WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Министерство образования Российской Федерации “МАТИ” Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых заданий Составители Выск Н Д Титаренко В И Москва Предлагаемые методические указания ставят своей целью помочь студентам второго курса усвоить теоретический и практический материалы по теме “Ряды” В каждом разделе после теоретической части разбираются типовые задачи В методических указаниях охвачены следующие темы числовые ряды знакопостоянные и знакопеременные функциональные и степенные ряды разложение функций в ряды Тейлора Для закрепления материала студентам предлагается выполнить курсовую работу по перечисленным выше темам Настоящие методические указания могут использоваться на всех факультетах и специальностях ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Знакоположительные ряды Числовой ряд = + + + называется сходящимся если его = частичная сумма = + + + имеет предел при при этом = называется суммой ряда а = = + + + + + + называется остатком ряда = Необходимым признаком сходимости ряда является условие однако это условие не является достаточным Для того чтобы выяснить сходится ли числовой ряд или расходится необходимо воспользоваться достаточными признаками сходимости а именно Признак сравнения = Если начиная с некоторого и ряд сходится то ряд также сходится а если ряд = + + + = расходится то расходится и ряд В качестве рядов для сравнения удобно рассматривать < и а геометрическую прогрессию сходящуюся при = расходящуюся при б гармонический ряд который расходится = в ряд Дирихле сходящийся при > и расходящийся при = что доказывается с помощью интегрального признака Коши Если существует конечный и отличный от нуля предел в частности то ряды и сходятся и расходятся одновременно Пример Исследовать на сходимость ряд + = Так как данный й член ряда имеет вид где бесконечно малая величина при и известно что + то этот ряд сравниваем с рядом представляющим собой бесконечно убывающую геометрическую = прогрессию со знаменателем которая сходится следовательно и исходный ряд сходится Пример Исследовать ряд + + = = й член данного ряда = т е при + + ведет себя как гармонический следовательно ряд также расходится Часто прежде чем использовать какой либо из достаточных признаков сходимости ряда необходимо использовать понятие эквивалентных бесконечно малых величин при и обязательно проверить необходимые условия сходимости исследуемого ряда Признак Даламбера Пусть > начиная с некоторого и существует предел + = то ряд сходится при и расходится при Если то вопрос о сходимости ряда остается открытым Пример = Найдем + + + = = = = = + + + следовательно исследуемый ряд сходится - Пример Исследовать ряд + + + + + + - + + Найдем = = = = < + - - следовательно ряд сходится Признак Коши радикальный Пусть начиная с некоторого и существует предел = Тогда ряд сходится если и расходится если а при вопрос о сходимости ряда остается открытым - Пример + = - - = = < Найдем следовательно ряд + + расходится Интегральный признак Коши Если = где функция положительна монотонно убывает и непрерывна при то ряд и интеграл сходятся и расходятся одновременно Пример Исследовать ряд на сходимость = = + = + = тогда = и + Исследуем несобственный интеграл на сходимость = = = - + = + + т е этот несобственный интеграл сходится следовательно и исходный ряд также сходится В качестве характерных ошибок следует отметить что иногда сразу пытаются пользоваться каким либо из достаточных признаков сходимости ряда не проверив необходимого признака сходимости например при исследовании на сходимость ряда - Пример + = При исследовании этого ряда пытаются сразу применить радикальный признак Коши не проверив выполняется ли необходимый признак сходимости Исследуем ряд на сходимость - + - + - = + = = + + - Таким образом не выполнен необходимый признак сходства ряда следовательно все другие исследования лишены смысла ряд расходится Знакопеременные ряды При исследовании на сходимость знакопеременных рядов необходимо их исследовать на абсолютную и условную сходимость абсолютная сходимость когда сходится знакоположительный ряд составленный из модулей членов знакопеременного ряда условная сходимость когда ряд из модулей является расходящимся а знакопеременный ряд при этом сходится Проверка абсолютной сходимости проводится с использованием признаков сходимости знакопостоянных рядов Для доказательства условной сходимости можно применить признак Лейбница если для знакопеременного ряда выполнены следующие условия = - ряд знакочередующийся т е = + > то ряд сходится по крайней мере условно Пример Исследовать на сходимость ряд + - + - + + - + Проверим вначале обладает ли ряд абсолютной сходимостью Ряд из имеет вид т е является = расходящимся рядом гармонический ряд Таким образом абсолютной сходимости нет Применим признак Лейбница Ряд является знакочередующимся + = - -> < + Следовательно рассматриваемый ряд сходится условно ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Для функциональных рядов вида можно найти область = сходимости т е множество значений х при подстановке каждого из которых в полученный числовой ряд будет сходящимся Для определения области сходимости можно воспользоваться признаком + Даламбера т е найти В таком случае значения х принадлежащие области сходимости являются решениями неравенства Так как при признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости числового ряда решения уравнения нужно рассматривать отдельно Пример Найти область сходимости функционального ряда = + = = < является интервал Решением неравенства Исследуем сходимость ряда на границах при х и при х - = - расходится так как не выполнено Если х то ряд = = необходимое условие сходимости Тот же результат получим при х Следовательно областью сходимости ряда является интервал СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Частный случай функциональных рядов представляют степенные ряды - где = вида Область сходимости такого ряда = представляет собой интервал - + возможно включающий границы Величина называется радиусом сходимости степенного ряда и определяется по формуле Даламбера = или по формуле + = Коши Адамара Пример - Найти область сходимости степенного ряда = = = Используем формулу Коши Адамара - + Область сходимости имеет вид или = Проверим сходимость ряда на границах области при числовой ряд - = - расходится т к не выполнено необходимое условие = = = сходимости Аналогичный результат получим при Следовательно областью сходимости данного ряда является интервал РЯДЫ ТЕЙЛОРА При разложении функции в ряд Тейлора нужно найти коэффициенты - = степенного ряда имеющие вид = В ряде случаев можно использовать известные разложения функций = + + в окрестности = = Пример Разложить в ряд Тейлора при функцию - + - - - = - + - + - + + = - - = Разложение в степенной ряд допускает почленное интегрирование и дифференцирование = Пример Разложить в ряд Тейлора в окрестности функцию = = = + - Разложим в ряд производную данной функции + воспользовавшись табличным разложением для функции - - - - = - + + = = = Проинтегрировав общий член полученного ряда и учитывая что + - = получим искомое разложение + = Задания для курсовой работы включают по задач В требуется исследовать на сходимость знакопостоянные числовые ряды в – знакопеременные ряды в найти сходимость функционального ряда в и – разложить функцию в ряд Тейлора при и в - где значение разложить функцию в ряд Тейлора по степеням задается для каждого варианта ВАРИАНТЫ КУРСОВЫХ ЗАДАНИЙ Вариант № ‡ ‡” по степ Вариант № по степ Вариант № по степ Вариант № по степеням Вариант № по степ Вариант № по степ Вариант № по степ Вариант № по степеням Вариант № по степеням Вариант № по степеням Вариант № по степеням Вариант № по степеням Вариант № по степ Вариант № по степеням Вариант № по степеням Вариант № по степеням Вариант № по степ Вариант № по степеням Вариант № по степ Вариант № по степеням Вариант № по степеням Вариант № по степеням Вариант № по степеням Вариант № по степеням Вариант № по степ Вариант № по степеням Вариант № по степеням Вариант № по степ Вариант № по степеням Вариант № по степеням










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.