WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНЫХ И ПИЩЕВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Кафедра математики ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Методические указания для студентов первого курса всех специальностей Санкт-Петербург 2008 3 УДК 518(07.07) Иванов А.Б., Морева М.Б. Введение в математический анализ. Предел функции одной переменной. Дифференцирование функций. Методические указания для студентов первого курса всех специальностей. – СПб.: СПбГУНиПТ, 2008. – 57 с.

Изложены и систематизированы основные положения теории функций одной действительной переменной в связи с вычислением пределов и производных. Даны рекомендации по изучению соответствующего материала при прохождении основополагающих глав курса высшей математики.

Рассмотрены соответствующие примеры и приведены задачи для самостоятельного решения.

Рецензент Докт. техн. наук, проф. Е.И. Борзенко Рекомендованы к изданию советом факультета криогенной техники и кондицирования воздуха © Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий, 2008 4 1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА Если множество содержит любое количество элементов, то оно называется бесконечным. В математическом анализе главную роль играют следующие бесконечные числовые множества, из которых каждое последующее является расширением предыдущего.

Множество натуральных чисел (его обычное обозначение N):

1; 2; 3; 4;…. Множество N по определению не ограничено сверху (справа), иными словами, оно не только бесконечно, но и содержит элементы, бльшие любого наперед заданного натурального числа.

Множество целых чисел ( Z ): 0; ± 1; ± 2;.... Это множество, как и три последующих, не ограничено как сверху, так и снизу (в нем присутствуют положительные и отрицательные элементы сколь угодно большие по модулю).

1 0; ± 1; ± ; ± 2; ± ;

Множество рациональных чисел ( Q ):

2 1 2 ± 3; ± ; ± ; ± ; ± 4;...

. Целые числа здесь могут быть записаны 4 3 дробями со знаменателем, равным единице. Единственность записи обеспечивается сокращением дробей до несократимых. Множество Q представлено в виде бесконечной последовательности, в которой не пропущено ни одно рациональное число.

Множество действительных чисел ( R ): в него, наряду с рациональными числами, входят иррациональные. Иррациональное число невозможно представить отношением двух целых, оно записывается бесконечной непериодической десятичной (двоичной, троичной и т.д.) дробью, но к нему удается приблизиться с любой степенью точности как сверху, так и снизу, рациональными числами.

Если иррациональное число есть корень алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, как, например, 2, то число называют алгебраическим, в противном случае трансцендентным. Такие важные константы, как и e, трансцендентны. Действительное число часто называют точкой числовой оси.

Множество комплексных чисел ( С ): z = + i, R, R, i = -. По существу это двумерные векторы (точки плоскости R2), и, тем не менее, их называют числами, поскольку сложение, умножение и деление (кроме деления на нуль) здесь выполняются по тем же основным законам, что и для действительных чисел, а результаты этих операций не выходят за пределы множества С и притом единственны.

Как Q и R, так и С, именуют числовыми полями.

Бесконечное множество называют счётным, если его элементы, можно расположить, не пропуская ни одного из них, в виде последовательности, и несчётным, если сделать это невозможно.

Множества N, Z, Q счетны. Основатель теории множеств Георг Кантор показал, что множество R (как и С) несчетно. Вот доказательство этого математического факта.

x [0; 1) Достаточно показать несчетность множества точек.

xn [0; 1) Допустим, что существует последовательность, в которой встречается любая точка этого промежутка. Запишем члены этой последовательности в виде бесконечных десятичных дробей:

xn = 0,dn1dn2...dnn...

. Девятку в периоде здесь не допускаем: ее всегда можно заменить нулем в периоде, добавив единицу в предыдущий разряд; при этом различным записям соответствуют различные числа.

Число x = 0,c1c2...cn... c1 d11, c2 d22,... cn dnn,... и ни одна из, где цифр не равна девяти, заведомо не содержится в последовательности xn = 0,dn1dn2...dnn...

, что противоречит исходному предположению.

x [0; 1) Итак, множество несчетно, а вместе с ним несчетны y [a; b) y (a; b) y [a; b] a < b – и любые множества,,, где y = (b - a) x + a действительные числа. Ведь линейное преобразование [0; 1) [a; b) приводит промежутки и во взаимно однозначное соответствие. Такие точечные множества носят название континуум, подчеркивающее их усиленную непрерывность.

Окрестностью точки на числовой оси называется любой открытый промежуток, содержащий эту точку. Чаще всего (x рассматриваются симметричные окрестности: -, x + ), > 0.

Открытым множеством называется такое, каждая точка которого принадлежит ему вместе с некоторой ее окрестностью.

Сумма открытых промежутков, очевидно, является открытым множеством.

Предельной точкой множества называется такая точка, принадлежащая или не принадлежащая этому множеству, что в каждой ее окрестности (как бы мала она ни была), имеются отличные от нее точки данного множества. Например, для открытого (a; b) промежутка предельными являются все его точки, а также a и b.



[a; b] Множество, которое, подобно, содержит все свои предельные точки, называется замкнутым. Сумма конечного числа замкнутых промежутков есть замкнутое множество, поскольку любая предельная для него точка является предельной по меньшей мере для одного слагаемого.

2. ФУНКЦИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Функция (в общем логико-математическом смысле этого слова) есть такое отображение одного множества D (область определения) на другое множество E (область значений), что x D каждому элементу соответствует единственный элемент y E.

Переменный элемент области определения называется независимым переменным или аргументом функции. Соответственно элементы области значений называются значениями функции.

Итак, функция – это отображение D E, однозначное в направлении, указанном стрелкой.

Если, наряду с данным отображением, существует обратное, E D, также однозначное в направлении стрелки, то говорят, что на E определена функция, обратная к данной. При этом оба множества находятся во взаимнооднозначном соответствии:

D E.

Возможно наложение функции на функцию. Это означает, что область значений исходной функции оказывается областью определения для другой, и т.д. В итоге получаем сложную функцию.

Кроме исходного, простого аргумента, она имеет один или несколько сложных аргументов. В литературе встречается термин «суперпозиция», что в переводе и означает «наложение».

Множества D, E могут иметь различную природу. Если E – числовое множество, то и функция называется числовой. Числовые функции с областью определения D Rn в дальнейшем будем называть просто функциями, обозначая их теми или иными буквами алфавита, например, f(x). Здесь f – символ соответствующей операции, x – идентификатор независимого переменного.

Аналогично записывается значение функции: f(x0) = y0. Не следует думать, что числовые функции исчерпываются указанными: их область определения может быть, например, множеством функций одного или нескольких действительных или комплексных переменных, и тогда они носят специальное название – функционал.

В дальнейшем мы будем рассматривать функции одного действительного переменного, как правило, задавая их формулами, а иногда и графиками. Формула задает функцию точно, а график – наглядно.

К основным элементарным функциям относят: константу, показательную и ей обратную логарифмическую функции;

степенную функцию; тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Важнейшей из показательных функций является экспонента ex, обозначаемая также exp(x). Число e = 2,718… – замечательный предел, подробный разговор о котором еще предстоит. Логарифм по основанию e называется натуральным, он имеет свое обозначение:

ln x=loge x.

Функция e-x формально является сложной: сначала простой аргумент x умножается на –1, превращаясь тем самым в сложный аргумент u = -x, после чего вычисляется основная элементарная функция eu.

В математическом анализе и его приложениях немалую роль играют гиперболические функции:

exp(x) - exp(-x) sh x = – гиперболический синус, exp(x) + exp(-x) сh x = – гиперболический косинус, th x = sh x / сh x – гиперболический тангенс, cth x = ch x / sh x – гиперболический котангенс.

Основное тождество для гиперболических функций:

сh2 x – sh2x = 1, вместо сos2 x + sin2x = 1 для тригонометрических.

Соответственно параметрическим уравнениям окружности:

x = R cost, y = R sin t, 0 t < отвечают следующие параметрические уравнения гиперболы:

x = ±a cht, y = ±b sh t, 0 t <.

Отсюда становится понятным, почему функции sh x, ch x, th x, cth x называются гиперболическими. Как функции действительного переменного гиперболические функции резко отличаются от тригонометрических по своему поведению, однако проявляют удивительное сходство в некоторых основных формулах (что обусловлено их родством на комплексной плоскости). Например, sh(+) = sh сh + сh sh, сh(+) = сh сh + sh sh, в то время как в тригонометрии sin(+) = sin сos + сos sin, сos(+) = сos сos – sin sin.

a (0; 1) Функцию ax c произвольным основанием U(1; ) exp(x ln a) можно представить как. Область определения показательной функции D = R, область значений E = (0; ). Для sh x и сh x область определения D = R при областях значений R и [1; ) соответственно.

Графики функций exp(x), exp(-x), sh x, ch x, th x, cth x даны ниже:

y = exp(x) Y X -2 -1 1 y = exp(-x) y=ch(x) Y X -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 ----- y=sh(x) y=th(x) Y X -4 -3 -2 -1 1 2 3 ----y=cth(x) Эти же графики являются графиками соответствующих ln(y + y2 +1) обратных функций: x = ln y, x = – ln y, x = Arsh y = ± ln(y + y2 -1) (ареасинус), x = ± Arch y = = (две обратные функции, построенные для y = ch x при x0 и при x0, вторая из них называется ареакосинусом). Обратные функции для гиперболических тангенса и котангенса суть следующие:

1+ y y +1 x = Arth y = = ln (ареатангенс), x = Arcth y = = ln 2 1- y 2 y -(ареакотангенс).

Степенная функция x при x > 0 может быть представлена в виде exp(ln x). Она определена для положительных значений аргумента (x) при любых действительных значениях показателя (). В некоторых случаях область определения D = (0; ) степенной функции действительного переменного может быть расширена. Так, если – натуральное число, то D естественным образом распространяется на всю числовую ось. При целых отрицательных значениях область определения пополняется всеми отрицательными значениями x. Если > 0, то принимают 0 = 0.





Наконец, если – несократимая дробь с нечетным знаменателем, то в область определения можно ввести все отрицательные числа.

