WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНАЯ АКАДЕМИЯ ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ М.Н. Юдин Ю.А. Фарков Д.М. Филатов Введение в вейвлет-анализ Учебно-практическое пособие для системы дистанционного образования Утверждено редакционным советом центра дистанционного образования МОСКВА 2001 Введение в вейвлет-анализ: Учеб.-практическое пособие.

М.Н.Юдин, Ю.А.Фарков, Д.М.Филатов. Моск. геологоразв.

акад. М.,2001. 72 с.

Учебно-практическое пособие предназначено для студентов, обучающихся в системе дистанционного образования по специальностям: "Прикладная математика" и "Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых" (08.07, 09.01, 09.02, 09.05). Объем и содержание пособия соответствуют учебной программе по дисциплине "Численные методы" специальности ПМ и программе спецкурса “Применение интегральных преобразований в геофизике” специальности РФ.

Профиль геологоразведочной академии обусловил изложение материала и выбор первоисточников. За основу были взяты тезисы диссертации E.V. Hoekstra “Multiscale Analysis of seismic data by the wavelet transform”, которые были дополнены материалами из других опубликованных книг и статей. В частности, описание алгоритмов быстрого дискретного вейвлет-преобразования на основе всплесков Добеши заимствовано из библиотеки Numerical Recipes.

Отметим, что обширную информацию по всплескам можно получить в сети Internet, например, по адресам:

http://www.mathsoft.com/wavelets.html http://www-stat.stanford.edu/~wavelab ©Московская геологоразведочная академия, 2001 2 Оглавление Глава 1. Общие сведения ……………………..…………….… 1 1.1. Обозначения, основные формулы и определения …………... 2 1.2. Краткая историческая справка по вейвлет-анализу ………... 7 Глава 2. Преобразование сигналов ……………..………………... 9 2.1. Теорема отсчетов Котельникова-Шеннона.……..………... 11 2.2. Непрерывное преобразование Фурье..…………..…...…... 2.3. Оконное преобразование Фурье …….…………..………... 2.4. Преобразование Габора ………………………..………... Глава 3. Wavelet-анализ ……………..…………………... 3.1. Непрерывное wavelet-преобразование (CWT) …..………... 3.2. Дискретное wavelet-преобразование (DWT) ……………... 3.3. Кратно разрешающий анализ …………………..………... Глава 4. Численные алгоритмы дискретного wavelet- преобразования ………...……….………….……………..……….. 4.1. Всплески Добеши (Daubechies). Коэффициенты фильтра.... 4.2. Алгоритм дискретного wavelet-преобразования …………... 4.3. Как выглядят всплески ………………………..………... 4.4. Wavelet-фильтры в Фурье-области ……………..………... 4.5. Сплайновые всплески ………………………….………... 4.6. Иллюстрация кратно разрешающего анализа ……………... Глава 5. О двумерных вейвлетах ……….………….…..………... 5.1. Тензорное произведение …………….……..…..………... 5.2. Гексагональная решетка ………………………..………... 5.3. Варианты числа вейвлетов ……………………....………... Глава 6. Некоторые приложения вейвлет-анализа.………..……. 6.1. Решение систем линейных уравнений ………..………... 6.2. Анализ операторов …………………………..………... 6.3. Решение задач математической физики ………..………... 6.4. Нахождение точек перегиба с помощью всплесков ….…... 6.5. Сжатие изображений …………………………..………... Заключение ……………………………………………..………... Литература ……………………………………………..………... Глава 1. Общие сведения Появление вейвлет-анализа является одним из важных событий, которые произошли в математике за последние полтора десятилетия. После возникновения сплайнов не было другой математической концепции, которая бы так стремительно проникла в естественные науки, многие области техники, экономику и финансы. Ученые и инженеры неожиданно получили возможность без особых усилий взглянуть на предмет своих исследований совершенно по-новому.

Вейвлет-анализ вызвал огромный интерес как в теоретической, так и прикладной областях математики. Количество исследователей уже сейчас велико, но число их продолжает расти.

Среди областей, где эта теория находит применение, можно назвать сейсмику, анализ речи, обработку изображений, изучение мультифрактальных объектов, проектирование квадратурных зеркальных фильтров, численные методы решения уравнений математической физики, конструктивную квантовую теорию поля и др.

