WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" Т. В. Тарбокова Сборник справочных материалов по курсу высшей математики Томск 2006 УДК 517 Т 19 Тарбокова Т. В.

Т 19 Сборник справочных материалов по курсу высшей математики: Учебное пособие / Т.В. Тарбокова. – Томск: Изд-во ТПУ, 2006. – 92 с.

Сборник справочных материалов содержит сведения по всем разделам курса высшей математики, изучаемого в вузе, и способствует развитию творческих способностей, математического мышления студентов, активизации их познавательной деятельности и самостоятельной работы.

Включает теоретические сведения, оформленные в виде структурнологических схем, алгоритмов решения задач, крупноблочного представления материала. Для студентов всех специальностей вузов.

УДК 517 Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Рецензенты Кандидат физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики ТУСУР Л.И. Магазинников Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа ТГУ Л.С. Копанева © Оформление. Издательство ТПУ, 2006 © Томский политехнический университет, 2006 2 МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы a11 a12... a1n a21 a22... a2n A =............

a am2... amn m1 Минором Mk порядка k матрицы А называется любой определитель k-го Определение порядка этой матрицы, составленный из элементов, стоящих на пересечении минора.

любых её «к» столбцов и любых её «к» строк aij aik M1 = aij, M =, и т. д.

2 asj ask i, s = 1,..., m, j, k = 1,..., n нет A = 0 M 0 1 Rang A = 0 да нет M 0 2 Rang A = 1 да нет M 0 3 Rang A = 2 да …..

Рангом r матрицы А называется наибольший порядок r минора этой матрицы, Определение ранга отличного от нуля:

матрицы.

M 0, M = 0 или М, k = r +1, r + 2,...

r k k (существует минор порядка r, не равный нулю, а все миноры более высоких порядков равны нулю или не существуют).

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями Условимся называть рабочей строку, которая не изменяется на проводимом этапе элементарных преобразований (перестановке строк; умножении строки на число и сложении с соответствующими элементами другой строки; вычеркиванием всех пропорциональных строк, кроме одной из них).

Рабочая строка первая. Получим нули в первом столбце на местах всех элементов первого столбца за исключением элемента в первой строке а11. Для этого умножим все элементы первой строки на такие числа, чтобы при сложении с элементами первого столбца остальных строк получить нули в первом столбце, за исключением элемента первой строки а11.

Если в системе, которую Вы решаете, коэффициент при х1 в первом уравнении не равен единице, поменяйте местами строки, записав первой ту, в которой коэффициент при неизвестном х1 равен единице.

Если при неизвестном х1 во всех уравнениях коэффициенты отличны от единицы, можно:

1) умножить первую строку расширенной матрицы системы на число, противоположное тому, на месте которого Вы хотите получить ноль; а строку, в которой хотите получить ноль, умножьте на коэффициент при х1 в первой строке;

2) сложите соответствующие элементы умноженной первой строки и умноженной другой строки.

(-5)(-7) 3 - 2 3 - 2 (3) + 0 -14 13 -A = - 3 1 - 3 6 -1 5 7 2 Далее нужно получить нули во втором столбце ниже главной диагонали.

Рабочая строка вторая. Получаем нули во втором столбце ниже элемента а22.

Умножим третью строку на (–14) и сложим с соответствующими элементами второй строки. (Или можно было поменять местами вторую и третью строки, чтобы на главной диагонали оказалась единица (см. ())).

3 1 - 2 3 1 - 2 0 -14 13 -1 ;

0 -14 13 - + (-14) -1 5 0 0 0 - 57 - 3 1 - 2 2 1 2 3 () Rang A = 0 -1 5 4 (-14) -1 5 -14 13 -1 - 57 - 0 0 Замечание. Полученная в скобках матрица () также эквивалентна исходной матрице А, то есть имеет тот же ранг, а системы уравнений, соответствующие этим матрицам, имеют одинаковые решения.

Вычисление определителей Правило треугольников для вычисления определителей третьего порядка:

• • • • • • + – произведения элементов берутся с тем же знаком, • • • • • • – произведения элементов берутся с противоположным зна• • • • • • ком.

