WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ по математике © К. Л. Самаров, 2010 © ООО «Резольвента», 2010 Пример 1. Решить уравнение 3 sin2 x = 4 Решение.

1 k sin x = x = (-1 + k, k Z ) 3 2 6 sin2 x = x = ± + k, k Z 4 6 sin x = - 1 x = k +1 + k, k Z (-1 ) 2 6 Ответ. x = ± + k, k Z 6 Пример 2. Решить уравнение x cos x - 4cos +1 = 0 2 1 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 Решение. С помощью формулы «Косинус двойного угла» получаем:

x x x cos x - 4cos +1 = 0 2cos2 -1- 4cos +1 = 0 2 2 2 x x x x 2cos2 - 4cos = 0 cos2 - 2cos = 0 2 2 2 2 x x cos cos - 2 = 0 2 2 Возникают два случая:

x x 1. cos = 0 = + k, k Z x = + 2k, k Z 2 2 2 x 2. cos = 2. В этом случае уравнение решений не имеет.

2 Ответ. + 2k, k Z Пример 3. Решить уравнение 3sin2 x - sin x = 2cos x - 3sin 2x Решение. Воспользовавшись формулой «Синус двойного угла» и разложением на множители, получаем:

3sin2 x - sin x = 2cos x - 3sin 2x sin x 3sin x -1 = 2cos x - 6sin xcos x ( ) sin x 3sin x -1 = 2cos x 1- 3sin x sin x 3sin x -1 - 2cos x 1- 3sin x = 0 Во ( ) ( ) ( ) ( ) sin x - 2cos x 3sin x -1 = 0 ( )( ) зникают два случая:

1. sin x - 2cos x = 0 sin x = 2cos x tg x = 2 x = arctg 2 + k, k Z 1 k 1 2. 3sin x -1 = 0 3sin x =1 sin x = x = arcsin + k, k Z (-1 ) 3 3 k 1 Ответ. arctg 2 + k, k Z; arcsin + k, k Z (-1 ) 3 Пример 1. Решить уравнение sin 2x = 2 3 cos2 x Решение. Воспользовавшись формулой «Синус двойного угла» и разложением на множители, получаем 2 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-sin 2x = 2 3 cos2 x 2sin xcos x - 2 3 cos2 x = 0 cos x sin x - 3 cos x = ( ) Возникают два случая:

1. sin x - 3 cos x = 0 sin x = 3 cos x tg x = 3 x = + k, k Z 2. cos x = 0 x = + k, k Z Ответ. + k, k Z; + k, k Z 3 Пример 4. Решить уравнение cos x =1+ sin x 1- sin x Решение. Воспользовавшись формулой «Основное тригонометрическое тождество» получаем:

, cos x - ( 1+ sin x 1- sin x cos x cos x )( ) =1+ sin x - ( ) 1+ sin x = 0 = 1- sin x 1- sin x 1- sin x cos x - 1- sin2 x ( ) cos x 1- cos x cos x - cos2 x ( ) = 0 = 0 = 1- sin x 1- sin x 1- sin x Возникают два случая:

cos x = 1. x = - + 2k, k Z sin x 1 2. 1- cos x = 0 cos x =1 x = 2k, k Z Ответ. - + 2k, k Z; 2k, k Z Пример 5. Решить уравнение sin 2x = -2cos x 1+ sin x Решение. Основой решения задачи является разложение на множители:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-sin 2x 2sin xcos x = -2cos x + 2cos x = 1+ sin x 1+ sin x 2sin xcos x + 2cos x 1+ sin x 2cos x sin x +1+ sin x ( ) ( ) = 0 = 1+ sin x 1+ sin x 2cos x 2sin x +( ) = 1+ sin x Возникают два случая:

cos x = 1. x = + 2k, k Z sin x -sin x = - 2sin x +1 = 1 k + 2. sin x = - x = ) 2 (-1 + k, k Z sin x -1 2 sin x - k+Ответ. + 2k, k Z;

(-1 + k, k Z ) 2 Пример 6. Решить уравнение 2cos x 11 = - sin 2x sin3x + sin x 6 Решение. Решение задачи основывается на применении формулы «Сумма синусов» с помощью которой исходное уравнение сводится к квадратному уравне, нию относительно функции sin 2x.