Полученные к настоящему времени результаты легли в основу пакетов программ (MatLab, MathCAD, CorelDraw), которые позволяют использовать всплески для решения различных прикладных задач. Обширную информацию по всплескам можно получить в сети Internet.

Английский термин “wavelet” (фр. “ondelette”) дословно означает “маленькая волна. Автор термина “wavelet” – Жан Морле.

Свой знаменитый “вейвлет Морле” он придумал и применил в связи с задачами сейсморазведки.

Рис 1.1. Примеры вейвлетов: вещественный всплеск “сомбреро” (вверху), действительная и мнимая части вейвлета Морле (внизу) Термин “всплеск” как эквивалент английского “wavelet” предложил использовать в 1991 году К. И. Осколков.

Известно, что многие сигналы являются суммами гармоник (синусоид) разной частоты. Но носители синусоид бесконечны, поэтому эти функции не отслеживают изменения сигнала во времени. Чтобы уловить эти изменения, вместо бесконечных волн можно взять короткие “всплески” – совершенно одинаковые, но разнесенные по времени. Оказывается этого недостаточно и надо добавить еще их всевозможные растянутые и сжатые копии (рис 1.2).

Рис. 1.2. Две копии (x) и (x/2) одного всплеска.

Вот теперь сигнал можно разложить на сумму всплесков разного размера и местоположения. Это и есть вейвлет-анализ.

Вейвлет-преобразование работает быстрее, чем преобразование Фурье. Для него несравненно проще написать программу. Известно, что в то время как число операций для быстрого преобразования Фурье оценивается как О(nlog(n)), всплесковые алгоритмы в ряде случаев дают О(n) операций.



1.1. Обозначения, основные формулы и определения Определим систему обозначений и символов, которые далее будут использоваться:

• ОНБ – ортонормированный базис;

• КРА – кратно-разрешающий анализ (multiresolution analysis);

• N – множество, состоящее из всех положительных целых чисел;

• Z – множество всех целых чисел;

• R – множество всех вещественных чисел;

• R* = R\{0}- множество ненулевых вещественных чисел, • C – множество всех комплексных чисел;

• (a, b) – открытый интервал в R, [a, b] – замкнутый интервал (отрезок) в R;

• C k(Х) – пространство функций, которые являются k раз непрерывно дифференцируемыми в Х, kN, • C(Х) – пространство функций, дифференцируемых бесконечное число раз;

• l2 – пространство векторов a = (a ),a C,k Z, для k k которых a = ak |2 < | l L2(R) – пространство измеримых функций, интегрируемых с квадратом на множестве R.

Для функций из L2(R) определим скалярное произведение и норму.

1. Скалярное произведение двух комплекснозначных функций определяется соотношением f (t), g(t) := f (t)g(t)dt, (1.1) где черта над функцией g обозначает комплексное сопряжение.

2. Норма (или энергия) функции f 2 f := f, f = f (t) dt (1.2) • Свертка функций f(t) и g(t) определяется так:

( f * g)(t) := f ( )g(t - )d = g( ) f (t - )d - (1.3) • Преобразование Фурье определяется как отображение F : L2 (R) L2 (R), переводящее произвольную функцию f L (R) в функцию ) f () := F( f )() = f (t),eit = f (t)e-itdt. (1.5) Обратное преобразование Фурье есть отображение -F : L2 (R) L2 (R), действующее по формуле:

) ) ) 1 -f (t) := F ( f )(t) = f (),e-it = f ()eitd.

2 (1.6) • Для любых двух функций f, gL2(R) имеет место равенство Парсеваля:

) ) 1 ) ) (1.7) f, g = f, g, f (t)g(t)dt = f ()g()dt 2 - При f = g из (1.7) получается равенство Планшереля:

) ) ) или f (t) dt = f () d (1.8) f, f = f, f 2 - • Преобразование Фурье свертки функций f(t) и g(t) равно произведению их Фурье-образов:

) ) F( f * g)(t) = f ()g() (1.9) • Носителем функции f называется замыкание множества всех точек, в которых f 0; носитель f обозначается supp f. Под компактным множеством понимается замкнутое ограниченное множество в конечномерном пространстве Rn (n N). Если supp f – компактное множество, то функция f называется финитной.