+ – Таблица Саррюса для вычисления определителей третьего порядка:

1 2 3 1 2 столбцы.

• • • • • • • • • • • • • • • Правило разложения определителя по элементам какой-либо его строки или столбца с использованием понятия минора и алгебраического дополнения Определение Минором M элемента aij определителя n-го порядка называется ij минора M i j определитель (n–1)-го порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием элементов элемента ai j i-й строки и j-го столбца.

определителя n-го порядка.

Определение Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется минор этого элемента, алгебраического умноженный на (-1)(i+ j) :

дополнения Ai j Aij = (-1)(i+ j) M ij элемента ai j определителя n-го порядка.

В соответствии со свойствами определитель порядка n может быть представлен в виде разложения этого определителя по элементам i-й строки:

n i+1 i+2 i+n det A = Ai j = ai1Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain = = ai1(- 1) Mi1 + ai2(- 1) Mi2 + + ain(- 1) Min.

ai j j=То есть определитель квадратной матрицы А порядка n равен сумме произведений элементов какойлибо i-й его строки на алгебраические дополнения этих элементов.



Аналогичным образом можно разложить этот же определитель по элементам любого его столбца.

Так для определителя третьего порядка формула разложения определителя по элементам второго столбца получится следующей:

a11 a12 aa21 a22 a23 = a12(-1)1+2 a21 a23 + a22(-1)2+2 a11 a13 + a32(-1)3+2 a11 a13 = a31 a33 a31 a33 a21 aa31 a32 a = - a12(a21a33 - a31a23)+ a22(a11a33 - a31a13)- a32(a11a23 - a21a13).

Определители второго порядка получаются, если вычеркнуть в определителе третьего порядка второй столбец и, соответственно, первую, потом вторую, потом третью строки.

Действия над матрицами Суммой двух матриц A = (aij) и B = (bij) с одинаковым количеством m строк и n столбцов называется матрица C = (cij), элементы которой равны сумме соответствующих элементов слагаемых матриц: cij = aij + bij, (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.). Обозначение:

Определение суммы двух C = A + B.

матриц.

- 1 3 4 0 + 3 -1 + 4 3 -1 3 Если A = -3, B = 0, то C = A + B = - 2 - 3 + - 5 0 = - 2 - 5 - 3 + 0 = - 7 - 3.

-2 - 5 6 1 - 2 5 + 1 6 - 2 6 5 6 1 - Произведением матрицы A = (aij) на число называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число :

Определение i = 1, 2, …, m;

произведения A = (aij )= (aij),.

j = 1, 2, …, n.

матрицы на число.

2 - -1 2 -1 0 -1 (-1) 2 0 Например..

A = (-1) = = 3 1 0 -1 3 -11 -1 0 - 3 -1 Определение Произведением матрицы-строки, имеющей n столбцов, на матрицу-столбец, имеющий произведения столько же строк, называется матрица, состоящая из одного элемента, который равен матрицысумме произведений соответствующих элементов перемножаемых матриц: A1n Bn1 = Cстроки, на матрицустолбец.

b Или (a11 a12 a1n)b = (a11b11 + a12b21 + … + a1nbn1).

или b n Например, C = (-1 2 0 4) 2 = (-1 0 + 2 2 + 0 (-4) + 4 3) = (16).

- Условие Произведение матриц A B существует только в тех случаях, когда число столбцов существова- матрицы A равно числу строк матрицы B, то есть Amn Bn p = Cm p. При этом ния произвематрица-произведение имеет число строк матрицы A и число столбцов матрицы B.

дения двух матриц.

Определение Квадратные матрицы, произведение которых коммутативно: AB = BA, называются пеперестановоч- рестановочными.

ных матриц.

Произведением матрицы A = (aij), имеющей m строк и n столбцов, на матрицу B = (bij), Определение имеющую n строк и p столбцов, называется матрица C = (cij), имеющая m строк и p произведения столбцов, у которой элемент cij равен сумме произведений элементов i -й строки матриматриц.

