WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |
Министерство образования Российской Федерации Томский политехнический университет В.К.БАРЫШЕВА, Ю.И.ГАЛАНОВ, Е.Т.ИВЛЕВ, Е.Г.ПАХОМОВА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебное пособие Издательство ТПУ Томск 2004 УДК 519.21(0.75,8) ББК 22 171 Я73 Т338 Барышева В.К., Галанов Ю.И., Ивлев Е.Т., Пахомова Е.Г.

T338 Теория вероятностей. Учебное пособие. — Томск: Изд– во ТПУ, 2004. — 136 с.

ISBN Пособие содержит решение типовых задач по основным разделам теории вероятностей, предусмотренных программой подготовки бакалавров и магистров. Каждый раздел содержит краткое теоретическое введение, решение типовых задач и задачи для самостоятельного решения. Приведено 20 вариантов индивидуальных заданий по 11 задач в каждом. Работа предназначена для студентов второго курса, изучающих теорию вероятностей и для преподавателей, ведущих практические занятия по данному курсу.

УДК 519.21(0.75,8) ББК 22 171 Я73 Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Рецензенты Кандидат физико-математических наук, доцент ТПУ А.А. Лучинин Кандидат физико-математических наук, доцент СГТИ И.Л. Фаустова Кандидат технических наук, доцент ТГУ И.Г. Устинова © Томский политехнический университет. 2004 © Оформление. Издательство ТПУ, 2004 ISBN Введение 3 Введение Теория вероятностей — раздел математики, в котором изучаются общие закономерности случайных явлений массового характера независимо от их конкретной природы.

Она разрабатывает методы количественной оценки влияния случайных факторов на различные явления. Знание этих закономерностей позволяют предвидеть, как эти события будут протекать в реальном опыте.

Исторически первым полем приложения статистических методов анализа явились азартные игры. Схемы азартных игр явились первыми четкими моделями случайных явлений (начало XVII века: Галилей, Паскаль, Ферма, Гюйгенс, Якова Бернулли). В связи с серьезными потребностями естествознания (теория ошибок, теория стрельбы, статистика народонаселения) в XVIII веке создавался развитой математический аппарат и связан с именами Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона.

Окончательно теория вероятностей как математическая наука оформилась в 30-х годах XX века, когда А. Н. Колмогоровым была предложено аксиоматическое определение вероятности.

Во второй половине XX века характерно проникновение статистических методов во все отрасли человеческих знаний. Это теоретическая физика, кибернетика, теория информации, теория массового обслуживания, теория надежности, математическая теория игр, теория операций и др. Теория вероятностей, как прикладная наука, стала одним из надежных, точных и эффективных способов познания реальной действительности.

Структура пособия следующая. В начале каждого параграфа дается сжатое теоретическое введение, содержащее основные определения, формулировки главных теорем и необходимые формулы. Затем приводится полное решение нескольких характерных задач и задачи для самостоятельного решения; большинство из них снабжены ответами.

Работа содержит 20 заданий по 11 задач в каждом.

4 Введение Задача 1 имеет целью привить навыки решения комбинаторных задач.

Задача 2 посвящена теме «Алгебра событий».

Задачи 3-4 — на подсчет вероятностей по классической схеме.

Задача 5 предусматривает подсчет вероятностей сложных событий с помощью формул сложения и умножения вероятностей.

Задача 6 посвящена независимым испытаниям, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.

Задача 7 предусматривает подсчет вероятностей сложных событий с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Задачи 8-9 по теме «Дискретные и непрерывные случайные величины».

Задача 10 посвящена числовым характеристикам случайных величин.

Задача 11 — по теме «Законы распределения случайных величин».

Цель данного пособия:

• Дать студентам некоторые Методические рекомендации, разъясняющие подход к решению задач.

• Активизировать самостоятельную работу студентов, предложив им индивидуальные задания.

Настоящие пособие рекомендуются в помощь студентам второго курса при изучении темы «Теория вероятностей», а также преподавателям — при подготовке к практическим занятиям.