• Конечная и бесконечная система функций {fк} из L2(R) называется ортогональной, если fm, fn = fm (t) fn (t)dt = 0, m n (1.10) • Ортогональная система функций называется полной, если в L2(R) не существует функции, отличной от нулевой и ортогональной всем элементам системы. Ортогональная система функций называется ортонормированной, если ||fk|| = для всех k. Полная ортонормированная система функций называется ортонормированным базисом пространства L2(R).

• Числа k= называются коэффициентами Фурье функции f(t) относительно ортонормированной системы функций {fk}:

k = f, fk = f (t) fk (t)dt (1.11) Если функция fL2(R) представима в форме f (t) = fk (t), k k то это представление единственно и коэффициенты k равны коэффициентам Фурье k функции f(t). Формула f (t) = fk (t) (1.12) k k называется разложением Фурье (или ортогональным разложением) функции f(t) по системе функций {fk}. Каждая функция fk порождает подпространство Lk, состоящее из функций вида {fk}, R. Выражение PrL f (t) = k fk (t)совпадает с проекцией функции f(t) на k подпространство Lk ;

• Система {fn} является базисом Рисса, если любой элемент fL2(R) может быть единственным образом представлен в виде f = c fn и существуют положительные константы А и В n nZ такие, что 2 A f cn B f.

nZ • Формула суммирования Пуассона может быть записана в следующих двух формах:

) f (x - l) = f (2k )ei 2kx (1.13) lZ kZ и ) ) f, g(x - l) e-il = f ( + 2k )g( + 2k ) lZ kZ (1.14) • Пусть х=(хк), у=(ук), h=(hк) векторы из l2.

Вектор y называется сверткой векторов х и h если yn :=, n Z (1.15) x hk -n k kZ • Если компоненты hк вектора hl2 формально интерпретировать как коэффициенты ряда Фурье в комплексной форме, тогда 2- периодическую функцию H () H () := (1.16) h e-ik k kZ принято называть дискретным преобразованием Фурье сигнала (hк). Причем, очевидно, 1 -ik ik h = H,e = H ()e d (1.17) k 2 • Формальную сумму H (z) := (1.18) h z-k k kZ называют z-преобразованием сигнала.

1.2. Краткая историческая справка по вейвлет-анализу* Математическая система аксиом, скрытая за конструкцией вейвлет-анализа, называется в настоящее время кратноразрешающим (или кратно-масштабным) анализом (multiresolution analysis).

Первые всплески были построены Хааром в 1909 (рис. 1.3).

Упомянем некоторые достижения в Рис. 1.3. Вейвлет Хаара теории сигналов, которые вплотную подошли к конструкции всплесков.

Точное восстановление функций с ограниченным по ширине Фурье-спектром по значениям функции при дискретных значениях аргумента дает теорема Котельникова-Шеннона. Связанный с этой теорией всплеск получил название вейвлет Шеннона.

В 1946 году Д. Габор предложил обобщение метода Фурье, промежуточное между стандартным Фурье-преобразованием и вейвлет-анализом.

Математическая конструкция кратно разрешающего анализа (КРА) синтезирует в себе две идеи обработки сигналов. Первая идея – разложение сигнала по поддиапазонам (subband decomposition) при помощи квадратурных зеркальных фильтров (quadrature mirror filters) – появилась в задаче сжатия речи. Вторая идея – пирамидальное представление (руramidal representation) – возникла при решении задачи сжатия изображений. Обе идеи связаны с обработкой сигналов фильтрами специального вида. В первом случае теория строилась в терминах Фурье-преобразования сигнала, во втором – в терминах исходного сигнала.





В формулировке самих аксиом кратно разрешающего анализа принципиально важную роль сыграли наблюдения С. Малла о связи всплесков с квадратурными зеркальными фильтрами, разрабатывавшимися для цифровых телефонов (около 1983 года), и пирамидальными схемами, использовавшимися для обработки сигналов и изображений (примерно в это же время).

Лавинообразный рост интереса в значительной степени инициирован публикациями статей (около 1984 года), написанных Ж. Морле и А. Гроссманом, по приложению непрерывного КРА к * См. также журнал "Компьютерра", №8, 1998.

