WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
УДК 519.6(075) Ангарская государственная техническая академия Вычислительная математика. Часть первая: Учебное пособие для студентов дневного и заочного обучения технических и химико-технологических специальностей./ В.С.Асламова, А.Г.Колмогоров, Н.Н.Ступакова. Ангарская государственная техническая академия. – Ангарск: АГТА, 2003г. - 82 с.

ISBN 5-89864-030-4 В пособии рассматриваются основные положения численных методов, относящиеся к решению нелинейных уравнений, систем нелинейных и линейВычислительная математика ных алгебраических уравнений, интегрированию функций. Значительное внимание уделяется вопросам алгоритмизации методов.

Часть первая Пособие может быть использовано при выполнении лабораторных, курсовых и дипломных исследовательских работ, так как содержит подробные блок-схемы алгоритмов численных методов, с составлением которых у студентов чаще всего связаны основные трудности.

Рецензенты:

доктор физ.-мат. наук, старший научный сотрудник Института динамики систем и теории управления СО РАН М.В. Булатов кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры математики АГТА С.А.Чихачев © Ангарская государственная техническая академия, 2003 © Кафедра автоматизации технологических процессов и производств © В.С.Асламова, А.Г.Колмогоров, Н.Н.Сумарокова Ангарск 2003 г.

Содержание Введение Данное учебное пособие содержит основы численных методов решения для Введение........................................................................................................... 4 нелинейных уравнений, систем нелинейных и линейных уравнений, 1. Элементы общей теории приближенных методов............................... 5 1.1. Источники и виды погрешности...................................................................... 5 дифференциальных уравнений, методы аппроксимации функций, обращения Абсолютная и относительная погрешности...................................................... 6 матриц, вычисления определенных интегралов. Так же в него включена глава, в Погрешность функции......................................................................................... Устойчивость, корректность, сходимость......................................................... которой рассматриваются элементы общей теории приближенных методов.

1.2. Контрольные вопросы.................................................................................... Основное предназначение пособия – облегчить работу преподавателя и 2. Методы решения нелинейных уравнений и систем.......................... 2.1. Графический метод отделения корней.......................................................... повысить эффективность учебного процесса. Оно позволяет сформировать у 2.2. Метод половинного деления (метод бисекции, метод дихотомии)............ студентов основные сведения о численных методах, необходимых для 2.3. Метод простой итерации................................................................................ 2.3.1. Решение нелинейных уравнений............................................................ первоначального ознакомления с предметом, привить навыки алгоритмизации 2.3.2. Решение систем нелинейных уравнений методом итераций............... численных методов.

2.4. Метод Ньютона (метод касательных)........................................................... 2.4.1. Решение нелинейных уравнений............................................................ Пособие может быть использовано при выполнении лабораторных, курсовых 2.5. Метод хорд...................................................................................................... и дипломных исследовательских работ, так как содержит подробные блок-схемы, 2.6 Комбинированный метод секущих и хорд..................................................... 2.7. Контрольные вопросы.................................................................................... с составлением которых у студентов чаще всего связаны основные трудности.

3. Методы вычисления определенных интегралов............................... Каждая глава содержит теоретическое обоснование и блок-схемы 3.1. Методы прямоугольников............................................................................. 3.2. Метод трапеций. Вычисление значения интеграла с заданной точностью рассматриваемых методов и завершается контрольными вопросами по данной 3.3. Метод Симпсона............................................................................................ теме.

3.4. Метод Монте-Карло........................................................................................ 3.5. Использование сплайнов для численного интегрирования......................... 3.6. Погрешность численного интегрирования................................................... 3.7. Контрольные вопросы.................................................................................... 4. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.. 4.1. Метод Гаусса.................................................................................................. 4.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента................................................ 4.3. Метод Гаусса-Зейделя................................................................................... 4.4. Метод прогонки.............................................................................................. 4.5. Метод Гаусса-Жордана................................................................................... 4.6. Вычисление определителя по методу Гаусса............................................... 4.7. Метод итераций.............................................................................................. 4.9. Контрольные вопросы.................................................................................... Литература.................................................................................................... 3 повышению точности результатов, а лишь увеличит стоимость расчетов из-за 1. Элементы общей теории приближенных методов необоснованного увеличения объема вычислении.



1.1. Источники и виды погрешности При вычислениях с помощью ЭВМ неизбежны погрешности округлений, связанные с ограниченностью разрядной сетки машины. Обычно после На некоторых этапах решения задачи на ЭВМ могут возникать погрешности, выполнения операции производится не округление результата, а простое искажающие результаты вычислений. Оценка степени достоверности отбрасывание лишних разрядов с целью экономии машинного времени. Правда, получаемых результатов является важнейшим вопросом при организации в современных машинах предусмотрена свобода выбора программистом способа вычислительных работ. Это особенно важно при отсутствии опытных или других округления; соответствующими средствами располагают и некоторые данных для проверки адекватности модели.