Глава Случайные события и их вероятности 1.1 Алгебра событий 1.1.1 Классификация событий Под опытом (экспериментом, испытанием) будем понимать воспроизведение некоторого конкретного комплекса условий. Всякое испытание заканчивается одним и только одним из исходов. Опыт называется случайным, если его результат точно нельзя предсказать. Всякий исход опыта называется событием. Исходы случайного эксперимента называются случайными событиями. События будем обозначать большими буквами латинского алфавита A, B, C, D,....

Примеры событий:

• Появление герба при бросании монетки.

• Попадание в цель при выстреле.

• Обнаружение объекта при одном цикле обзора радиолокационной станции.

• Обрыв нити в течение часа работы ткацкого станка.

Событие называется достоверным, если оно в результате опыта обязательно произойдет, и обозначается.

Событие называется невозможным, если оно в результате опыта не может произойти, и обозначается.

Пусть, например, при бросании двух монет наступили события: A — выпадение двух решек, B — выпадение не более двух решек, C — выпадение трех решек. Здесь A — случайное событие, B — достоверное событие, C — невозможное событие.

6 ГЛАВА 1. СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ Два события называются несовместными, если их совместное осуществление — событие невозможное при одном испытании. Если события не являются несовместными, то они совместны.



Различают элементарные и составные события. Событие называется элементарным в условиях данного опыта, если оно является результатом одного и только одного исхода. Все остальные события называются составными.

Множество всех взаимоисключающих (элементарных) в условиях данного опыта событий (1, 2,..., n) называется пространством элементарных событий и обозначается, а сами эти события называются точками этого пространства. Это множество составляет, в то же время, достоверное событие.

Говорят, что несколько событий в условиях данного опыта образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет одно и только одно из них.

Событие A называется противоположным событию A, если они несовместны и образуют полную группу.

1.1.2 Aлгебра событий Aлгебра1 событий строится по аналогии с алгеброй в теории множеств. Будем изображать пространство элементарных событий в виде прямоугольника, а любое событие в виде произвольной геометрической фигуры схема Эйлера — Венна, см. рисунок 1.1.

Рис. 1.1. 1–событие A; 2–событие B; 3–A, B совместны;4–A, B несовместны; 5– событие A и ему противоположное Случайное событие — это некоторая выделенная подгруппа элементарных событий, рассматриваемая как одно Aлгебра — это множество элементов с операциями, установленными на данном множестве.

1.1. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ целое. Следовательно, случайное событие, в рамках данного случайного опыта, может иметь различные формы реализации. В математической модели случайное событие A — это подмножество множества : A.

Для того чтобы математически выражать отношения между элементарными и составными (простыми или сложными) событиями достаточно ввести две основные операции: взятие противоположного события и одну из двух операций — сложение или умножение событий. Все другие операции выражаются через основные.

Суммой событий A и B называется событие C = A + B (C = A B), состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий, то есть, если наступает или одно событие A, или одно событие B, или оба события вместе.

Произведением событий A и B называется событие C = AB, C = A B), состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одновременно и событию A и событию B, т.е. когда происходят вместе и событие A, и событие B.

Введенные операции удобно изобразить на схеме Эйлера — Венна (1.2, 1.3), где результаты операций изображены в виде заштрихованных областей.

Рис. 1.2. Произведение и сумма Рис. 1.3. Произведение и сумма совместных событий несовместных событий События называются равными, если они состоят из одних и тех же элементарных событий (эквивалентные, или равносильные события). Введенные операции над событи8 ГЛАВА 1. СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ ями обладают следующими свойствами:

A + A = A A · A = A A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A + = A · = A AB = BA A · = A(B + C) = AB + AC A + (BC) = (A + B)(A + C) A + A = A + = A A + B = AB A · B = A + B Разностью событий A и B называется событие C = A - B или (C = A\B = A · B), состоящее из элементарных событий, которые принадлежат A, но не принадлежат B, т.е. событие A происходит без события B.

Говорят, что событие A влечет событие B (A B), если при совершении события A событие B обязательно произойдет (событие A содержится в B). (Рисунок 1.4) Рис. 1.4. Схема Эйлера–Венна для разности и включения.

1.1.3 Решение задач Задача. 1.1.1 По каналу связи последовательно передано три знака. Описать пространство элементарных событий и события:

1. принят только первый знак;

2. принят, по крайней мере, один знак;

3. приняты два и только два знака;

4. принято меньше двух знаков;

5. принят один знак 1.1. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ Решение. Используем цифры 0, 1 для обозначения событий: 0 — знак искажен, 1 — знак принят. Тогда пространство элементарных событий запишется в виде • ={000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111} и имеет размерность восемь.