проблемам геофизики. Летом 1985 года И. Мейер обнаружил бесконечно дифференцируемую систему всплесков, дающую ортонормированные базисы многих функциональных пространств.

Хотя аналогичный базис был построен Я. Стрембергом еще в году, именно открытие Мейера дало толчок серьезному пересмотру всех математических вопросов в этой области.

В явном виде кратно разрешающий анализ, лежащий в основе дискретного вейвлет-преобразования, был сформулирован осенью 1986 года С. Малла и И. Мейером.

С помощью КРА в 1987 году И. Добеши (I. Daubechies) построила бесконечную серию всплесков, обладающих основным свойством системы Хаара – ортогональностью и компактным носителем.

Работы В. Л. Рвачева и В. А. Рвачева 1971-1973 годов имеют прямое отношение к всплескам. А именно, этими учеными был выписан широкий класс дифференциально-функциональных уравнений, обладающих решениями с компактным носителем. В качестве частного предельного случая в него входило и уравнение, определяющее всплески Добеши, которое, однако, детально не изучалось, и, соответственно, кратно разрешающий анализ не был сформулирован.

Первые статьи российских авторов по теории всплесков вышли в 1992 году. В СНГ состоялось несколько международных конференций (Москва, 1995; Днепропетровск, 1996; Дубна, 1998;

С.-Петербург, 1999, Екатеринбург, 2000 и др.), на которых в ряду других проблем теории приближений обсуждались различные аспекты теории вейвлет-анализа.

Глава 2. Преобразование сигналов При анализе и интерпретации сейсмических трасс, каротажных диаграмм или другой геофизической информации извлечение особенностей сигналов имеет первостепенное значение.

Часто важные особенности анализируемого сигнала типа пиков, ограниченных по ширине колебаний характеризуются локальной информацией или в области времени, или в частотной области, или в них обеих. Например, когда мы рассматриваем запись колебаний после взрыва, гиперболическая форма сигнала видна, но часто возмущена низкоскоростной поверхностной волной. Она имеет высокую амплитуду и, следовательно, затемняет особенности, представляющие интерес. При преобразовании пространственновременных данных в частотную область поверхностная волна и полезная информация занимают различные области. Если и особенности и поверхностная волна могут отделяться друг от друга в частотной области, то можно применить частотную фильтрацию для удаления поверхностной волны из записи в обеих областях. Но если другие интересные особенности в сигнале имеют близкие по частоте компоненты, то частотная фильтрация не эффективна.

В следующих разделах мы опишем несколько преобразований сигналов, каждое из которых позволяет по-своему взглянуть на изучаемые данные. Помимо достоинств этих преобразований будет акцентироваться внимание и на их слабые стороны.

Анализирующие функции. Как правило, сигнал f(t) содержит полезную информацию, которая осложнена помехами (шумом).

Примем, что аргументом функции (сигнала) f(t) является время t.

Хорошо, когда полезная информация и шум отделяются во временной области. К сожалению, обычно дело обстоит не так. В этом случае сигнал можно спроектировать (отобразить) в другую область. В этой области – области изображений – стремятся отделить интересующую особенность от “шума”. Для такого отображения чаще используют интегральные преобразования вида b ~(s) =< f (t), K(s,t) >= f (t)K(s,t)dt.

f a (2.1) Здесь K(s,t)-ядро интегрального преобразования, а пределы интегрирования могут принимать любые вещественные значения.

Соотношение (2.1) можно рассматривать как функцию взаимной корреляции между сигналом и ядром при различных значениях параметра s.

Соотношение (2.1) является интегральным уравнением (первого рода) относительно функции f(t) (оригинала), поэтому важно выбрать функцию K(s,t) такой, чтобы существовал устойчивый алгоритм ее реконструкции. Кроме того, желательно, чтобы в области изображений o подчеркивались полезная информация, o “шум” подавлялся или отделялся от полезной информации.

Для того, чтобы подчеркнуть роль ядра в (2.1), его иногда называют анализирующей функцией интегрального преобразования и используют несколько иное обозначение (t) := K(s,t) s и, следовательно, (2.1) примет вид:

~(s) = f (t), (t) (2.1) f s В качестве анализирующих функций будем использовать также некоторый функциональный базис { (t)},n Z.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.