WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты курсовых заданий Составители Выск Н Д Титаренко В И Москва Наталия Дмитриевна Выск Вера Ивановна Титаренко НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты курсовых заданий Редактор Подписано в печать Объем п л Тираж экз Заказ № Издательско типографский центр «МАТИ» Российского государственного технологического университета им К Э Циолковского Берниковская наб ОГЛАВЛЕНИЕ Неопределенный интеграл Замена переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегрирование рациональных дробей Интегрирование иррациональных выражений Интегрирование тригонометрических функций Определенный интеграл Формула Ньютона Лейбница Несобственные интегралы Геометрические приложения определенного интеграла Варианты курсовых работ Пособие предназначено для студентов первого курса изучающих в рамках общего курса высшей математики тему «Интеграл» Рассмотрены основные приемы интегрирования методы вычисления определенных интегралов и их геометрические приложения В каждом разделе приводится решение типовых задач Для закрепления материала студентам предлагается выполнить курсовую работу по перечисленным выше темам Настоящее пособие может использоваться на всех факультетах и специальностях НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Функция называется первообразной функции заданной на некотором множестве Х если = для всех хХ Совокупность всех первообразных данной функции называется ее неопределенным интегралом = + где С – произвольная постоянная Для отыскания неопределенного интеграла используют таблицы основных интегралов свойства интеграла в частности линейность тождественные преобразования так называемое непосредственное интегрирование а также применяют различные специальные приемы позволяющие привести исходные интегралы к табличным Замена переменной в неопределенном интеграле Формулу замены переменной = = где х причем должна существовать обратная функция Пример + Применим подстановки и воспользуемся формулой замены переменной = = + + + = + + + + + Пример + = Сделаем замену переменной Тогда + = = = + = Следовательно + + + = + + Интегрирование по частям Формулу интегрирования по частям = - полезно применять в случае когда подынтегральное выражение представляет собой произведение двух функций одна из которых является многочленом или если подынтегральная функция не имеет табличной первообразной логарифм обратные тригонометрические функции и т п Пример = = Полагаем Тогда Используя формулу интегрирования по частям находим = - + = - Кроме того интегрирование по частям применяется для получения уравнений из которых можно найти искомую первообразную Такие возможности возникают когда подынтегральное выражение содержит произведение множителей вида или и и в некоторых других случаях = = = - = Пример = - = - = - + = = - - = - - = - + Тогда – или Интегрирование рациональных дробей Если рациональная дробь является неправильной то есть т п то ее можно представить в виде суммы = + где Мт п и – многочлены степеней - т п и причем Разложение правильной дроби в сумму простейших имеет вид + + + + + + + + + - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + При этом каждая из простейших дробей стоящих в правой части равенства интегрируется в квадратурах Таким образом для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо в случае если она является неправильной выделить целую часть затем разложить знаменатель оставшейся правильной дроби на множители степени не выше второй и представить эту дробь в виде суммы простейших дробей вычислив коэффициенты их числителей с помощью метода неопределенных коэффициентов + + Пример - + Подынтегральной функцией является правильная дробь разложение которой в сумму простейших имеет вид + + + + = + + - + - + + Приводя правую часть к общему знаменателю получаем + + = + + + + - + + - Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х что приведет к линейной системе относительно – – – – Отсюда Следовательно + + + + = - - - + + + где = - + - + = + = + + + + + + + = + = - + + + + + + + + Таким образом окончательный результат + имеет вид + + - = - + + + + + - + + Интегрирование иррациональных выражений После соответствующей замены переменных многие иррациональные функции можно свести либо к рациональным дробям либо к тригонометрическим выражениям интегрирование которых будет рассмотрено ниже Для дробно линейных иррациональностей удобной заменой является выбор в качестве новой переменной подкоренного выражения в степени где р – наименьший общий знаменатель дробных степеней в р подынтегральном выражении Пример + - + Сделаем замену переменной Тогда Подставим полученные результаты в подынтегральное выражение - + = = = - = - - + - + = + - + = + + + - + При интегрировании квадратичных иррациональностей привести подынтегральное выражение к рациональному виду помогают тригонометрические