• Событие A1 — принят только первый знак: A1 = {100};

• Событие A2 — принят по крайней мере один знак:

• A2 = {100 + 010 + 001 + 110 + 101 + 011 + 111} = \{000};

• Событие A3 — приняты два и только два знака: A3 = {110 + 011 + 101};

• Событие A4 — принято меньше двух знаков: A4 = {000 + 100 + 010 + 001};

• Событие A5 — принят один знак: A5 = {100 + 010 + 001}.

Из полученных результатов следует, что 1. события A1 и A3 — несовместные 2. события A4, A3 — несовместные 3. события A3, A5 — несовместные 4. A5 влечет A4 (A5 A4) 5. события A1 и A2 — совместны, 6. A2 и A3, A1 и A4, A1 и A5, A2 и A4 — совместные;

7. A1 A5 A4 ; A3 A2 ; A1 = A5 + A2.

Изобразим эти события на схеме Эйлера–Венна.(1.5) Рис. 1.5. К решению задачи 1.1.10 ГЛАВА 1. СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ Задача. 1.1.2 Игральная кость брошена дважды.

1. Описать пространство элементарных событий.

2. Описать пространство элементарных событий, если его элементами служат суммы выпавших очков.

3. Назвать элементы, составляющие события:

• A — сумма очков равна 7;

• B — хотя бы на одной кости выпала 1;

• C — сумма очков делится на 3.

4. Описать словами события:

• D = {(11), (12), (21)};

• E = {(46), (55), (64)}.

5. Изобразить события A, B, C, D, E на диаграмме Эйлера–Венна.

Решение.

1. = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22,..., 66}, 2. = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 3. • A = {16, 61, 34, 43, 25, 52};

• B = {11, 12, 21, 13, 31, 14, 41, 15, 51, 16, 61} • C = {12, 21, 36, 63, 45, 54, 33, 15, 51, 24, 42, 66}.

• D = {СУММА ОЧКОВ РАВНА 2 ИЛИ 3 };

• E = {СУММА ОЧКОВ РАВНА 10}.





Рис. 1.6. Схема Эйлера — Венна к решению задачи 1.1.1.1. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ Задача. 1.1.3 Даны две электрические схемы:

Рис. 1.7. К решению задачи 1.1.Описать событие: C = {ЦЕПЬ ЗAМКНУТA} для каждого случая.

Решение. Введем обозначения: событие A — контакт 1 замкнут; событие B — контакт 2 замкнут; событие C — цепь замкнута, лампочка горит.

1. Для параллельного соединения цепь замкнута, когда хотя бы один из контактов замкнут, поэтому C = A + B;

2. Для последовательного соединения цепь замкнута, когда замкнуты оба контакта, поэтому C = A · B.

Задача. 1.1.4 Составлены две электрические схемы:

Рис. 1.8. К решению задачи 1.1.Событие A — цепь замкнута, событие A - i–й конi такт замкнут. Для какой из них справедливо соотношение A1 · (A2 + A3 · A4) · A5 = A Решение. Для первой схемы A = A1 · (A2 · A3 + A4 · A5), так как параллельному соединению соответствует сумма событий, а последовательному соединению — произведение со12 ГЛАВА 1. СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ бытий. Для второй схемы A = A1 · (A2 + A3 · A4 · A5). Следовательно, данное соотношение справедливо для второй схемы.

Задача. 1.1.5 Упростить выражение (A + B)(B + C)(C + A).

Решение. Воспользуемся свойствами операций сложения и умножения событий.

(A + B)(B + C)(A + C) = (AB + AC + BB + BC)(A + C) = = (AB + AC + B + BC)(A + C) = (AB + AC + B)(A + C) = (B + AC)(A + C) = = BA + BC + ACA + ACC = BA + BC + AC.

Задача. 1.1.6 Доказать, что события A, AB и A + B образуют полную группу.

Решение. При решении задачи воспользуемся свойствами операций над событиями. В начале покажем, что эти события попарно несовместны.

