WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 19 |

<2 мин 10 мин 4,5час 36,5 час Вероятность выхода цепочки составляет p = 0,98 %. Среди этих продуктов деления родий Rh имеет наибольшее сечение радиационного за ек с Глава 1. РАСЧЕТЫ ИЗМЕНЕНИЯ НУКЛИДНОГО СОСТАВА хвата C(0,0253)=16000 б и может оказать влияние на отравление реактора, а сечение радиационного захвата его предшественника на ту же энергию равно C(105Ru)=2,6 б [9,16].

Найти законы изменения концентрации 105Rh и его предшественника, а также показать зависимость установления равновесной концентрации родия.

1.3.24. При работе ЯР образуется тритий – изотоп водорода с массовым числом 3. Он образуется в результате тройного деления ядер U, в результате активации ядер дейтерия, содержащихся в воде, и при других реакциях. Период полураспада трития T1 2 =12,4 года, а вероятность его выхода при делении U равна p5 = 0,0087. Скорость образования 3H при активации дейтерия D NT t = 27,6 NH V T, ( ) где N - ядерная концентрация водорода в теплоносителе, V - объем H теплоносителя, T - средняя по активной зоне плотность потока тепловых нейтронов. Известно, что из под оболочки твэла в теплоноситель попадает 0,1 трития. Теплоноситель постоянно обновляется в количестве 0,214 расхода через реактор. Определите закон изменения концентрации трития NT (t), предполагая, что тритий образуется только при делении топлива, обогащение которого c5 =100, и активации дейтерия.

Примечание: Численные значения нейтронно-физических констант, необходимые для решения задач можно найти в [1-3,5,6]. Примеры отдельных моделей рассмотрены в [1,5,7-11,14-16], радиоактивных цепочек [17].

§1.4. Математическая формулировка задачи Предположим, что изменение концентрации материнского радионуклида может быть выражено уравнением:

dN1 t ( ) = -1N1 t + q1, (1.9) ( ) dt ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ где N1(t) - текущая концентрация первого радионуклида; q1 - постоянная; - постоянная распада, определяемая соотношением через период полураспада Tln 2 0,1=. (1.10) T1 TС точки зрения баланса уравнение (1.9) можно трактовать следующим образом. Скорость изменения концентрации материнского радионуклида dN1/dt складывается из скорости убыли его за счет радиоактивного распада - 1N1 и постоянной скорости прибыли q1 от внешнего источника, например, в результате образования за счет реакции деления в ядерном реакторе. В случае отсутствия источника q1=0.

Изменение концентрации дочерних радионуклидов по цепочке распада можно записать в виде системы уравнений:

dN2 t ( ) =1N1 t - N2 t, ( ) ( ) dt dN3 t ( ) = N2 t - N3 t, ( ) ( ) 2 dt ---------------------------------- dNi t ( ) = Ni-1 t - Ni t, (1.11) ( ) ( ) i-1 i dt dNn t ( ) = Nn-1 t, (1.12) ( ) n-dt Видно из (1.11), что скорость изменения концентрации i-го дочернего радионуклида складывается из прибыли за счет радиоактивного распада нуклида предшественника + i-1Ni-1 и скорости убыли также изза распада i-го нуклида - iNi.

Если цепочка заканчивается стабильным нуклидом Nn, то его уравнение (1.12) будет учитывать только прибыль за счет радиоактивного распада предшествующего нуклида.

Чтобы найти частные решения системы (1.9), (1.11), (1.12) необходимо дополнить ее начальными условиями, например, Глава 1. РАСЧЕТЫ ИЗМЕНЕНИЯ НУКЛИДНОГО СОСТАВА t = 0 N1 0 = N10, Ni 0 = 0, (1.13) ( ) ( ) которые означают, что на нулевой момент времени в наличии имелся только первый нуклид.

Таким образом, математической постановка задачи динамики радионуклидов включает систему управляющих дифференциальных уравнений и начальные условия. В нашем примере математическая постановка определяется системой (1.9), (1.11)-(1.13).

Естественно, математическая постановка изменится, если будут иметь место другие источники прибыли и убыли нуклидов, как-то выжег под действием нейтронного потока aNФ, генерация в процессе деления топлива pfФ и др.

Зачастую целесообразнее получить решение системы при произвольных начальных условиях, из которого легко следуют частные случаи.

Пример с учетом вышеупомянутых составляющих материального баланса и применения произвольных начальных условий рассмотрен в §1.6.

