WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный техноло гический университет им К Э Циолковского Кафедра «Проектирование вычислительных комплексов» ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и варианты курсовых заданий Составители Выск Н Д Титаренко В И Москва Министерство образования и науки Российской Федерации «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра «Проектирование вычислительных комплексов» ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и варианты курсовых заданий Составители Выск Н Д Титаренко В И Москва Оглавление Дифференциальные уравнения первого порядка………… ………………… Уравнения с разделяющимися переменными…………… ………………… Однородные уравнения……………………………………………………… Уравнения в полных дифференциалах……………………………………… Линейные уравнения первого порядка…………… ………………………… Уравнения высших порядков………………………………………………… Уравнения допускающие понижение порядка……………………………… Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами…… Решение неоднородных линейных уравнений методом подбора частного решения…………………………………………………………… Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных………… Системы однородных линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами……………………… Варианты курсовых заданий…………………………………………………… Пособие предназначено для студентов курсов МАТИ РГТУ изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения» В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифферен циальных уравнений первого и высших порядков В каждом разделе приво дится решение типовых задач Для закрепления материала студентам пред лагается выполнить курсовое задание по рассматриваемым темам Настоящие методические указания могут использоваться студентами на всех факультетах и специальностях Дифференциальные уравнения го порядка Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называет ся уравнение вида = связывающее между собой независимую переменную искомую функцию и ее производную Частным решением такого уравнения является любая функция которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество для всех допустимых значений переменной Множество всех решений уравнения называется его общим решением или общим интегралом Оно имеет вид С такой что любое частное решение получается из формулы при некотором значении произвольной постоянной С и наоборот любое фиксированное значение С дает функцию являющуюся решением уравнения Задача нахождения частного решения уравнения удовлетворяющего начальному условию называется задачей Коши для уравнения первого порядка Рассмотрим некоторые виды дифференциальных уравнений первого порядка для которых можно найти аналитическое решение Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение первого порядка вида = называется уравнением с разделяющимися переменными Его можно привести = = к равенству откуда Если существуют первообразные и функций и общее решение уравне = + ния имеет вид = + Пример Найти общее решение уравнения Решение Разделим переменные = + = + = + + = + Обратите внимание на форму записи произвольной постоянной если вид общего интеграла можно упростить потенцированием удобно представить произвольную постоянную как логарифм другой произвольной постоянной + = Тогда общий интеграл можно записать так К уравнению с разделяющимися переменными можно привести и уравнение = + + вида где – постоянные Для этого вводится новая функция - + + = = + = Поскольку и для получаем = + уравнение с разделяющимися переменными = + Пример Найти частное решение уравнения удовлетворяю щее условию у = + = + = - Решение Пусть Решим уравнение для - = = = = = + + + + - + = + - + = + + - + + = + При х у получаем – откуда С – Следовательно частное решение имеет вид + - + + = + - Однородные уравнения Уравнение которое можно записать в форме = называется однородным дифференциальным уравнением Оно тоже может быть сведено к уравнению с разделяющимися переменными для функции = = = + При этом и уравнение для примет вид + = = уравнение с разделяющимися переменными - = + Пример Найти общий интеграл уравнения Решение у = + = Разделим обе части равенства на х и сделаем замену х + = + = = + = + Тогда общий интеграл уравнения К однородному уравнению в свою очередь можно привести уравнение вида + + = + + при условии При этом производится параллельный перенос в плоскости х у такой чтобы начало координат совместилось с точкой пересечения прямых и Тогда в новых коор + = х у динатах уравнение будет выглядеть так + или + = однородное уравнение + + - = Пример Найти общее решение уравнения - Решение + - = = = - = Решим систему уравнений Тогда = - и в - = = новых переменных с учетом того что получаем уравнение + + = = = Замена приводит к уравнению - - + + + = = - = - = - - - - + + = - + После - + + = упрощения и обратной замены получаем общее решение в виде - = + - - Уравнения в полных дифференциалах Если в дифференциальном уравнении + = = функции М х у и удовлетворяют условию такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах Смысл названия объясняется тем что при этом существует функция такая = = что Тогда из уравнения следует что + = = = что