WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 36 |
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Томский государственный университет В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА для технических университетов Линейная алгебра Учебное пособие Допущено Учебно-методическим объединением по образованию в области прикладной математики и управления качеством в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 073000 – Прикладная математика Издательство ТПУ Томск 2009 УДК 581 З–15 З–15 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Высшая математика для технических университетов. I.

Линейная алгебра: Учебное пособие.

Томск: Изд-во ТПУ, 2009. 310 с.

Настоящее пособие представляет собой изложение первой части курса Высшая математика и содержит материал по разделам этого курса: Линейная алгебра. Оно содержит теоретический материал в объеме, предусмотренном ныне действующей программой курса высшей математики для инженерно-физических и физических специальностей университетов. Теоретический курс дополнен индивидуальными заданиями для самостоятельного решения по каждому разделу.

Предлагаемое пособие может быть полезно студентам старших курсов, магистрантам и аспирантам, специализирующимся в области теоретической и математической физики.

Пособие предназначено для студентов физических, инженерно-физических специальностей и студентов, обучающихся в системе элитного технического образования.

УДК 581 Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Работа частично поддержана грантом Президента Российской Федерации№ НШ-871.2008.2;

АВЦП Министерства образования и науки РФ № 2.1.1/3436;

Федеральным агентством по науке и инновациям России по контракту № 02.740.11.0238 Рецензенты Доктор физико-математических наук, профессор Томского государственного педагогического университета, г. Томск Осетрин К.Е.

Доктор физико-математических наук, профессор Томского государственного университета, г. Томск Багров В.Г.

© В.Н. Задорожный, В.Ф. Зальмеж, А.Ю. Трифонов, А.В. Шаповалов, © Томский политехнический университет, © Оформление. Издательство ТПУ, Содержание Содержание Введение Глава 1. Матрицы и определители 1. Числовые поля 2. Матрицы и действия над матрицами 2.1. Матрицы................................. 2.2. Простейшие операции над матрицами................. 3. Определитель и его свойства 3.1. Перестановки и определители..................... 3.2. Свойства определителей........................ 3.3. Миноры и их алгебраические дополнения.............. 3.4. Методы вычисления определителей.................. 4. Ранг матрицы и его основные свойства 5. Обратная матрица Глава 2. Системы линейных уравнений 6. Теорема Кронекера–Капелли 7. Системы n линейных уравнений с n неизвестными 7.1. Метод Крамера.............................. 7.2. Матричный метод............................ 7.3. Метод Гаусса–Жордана......................... 8. Произвольные системы линейных уравнений 9. Однородные системы линейных уравнений 10. Связь между решениями однородных и неоднородных систем уравнений 11. Матричные уравнения Глава 3. Линейные пространства 12. Линейные пространства 13. Подпространства Глава 4. Аффинные пространства 14. Аффинные пространства 15. Плоскости в аффинном пространстве 16. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве 17. Системы линейных неравенств и многогранники 18. Симплексы 19. Аффинные пространства и задачи линейного программирования Глава 5. Линейные операторы 20. Линейные операторы. Матрица оператора 21. Действия над линейными операторами 22. Переход от одного базиса к другому 23. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов 24. Канонический вид линейного оператора 25. Билинейные и квадратичные формы Глава 6. Евклидово пространство 26. Скалярное произведение векторов 27. Ортогональность элементов векторного евклидова пространства 28. Ортогональность подпространств евклидова пространства 29. Евклидово (точечно-векторное) пространство 30. Метод наименьших квадратов 31. Операторы в евклидовом пространстве Индивидуальные задания........................... Список литературы Введение Фундамент математического образования в высшей школе составляют три основных раздела математики: линейная алгебра, аналитическая геометрия и математический анализ.

Первый раздел является одним из старейших разделов математики. Его первоначальной задачей считается задача о решении линейного алгебраического уравнения ax + b = 0, которое дало название всему разделу. В дальнейшем обобщение этой задачи проводилось по двум основным направлениям. С одной стороны, рассматривались системы линейных уравнений с двумя, тремя и более неизвестными, а с другой линейные формы заменялись квадратичными, кубическими и другими алгебраическими формами.

Для решения систем линейных уравнений, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, оказалось удобным использовать понятие определителя. В тех случаях, когда число уравнений и число неизвестных не совпадают, оказалось удобным использовать теорию матриц. Эта теория позднее нашла приложение далеко за пределами задачи о решении линейных уравнений.

Теория систем линейных уравнений легла в основу такой математической дисциплины, как аналитическая геометрия, которая позволила свести основные вопросы исследования прямых и плоскостей в пространстве к исследованию систем линейных уравнений. Дальнейшее изучение систем линейных уравнений привело к созданию теории многомерных векторных или линейных пространств.



В аналитической геометрии и теории чисел большое значение стала приобретать задача о преобразовании квадратичных и других алгебраических форм, которая привела к теории многомерных линейных пространств. Отметим, что, в частности, на основе теории алгебраических форм в конце XX в. была доказана теорема Ферма, доказательство которой базируется на свойствах модулярных эллиптических кривых.