§1.5. Основной метод решения Уравнения (1.9), (1.11), (1.12), описывающие динамику радионуклидов, представляют собой нормальную систему неоднородных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Запишем это уравнение в нормированном виде y + P(x)y = Q(x) (1.14) и напомним, что линейным уравнением неоднородным относительно y и y называют такое уравнение, в котором неизвестная функция и ее производная входят в уравнение линейно или в первой степени.

Отметим в качестве основного метод выделения интегрирующего множителя. Если записать интегрирующий множитель в виде [4] = exp P x dx, ( ) ( ) то общее решение получают по формуле:

-y = µ Q x µ dx + C ( ) ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ или y = exp ( ) ( ) P(x)dx Q(x) exp P( x)dx dx + C, (1.15) где константа C определяется из начальных условий.

Заметим, что часть задач позволяет получить решение прямым интегрированием. Тем не менее, в работе требуется получить решение по процедуре указанного метода.

§1.6. Динамика отравления теплового реактора самарием Рассмотрим в качестве примера составление балансового дифференциального уравнения изменения концентрации самария Sm в активной зоне реактора и получение его аналитического решения.

1.6.1. Вербальная постановка задачи Одним из особо сильных «паразитных» поглотителей нейтронов в активной зоне реактора на тепловых нейтронах является изотоп самария 149Sm эффективное сечение поглощения, которого при максвелловском спектре нейтронов примерно равно Sm 5104 б. Появление этого стабильного нуклида характеризует следующая цепочка распада осколков деления 149Nd 235 1 149 149 149 1 U + n Nd Pm Sm + n Sm шлак.

( ) 92 0 60 61 62 0 p=1,13% 1,8 Здесь периоды полураспада неодима и прометия даны в часах.

На основе этих исходных данных требуется составить приемлемую для практики математическую модель процесса.

1.6.2. Построение математической модели динамики процесса Поскольку Nd сравнительно быстро превращается в Pm, то есть соотношение периодов полураспада имеет вид:

T1/2(Nd) << T1/2(Pm), Глава 1. РАСЧЕТЫ ИЗМЕНЕНИЯ НУКЛИДНОГО СОСТАВА то его можно не учитывать и считать, что в результате деления непосредственно образуется Pm с вероятностью выхода pPm = pNd = 0,0113.

Тогда дифференциальное уравнение изменения концентрации Pm в соответствие с цепочкой A=149 примет следующий вид:

dNPm t ( ) = pPm Ф t - NPm t -PmNPm t Ф t.

( ) ( ) ( ) ( ) f Pm dt Так как сечение радиационного захвата Pm сравнительно мало, то радиационным отжигом прометия часто пренебрегают. Кроме того, считается, что плотность потока нейтронов изменяется в переходном процессе до следующего уровня мощности очень быстро, как бы «скачком», что позволяет переписать последнее уравнение в более простом виде:

dNPm t ( ) = pPm Ф - NPm t, (1.16) ( ) f Pm dt то есть скорость изменения концентрации Pm складывается из скорости накопления в виде осколка деления и скорости убыли из-за радиоактивного распада.

Дифференциальное уравнение изменения концентрации Sm очевидно согласно цепочке, можно записать следующем образом:

dNSm t ( ) = NPm t -SmNSm t Ф, (1.17) ( ) ( ) Pm dt где учтены процесс накопления Sm из-за радиоактивного распада Pm и убыль Sm из-за радиационного отжига.

Решение системы (1.16)-(1.17) удобнее искать для произвольных начальных условий, которые представим как:

t = 0, NPm 0 = NPm 0, NSm 0 = NSm 0, =2. (1.18) ( ) ( ) ( ) ( ) Это означает, что на какой-то момент изменения параметра процесса Ф до нового уровня мощности реактора N2 ~ 2 время принимается за нулевое значение, и ему будут соответствовать новые начальные значения концентраций NPm 0 и NSm 0, сложившиеся к этому моменту ( ) ( ) перехода с мощности N1 ~ 1 на мощность N2 ~ 2.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ Решения, полученные для произвольных начальных условий, удобны тем, что позволяют легко отстраивать частные закономерности для различных режимов работы реактора.

Таким образом, система уравнений (1.16)-(1.18) представляет собой математическую постановку задачи отравления 149Sm с произвольными начальными условиями.

1.6.3. Нахождение аналитического решения Поскольку уравнения (1.16), (1.17) представляют собой нормальную систему неоднородных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка, то воспользуемся известной методикой их решения (см. §1.5).