является общим интегралом исходного уравнения Таким образом задача сводится к отысканию функции = + + Ее можно найти в виде где х у – С любые числа входящие в область определения функций М и а произвольная постоянная + + - = Пример Решить задачу Коши для уравнения если у Решение Проверим действительно ли перед нами уравнение в полных = = дифференциалах условие выполнено Для поиска зададим х у тогда = + + - = + - - + = + - При х у найдем С из равенства ех ху – еу С е – е С С Следовательно искомое частное решение имеет вид ех ху – еу Линейные уравнения первого порядка + = Уравнение вида называется линейным неоднородным уравнением первого порядка поскольку искомая функция и ее производная входят в него в виде линейной комбина ции Если уравнение является однородным причем однородное линейное уравнение – это уравнение с разделяющимися переменными На этом основан способ решения неоднородных линейных уравнений – метод вариации постоянной Получив решение однородного уравнения + = в виде считают что решение уравнения имеет такой же вид но С С х – не постоянная а функция от х вид которой можно определить подставив х в уравнение + = Пример Найти общее решение уравнения Решение Решим однородное уравнение + = = - = - + = - Теперь будем искать решение неоднородного уравнения в виде у С х ·е х - = - - Подставим и ’ в исходное уравнение - - - С - + = = = = + где произвольная постоянная Следовательно общее решение неоднородного - - = + = + уравнения К линейному можно привести и уравнение вида + = называемое уравнением Бернулли Для этого вводится новая функция - - - = = = для которой Разделим обе части - п + = + = уравнения на у или - - линейное уравнение для Пример Найти общий интеграл уравнения - = Решение - = и сделаем замену Разделим обе части равенства на у = = Решим уравнение для - - = + = - + = = - = - + Однородное уравнение - = = = одн неодн неодн Подставим полученные выра - + = - = - = - + жения в неоднородное уравнение - = - + = = = - Уравнения высших порядков Уравнения допускающие понижение порядка Дифференциальное уравнение = называется уравнением п го порядка Его общее решение содержит п произ = вольных постоянных а решение задачи Коши требует задания при х х значений функции у и ее производных до п – го поряд - = = = ка включительно - Если в дифференциальное уравнение не входит явным образом искомая функция у то есть уравнение имеет вид + = = то можно понизить его порядок на единиц сделав замену + - = = Тогда Пример Найти общее решение уравнения - = Решение = = Пусть Тогда - = = = + = Теперь трижды проинтегрируем полученное равенство по х = = - + = - + = - + + = - + + = + + + Если дифференциальное уравнение не содержит явно независимую пере менную х = = то можно понизить его порядок на единицу считая что Тогда = = = = то есть вторая производная у выражается через первую производную р и т д если у у’ = Пример Решить задачу Коши для уравнения Решение = = = Замена приводит к уравнению откуда а р у’ у С но у’ значит в этом случае решения нет б = = = + = = + = = Тогда = = - = + = - = + = - = Следовательно искомое частное решение имеет вид - Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим дифференциальное уравнение вида - + + + = где а … ап – постоянные Общее решение этого уравнения можно получить решив характеристическое уравнение - + + + = Каждый действительный корень этого уравнения кратности соответ ствует линейной комбинации фундаментальных решений уравнения в форме С С х … С Пара комплексно сопряженных корней = ± кратности т дает комбинацию фундаментальных решений - - ( + + + ) + + + + вида В частности характеристическое уравнение для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка + + = + + = является квадратным Поэтому общее решение уравнения может иметь один из трех видов = - > а если дискриминант характеристического уравнения а - его различные действительные корни то решение уравне ния выглядит так = + б если характеристическое уравнение имеет один корень и общее решение уравнения имеет вид = + в при характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные = ± корни а общее решение уравнения записывается в форме = + Пример Найти общее решение уравнения - + = Решение Составим и решим характеристическое уравнение - + = = = Значит общее решение записывается в виде = + + + = Пример Найти общее решение уравнения Решение + + = Характеристическое уравнение имеет один действитель ный корень кратности и два комплексно сопряженных корня ± Поэтому так как е ·х общее решение записывается в форме и - = + + + ( + ) Решение неоднородных линейных уравнений методом подбора частного решения Пусть требуется найти общее решение неоднородного линейного уравне ния п го порядка с постоянными коэффициентами - + + + = Его решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения При некоторых специальных видах неоднородности это частное решение можно подобрать по известной схеме = Если где Рп х – многочлен степени п то частное реше ние уравнения - = + + + ч если число не является корнем характеристического уравнения или - = + + + ч если – корень характеристического