замены если в подынтегральную функцию входит - + для = если подынтегральная функция содержит - Пример + + Выделив полный квадрат в квадратном трехчлене получим = где Теперь сделаем замену + + + = = + = переменной Подынтегральное выражение при этом примет вид = = = + = + + + = + = + + + + Иногда от квадратичных иррациональностей можно избавиться с помощью замен другого типа Пример + + + = = Сделаем так называемую обратную подстановку = = = Тогда + + - + - + - = - = - - + - + + = - + - + + = - + + Интегрирование тригонометрических функций В зависимости от вида подынтегральной функции можно применять для упрощения тригонометрического выражения различные способы = Для интегралов вида а если хотя бы одно из чисел т п – нечетное например то = - = - - Пример = - = - + б если т и п – четные положительные то степени понижаются сведением к двойному углу по формулам = - = + Пример = = + = = + = - = + = - + + в Если т п – четные и хотя бы одно из них отрицательно или если т и п – отрицательные числа одинаковой четности то используем = = - соотношения = = + = + + Пример = = = Пример + - + + = = + Интегралы вида приводятся к табличным с помощью формул = ( + + - ) = - - + = + + - Пример = - = - + + Интегралы вида где – рациональная функция приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной = в общем случае с помощью подстановки откуда - = = = В случае четности по и + + + используем подстановку = = = = откуда + + + Пример + = + + = + = + + = + + - + + + + = При вычислении интеграла применена подстановка Пример = = = + = + + + + + + Здесь использовалась замена ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Формула Ньютона Лейбница Для вычисления определенных интегралов от непрерывных функций с конечными пределами необходимо пользуясь известными методами интегрирования получить первообразную от интегрируемой функции и применяя формулу Ньютона Лейбница = = - найти разность значений первообразной при подстановке вместо переменной верхнего и нижнего пределов интегрирования Пример Вычислить интеграл - Воспользуемся формулой замены переменной в определенном интеграле = = и применим подстановку т е Определим новый промежуток интегрирования х при х при Следовательно = = = + + = + - - - - Несобственные интегралы Для вычисления несобственных интегралов необходимо применить предельный переход то есть изменить пределы интегрирования так чтобы они стали конечными для несобственных интегралов го рода и подынтегральная функция сохраняла непрерывность внутри и на концах нового промежутка интегрирования для несобственных интегралов го рода Затем вычислив значение интеграла в измененных пределах по формуле Ньютона Лейбница нужно применить предельный переход для возвращения к пределам интегрирования заданным в условии задачи Пример Найти несобственный интеграл - Рассматривается несобственный интеграл го рода так как подынтегральная функция терпит разрыв на правом конце промежутка интегрирования На основании определения - = если этот предел конечен Имеем - - = = = - - = - - = = + Пример Исследовать сходимость интеграла + Применим теорему сравнения по которой если при выполнено условие + + и если сходится то также сходится В нашем случае при х справедливо неравенство + + + = = - = - + = Так как Рассмотрим сходится то на основании теоремы сравнения несобственный интеграл + сходится + Геометрические приложения определенного интеграла Для определения площадей фигур ограниченных сверху и снизу заданными кривыми у х и у х прежде чем применять формулу для нахождения площади = - часто нужно бывает определить пределы интегрирования т е абсциссы точек пересечения кривых у х и у х Они находятся как решения уравнения у х у х Если корни этого уравнения в порядке возрастания х и х то х – нижний предел интегрирования а х – верхний предел К возможным геометрическим приложениям определенного интеграла относятся кроме того вычисление длины дуги кривой и объема тела вращения Пример Вычислить длину дуги кривой от точки с абсциссой = = до Длина дуги кривой заданной в декартовых координатах определяется по формуле + = = = = В нашем случае следовательно + = + = = = = = = Тогда + + - = + = = = = + - = - - - = + = + + Задания для курсовой работы включают по задач В № требуется найти неопределенные интегралы в № – вычислить определенный интеграл в № выполнить задания связанные с геометрическими приложениями определенного интеграла и в № – найти несобственный интеграл или исследовать его на сходимость ВАРИАНТЫ КУРСОВЫХ ЗАДАНИЙ Вариант № - - - - - + Вычислить интеграл Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями = = + = Найти длину дуги кривой от х до + - Вычислить Вариант № + - + + + + + Вычислить интеграл Найти площадь фигуры ограниченной кривой Найти объем тела образованного вращением вокруг оси Ох фигуры ограниченной линией – – Вычислить + Вариант № - + + + + - + Вычислить