WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |
Федеральное агентство по образованию Тверской государственный технический университет Ю. С. Пронькин, И. А. Лесничевская.

Элементы теории вероятностей и математической статистики Учебное пособие Тверь 2005 УДК ББК Пронькин Ю. С., Лесничевская И. А. Элементы теории вероятностей и математической статистики: Учебное пособие. Тверь: ТГТУ, 2005. 104 с.

Решение инженерных проблем с использованием аналитических методов, требует умения выражать в виде математических моделей возникающие при этом действительные явления. К сожалению, параметры, характеризующие эти явления, не всегда могут быть заданы числами или детерминированными функциями. Наилучшую информацию о таких явлениях может дать вероятностный подход. В основе такого подхода лежит понятие вероятности, как меры того, что данное явление реализуется. Эта мера вводится аксиоматически и не поддается измерению, а ее свойства постулируются. Ключ к проникновению в аналитические модели вероятностных законов дает эмпирическая частота, которая с возрастанием числа экспериментальных реализаций приближается к вероятности.

Рассматривается также понятие вероятностного пространства (дискретного и непрерывного) и соотношения, позволяющее определять вероятность сложных событий, в частности, важная для приложений схема последовательных испытаний и частный случай ее – схема Бернулли.

Вводится понятие закона распределения случайных величин, различные способы его задания, важнейшие числовые показатели, характеризующие закон распределения и некоторые его частные случаи, широко применяемые на практике.

Рассмотрены предельные теоремы теории вероятностей, устанавливающие зависимость между случайностью и необходимостью.

Изложение материала сопровождается большим количеством примеров.

Предназначено для студентов технических специальностей.

Рецензенты:

Кафедра высшей математики и статистики Тверского филиала МЭСИ;

Кандидат физико – математических наук, доцент кафедры общей математики и математической физики ТГУ Рыжиков В. Н.

© Пронькин Ю.С., Лесничевская И. А., © Тверской государственный технический университет, Введение Предметом теории вероятностей является математический анализ понятия случайности. Ее строгое построение, как и всякой математической дисциплины, возможно на основе некоторой системы точных определений и аксиом. Этих аксиом всего три, и они почти очевидны.

Обоснование необходимости изучения элементов теории вероятностей и ее применимости при решении технических задач можно провести следующим образом. Во - первых, понятие вероятности отражает универсальную физическую сущность изучаемых явлений. Во - вторых из множества различных ситуаций, встречающихся в инженерной практике, можно выделить такие, где использование понятия вероятности является обязательным.

Цель изучения реальных явлений - установление причинно - следственных связей между отдельными его сторонами. В случае однозначности исхода явления при выполнении некоторого комплекса условий связь называют детерминированной. Такой вид имеют законы классической механики. Однако для широкого круга явлений наблюдается неоднозначность исхода при повторении эксперимента с сохранением основных условий его проведения. События, связанные с такими явлениями, называют случайными. Например, случайны выигравшие номера в тираже лото; результаты измерений; число транспортных средств, проходящих мимо контрольных пунктов системы управления дорожным движением; флуктуации температуры снаружи и внутри здания, информация о которых подается на вход системы отопления и кондиционирования и т. д. Еще одним интересным явлением служит эволюция, непрерывно совершающаяся в растительном и животном мире.

В ее основе лежат мутации – случайные изменения в структуре генов.

Случайно возникшая мутация способна быстро усилиться в процессе размножения клеток организма. Одновременно с мутациями (случайными изменениями генетических программ) происходит процесс отбора организмов по степени приспособленности к условиям окружающей среды. Таким образом, эволюция основывается на отборе случайных изменений генетических программ и идет при этом не по пути отбора более сложных, а по пути отбора более приспособленных организмов.

Случайность не означает отсутствие - причинно следственных связей. В реальном мире эти связи являются вероятностными. Они проявляются в том, что, несмотря на множество случайных факторов данная ситуация обнаруживает некоторое постоянство, называемое обычно статистической устойчивостью. Вероятностные (статистические) причинно - следственные связи являются общим видом связей, тогда как связи, приводящие к однозначным предсказаниям, представляют собой лишь частный случай. Если однозначные предсказания предполагают наличие в рассматриваемом явлении только необходимости, то вероятностные предсказания связаны одновременно и с необходимостью и со случайностью. Так, мутации случайны, но процесс отбора закономерен (необходим). Случайное и необходимое всегда выступают вместе.

Формирование порядка и закономерности из массы случайностей приводит к понятию вероятности, которое отражает устойчивость окружающего нас мира, его динамизм и способность к развитию.

Разделом математики, в котором изучаются математические модели случайных явлений, является теория вероятностей. Ее методы широко применяются в различных отраслях науки и техники: проблема запасов;

теория массового обслуживания, которая помогает организовать эффективную работу современного производства; теория управления;



теория надежности технических систем; виброакустическая диагностика;

общая теория связи; военное дело; строительная механика; теория механизмов и машин; и т. д. Она служит для обоснования статистики, которая используется при планировании и организации производства, анализе технологических процессов, контроле качества продукции и т. д.