± Приводим графики степенной функции при = ; 2; 4;

1/3; 2/3:

y=exp(sqrt(2)*ln(x)) Y X 1 2 3 y=exp(-sqrt(2)*ln(x)) y=x^4 Y X -4 -3 -2 -1 1 2 3 ----y=x^ Тригонометрические функции: sin x, cos x, tg x, ctg x.

Наименьший (простой) период синуса и косинуса равен 2, а для тангенса и котангенса он вдвое меньше. Область определения sin x и cos x – вся числовая ось, область значений – [-1; 1]. Область определения tg x – числовая ось, из которой удалены точки ± / 2 + 2k, k Z. Область определения ctg x – числовая ось, за исключением точек k, k Z. Значения tg x и ctg x заполняют всю числовую ось.

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, косинус – четная.

y=x^(2/3) y=x^(1/3) Обратные тригонометрические функции: arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x. Поскольку в полных областях определения тригонометрические функции не имеют обратных, то, при обращении тригонометрической функции, ее область определения ограничивают промежутком монотонности, на котором функция либо только возрастает, либо только убывает.

Когда ордината (y) растет от – 1 до 1, значение обратной функции x = arcsin y возрастает от – / 2 до / 2, значение x = arccos y убывает от до нуля (все три промежутка замкнутые).

При обращении тангенса и котангенса областью определения функций x = arctg y, x = arcctg y является вся числовая ось R. Когда ордината возрастает от – до +, то x = arctg y возрастает в открытом промежутке от от – / 2 до / 2, а x = arcctg y убывает в открытом промежутке от до нуля.

Арксинус и арктангенс – нечетные функции: arcsin (–x)=arcsin x, arctg(–x) = arctg x. Арккосинус и арккотангенс не являются ни четными, ни нечетными: arccos (–x) = – arccos x, arcctg (–x) = – arcctg x.

Следующие четыре тождества нередко используются при упрощениях и преобразованиях выражений, содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции:

arcsin x + arccos x =, arctg x + arcctg x = ;

2 x2 + y2 arcsin(x 1- y2 + y 1- x2 ) при xy x2 + y2 arcsin x + arcsin y = - arcsin(x 1- y2 + y 1- x2 ) при x 0, y x2 + y2 ) - - arcsin(x 1- y2 + y 1- x2 при x y x + y arctg при xy < 1- xy xy > x + y arctg x + arctg y =.

+ arctg при x 1- xy y xy > - + arctg x + y при x 1- xy y Графики функций y = sin x, y = tg x, а также x = arcsin y, x = arctgy (участки обращения выделены сплошными жирными линиями), приведены на нижеследующем рисунке.

Y X -4 -3 -2 -1 1 2 3 ---- Основные элементарные функции с помощью простейших операций порождают бесконечное множество элементарных функций, которые могут быть определены так:

1)основная элементарная функция элементарна (исходный пункт!);

2) сумма, произведение и отношение двух элементарных функций суть элементарные функции;

3) наложение элементарной функции на элементарную также является элементарной функцией.

Данное определение позволяет продолжать процесс построения всё более сложных функций, используя результаты предыдущих построений. Такие процедуры принято называть рекурсивными. Они занимают важное место в математической логике и ее приложениях.

3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ.

ПРЕДЕЛЫ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ.

БЕСКОНЕЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ Нам предстоит дать точное определение важнейшего понятия математического анализа. Речь идет о пределе функции. По существу понятие предела возникает уже при пополнении множества рациональных чисел числами иррациональными. Любое действительное число является бесконечной последовательностью своих приближений снизу или сверху конечными десятичными или же, например, двоичными дробями. Если в этой последовательности приближений их цифры, начиная с некоторой, образуют бесконечно повторяющийся период, то пределом приближений является рациональное число. Если же такой период отсутствует, то рационального предела нет, и предел определяется как иррациональное число.

Длина окружности и ее дуги – понятие, без которого не обходится курс элементарной математики. Оно вводится как предел периметров вписанной и описанной ломаных при равномерном измельчении их отрезков и соответствующем неограниченном увеличении их количества. Эти периметры суть действительные числа, которые после должного округления оказываются последовательными рациональными приближениями к итоговому результату.

Для окружности единичного радиуса этот предел равен 2, где = 3,141592653589793238462643… (в настоящее время найдены миллиарды цифр числа, причем установлено, что по своему статистическому поведению эта последовательность цифр не отличается от чисто случайной). Дуга единичной окружности с центральным углом 0, измеренным в градусах, имеет длину 0/1800, и эту длину называют радианной мерой угла. Именно в радианах по умолчанию измеряются углы в математическом анализе.

Итак, даем первое и основное определение предела функции.

x Пусть – предельная точка области определения D f (x) b функции. Число называется пределом данной функции при x D xстремлении к, если для каждого (по отдельности) > < x найдется такое > 0, что выполнение условия 0 - x0 < f (x) влечет - b <.

В общепринятых обозначениях данное определение записывается таким образом.

lim f (x) = b Равенство означает, что xxx f (x) > 0 > 0 : 0 < - x0 < - b <.

sin x lim В качестве первого и важного примера вычислим.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.