интеграл Найти площадь фигуры ограниченной линиями Найти длину дуги кривой – от х до х Вычислить несобственный интеграл Вариант № - + + + + + - + + + Вычислить интеграл = = = Найти площадь фигуры ограниченной линиями = = Найти длину дуги кривой от до Вычислить несобственный интеграл - - Вариант № - + + + - + Вычислить интеграл - = = Найти площадь фигуры ограниченной линиями при х + = Найти длину дуги кривой от х а до - + Вычислить несобственный интеграл - + Вариант № - + + - + - Вычислить Найти площадь фигуры ограниченной линиями + = = - Найти длину кривой отсекаемой прямой х Вычислить несобственный интеграл Вариант № + + + + + + + Вычислить интеграл - Найти площадь фигуры ограниченной линиями = = - Найти длину дуги кривой между точками пересечения с осью Ох Вычислить несобственный интеграл - - Вариант № - + + + + + Вычислить - = = Найти длину дуги кривой от до Найти площадь фигуры ограниченной линиями Вычислить несобственный интеграл + Вариант № - + - + + + Вычислить Найти площадь фигуры ограниченной линиями Найти объем тела полученного вращением вокруг оси Ох фигуры ограниченной линиями + - Вычислить несобственный интеграл Вариант № + + - + + + + Вычислить интеграл + Найти площадь фигуры ограниченной линиями – Вычислить объем тела образованного вращением вокруг оси Ох фигуры ограниченной линиями + Вычислить несобственный интеграл Вариант № - + - + Вычислить - = = Найти площадь фигуры ограниченной линиями + Найти длину первого витка архимедовой спирали + - Вычислить несобственный интеграл Вариант № + + + + Вычислить Найти площадь фигуры ограниченной линиями = Найти длину линии Вычислить несобственный интеграл Вариант № + - - + + + + + Вычислить = + = Найти площадь фигуры ограниченной линиями Найти объем тела образованного вращением вокруг оси Оу фигуры = = - ограниченной полуэллипсом и параболой Вычислить несобственный интеграл Вариант № - + + + - + + + + + + Вычислить Найти площадь фигуры ограниченной линиями – Найти длину кардиоиды а Вычислить несобственный интеграл - Вариант № - + - + - - + - Вычислить интеграл + + = Найти площадь фигуры ограниченной астроидой = = - Найти длину петли линии + Вычислить несобственный интеграл - Вариант № + + + + - + - Вычислить - - Найти площадь фигуры ограниченной линиями – Найти длину линии + Вычислить несобственный интеграл - Вариант № + - + + - + - Вычислить - - Найти площадь фигуры ограниченной одной аркой циклоиды – – и осью Ох Найти объем тела образованного вращением вокруг оси Ох фигуры ограниченной линиями – - Вычислить несобственный интеграл - Вариант № + - + + Вычислить - Найти площадь фигуры ограниченной петлей кривой Вычислить длину кривой – Вычислить несобственный интеграл - Вариант № + + - + + - + Вычислить + Найти площадь фигуры ограниченной линией Найти объем тела образованного вращением окружности – вокруг оси Ох Вычислить несобственный интеграл + Вариант № - + + - - + + - Вычислить Найти площадь фигуры ограниченной кривой с Найти объем тела образованного вращением вокруг оси Ох фигуры ограниченной линиями Вычислить несобственный интеграл + + Вариант № + - - + + + Вычислить Найти площадь фигуры ограниченной линиями = = - = Найти длину дуги кривой – от до Вычислить несобственный интеграл + Вариант № - + + + - + + + - Вычислить + + = + = Найти площадь общей части эллипсов Найти длину кардиоиды – с + Вычислить несобственный интеграл + Вариант № + - - - - + + Вычислить + Найти площадь фигуры ограниченной линиями Найти объем тела образованного вращением вокруг оси Ох фигуры ограниченной линиями Вычислить несобственный интеграл - Вариант № - - - + + + Вычислить - Найти площадь фигуры ограниченной кривыми – Найти длину полукубической параболы заключенной внутри окружности Вычислить несобственный интеграл + Вариант № + - - + + Вычислить + Найти площадь фигуры ограниченной астроидой Найти длину дуги третьего витка спирали Архимеда Вычислить несобственный интеграл - - Вариант № - - + - - Вычислить = = Найти площадь фигуры ограниченной линиями = Найти объем тела образованного вращением фигуры ограниченной линиями – вокруг оси Ох Исследовать на сходимость + Вариант № + + - - + Вычислить Найти площадь фигуры ограниченной окружностью и кардиоидой – Найти объем тела образованного вращением вокруг оси Оу фигуры = = = ограниченной линиями + Исследовать на сходимость - Вариант № - + + - - - Вычислить + Найти площадь фигуры ограниченной линиями – Найти длину астроиды Исследовать на сходимость Вариант № - + - - + - + Вычислить Найти площадь общей части фигур ограниченных кривыми – Найти объем тела образованного вращением вокруг оси Ох фигуры ограниченной линиями – Исследовать на сходимость + Вариант № + + + + Вычислить + Найти площадь фигуры ограниченной линией Найти длину полукубической параболы от х до х - Исследовать на сходимость










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.