2cos x 11 1 2cos x 11 = - sin 2x = - sin 2x sin3x + sin x 6 2 2sin 2xcos x 6 1 11 = - sin 2x 11 1 = sin 2x - sin2 2x sin 2x 6 6 cos x 11± 121- 3sin2 2x -11sin 2x + 6 = 0 sin 2x = = ( ) 1,11± 7 = sin 2x =, sin 2x = ( ) ( ) 1 6 Возникают два случая:

1.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-2 k sin 2x = 2x = arcsin + k, k Z (-) 3 1 k 2 k x = arcsin +, k Z (-) 2 3 2.

sin 2x = 3. В этом случае уравнение решений не имеет.

1 k 2 k Ответ. arcsin +, k Z (-) 2 3 Пример 7. Решить уравнение sin 2x = sin3x - sin x ( ) Решение. Решение задачи основывается на использовании формул «Синус двойного угла» и «Разность синусов» :

3 sin 2x = sin3x - sin x sin 2x - ( - sin x = sin3x ( ) ) 7 6 sin 2x - sin 2xcos x = 0 sin 2x1- cos x = 7 Возникают два случая:

k 1. sin 2x = 0 2x = k, k Z x =,k Z 6 2. 1- cos x = 0 cos x =. В этом случае уравнение решений не имеет.

7 k Ответ.,k Z Пример 8. Решить уравнение sin3xcos x - sin xcos3x = sin 7x + sin5x Решение. Решение задачи использует три формулы: «Синус разности», «Сумма синусов», « Разность синусов» :

sin3xcos x - sin xcos3x = sin 7x + sin5x sin 2x = 2sin 6xcos x 2sin xcos x - 2sin 6xcos x = 0 cos x sin x - sin 6x = ( ) 5x 7x -2cos xsin cos = 2 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Возникают три случая:

1. cos x = 0 x = + k,k Z 5x 5x 2. sin = 0 = k,k Z x = k,k Z 2 2 7x 7x 3. cos = 0 = + k,k Z x = + k,k Z 2 2 2 7 2 Ответ. + k,k Z, k,k Z, + k,k Z 2 5 7 Пример 9. Решить уравнение cos4x + cos2x = cos12x + cos10x Решение. Воспользовавшись формулами «Сумма косинусов» и «Разность косинусов» получаем:

, cos4x + cos2x = cos12x + cos10x 2cos3xcos x = 2cos11xcos x cos3xcos x - cos11xcos x = 0 cos x cos3x - cos11x = ( ) 2cos xsin 7xsin 4x = Возникают три случая:

1. cos x = 0 x = + k,k Z 2. sin 7x = 0 7x = k,k Z x = k,k Z 3. sin 4x = 0 4x = k,k Z x = k,k Z 1 Ответ. + k,k Z, k,k Z, k,k Z 2 7 Пример 10. Решить уравнение sin x = sin5x Решение. Воспользуемся формулой «Разность синусов» :



sin x = sin5x sin5x - sin x = 0 2sin 2xcos3x = Возникают два случая:

1.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-k sin 2x = 0 2x = k, k Z x =,k Z 2.

cos3x = 0 3x = + k,k Z x = + k,k Z 2 6 k Ответ.,k Z; + k,k Z 2 6 Пример 11. Решить уравнение tg3x = tgx Решение. Решение задачи основано на использовании свойств функции y = tgx :

x = k, k Z 3x = x + k, k Z tg3x = tgx x + n, n Z x + n, n Z 2 3x + m, m Z x + m, m Z 2 6 x = k, k Z x = k, k Z k + n, n Z k 1+ 2n, n Z x = s, s Z 2 3k 1+ 2m, m Z 1 2 k 6 + 3 m, m Z Ответ. s, s Z Пример 12. Решить уравнение 1- 6cos2x = 1- 2sin2 x Решение. Решение задачи основывается на применении формулы «Косинус двойного угла» с помощью которой исходное уравнение сводится к квадратному, уравнению относительно функции cos2x :

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-1- 6cos2x = 1- 2sin2 x 1- 6cos2x = cos2x 6cos2x + cos2x -1 = 0 6 cos2x + cos2x -1 = ( ) -1± 1+ 24 -1± cos2x = = ( ) 1,12 Возникают два случая:

1.