алгоритмические языки.

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:

Максимальная относительная погрешность при округлении есть max=0.51-k, 1. Математическое описание задачи является неточным, в частности, где - основание системы счисления, k—количество разрядов мантиссы числа.

неточно заданы исходные данные.

При простом отбрасывании лишних разрядов эта погрешность увеличивается 2. Применяемый для решения метод часто не является точным: получение вдвое.

точного решения возникающей математической задачи требует В современных машинах с памятью, измеряемой в байтах, принята неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических шестнадцатеричная система счисления, и любое число с плавающей точкой операций, и, поэтому вместо получения точного решения задачи содержит шесть значащих цифр. Следовательно, =16, k = 6, максимальная приходится прибегать к приближенному.

погрешность округления max= 0.5*16-5 0.5*10-8.

3. При вводе данных в машину, при выполнении арифметических Несмотря на то что при решении больших задач выполняются миллиарды операций и при выводе данных производятся округления. Погрешности, операций, это вовсе не означает механического умножения погрешности при соответствующие этим причинам, называют:

одном округлении на число операций, так как при отдельных действиях 1) неустранимой погрешностью, погрешности могут компенсировать друг друга (например, при сложении чисел 2) погрешностью метода, разных знаков). Вместе с тем иногда погрешности округлений в сочетании с 3) вычислительной погрешностью.

плохо организованным алгоритмом могут сильно исказить результаты.

Часто неустранимую погрешность разделяют на две части:

Перевод чисел из одной системы счисления в другую также может быть a) неустранимой погрешностью называют лишь погрешность, источником погрешности из-за того, что основание одной системы счисления не являющуюся следствием неточности задания числовых данных, входящих в является степенью основания другой (например, 10 и 2). Это может привести к математическое описание задачи;

тому, что в новой системе счисления число становится иррациональным.

в) погрешность, являющуюся следствием несоответствия Например, число 0.1 при переводе в двоичную систему счисления примет вид математического описания задачи реальности, называют погрешностью 0.1=0.00011001100… Может оказаться, что с шагом 0.1 нужно при вычислениях математической модели.

пройти отрезок [0,1] от х=1 до х= 0; десять шагов не дадут точного значения х=0.

Математическая модель, принятая для описания данного процесса или явления, может внести существенные погрешности, если в ней не учтены какиеАбсолютная и относительная погрешности либо существенные черты рассматриваемой задачи. В частности, математическая модель может прекрасно работать в одних условиях и быть Если А – точное значение некоторой величины, а а – известное приближение совершенно неприемлемой в других; поэтому важно правильно учитывать к нему, то абсолютной погрешностью приближения а числа А называют область её применимости.

некоторую величину (а) удовлетворяющую условию:

Численный метод также является источником погрешностей. Это связано, А - а (А).

например, с заменой интеграла суммой, усечением рядов при вычислениях значений функций, интерполированием табличных данных и т. п. Как правило, Относительной погрешностью называют некоторую величину (А), для погрешность численного метода регулируема, т. е. она может быть уменьшена до которой выполняется условие:

любого разумного значения путем изменения некоторого параметра (например, а - А.

(а) шага интегрирования, числа членов усеченного ряда и т.п.). Погрешность метода а обычно стараются довести до величины, в несколько раз меньшей погрешности Относительную погрешность часто выражают в процентах.

исходных данных. Дальнейшее снижение погрешности не приведет к 5 Информацию о том, что а является приближенным значением числа А с uxx+uyy = 0, u(x, 0) = 0, uy(x, 0) = (x).

абсолютной погрешностью (а), принято записывать в виде:

Входными данными является (x) Если, то задача имеет только (x) = А = а ± (а).





тривиальное решение u (x, y) = 0. Если же, то решением n (x) = cos nx Числа а и (а) записываются с одинаковым количеством знаков после n запятой.

будет Информацию о том, что а является приближенным значением числа А с относительной погрешностью (а), записывают в виде:

.

un (x, y) = cos nx shny А = а(1± (а)). nОчевидно, равномерно сходятся к при n ; но при этом, если n (x) (x) Погрешность функции, то un (x,y) неограниченно и никак не может сходиться к. Этот y 0 u (x, y) пример связан с физической задачей о тяжелой жидкости, налитой поверх Пусть искомая величина Y является функцией параметров а1, а2,…, аn; т.е. Y легкой; при этом действительно возникает релей-тейлоровская неустойчивость.