Возвращаясь к линейной алгебре, отметим, что большинство е задач допусе кает естественную формулировку в формализмах трех теорий: теории матриц, теории преобразования алгебраических форм и теории линейных пространств.

Тем не менее, наиболее отчетливо внутренние связи между различными задачами линейной алгебры проявляются именно при рассмотрении линейных пространств, которые и являются основным объектом изучения линейной алгебры.

Забегая вперед, отметим, что объединение теории преобразования алгебраических форм и дифференциальной геометрии привело к созданию такой математической дисциплины, как тензорный анализ.

ГЛАВА Матрицы и определители 1. Числовые поля Понятие числа является первичным математическим понятием и возникло в глубокой древности для решения практических задач, возникавших перед людьми.

Для чисел, изучаемых в школьном курсе математики, определены правила работы с ними: известно, что означает сумма двух чисел, что означает их произведение. При этом выполняются законы арифметики.

Натуральные числа 1, 2, 3,..., n,... появились в результате счета и измерения длины, площади, объема, времени, скорости, температуры и т.п. Будем обозначать множество всех натуральных чисел символом N.

Число нуль и отрицательные числа появились в результате потребностей алгебры. Например, без этих чисел невозможно решить уравнения x + 13 = 13, x + 13 = 10.

Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместе с числом 0 составляют класс рациональных чисел Q. Рациональным числом называется частное от деления двух целых чисел p/q, если q = 0.

Каждое рациональное число можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, например 1/3 = 0,3333 · · · = 0,(3) (ноль целых три в периоде).

Однако одних рациональных чисел недостаточно, чтобы обслужить потребности науки и техники. Так, в математике, имея дело только с рациональными числами, мы не можем решить такое уравнение, как x2 - 13 = 0. Этому уравнению должно удовлетворять такое число, квадрат которого равен 13. Можно показать, что среди рациональных чисел Q нет такого числа, квадрат которого равен 13. Поэтому в математике рассматривают так называемые иррациональ ные числа J, такие как 13, 4, 1+2 5 и т.п. Иррациональные числа J записы ваются бесконечными десятичными непериодическими дробями ( 2 = 1,41..., = 3,14159... ).

Совокупность всех рациональных Q и иррациональных J чисел называется множеством действительных или вещественных чисел R, или классом действительных чисел R. Итак, множество R действительных чисел состоит из двух частей (подмножеств): множества Q рациональных чисел и множества J иррациональных чисел.

Действительные числа R изображаются точками числовой оси. Числовой осью называют прямую Ox, на которой выбраны: 1) начало отсчета 0; 2) положительное направление (указывается стрелкой) и 3) масштаб для измерения длин H (рис. 1). Каждому числу соответствует точка на числовой оси и наоборот. Между точками числовой оси и действительными числами R устанавливается взаимно однозначное соответствие: действительному числу a соответствует точка M1 с координатой x = a, причем точка M1 будет находиться справа от начала координат, если x > 0, и слева от него, если x < 0. Наоборот, каждой точке N соответствует действительное число x2 = b – координата этой точки.

Поэтому вместо слова число говорят точка и наоборот.

Рис. 1.

6 Глава 1. Матрицы и определители Множество R всех действительных чисел обладает следующими свойствами:

1) оно упорядочено. Это означает, что между любыми двумя числами a и b имеет место одно и только одно из тр соотношений ех a < b, a = b, a > b.

2) Это множество R плотное, т.е. как бы ни была мала разность между любыми двумя действительными числами a и b, между ними содержится бесконечное множество промежуточных действительных чисел x (как Q рациональных, так и J иррациональных), т.е. чисел, удовлетворяющих неравенству a < x < b.

Это множество R – непрерывное. Для объяснения этого понятия поступают так:

сечением множества R называют разбиение всех действительных чисел на два класса: нижний класс A и верхний класс B, такое, что каждое действительное число содержится только в одном классе и любое число нижнего класса A меньше любого числа верхнего класса.

Тогда (в этом заключается свойство непрерывности) всякое сечение определяет единственное действительное число a, являющееся пограничным числом, отделяющим числа класса A от чисел класса B. Само число a является либо наибольшим числом в классе A (и тогда в классе B нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе B (и тогда в классе A нет наибольшего числа).

Это утверждение составляет содержание теоремы Дедекинда.

Понятие числового поля обобщает понятие совокупности чисел. Обобщение происходит путем отвлечения от конкретной природы объектов и правил операций над ними.





Числовым полем K называют всякую совокупность объектов, называемых числами, в которой можно производить с этими объектами четыре арифметических действия. Любой паре чисел a и b из K отвечают число c = a+b, называемое суммой чисел a и b, и число d = a·b (или d = ab), называемое произведением чисел a и b, причем все a, b, c, d K. Операции сложения и умножения подчинены следующим аксиомам.