1 1 cos2x = cos2x = 2x = 2k ± arccos, k Z 3 9 1 x = k ± arccos,k Z 2 2.

cos2x = -. В этом случае уравнение решений не имеет.

1 Ответ. k ± arccos,k Z 2 Пример 13. Решить уравнение cos2x = - sin x (1) Решение. Воспользовавшись формулой «Косинус двойного угла» перепишем, уравнение (1) в виде:

1- 2sin2 x = - sin x. (2) Если теперь совершить в уравнении (2) замену переменного по формуле:

y = sin x, -1 y 1, (3) то получается иррациональное уравнение 1- 2y2 = - y. (4) Поскольку левая часть уравнения (4) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной, следовательно, переменная y также должна удовлетворять неравенству:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-1 - y 0 y.

3 Таким образом, переменная y должна быть заключена в пределах:

-1 y. (5) Далее получаем:

1 1 2 2 1- 2y2 = - y 1- 2y2 = - y + y2 3y2 - y - = 3 9 3 3 6 ± 36 + 864 6 ± 27 y2 - 6y - 8 = 0 y1,2 = = 54 36 2 24 y1 = =, y2 = - = -.

54 3 54 В силу (5) первый случай должен быть отброшен. Во втором случае получаем:

4 k+1 sin x = - x = (-1 arcsin + k, k Z ) 9 k+1 Ответ.

(-1 arcsin + k, k Z ) Пример 14. Решить уравнение cos2x + 2 =1+ 4cos x (6) Решение. Воспользовавшись формулой «Косинус двойного угла» перепишем, уравнение (6) в виде:

2cos2 x +1 =1+ 4cos x (7) Если теперь совершить в уравнении (7) замену переменной по формуле:

y = cos x, -1 y 1, (8) то получается иррациональное уравнение 2y2 +1 =1+ 4y. (9) Поскольку левая часть уравнения (9) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной, следовательно, переменная y также должна удовлетворять неравенству:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-1+ 4y 0 y -.

Таким образом, переменная y должна быть заключена в пределах:

- y 1. (10) Далее получаем:

2y2 +1 =1+ 4y 2y2 +1 =1+ 8y +16y2 14y2 + 8y = 7 y2 + 4y = 0 y 7 y + 4 = 0 y1 = -, y2 = 0.

( ) В силу (10) первый случай должен быть отброшен. Во втором случае получаем:

cos x = 0 x = + k,k Z Ответ. + k,k Z Пример 15. Решить уравнение 6 + 3tgx = tgx 1+ 4ctgx Решение. В результате замены переменной y = tgx, y > 0 (11) уравнение преобразуется к виду 6 + 3y = y 1+ y Далее получаем:

6 + 3y = y 1+ 6 + 3y = y2 1+ 6 + 3y = y2 + 4y y y y2 + y - 6 = 0 y + 3 y - 2 = 0 y1 = -3, y2 = 2.

( )( ) В силу (11) первый случай должен быть отброшен. Во втором случае получаем:

tgx = 2 x = arctg 2 + k,k Z Ответ. arctg 2 + k,k Z ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Пример 16. Решить уравнение 15ctgx = 4sin x Решение. Решение задачи основано на использовании свойств функции ctgx и применении «Основного тригонометрического тождества» :

15cos x 15cos x - 4sin2 x 15ctgx = 4sin x - 4sin x = 0 = sin x sin x 15cos x - 4 1- cos2 x ( ) 4cos2 x +15cos x - = 0 = sin x sin x -15 ± 225 + 4cos2 x +15cos x - 4 = cos x = ( ) 1, sin x sin x -15 ± cos x = ( ) 1, cos x = -8, cos x = 4 ( ) ( ) 1 sin x В первом случае уравнение решений не имеет. Во втором случае получаем:

cos x = x = 2k ±,k Z 2 Ответ. 2k ±,k Z Пример 17. Решить уравнение 1 5 ctgx + = 2 3cos x sin 2x Решение. Решение задачи основано на использовании свойств функции ctgx и применении «Основного тригонометрического тождества».

