения (метод "расщепления по пространственным координатам")............................... 11 3.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом прогонки............................................................. 3.4. Листинг программы решения рассматриваемой задачи (язык программирования Fortran Powerstation)..... 3.5. Cписок основных идентификаторов.......................... 3.6. Тестовая задача.......................................................... 4. Варианты заданий.................................................... Список рекомендуемой литературы.......................... Приложение.................................................................. 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Теплопередача, или теплообмен – это учение о самопроизвольных необратимых процессах распределения (переноса) теплоты в пространстве с неоднородным полем температуры [1].

При проектировании различных теплосиловых установок: тепловых двигателей, компрессоров, холодильных машин, летательных аппаратов, технологического оборудования, особенно химической и пищевой промышленности, и ряда других устройств – следует учитывать процессы переноса теплоты; часто эти процессы становятся определяющими при выборе конструкций, в которых осуществляется оптимальный тепловой режим [1].

Для того, чтобы конструкция работала надежно, необходимо предусмотреть меры, которые установили бы предел росту температуры. В противном случае нормальная работа таких установок может прекратиться, так как конструкционные материалы при нагревании теряют прочность и при определенной температуре разрушаются. Например, если не предусмотреть специальных мер для защиты камеры сгорания и сопла, то ракетный двигатель разрушится в течение долей секунды. Баллистическая ракета, входящая в плотные слои атмосферы, без тепловой защиты ее головной части и стенок корпуса разрушится в течение нескольких секунд, так как температура ее головной части при этом достигает нескольких тысяч градусов [1].

При работе компактных электронных устройств генерируется теплота, которая может повысить температуру отдельных элементов до уровня, при котором устройство не будет выполнять своих функций [1].

Сложный процесс переноса теплоты разбивают на ряд более простых: теплопроводность, конвекция и теплообмен излучением. Различают молекулярный и конвективный механизмы переноса теплоты.

Молекулярный перенос теплоты осуществляется посредством теплового движения микрочастиц в среде с неоднородным распределением температуры [1].

Конвективный перенос теплоты осуществляется в среде с неоднородным распределением скорости и температуры макроскопическими элементами среды при их перемещении.

Теплопроводностью называют молекулярный перенос теплоты в сплошной среде, обусловленный наличием градиента температуры (закон Фурье) [1].

Конвективным теплообменом называют процесс, обусловленный совместным действием конвективного и молекулярного переноса теплоты. В инженерной практике большое значение имеет частный случай этого способа переноса теплоты, а именно: теплоотдача – конвективный теплообмен между движущейся средой и поверхностью ее раздела с другой средой: твердым телом, жидкостью или газом [1].

Теплообмен излучением – это процесс, который происходит следующим образом: внутренняя энергия вещества превращается в энергию излучения (энергия фотонов или электромагнитных волн, излучаемых телом или средой), далее происходит распространение излучения в пространстве (процесс переноса излучения), далее энергия излучения поглощается веществом, которое оказалось на пути фотонов или электромагнитных волн [1].

Нестационарный перенос тепла теплопроводностью описывается следующим уравнением, записанным в декартовой системе координат:

T (x, y,t) 2T (x, y,t) T (x, y,t) c Qw (x, y,t,T ). (1) t x2 y Это уравнение устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в любой точке тела. Здесь – плотность (кг/м3), с – удельная теплоемкость (Дж/(кг·С)), – коэффициент теплопроводности (Вт/(м·С)), T – температура (С), x, y – декартовы координаты (м), t – время (с), Qw(x, y, t, T) – мощность внутренних источников тепловыделения (Вт/м3).



Уравнение (1) описывает множество вариантов развития процесса кондуктивного теплопереноса (теплопроводности).

Чтобы из большого количества этих вариантов выбрать один и дать его полное математическое описание, к соотношению (1) необходимо добавить условия однозначности, которые содержат геометрические, физические, начальные и граничные условия.

Геометрические условия определяют форму и размеры тела, в котором протекает изучаемый процесс. Физические условия определяют теплофизические характеристики тела,, с. Временные (начальные) условия содержат распределение температуры в теле в начальный момент времени:

t=0: Т=f(x, y) – в общем виде.

При равномерном распределении температуры в теле начальное условие упрощается: t=0: Т=Т0=const. Граничные условия определяют особенности протекания процесса на поверхности тела и могут быть заданы несколькими способами.

1. Граничные условия первого рода – задается распределение температуры на поверхности (или границе) тела для каждого момента времен [1]:

Т=TW(x, y, t), где TW – температура на поверхности тела. Во многих практически значимых вариантах TW = const.

2. Граничные условия второго рода – задается значение теплового потока для каждой точки поверхности (или границы) тела в любой момент времени (закон Фурье) [1]:

T qW (x, y,t), n W где n – нормаль к поверхности тела, qw – тепловой поток (Вт/м2). Наиболее часто используется условие qw = const.

3. Граничные условия третьего рода – задается взаимосвязь между потоком тепла за счет теплопроводности от твердой стенки и тепловым потоком из окружающей среды за счет температурного напора (закон Ньютона – Рихмана) [1]:

T (TW Te ), n W где – коэффициент теплообмена (Вт/(м2·С)), Te – температура окружающей среды вблизи поверхности тела.