Особенность вероятностных методов состоит в том, что они рассматривают исследуемое явление в целом, изучают результаты совместного действия всех причинных связей, которые невозможно проследить по отдельности.

1. Эксперимент. Событие. Случайные величины Как в любой теоретической науке, в теории вероятностей исходным пунктом для построения служат некоторые экспериментальные факты, на основе которых формируются соответствующие абстрактные понятия.

Первичным понятием теории вероятностей является понятие эксперимента. Эксперимент состоит в том, что производится испытание при выполнении некоторого комплекса условий, которые либо создаются искусственно, либо осуществляются независимо от воли экспериментатора. Результаты эксперимента можно трактовать качественно и количественно.

Качественная характеристика эксперимента состоит в регистрации какого - либо факта, то есть в определении того, обладают результаты эксперимента каким - либо свойством или нет. Любой такой факт (результат эксперимента) называют событием.

Примеры случайных экспериментов:

1. Изделия выпускаются партиями по n штук. Проверка качества изделия приводит к их разрушению. Поэтому для проверки партии на качество выбирают m изделий (m < n). Эксперимент заключается в выборе m изделий из партии и их проверке. Результат эксперимента – число обнаруженных дефектных изделий.

2. Розыгрыш лотереи можно рассматривать как случайный эксперимент, результатом которого является выпадение выигрышей на определенные лотерейные билеты.

Мы будем рассматривать события лишь с точки зрения их осуществления или неосуществления. Анализ этого понятия приведет нас к тому, что мы наделим множество событий, которые рассматриваются в связи с определенной задачей, структурой булевой алгебры. С аксиоматической точки зрения события представляют собой математические объекты, которые можно комбинировать с помощью логических операций «нет», «и», «или» (в соответствии с правилами, описанными ниже). События обозначают прописными латинскими буквами А, В, С, … Наблюдаемые события можно разделить на три вида:

Достоверное – событие, которое обязательно происходит при эксперименте. Обозначается буквой. Например, выбор годной детали из партии, в которой все детали доброкачественные.

Невозможное – если в результате эксперимента оно не произойдет.

Обозначается знаком. Например, наличие четырех бракованных изделий в партии из трех деталей.

Случайное – если в результате эксперимента оно может произойти, а может и не произойти. Например, попадание в цель при одном выстреле, отказ прибора в данном интервале времени.

Количественная характеристика эксперимента состоит в определении значений некоторых величин, полученных в результате эксперимента.

Величины, которые могут принимать в результате эксперимента различные значения, причем до опыта невозможно предвидеть, какими именно они будут, называются случайными величинами. Например, ошибки и результаты измерений, время безотказной работы прибора или системы, координаты точки попадания снаряда при выстреле, число попаданий при n выстрелах. Обозначают случайные величины прописными буквами латинского алфавита: X, Y, Z, …, а их конкретные значения – соответствующими малыми буквами: x, y, z. Эти значения называются возможными значениями или реализациями случайных величин X, Y, Z.

2. Алгебра событий Рассмотрим множество F событий, которые можно наблюдать в некотором случайном эксперименте. Пусть – достоверное событие, а – невозможное принадлежат множеству F.

Каждому событию А поставим в соответствие противоположное (дополнительное) событие, обозначаемое A и означающее, что событие A реализуется тогда и только тогда, когда событие А не реализуется. Введем как аксиомы следующие свойства этой операции:

() = ; = ; =.

Примерами противоположных событий могут служить попадание и промах при выстреле, отказ прибора в данном интервале времени и его исправная работа в том же интервале времени.

Для каждой пары событий А и В введем операции объединения и пересечения.

Определение. Событие U, заключающееся в том, что из двух событий А и В происходит по крайней мере одно, называют объединением событий А и В.

Событие I (АВ), заключающееся в том, что происходят одновременно оба события А и В, называют пересечением событий А и В.

Операции объединения и пересечения коммутативны и ассоциативны:

U = U ;

( U ) U = U ( U ) ;

I = I ;

( I ) I = I ( I ).

Следующие формулы вводятся как аксиомы:

U = ;

U = ;

I = ;

U = ;

I = ;

U = ;

I = ;

I =.

Введенные соотношения переносятся с двух событий на произвольное конечное непустое семейство событий {Ai, i I}. Операции объединения и пересечения дистрибутивны по отношению друг к другу:

I (U A ) = U(B I A ) ;

i i iI iI U (I A ) = I(B U A ).

i i iI iI Структура, которая образуется на множестве событий введенными определениями и аксиомами, называется структурой булевой алгебры.