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-1 5 2 1 cos x 5 ctgx + = + = 2 3cos x sin 2x 2 sin x 3cos x 2sin xcos x 3 1- sin2 x +10sin x - ( ) 3cos2 x +10sin x - = 0 = 6sin xcos x sin xcos x 3 - 3sin2 x +10sin x - 6 3sin2 x -10sin x + = 0 = sin xcos x sin xcos x 10 ± 100 - sin x = ( ) 1, sin x 0 sin x = 3, sin x = ( ) ( ) 1 cos x В первом случае уравнение решений не имеет. Во втором случае получаем:





1 k sin x = x = arcsin +k,k Z (-) 3 k Ответ. arcsin +k,k Z (-) Пример 18. Решить уравнение - tg2x = cos x Решение. Решение задачи использует формулы «Синус двойного угла» и «Косинус двойного угла».

7 7 sin2x 7sin2x + 6cos xcos2x - tg2x = cos x - - cos x = 0 = 6 6 cos2x cos2x cos x 7sinx + 3cos2x 14sinxcos x + 6cos xcos2x ( ) = 0 = cos2x cos2x cos x 7sinx + 3 - 6sin2 x cos x 6sin2 x - 7sinx - ( ) ( ) = 0 = cos2x cos2x Возникают два случая:

1.

cos x = 0 cos x = cos x = 0 x = + k,k Z cos2x 0 2cos x -1 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-2.

2 7 ± 49 + 6sin2 x - 7sinx - 3 = 6sin x - 7sinx - 3 = 0 sinx = ( ) 1, cos2x 1- 2sin2x 2sin2x 7 ±11 18 3 4 sinx = sinx = = sinx = ( ) ( ) ( ) - = 1,2 1 12 12 2 12 2sin2x 1 2sin2x 1 2sin2x В первом случае уравнение решений не имеет. Во втором случае получаем:

sinx = - k+1 sinx = - x = 3 (-1 arcsin +k,k Z ) 3 2sin2x k+1 Ответ.

(-1 arcsin +k,k Z ) Пример 19. Решить уравнение 1+ cos x ctgx = 2sin 2x ( ) Решение.

1+ cos x cosx ( ) 1+ cos x ctgx = 2sin 2x - 4sin xcosx = ( ) sin x cosx + cos2 x - 4 1- cos2 x cosx ( ) cosx + cos2 x - 4sin2 xcosx = 0 = sin x sin x cosx 4cos2x + cos x - ( ) 4cos3x + cos2 x - 3cosx = 0 = sin x sin x Возникают два случая:

cos x = 1. cos x = 0 x = + k,k Z sin x -1± 1+ 4cos2x + cos x - 3 = cos x = ( ) 1, sin x sin x 2.

-1± 7 6 cos x = cos x = -1 cos x = = ( ) ( ) ( ) 1,2 1 8 8 sin x sin x 0 sin x ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Система cos x = - sin x решений не имеет.

Решением системы cos x = sin x являются числа:

x = 2k ± arccos, k Z Ответ. + k,k Z; 2k ± arccos, k Z 2 Пример 20. Решить уравнение tgx - ctgx = cos x Решение.