Если записать уравнение (1.16) в нормированном виде (1.14), то очевидно P x ~, Q x ~ pPm Ф( ) ( ) Pm f и решение можно записать в общем виде (1.15) NPm t = exp - dt pPm Ф2 exp dt dt +C ( ) ( ) ( ) Pm f Pm.

После интегрирования получим:

pPm Фf NPm t = exp exp t + C ( ) (- t ) ( ).

Pm Pm Pm Восстановим константу C, для чего последнее уравнение удовлетворим начальному условию (1.18) pPm f NPm 0 =+ C = NPm 0, ( ) ( ) Pm откуда pPm f C = NPm 0 -.

( ) Pm Глава 1. РАСЧЕТЫ ИЗМЕНЕНИЯ НУКЛИДНОГО СОСТАВА Таким образом, аналитическое решение для изменения концентрации Pm примет вид:

pPm Ф2 pPm Фff NPm t =+ NPm 0 -exp. (1.19) ( ) ( ) (- t ) Pm Pm Pm Подставим последнее решение в дифференциальное уравнение изменения концентрации 149Sm (1.17) и запишем его в виде (1.14). Тогда P x ~ Ф( ) Sm Q x ~ pPm Ф2 + NPm 0 - pPm Ф2 exp ( ) ( ) (- t.

) ( ) ff Pm Pm Очевидно, общее решение (1.15) в неявной форме после частичного интегрирования примет вид:

NSm t = exp -SmФ2t ( ) ( ) pPm Ф2 + NPm 0 - pPm Ф2 exp ( ) (- t ) () f Pm f Pm () exp SmФ2t dt + C1.

Дальнейшее интегрирование с учетом начального условия (1.18) позволяет найти константу pPm NPm 0 - pPm Ф( ) f Pm f C1 = NSm 0 - +.

( ) Sm -SmФPm Следовательно, искомое уравнение изменения концентрации Sm для произвольных начальных условий примет вид:

pPmf PmNPm 0 pPmfФ( )NSm t =( ) (-Pmt + ) Sm Pm-SmФ2 exp (1.20) pPmf PmNPm 0 pPmfФ( )+NSm 0 - + -SmФ2t.

( ) () Sm Pm-SmФ2 exp ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ Покажем в качестве примера получение частного решения. Так в случае нулевых начальных условий t = 0 NPm 0 = NSm 0 = 0, =2, ( ) ( ) что соответствует условиям начала работы «свежего» или еще неработающего реактора, из уравнений (1.19), (1.20) получим:

pPm Фf NPm t = 1- exp (1.21) ( ) (- t, ) Pm Pm pPm f NSm t = ( ) Sm (1.22) SmФPm 1+ exp exp -SmФ2t (- t ) () Pm.

- SmФ2 - SmФ Pm Pm Эти результаты согласуются с известными решениями [1] для режима пуска свежего реактора и позволяют довольно просто провести анализ процесса.

Прежде всего, следует убедиться, что решения удовлетворяют начальным условиям, т.е. при t = 0. Затем проверить функцию на экстремум. Очень важные данные следуют на асимптотике функции при t :

pPm Фf NPm,0 =, (1.23) Pm pPm f NSm,0 =. (1.24) Sm Эти так называемые равновесные концентрации можно найти и непосредственно из уравнений (1.16), (1.17), полагая dNPm dt =dNSm dt =0.

Получив аналитические решения задачи и проведя их анализ, следует результаты представить в виде графиков, удобных для оперативной работы.

Глава 1. РАСЧЕТЫ ИЗМЕНЕНИЯ НУКЛИДНОГО СОСТАВА §1.7. Построение графиков решения Сделаем несколько замечаний к построению графического решения [1].

Можно видеть, что аналитическое решение неоднородного обыкновенного линейного дифференциального уравнения первого порядка выражается экспоненциальной зависимостью (1.15). Если пролога- N(t)/N рифмировать закон простого ра- диоактивного распада (1.3), то 12,получим уравнение прямой. В по- 10 6,3,лулогарифмическом масштабе 1,0,этот закон представлен на рис.1.2.

0,График имеет большое 0,практическое значение, так как 0,0 2 4 6 8 t / T позволяет:

1/определить количество радиоакРис.1.2. Закон радиоактивного распада тивного нуклида в любой момент времени при известном N(t)/N периоде полураспада T1 / 2 и на1,чальной концентрации нуклида 0,N(0) N0 ;

приближенно отстроить лога- 0,рифмическую ось.