4. Граничные условия четвертого рода – для определения теплового взаимодействия между элементами, имеющими различные теплофизические характеристики, задают условия равенства температур и тепловых потоков по обе стороны от границы раздела [1]:

T1 T 1 n 2 n ;

0 T (x0, y0,t) T2 (x0, y0,t).

где xГ, yГ – координаты границы раздела сред; Т1, Т2 – температуры соприкасающихся сред. Это условие применяется, например, при решении задач теплопроводности для многослойных пластин.

Дифференциальное уравнение (1) вместе с условиями однозначности дает полную математическую формулировку краевой задачи теплопроводности.

2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ (МКР) Сформулированное уравнение (1) с соответствующими краевыми условиями (начальными и граничными) будем решать численно, т.е. воспользуемся возможностями ЭВМ.

Численным решением называется решение, полученное в виде таблицы чисел [2].

При решении дифференциального уравнения в частных производных наиболее часто используется метод конечных разностей (МКР). Идея МКР решения краевых задач весьма проста и видна уже из самого названия: вместо производных в дифференциальном уравнении используются их конечноразностные аппроксимации. При построении дискретных аппроксимаций краевых дифференциальных задач нужно стремиться увязать две, возможно, противоречивые цели: хорошее качество аппроксимации и эффективное устойчивое решение получающихся при этом алгебраических систем [2].

При использовании МКР для задач теплопроводности твердое тело представляют в виде совокупности узлов. Аппроксимируя (заменяя) частные производные дифференциального уравнения (1) конечными разностями, получают систему линейных алгебраических уравнений для определения температуры как локальной характеристики в каждом узле сетки. Полученная система является незамкнутой, для ее замыкания используют разностное представление граничных условий. В результате получают замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, которую решают численными методами с помощью ЭВМ [2].

3. ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 3.1. Двумерное уравнение теплопроводности В качестве примера применения метода конечных разностей рассмотрим задачу на основе двумерного нестационарного уравнения теплопроводности. Анализируется задача теплообмена между высокотемпературной струей и пластиной из конструкционного материала (КМ), внешняя поверхность которого подвергается воздействию высокотемпературной высокоскоростной одно- или двухфазной струи с заданными параметрами.

Схема взаимодействия высокотемпературной струи с преградой представлена на рис. 1.

y Qg lg Ly B CD A E x Lx Рис. 1. Область решения задачи: x, y –декартовы координаты;

Lx – ширина пластины; Ly – толщина пластины; lg – протяженность области воздействия струи; Qg – высокотемпературный поток; A, B, C, D, E – граничные точки При постановке задачи были приняты следующие допущения:

1. Вклад радиационной составляющей в теплообмен на внешней поверхности не учитывается.

2. Возможные процессы плавления и окисления материала преграды активными компонентами газового потока не рассматриваются.

3. Влияние конденсированной фазы в струе на теплообмен учитывается через коэффициент теплообмена g на разрушающейся поверхности.

4. Теплофизические характеристики (,, с) КМ постоянны.





Математическая модель, описывающая в рамках сформулированной задачи процесс прогрева КМ, включает нестационарное двумерное уравнение теплопроводности (2) с соответствующими начальными (3) и граничными условиями (4) – (8):

Ts (x, y,t) 2Ts (x, y,t) Ts 2 (x, y,t) scs s, (2) t x2 y 0 t tk ; 0 x Lx; 0 y Ly.

Начальное условие:

Ts(x, y) = T0 const. (3) Граничные условия:

– условие (II род) симметрии на оси 0Y (AB):

Ts (x, y,t) x 0,0 y Ly : s 0, (4) x – условие (III род) кондуктивно-конвективного теплообмена газового потока с поверхностью КМ (BC):

Ts (x, y,t) 0 x lg, y Ly : s g (Tg Ts (x, y,t)), (5) y – условие (III род) кондуктивно-конвективного теплообмена с воздухом на нагреваемой поверхности (CD):

Ts (x, y,t) lg x Lx, y Ly : s e (Te Ts (x, y,t)), (6) y – условие (III род) кондуктивно-конвективного теплообмена с воздухом на боковой поверхности (DE):

Ts (x, y,t) x Lx, 0 y Ly : s e (Te Ts (x, y,t)), (7) x – условие (III род) кондуктивно-конвективного теплообмена с воздухом на тыльной стороне пластины (AE):

Ts (x, y,t) 0 x Lx, y 0 : s e (Te Ts (x, y,t)), (8) y где T – температура; t – время; – плотность; с – коэффициент удельной теплоемкости; – коэффициент теплопроводности; – коэффициент теплообмена. Индексы "g", "e" и "s" относятся к характеристикам струи, окружающей среды и материала пластины соответственно.