1 sin x cos x 1 sin2 x - cos2 x - sin x tgx - ctgx = - - = 0 = cos x cos x sin x cos x sin xcos x sin2 x - 1- sin2 x - sin x ( ) 2sin2 x - sin x - = 0 = sin xcos x sin xcos x 1± 1+ 8 1± sin x = sin x = ( ) ( ) 1,2 1, 2sin2 x - sin x -1 = 4 sin x 0 sin x 0 sin x cos x 0 cos x 0 cos x sin x = ( ) sin x =( ) sin x 0 sin x cos x 0 cos x В первом случае система решений не имеет. Во втором случае получаем:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-sin x = - 1 k+sin x 0 sin x = - x = (-1 + k, k Z ) 2 cos x k+Ответ.

(-1 + k, k Z ) Следующие два примера решаются с помощью формул приведения.

Пример 21. Решить уравнение cos 2x - = sin 4x + ( ) Решение.

cos 2x - = sin 4x + 3 sin 2x = -sin 4x sin 2x + sin 4x = ( ) 2sin3xcos x = 0 sin3x = 0 cos x = x = k,k Z, x = + k,k Z 3 Ответ. k,k Z; + k,k Z 3 Пример 22. Решить уравнение 1 1 + = 4cos - x cos x cos x Решение. Поскольку cos x - = -sin x, 7 cos - x = cos 2 - - x = cos - - x = cos + x = 4 4 4 = cos cos x - sin sin x = cos x - sin x, ( ) 4 то исходное уравнение принимает вид ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-1 1 4 1 - = cos x - sin x - - 2 2 cos x - sin x = ( ) ( ) cos x sin x cos x sin x sin x - cos x + 2 2 sin x - cos x = 0 sin x - cos x + 2 2 = ( ) ( ) cos xsin x cos xsin x 1+ 2 2 cos xsin x sin x - cos x = ( ) cos xsin x В результате возникают два случая.

1.

sin x sin x - cos x = 0 sin x = cos x = tg x =1 x = + k,k Z cos x sin xcos x 0 sin xcos x sin xcos x 2.

sin 2x = - 1+ 2 2 cos xsin x 1+ 2 sin 2x = 0 = cos xsin x sin 2x sin 2x 1 k+1 k+1 sin 2x = - 2x = (-1 + k, k Z x = ) (-1 + k, k Z ) 4 8 k+1 k Ответ. + k,k Z;

(-1 +, k Z ) 4 8 Пример 23. Решить уравнение cos x = cos x - tgx Решение. Рассмотрим, сначала, случай cos x > 0. Тогда cos x = cos x и уравнение принимает вид sin x = 0 x = k,k Z - tgx = 2n,n Z cos x > 0 cos x > cos x > Теперь рассмотрим случай cos x < 0. Тогда cos x = -cos x и исходное уравнение принимает вид ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28--cos x = cos x - 2cos x - 15 sin x tgx = 4cos2 x -15sin x = 2 2 cos x cos x < cos x < 0 cos x < 4 1- sin2 x -15sin x = 0 4 - 4sin2 x -15sin x = ( ) cos x < cos x < -15 ± 225 + 4sin2 x +15sin x - 4 = sin x = ( ) 1, cos x < cos x < -15 ±17 sin x = -sin x = ( ) sin x = ( ) ( ) 1,2 8 cos x < 0 cos x < 0 cos x < Первая система решений не имеет. Во втором случае получаем sin x = x = -arcsin + 2k +, k Z cos x < Ответ. -arcsin + 2k +, k Z Пример 24. Решить уравнение tgx = tgx + cos x Решение. Рассмотрим, сначала, случай tgx 0. Тогда tgx = tgx и уравнение принимает вид cos x = 0, что невозможно, т.к. при этом не существует tgx Теперь рассмотрим случай tgx < 0. Тогда tgx = -tgx и исходное уравнение принимает вид ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-4 4 sin x -tgx = tgx + cos x 2tgx + cos x = + cos x = 3 3 cos x tgx < 0 tgx < 0 tgx < 3sin x + 2cos x = 0 3sin x + 2cos x = 0 3sin x = -2cos x cos x tgx < 0 tgx < tgx < tgx = - 2 tgx = - x = -arc tg + k, k Z.

3 tgx < Ответ. -arc tg + k, k Z.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.