A · B = A B = · B = A A + B = A · B = A B = B = B · A + B = B · B = BB = = A теперь покажем, что сумма этих событий дает пространство элементарных событий.

A + AB + A + B = A + AB + A · B = = A + A(B + B) = A + A = A + A = Задача. 1.1.7 С помощью схемы Эйлера–Венна проверить правило де-Моргана:

AB = A + B 1.1. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ Решение.

Рис. 1.9. К решению задачи 1.1.а) Заштриховано событие AB.

б) Событие A — вертикальная штриховка; событие B — горизонтальная штриховка. Событие {A + B} — заштрихованная область.

Из сопоставления рисунков а) и в) следует:

AB = A + B.

1.1.4 Задачи для самостоятельного решения Задача. 1.1.1 По радиоканалу передано 3 сообщения. События Ai — i-е сообщение искажено помехами. Описать события:

• E1 — искажено только одно сообщение;

• E2 — искажено хотя бы одно сообщение;

• E3 — ни одно сообщение не искажено;

• E4 — второе сообщение искажено;

• E5 — первое и второе сообщения искажены.

Ответ:

14 ГЛАВА 1. СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ • E1 = A1 · A2 · A3 + A1 · A2 · A3 + A1 · A2 · A3 ;

• E2 = \A1 · A2 · A3 ;

• E3 = A1 · A2 · A3;

• E4 = A1 · A2 · A3 + A1 · A2 · A3 + A1 · A2 · A3 + A1 · A2 · A3;

• E5 = A1A2A3 + A1A2A3.

Задача. 1.1.2 При наличии трех патронов производится стрельба по цели до первого попадания. Описать пространство элементарных событий и события:

• E1 — попадание при первых двух выстрелах;

• E2 — произведено не более двух выстрелов;

• E3 — израсходованы все патроны.

Ответ: = {П, НП, ННП, ННН}; E1 = НП; E2 = П+НП; E3 = ННН+ННП.

Задача. 1.1.3 Среди студентов, собравшихся на лекцию, выбирают наудачу одного. Событие A — выбран юноша, В — он не курит, С — он живет в общежитии.

1. Описать событие ABC;

2. При каком условии имеет место тождество ABC = A 3. Когда справедливо соотношение C B Ответ:

1. Любой выбранный юноша не курит и не живет в общежитии;

2. Все юноши живут в общежитии и не курят;

3. Не живущие в общежитии юноши не курят.

Задача. 1.1.4 Упростить выражение (A + BC)(B + AC)(C + AB).

Ответ: A · B · C + A · B · C 1.2. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ Задача. 1.1.5 Доказать, что A + B = AB + AB + BA Задача. 1.1.6 Изобразить на схеме Эйлера–Венна событие:

A · B · C + A · B · C + A · B · C Задача. 1.1.7 Составлена электрическая схема, где события Ai — i-й контакт замкнут.

Записать событие C цепь замкнута — лампочка L горит.

Ответ: C = (A1 + A2)(A3 + A4) · A5.

1.2 Вероятность события Чтобы сравнивать события по степени возможности их наступления, вводится количественная характеристика, называемая вероятностью события.

Понятие вероятности события является в теории вероятности первичным, не сводимым к другим понятиям.

Имеется несколько подходов, поясняющих понятие вероятности.

1.2.1 Статистический подход к понятию вероятности Пусть при проведении серии из n испытаний событие A наm ступило m раз (m n). Число = P (A) называется отноn сительной частотой появления события A в данной серии испытаний. Если провести другую серию из n1 опытов, то m получим другое число Pn1(A) =.

n16 ГЛАВА 1. СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ Если в различных сериях испытаний относительные частоты наступления события A незначительно отличаются друг от друга, то говорят, что частота обладает свойством устойчивости. В качестве вероятности события A принимают число PA = P (A), вблизи которого колеблется частота события при неограниченном увеличении числа испытания в серии, т.е.

PA = P (A) = lim Pn (A) (1.1) k nk 1.2.2 Классическое определение вероятности Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможных событий, образующих полную группу несовместных событий. Об опыте, исходы которого образуют полную группу попарно несовместных, равновозможных событий, говорят, что он укладывается в классическую схему.

Равновозможные события, составляющие полную группу, называют случаями.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.