цы A и j -го столбца матрицы B, i = 1, 2, …, m;

то есть cij = ai1b1 j + ai2b2 j +… + ainbnj,.

j = 1, 2, …, p.

Произведение матриц обозначается Amn Bn p = Cm p.

Замечание. Правило умножения матриц можно легко запомнить, если сформулировать его в следующем виде: элемент cij матрицы C, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца, есть скалярное произведение i -й вектор – строки матрицы A и j -го вектор – столбца матрицы B.

7 10 0 2 3 07+28+39 010+211+312 013+214+ 43 58.

AB = 8 11 14 = = 4 5 6 47+58+69 410+511+612 413+514+615 167 9 12 Определение Квадратная матрица, на главной диагонали которой все элементы равны единице, единичной мат- а все остальные элементы нули, называется единичной матрицей и обозначается буквой рицы. E.

Определение Обратной для матрицы A называется такая матрица A-1, что их произведение равно обратной матединичной матрице: A A-1 = A-1 A = E.

рицы.

Теорема сущест- Для любой квадратной матрицы A, определитель которой не равен нулю (det A 0), вования обратсуществует единственная обратная матрица A-1.

ной матрицы.

Определение Матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной.

невырожденной Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной.

и вырожденной матриц.

Чтобы найти обратную для A матрицу A-1, можно действовать следующим образом:

1. Вычислить определитель матрицы A (det A 0).

Если det A = 0, то матрица A не имеет обратной A-1.

2. Составить союзную матрицу из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A :

(Aij ).

T 3. Транспонировать союзную матрицу, то есть заменить строки на столбцы с такими же номерами: (Aij).

4. Разделить транспонированную союзную матрицу на определитель матрицы A :

T (Aij ) T A-1 = = (Aij).

det A det A Например.

1 - 2 3 1. det A = = 3 - 0 = 3 0. 2. (Aij)=. Вспомните, что Aij = (-1)i+ j M.

ij 0 3 2 3 2 3 T 3. (Aij ) = 4. A-1 =.

0 1 3 Проверим, правильно ли найдена обратная матрица:

3 0 1 1 3 2 1 - 2 31+ 2 0 3 (-2) + 2 A-1 A = = = = E.

= 3 0 3 0 3 1 0 3 3 0 1+ 0 1 0 (-2) +1 3 Определение Система строк (столбцов, векторов, решений) x1, x2,..., xn называется линейно залинейной висимой, если линейная комбинация 1x1 + 2x2 +... + nxn = 0, когда не все зависимости (независимости) коэффициенты линейной комбинации 1,2,...n нули, системы и называется линейно независимой, если линейная комбинация 1x1 + 2x2 +... + nxn = 0, когда все коэффициенты линейной комбинации 1,2,...n нули.





Исследование и решение произвольной системы линейных уравнений Определение Любой, не равный нулю минор, имеющий порядок ранга основной и расширенной базисного минора матриц системы, называется базисным минором, а неизвестные, коэффициенты при и базисных неиз- которых вошли в базисный минор – базисными неизвестными.

вестных.

Определение Неизвестные, коэффициенты при которых не вошли в базисный минор, назысвободных ваются свободными.

неизвестных.

Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены во всех Определение уравнениях этой системы равны нулю.

СОЛУ. AX = 0 – матричная запись СОЛУ.

Система однородных линейных уравнений всегда совместна, поскольку имеет так называемое тривиальное решение, когда все неизвестные равны нулю: X = 0, A 0 = 0. Ранги основной и расширенной матриц системы однородных линейных уравнений всегда равны, так как вычеркивание нулевого столбца свободных членов не изменяет ранга матрицы, поэтому по теореме Кронекера-Капели СОЛУ всегда совместна.

Фундаментальной системой частных решений системы однородных линейных уравнеОпределение ний называется система линейно независимых частных решений, число решений в ФСЧР СОЛУ. которой равно числу свободных неизвестных системы.