= Y(a), и известна область G в пространстве переменных а1, а2,…, аn, которой Отсутствие устойчивости обычно означает, что даже незначительные принадлежат параметры. Необходимо получить приближение y к Y и оценить его погрешности в исходных данных приводят к большим погрешностям в решении погрешность.

или вовсе к неверному результату. О подобных устойчивых задачах также Если y – приближённое значение величины Y, то предельной абсолютной говорят, что они чувствительны к погрешностям исходных данных.

погрешностью А(у) называют наилучшую при имеющейся информации оценку Примером такой задачи является отыскание действительных корней погрешности величины у:

уравнения вида:

. (1.1) A( y) = sup Y (a1, a2,..., an ) - y tg(x) – x = 1.

aG Изменение аргумента х на малую величину х может привести к Предельной относительной погрешностью (у) называют величину существенному изменению функции.

A( y).

( y) = y Корректность. Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторого класса ее решение существует, Устойчивость, корректность, сходимость единственно и устойчиво по исходным данным.

Рассмотренные выше примеры неустойчивой задачи являются некорректно Устойчивость. Рассмотрим погрешности исходных данных. Поскольку это поставленными. Применять для решения таких задач численные методы, как так называемые неустранимые погрешности и вычислитель но может с ними правило, нецелесообразно, поскольку возникающие в расчетах погрешности бороться, то нужно хотя бы иметь представление об их влиянии па точность округлений будут сильно возрастать в ходе вычислений, что приведет к окончательных результатов. Конечно, мы вправе надеяться на то, что значительному искажению результатов.

погрешность результатов имеет порядок погрешности исходных данных. Всегда Вместе с тем отметим, что в настоящее время развиты методы решения ли это так К сожалению, нет. Некоторые задачи весьма чувствительны к некоторых некорректных задач. Это в основном так называемые методы неточностям в исходных данных. Эта чувствительность характеризуется так регуляризации. Они основываются на замене исходной задачи корректно называемой устойчивостью.

поставленной задачей. Последняя содержит некоторый параметр, при Пусть в результате решения задачи по исходному значению величины х стремлении которого к нулю решение этой задачи переходит в решение находится значение искомой величины у. Если исходная величина имеет исходной задачи.

абсолютную погрешность х, то решение имеет погрешность у. Если решение непрерывно зависит от входных данных, т.е. всегда при, то y 0 x Неустойчивость методов. Иногда, даже если задача устойчива, то численный алгоритм может быть неустойчивым. Например, если производные задача называется устойчивой по входным данным.

заменяются разностями, то приходится вычитать близкие числа и сильно Рассмотрим классический пример неустойчивости – задачу Коши для теряется точность. Эти неточные промежуточные результаты используются в эллиптического уравнения в полуплоскости y0:

дальнейших вычислениях, и ошибки могут сильно нарастать.

7 Рассмотрим еще один пример неустойчивого алгоритма. Построим Значение интеграла I9 не может быть отрицательным, поскольку численный метод вычисления интеграла подынтегральная функция x9ex-1 на всем отрезке интегрирования [0,1] неотрицательна. Исследуем источник погрешности. Видим, что округление в In In = ex-1dx, n=1,2,… дает погрешность, равную примерно лишь 4.4*10-7. Однако на каждом этапе эта x погрешность умножается на число, модуль которого больше единицы (-2, -3,...,9), что в итоге дает 9!. Это и приводит к результату, не имеющему смысла. Здесь Интегрируем по частям, для этого используем следующую формулу:

снова причиной накопления погрешностей является алгоритм решения задачи, b b b который оказался неустойчивым.

I = = uv - uvdu vdu a Численный алгоритм (метод) называется корректным в случае a a существования и единственности численного решения при любых значениях Получаем исходных данных, а также в случае устойчивости этого решения относительно 1 1 погрешностей исходных данных.

x-1 x-I1 = dx = xex-1 - dx =, xe e e 0 Понятие сходимости. При анализе точности вычислительного процесса 1 одним из важнейших критериев является сходимость численного метода. Она I2 = x2ex-1dx = x2ex-1 - 2 xex-1dx = 1- 2I1, означает близость получаемого численного решения задачи к истинному решению. Строгие определения разных оценок близости могут быть даны лишь с 0 привлечением аппарата функционального анализа. Здесь мы ограничимся LLLLLLLLLLLLLLLLLLL некоторыми понятиями сходимости, необходимыми для понимания 1 n-1 последующего материала.

In = xnex-1dx = xnex-1 - n ex-1dx = 1- nIn-1.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.