Рассмотрим вспомогательные понятия, определяемые на булевой алгебре событий.





Два события А и В, для которых I =, называются непересекающимися (взаимно исключающими). Объединение таких событий называют суммой и обозначают А + В вместо U.

Разностью двух событий А и В называют событие А – В, состоящее в том, что произойдет событие А и не произойдет событие В. Очевидно, что - =.

Симметрической разностью двух событий А и В называют событие = ( - ) + ( - ), означающее, что происходит лишь одно из А, В.

События 1, 2, 3,..., образуют полную группу событий, если они попарно не пересекаются (несовместны) и 1 U 2 U 3 U...U =, то есть в результате эксперимента происходит одно и только одно из них.

Говорят, что событие А влечет событие В (обозначают ), если событие В обязательно происходит при появлении события А. Если события А и В могут появиться или не появиться только вместе, то есть и, то они называются эквивалентными (А = В).

Эквивалентные события различать не будем. Отношение «влечет» является отношением порядка в множестве событий.

Бросающаяся в глаза аналогия между событиями и множествами объясняется тем, что каждое событие связано с определенным множеством исходов эксперимента так, что оно обязательно происходит при появлении одного из исходов, принадлежащих этому множеству, и не происходит при появлении одного из исходов, не принадлежащих этому множеству.

Например, событие, состоящее в том, что при двух выстрелах по мишени будет одно попадание, есть сумма двух непересекающихся событий:

попадание 1 при первом и промах при втором выстреле и промах при первом и попадание 2 при втором выстреле = +.

1 2 1 Для строгого математического обоснования вводят понятие элементарного события.

Элементарным событием называется событие, не содержащее никаких подсобытий, кроме невозможного события и самого себя В эксперименте элементарное событие - это результат эксперимента.

Каждое, относящееся к рассматриваемой модели элементарное событие, влечет либо наступление, либо ненаступление каждого данного события, связанного с рассматриваемой моделью. Например, при одном выстреле по мишени элементарными событиями будут промах и попадание. В эксперименте – при двух выстрелах по мишени будет одно попадание – элементарными событиями будут: попадание при первом и промах при втором выстреле и промах при первом и попадание при втором выстреле.

Случайный эксперимент называется конечным, если имеется полная группа элементарных событий.

В теории вероятностей рассматриваются лишь такие случайные эксперименты, в которых каждое событие является суммой всех элементарных событий, влекущих это событие. Такой случайный эксперимент описывается множеством элементарных событий, связанных с ним и некоторым классом его подмножеств – событий. Такое множество называется пространством элементарных событий. Обозначается обычно. При этом любое элементарное событие – точка пространства обозначается буквой. Достоверное событие представляет собой множество всех элементарных событий. Невозможное событие представляет собой пустое множество. Например, пространство элементарных событий в эксперименте, заключающемся в том, что наблюдается попадание или промах при двух выстрелах по мишени состоит из четырех элементарных событий: два попадания, попадание – промах, промах – попадание, два промаха.

Для наглядности построенной математической модели случайных явлений удобно условно считать пространство элементарных событий некоторой областью плоскости (квадратом), элементарное событие – точками этой области; при этом события удобно изображать в виде некоторых фигур (кругов) (рис 1).

В В В А А А 1 2 А В А В А А 4 5 Рис. 1. Схематичное изображение элементарных событий:

1 - А и В – несовместные события; 2 - А U В – объединение событий А и В; 3 - АВ – пересечение событий А и В; 4 - А - В – разность событий А и В; 5 - A - противоположное к А событие; 6 - В А – событие В влечет событие А.

Важным примером случайного эксперимента является эксперимент, в котором измеряется некоторая величина Х. В качестве элементарных событий здесь можно взять события вида (Х = х), где х – некоторое фиксированное значение. Множество элементарных событий естественно отождествить с множеством точек на прямой. Если априори известно, что Х может принимать лишь значения из некоторого множества М, то это множество и следует рассматривать как множество элементарных событий. В процессе измерения естественно предполагать возможность наблюдения события { a X < b }, где а < b – произвольные числа.

Всевозможные конечные суммы таких полуинтервалов можно рассматривать как алгебру событий, связанных с экспериментом.

3. Аксиомы вероятности Для количественного сравнения между собой событий по степени возможности их появления вводится определенная численная мера, называемая вероятностью события. Это численная мера объективной возможности появления этого события.

Существуют различные способы введения этой меры. Согласно аксиоматическому подходу существование такой меры для каждого события постулируется, а свойства определяются совокупностью аксиом:

1. Каждому событию А соответствует неотрицательное действительное число Р(А), называемое вероятностью события А.

2. Вероятность достоверного события равна единице, то есть P() = 1.

3. Если А и В – несовместные события, то Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Последнюю аксиому по индукции можно распространить на n попарно непересекающихся событий:

n n P( A ) = P(A ).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.