3.2. Алгоритм численного решения (метод "расщепления по пространственным координатам") Для численного решения задачи (2) – (8) воспользуемся методом Писмена – Рекфорда (метод расщепления по пространственным координатам) [2, 3]. Для аппроксимации дифференциального уравнения (2) разностным методом введем пространственно–временную сетку с координатами xi = i·hx;

yj = j·hy, tk = k·, где hx, hy – шаги по пространству, – шаг по времени; i 0, Nx, j 0, Ny и k 0, K. Таким образом, вся расчетная область покрывается сеткой (рис. 2) [2].

y N,N 0,Ny x y i,j+i,j i–1,j i+1,j i,j–x 0,0 Nx,Рис. 2. Разностная сетка области решения k Введем следующее обозначение: T (xi, y,tk ) Ti, j. Дисj кретизацию уравнения (2) будем проводить на основе локально-одномерной схемы А.А. Самарского, которая является абсолютно устойчивой и обладает свойством суммарной аппроксимации. Суть этого подхода состоит в том, что шаг по времени реализуется в два этапа – на промежуточном (полушаге /2) временном шаге проводим дискретизацию двумерного уравнения (2) только в направлении оси х и получаем одномерное уравнение, после его решения проводим вновь дискретизацию уравнения (2), но уже в направлении оси у и, решая полученное одномерное уравнение, определяем поле температуры на целом шаге по времени. Представим (2) в разностном виде, используя неявную схему на каждом полушаге по времени [3]:

k1/ k k k1/ k Ti, j 2 Ti, j Ti1,1/ 2 2Ti, j 2 Ti1,1/ 2, j c j (9) / 2 hx k1 k1/ k1 k1 k Ti, j Ti, j 2 Ti, j1 2Ti, j Ti, j1.

c (10) / 2 hy Аппроксимация граничных условий (3) – (8):

k k Ti1, j Ti, j i 0,0 j N : 0, (11) y hx Ti,p Ti,p j j0 i Nxl, j N : g (Tg Ti,p ), (12) y j g hy k k Ti, j Ti, jk Nxl i Nx, j N : e (Te Ti, j ), (13) y g hy k k Ti, j Ti1, j k i Nx, 0 j N : e (Te Ti, j ), (14) y hx k k Ti, j1 Ti, j k 0 i Nx, j 0 : e (Te Ti, j ). (15) hy Разностные уравнения (9), (10) сводятся к стандартному трехдиагональному виду и решаются последовательно методом прогонки [4]. Сначала для всей области решается уравнение (9), после того, как его решение будет найдено, переходят к решению уравнения (10).

3.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом прогонки Рассмотрим решение уравнения (9) методом прогонки.

Приведем это уравнение к виду [4]:

k aiTi, j1/ 2 biTik 1/ 2 ciTi k 1/ 2 di. (16) 1, j 1, j Преобразуем уравнение (9):

k1/ k1/ k k k Ti, j 2 2Ti, j 2 Ti1,1/ 2 Ti1,1/ 2 Ti, j j j c c, 2 2 /2 hx hx hx / c 2 c k1/ 2 k1/ 2 k1/ 2 k затем Ti, j.

2 2 / 2 hx Ti, j hx Ti1, j hx Ti1, j / Тогда 2c k c ai 2 ci 2 di Ti, j. (17) hx, bi hx и Для границ (АВ) и (СD) (см. рис. 2) для точек 0 и Nx мы должны записать выражение (16) в виде:

k a0T0k 1/ 2 b0T1, j1/ 2 d0, (18), j k k 1/ aNTN,1/ 2 cNTN 1, j2 dN. (19) j Так как граничные точки имеют только по одной соседней точке, то выражения (18) и (19) могут рассматриваться в виде (16), если положить c0 = 0 для (18) и bN = 0 для (19).

Для реализации граничных условий (11) и (14) на соответствующих границах мы должны положить коэффициенты a0, b0, d0, aN, cN, dN, входящие в (18), (19), следующие:

ehx ehx a0 1, b0 1, d0 0, aN 1, cN 1, dN Te. (20) Алгоритм прогонки начинается с записи уравнения (18) в виде:

k T0k 1/ 2 P0T1, j1/ 2 Q0, (21), j где P0 b0 / a0 и Q0 d0 / a0. (22) Соотношение (21) подставляется в (16) для i = 0. В реk1/ зультате получается, что выражается через. ПроT0k1/ 2 T1, j, j должая процесс последовательной подстановки (или прямой k1/ k прогонки), можно выразить через :

Ti, j 2 Ti1,1/ j k Ti, j1/ 2 PiTik 1/ 2 Qi, (23) 1, j где Pi и Qi – новые коэффициенты, появившиеся в процессе подстановки.

Представим, что мы находимся на стадии процесса подk становок, когда только что выразили Ti1,1/ 2 в виде j k Ti k 1/ 2 Pi1Ti, j1/ 2 Qi1. (24) 1, j Если подставить (24) в (16), то получается выражение k k aiTi, j1/ 2 biTi k 1/ 2 ciPi1Ti, j1/ 2 QiTik 1/ 2 di, (25) 1, j 1, j которое может быть переписано в форме (23). Таким образом, можно получить формулы для Pi и Qi:

bi Pi, (26) ai ciPi di ciQiQi. (26а) ai ciPiЗаметим, что знаменатели в выражениях (26) и (26а) одинаковые.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.