0,Если предположить, что в результате радиоактивного рас0,пада образуется стабильный t / T 0 1 2 3 1/нуклид, то графики решения буРис.1.3. Экспоненты распада и накопдут иметь вид, представленный ления радиоактивного нуклида на рис.1.3.

Экспоненциальную зависимость удобно выражать в относительных единицах, как, например, это представлено на рис.1.2 и 1.3.

Весьма удобным приемом построения экспоненциальных зависимостей является следующий алгоритм построения графика функции:

N t ( ) ln = exp t = exp - t = 2-t T1/. (1.25) () N0 T1/ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ Можно видеть (см. рис.1.4), что за 1-й период времени, равный одному периоду полураспада нуклида распадется половина исходных ядер, за 2й период – следующая половина оставшихся и т.д. Расчетные значения обозначены на графике рис.1.4 точками.

Очевидно, что полный распад всех исходных ядер произойдет при N(t)/N времени t. На практике времен1,ной интервал часто ограничивают 0,( - 5 T1/ 2, что дает, как это следует ) 0,из графика рис.1.4 погрешность не 0,более 6,25 и 3,125%, соответственно.

0,0,В дальнейшем при графическом по0,строении экспонент будет предпола0,0,гать их «насыщение» при t = 5T1/ 2.

t / T 4 6 0 эф Кроме того, заметим, что люРис.1.4. Графический алгоритм бую экспоненту можно трансформипостроения экспоненты ровать к виду (1.25), вводя эффективный период ln Tэф =, A в результате получим:

N t ( )= exp t = exp - t = 2-t Tэф.

ln (-А ) N0 Tэф КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Пояснить составляющие уравнения изменения концентрации материнского радионуклида 2. Из чего складывается скорость изменения концентрации i-того дочернего радионуклида 3. Какие условия называются нулевыми 4. Как будет выглядеть математическая постановка задачи, описанная уравнениями (1), (3), (4), (5), при наличии внешнего источника прибыли для n-1радионуклида 5. Какие уравнения называются неоднородными линейными уравнениями первого порядка Глава 1. РАСЧЕТЫ ИЗМЕНЕНИЯ НУКЛИДНОГО СОСТАВА 6. Какие промежуточные звенья цепочки распада можно не учитывать при составлении математической модели процесса и почему 7. Какие допущения относительно изменения плотности потока при переходе с одного уровня мощности на другой приняты в данной работе и для чего 8. Пояснить использование метода выделения интегрирующего множителя на своей задаче 9. Записать начальные условия для своей задачи и пояснить их значение.

10. Что называется постоянной распада и как она связана с периодом полураспада, средним временем жизни, единицы измерения.

11. Покажите на графике для своей задачи, через какое время концентрация нуклида стабилизируется, какому периоду полураспада соответствует это время 12. За какой процесс отвечает каждое из слагаемых уравнения:

dNi(t)= pi Ф(t)- Ni(t)- Ni(t)Ф(t) f i i dt ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ Глава 2.

СПЕКТРЫ НЕЙТРОНОВ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ Выполнение работы ставит следующие задачи:

• изучить:

• типы спектров, встречающихся в ядерной физике и теории ядерных ректоров, и методику определения их основных характеристик;

• особенности спектров Максвелла для обычного и нейтронного газов, а также спектров замедляющихся, мгновенных и запаздывающих нейтронов;

• принципы основных методов экспериментального определения спектров энергетических реакторов;

• выяснить главные причины формирования спектров энергетических реакторов на быстрых и тепловых нейтронах;

• освоить методику расчета основных характеристик спектра, необходимых для проведения нейтронно-физических расчетов;

• получить навыки построения и обработки графиков и подбора аппроксимационных функций.

§2.1. Общие сведения о спектрах В системе частиц протекает огромное число случайных процессов (движение каждой частицы, изменение ее энергии, состава и т.п.). В результате наложения этих случайных процессов проявляются законы, называемые статистическими. Они и определяют поведение всей системы частиц.

Статистические законы характеризуются средними значениями физических величин. По средним значениям физических величин и судят о состоянии системы из большого числа частиц, о процессах, происходящих в ней.

Средние значения физических величин или непосредственно измеряют в эксперименте, или находят по спектру физической величины.

Глава 2. СПЕКТРЫ НЕЙТРОНОВ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ Под спектром физической величины (спектр масс, энергий, частот и т.д.) понимают распределение частиц системы по значениям этой физической величины.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 19 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.