I. Операция сложения чисел коммутативна, т.е. для всех a, b K справедливо a + b = b + a.

II. Операция сложения чисел ассоциативна: для всех a, b, c K справедливо (a + b) + c = a + (b + c).

III. Для всех a K существует нулевой элемент 0 K, такой что a + 0 = a.

IV. Для всех a K существует такой противоположный элемент b K, что a + b = 0.

V. Операция умножения чисел коммутативна: для любых a, b K справедливо ab = ba.

VI. Для всех a K существует единичный элемент 1 K, такой, что 1·a = a.

VII. Операция умножения чисел ассоциативна: для любых a, b, c K справедливо a(bc) = (ab)c.

VIII. Для любого a K существует обратный элемент b K, такой что ab = 1 (обратный элемент b = 1/a = a-1).

Операции сложения и умножения связаны. Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению: для любых a, b, c K справедливо (a + b)c = ac + bc.

Разрешимость уравнения a + b = 0 для всех a K позволяет ввести операцию вычитания. Разность a-b, по определению, есть a+c, где c решение уравнения b + c = 0.

Разрешимость уравнения ab = 1 для всех не равных нулю a K позволяет ввести операцию деления на a = 0. Частное b/a есть произведение bc, где c – решение уравнения ac = 1.

2. Матрицы и действия над матрицами Множество натуральных чисел N не является полем, поскольку не выполняется аксиома 4. Множество целых чисел Z не является полем, так как нарушается аксиома 8 (так, 1/2 Z).

/ Множество вещественных чисел R и множество рациональных чисел Q являются полями относительно операций сложения и умножения.

Множество комплексных чисел z = a + ib, где a и b вещественные числа с правилами действий z1 + z2 = (a1 + ib1) + (a2 + ib2) = (a1 + a2) + i(b1 + b2);

(1.1) z1z2 = (a1 + ib1)(a2 + ib2) = (a1a2 - b1b2) + i(a1b2 + a2b1) также является полем. Для чисел z = a+i0 операции (1.1) приводят к действиям над вещественными числами a, и мы получим z = a+i0 = a. Комплексные числа z = 0 + ib называются чисто мнимыми и обозначаются ib.

Из правила умножения следует, что i2 = (0 + i1)(0 + i1) = -1.

Число i называют мнимой единицей.

Поле комплексных чисел обозначается через C.

2. Матрицы и действия над матрицами 2.1. Матрицы Произвольная совокупность чисел aj из поля K, расположенная в виде k прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов, называется m nматрицей и обозначается одним из следующих символов:

a1 a1... a1 2 n a2 a2... a2 = aj m aj.

n A = = (2.1)..1............... k n k am am... am 1 2 n Две матрицы A = aj и B = bj называются равными, если k k aj = bj, j = 1, m, k = 1, n. (2.2) k k Иногда удобнее вместо верхнего и нижнего индексов использовать только нижние. Условимся о правиле соответствия двух записей:

Первая запись Вторая запись верхний индекс первый индекс нижний индекс второй индекс.

Если число столбцов матрицы A равно 1, то такой матрице индексы нужны только для нумерации строк. Такую матрицу называют матрицей-столбцом (или вектор-столбцом) и обозначают a aA = = aj.

...

am Число n, равное числу элементов в матрице-столбце, называют его высотой.

8 Глава 1. Матрицы и определители Аналогично матрицу с размерами 1n называют матрицей-строкой (или вектор-строкой) и обозначают A = (a1 a2... an) = ak.

Число элементов в матрице-строке называют ее длиной.

Зачастую нам придется рассматривать сумму большого числа слагаемых, имеющих один и тот же вид и различающихся только индексами, или их произn ведение. Символ, вслед за которым записано некое выражение, содержащее k=l индекс k, обозначает сумму таких выражений для всех значений индекса от l до n:

n akbk = albl + al+1bl+1 +... + anbn.

k=l Аналогично произведение записывается следующим образом:

n ak = al · al+1 · al+2 · · · an.

k=l Индекс n называется индексом суммирования или произведения.

Сформулируем правила обращения со знаком суммы.

1. Индекс суммирования может быть изменен, т.е.

n n xj = xk.

j=l k=l Поэтому говорят, что индекс суммирования является немым.

2. Множитель, не зависящий от индекса суммирования, можно вынести за знак суммы:

n n axj = a xj.

j=l j=l 3. Два знака суммы с независимыми пределами можно переставить, т.е.

n m m n aj = aj.

k k k=l j=p j=p k=l Наряду с только что введенным знаком суммы будем пользоваться правилом сокращенного суммирования Эйнштейна: если в каком-либо выражении встречаются два одинаковых индекса, верхний и нижний (akxk, k = l, n), то предполагается суммирование по этому индексу, т.е.

n akxk = akxk.

k=l Тогда из свойства 1 следует ai bj = ai bk.

j n k n 2. Матрицы и действия над матрицами 2.2. Простейшие операции над матрицами Рассмотрим две матрицы A = aj и B = bj размера m n, элементы k k которых принадлежат числовому полю K. Тогда Суммой двух mn-матриц A = aj и B = bj называется mn-матрица k k C = cj, элементы которой равны k cj = aj + bj, j = 1, m, k = 1, n. (2.3) k k k Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 36 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.