уравнения кратности Коэффициенты А А … Ап можно найти методом неопределенных коэффициентов подставив уч и его производные нужных порядков в уравнение = + При если числа ± не являются корнями характеристического уравнения частное решение имеет вид = ( + ) ч - многочлены с неопределенными коэффициентами одной и той где же степени Если же ± – корни характеристического уравнения кратности = ( + ) ч Если правая часть уравнения представляет собой сумму функций для каждой из которых можно подбором найти частное решение - + + + = + то частное решение такого уравнения является суммой частных решений - - + + + = + + + = уравнений и Пример Найти общее решение уравнения - + = Решение Найдем общее решение однородного уравнения - + = Характе ристическое уравнение - + = имеет корни кратности и = + ( + ) кратности Следовательно одн Перейдем к поиску частного решения Поскольку число – коэффициент при х в показателе степени правой части уравнения – является корнем характери стического уравнения кратности ищем уч в виде при Тогда ч = + = + = + + + = ч ч = + + = + + + + = + + ч Подставим полученные выражения в исходное неоднородное уравнение + + - + + + + = + + - - - + + = = = = ч Следовательно общее решение исходного уравнения имеет вид = + ( + + ) Пример Найти общее решение уравнения - = + Решение Характеристическое уравнение - = = = Общее решение = + однородного уравнения Найдем частное решение соответ одн ствующее неоднородности Так как – корень характеристи ческого уравнения частное решение имеет вид ч = + = Поскольку при подстановке в уравнение ч ч получаем – – откуда – Решая полученную = - = - = - - систему находим ч Для задаем по формуле при ч ч = - = - - ч ч Подставим в уравнение - - - + = - + = - - = Отсюда В А уч Таким образом найдено общее решение исходного уравнения = + уч + уч = + - - - + одн Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Если неоднородность в правой части уравнения не позволяет исполь зовать формулы для подбора частного решения можно воспользо ваться методом вариации постоянных Пусть решение однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами записано в виде уодн С у С у где у у – фунда ментальная система решений Будем считать что при этом решение неодно + + = = + родного уравнения имеет вид Функции С х и С х можно определить из системы уравнений для их С + = производных + = + = Пример Найти общее решение уравнения Решение Решим однородное уравнение ± С одн С х х Составим вариационную систему неодн С + = - + = Получена линейная система для С ’ и С ’ Для ее решения умножим первое уравнение на а второе – на и сложим левые и правые части полученных равенств + = = = = = - + где = Теперь исключим из системы С ’ Для этого умножим первое уравнение на а второе – на – + = - = - - = - = - = - = + = - = - = + - + Итак общее решение исходного уравнения + = - + + + = - + = + + - Системы однородных линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами Для решения системы уравнений = + = + где – искомые функции а нужно решить характери стическое уравнение - = - Если корни этого уравнения действительные то решением системы = + = + будут функции вида причем произ вольные постоянные С и С можно выразить через С и С подставив полу ченные функции в систему = + Пример Решить задачу Коши для системы если х = + у Решение - = Составим характеристическое уравнение - - - - = = - = = + Следовательно - - = - + = + Тогда Подставим полученные выражения в первое уравнение системы - - - - - + = + + + - + = = С + С + + откуда - = + = + = - = - - = - + = + Итак общее решение системы При - + = - + = получаем откуда С С и частное решение системы х – При совпадении корней характеристического уравнения решением = + = + системы будут функции и где – корень уравнения Связь между С С и С С определяется аналогично предыдущему случаю Если корни характеристического уравнения – комплексно сопряженные числа и – решение системы ищется в виде = + = + Задания для курсовой работы включают по задач В №№ требуется решить задачу Коши или найти общее решение дифференциального уравнения го порядка в № – решить уравнения высших порядков в № – найти общее или частное решение однородной линейной системы ВАРИАНТЫ КУРСОВЫХ ЗАДАНИЙ Вариант № - = + + + - = - + = + + = = - = - - = - = - - = - + = - = - = + = = + Вариант № = - + + + - = + = + = + + + - = + = + + + = - + = + = - = = - + = = + Вариант № = = - - + - = - = + = = + = - + = + = - = - = - - + = = + Вариант № - - = = + - - - + + = + + + + = - + = - = - = - + = = - = = - - + = = - Вариант № - - = + + - = + + = - + - = + + = - = = - - = + = - = = - - + = = + Вариант № – - + = - - - = + = - + = + = + - = + = + = + = - = + = - - = Вариант № + - = + = - - - + + = = + - + = = + - + = + + = ( - ) - + = = - = + = + - = Вариант № + + - - - = - - = - + = + = - + = - = - = - - = - - + = = = - + = = - Вариант № - = + + - - = - - = - - = + - = + = + = - = - = - = - = - + = - = - Вариант № + + = = + + - = + + = + = - + = + = + + = - = - - = - = + + = - = + Вариант № - = - - = + - = + = - + - = = + =
Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.