Если n – число неизвестных системы, r – её ранг, то ФСЧР СОЛУ должна содержать k = n – r линейно независимых частных решений.

Фундаментальную систему частных решений получают обычно, последовательно приравнивая свободные неизвестные элементам строк единичной матрицы E порядка k = n - r.

Замечание. ФСЧР СОЛУ можно получить также, приравнивая свободные неизвестные элементам строк произвольной квадратной матрицы А порядка k = n – r, если det A 0.

Блок-схема исследования и решения произвольной системы линейных уравнений R(А) – ранг основной матрицы системы;

R(В) – ранг расширенной матрицы системы;

Начало Мr – базисный минор;

n – число неизвестных.

Система несовместна Система совместна R(A) =R(B) (нет решений) (имеет хотя бы одно решение) нет да Определённая система да R(A) = R(B) = (имеет единственное решение) = r = n нет r < n Матричный Неопределённая система Метод Метод метод (имеет бесконечное множество Гаусса Крамера решений) M r r неизвестных – базисные;

Проверка k = (n – r) неизвестных – свободные.

Перенести свободные неизвестные к свободным членам, выразить базисные неизвестные через свободные, получить общее решение.

Конец Приравнять свободные неизвестные произвольным постоянным числам, получить частное решение.

Для системы однородных линейных уравнений (все свободные члены равны нулю) получить фундаментальную систему (n – r) частных решений, последовательно приравняв свободные неизвестные элементам строк единичной матрицы.

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Координаты вектора АВ находят, вычитая из координат точки B(bx,by,bz ), являющейся концом вектора, соответствующие координаты точки A(ax,ay,az ), являющейся началом вектора.

AB=(bx - ax,by - ay,bz - az) = (bx - ax )i + (by - ay ) + (bz - az )k.

j Косинус угла между векторами AB и CD равен отношению скалярного произведения этих векторов к произ (AB, CD).

ведению длин этих векторов:

cos(AB, CD)= AB CD Скалярное произведение двух векторов в ортонормированном (декартовом) базисе равно сумме произведений одноименных координат этих векторов: если a = (ax, ay, az ), b = (bx,by,bz ), то (a,b) = (b,a) = axbx + ayby + azbz.

Длина вектора a = (a,a) в ортонормированном базисе равна корню квадратному из суммы квадратов (a,b) 2 2 координат этого вектора. Например, если a = (ax, ay, az ), то a = ax + ay + az. прb a = – b проекция вектора а на вектор b.

В ортонормированном базисе векторное произведение находят, раскладывая определитель, в первой строке которого – орты i, j,k декартовой системы координат, во второй строке – координаты левого из перемножаемых векторов, а в третьей строке – координаты правого из перемножаемых векторов.

Например, a = (a1, a2, a3 ), b = (b1,b2,b3 ), тогда векторное произведение этих векторов в декартовой системе координат можно найти так: Свойства векторного произведения i j k [a,b]= -[b, a]; mod[a,b]= a b sin(a b);

a2 a3 a1 a3 a1 a2.

[a,b]= a1 a2 a3 = i - j + k b2 b3 b1 b3 b1 bтройка a,b,[a,b]- правая.

b1 b2 bГеометрический Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, постросмысл векторного енного на перемножаемых векторах как на двух смежных сторонах. Обычно векторы произведения. приводят к общему началу.

Половина модуля векторного произведения численно равна площади треугольника, построенного на перемножаемых векторах как на двух смежных сторонах этого треугольника. Обычно векторы приводят к общему началу.

Определение Векторы, лежащие в одной или параллельных плоскостях, называются компланарныи условие компла- ми.

нарности векторов.

Смешанное произведение ненулевых компланарных векторов равно нулю.

Смешанное произведение трех векторов получают, умножая векторное произведение двух векторов на третий вектор скалярно.

В ортонормированном базисе смешанное произведение равно определителю, строками или столбцами которого являются координаты перемножаемых векторов. Обычно первой строкой определителя записывают координаты первого вектора, второй строкой – координаты второго вектора, а третьей строкой – координаты третьего вектора, если считать векторы слева направо.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.