WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
ВСЕРОССИЙСКАЯ ЗАОЧНАЯ МНОГОПРЕДМЕТНАЯ ШКОЛА МОСКОВСКИЙ ЦЕНТР НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ А. В. Деревянкин Тождественные преобразования Методическая разработка для учащихся Заочной школы Юный математик при ВЗМШ и МЦНМО Москва Издательство МЦНМО 2009 УДК 51 (023) Часть 1. Основные понятия ББК 22.1 Д36 При решении задач из самых разных разделов математики очень часто возникает необходимость использования тождественных преобразований. Упрощение выражений, разложение многочленов на множители, сокращение дробей всё это примеры тождественных преобразований.

Деревянкин А. В.

Поэтому успешное владение приёмами, с помощью которых выполняД36 Тождественные преобразования: методическая разработка для ются эти преобразования, очень важно. Ниже мы рассмотрим ряд таких учащихся Заочной школы Юный математик при ВЗМШ и приёмов.

МЦНМО. М: МЦНМО, 2009. 28 с.

Для начала введём несколько основных понятий, связанных с тожВ разработке рассмотрены задачи, связанные с тождественными преобдественными преобразованиями, и проиллюстрируем их примерами.

разованиями числовых и алгебраических выражений: доказательствами тож§ 1. Числовые выражения. Числовое выражение запись, состодеств, разложением на множители, преобразованиями выражений с радикалами.

ящая из чисел, знаков алгебраических действий и скобок. К знакам алгебраических действий (операций) относятся:

ББК 22.1 + (знак плюс ) обозначает операцию сложения;

- (знак минус ) обозначает операцию вычитания;

· или (знаки умножения) обозначают операцию умножения;

: или / (знаки деления), или (знак дробной черты) обозначают операцию деления;

(знак радикала) обозначает операцию извлечения корня.

Вот некоторые примеры числовых выражений:

3 2+ 8 3 7·2+8, 5· 27-11, 3:.

7 Значение числового выражения число, получающееся, если выполнить в данном выражении все входящие в него действия. Например, значением числового выражения 7·2+8 является число 22; значением Деревянкин Алексей Викторович числового выражения 5· 27-11 является число 4; что касается зна 2+ Задачи с параметрами чения выражения 3:, то это тоже некоторое число, которое, однако, так просто не записать: оно иррациональное. Напомним, что Редактор Е. А. Федосеева Тех. редактор Д. Е. Щербаков иррациональное число это число, которое не представляется в виде Подписано в печать 2/VI 2009 года. Формат 6084 /16. Физ. печ. л. 1,75.

дроби с целыми числителем и знаменателем. Десятичной записью таБумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Computer Modern.

кого числа является бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Тираж 3000 экз. Заказ №.

Заметим, что не для любого числового выражения определено его Издательство Московского центра непрерывного математического образования значение. Причина этого заключается в том, что некоторые алгебраи119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241 74 83.

ческие действия определены не для всех чисел. Например,, -числовые выражения, не имеющие смысла: их значение не определено.

© МЦНМО, 2009. Выражение не имеет смысла, поскольку операция деления на ноль не определена, а -5 не имеет смысла, поскольку не определено извле- Понятие равенства для алгебраических выражений вводится так же, чение квадратного корня из отрицательного числа. как и для числовых выражений. Дадим определение.

Числовым равенством называется запись вида Алгебраическим равенством называется запись вида A=B, где A и B алгебраические выражения.

A=B, (1) При подстановке в алгебраическое выражение некоторых чисел в кагде A и B числовые выражения. Если хотя бы одно из выражений A честве значений переменных получится числовое выражение. Его знаи B не имеет смысла (т. е. его значение не определено), то говорят, что чение назовём числовым значением алгебраического выражения при равенство (1) не имеет смысла. Если же оба выражения A и B имеют данных значениях переменных. Например, числовое значение выраже смысл, то и равенство (1) имеет смысл.

a2 + b 32 + ния при a=3, b=9, c=8 равно 2, ведь =2. При a=1, b=1, Если значения числовых выражений A и B равны, то равенство (1) c- 2 8- называют верным; в противном случае его называют неверным.

c=1 числовое значение этого выражения равно -2 (проверьте самостоПриведём примеры верных, неверных числовых равенств и равенств, ятельно!); при a=10, b=20, c=2 числовое значение этого выражения вообще не имеющих смысла:

не определено, так как при подстановке указанных значений a, b и c 32 =2·7- 25 верное числовое равенство;

знаменатель дроби обращается в 0.

2+7=21 неверное числовое равенство;

В случае алгебраического равенства уже не приходится говорить 3 -1=1, = числовые равенства, не имеющие смысла.

о том, является ли это равенство верным или нет, поскольку при под0 становке различных значений переменных одно и то же алгебраичеВычислить числовое выражение значит найти его значение, заское равенство может обратиться как в верное числовое равенство, так писанное в максимально простом виде. Если же исходное выражение и в неверное: например, алгебраическое равенство a2 =2a станет верне имеет смысла, то вычислить его значит доказать, что оно не именым числовым равенством при подстановке в качестве a чисел 0 или 2;

ет смысла (ведь из громоздкой записи выражения сразу может быть при подстановке же любого другого значения a мы получим неверное и не видно, что его значение не определено).

числовое равенство. Однако для алгебраических выражений существуРассмотрим несколько примеров вычисления числовых выражений.

ет новое понятие: тождественного равенства.



П р и м е р 1.

Два алгебраических выражения называются тождественно равны ми, если они определены на одном и том же множестве значений пере(7 9)2 -1100:2,5-1= (7·3)2 -440-1= 441-440-1=1-1=0.

менных и принимают равные числовые значения при всех допустимых П р и м е р 2.

значениях переменных, входящих в них.

П р и м е р ы.

( 2+ 1)2+ 1 3+ 2 -3- 2= -3- 2= -3- 2= 2.

1) Выражения 3+x2 -2 и x2 +1 являются тождественно равными.

2- 1 ( 2- 1)( 2+ 1) 2) Выражения 2(x+5) и 2x+10 тоже.

Число 2 иррациональное, и поэтому дальнейшие преобразования мы 3) Выражения x2 +10 и x+10 не являются тождественно равными, провести уже не в состоянии: это наиболее простое числовое выражение так как, например, при x=2 их числовые значения различаются.

с тем же значением, что и исходное.

x4) Выражения x и не являются тождественно равными, так как § 2. Алгебраические выражения. Алгебраическое выражение x запись, состоящая из чисел, переменных, знаков алгебраических дейпервое из них определено при x=0, а второе нет.

ствий и скобок, например:

Тождество алгебраическое равенство, правая и левая части кото рого тождественно равны. Приведём примеры тождеств. Два из них мы 7c ab2 + ; x- ·6x ; s3 +s2 -s+7 t.

можем автоматически получить из примеров, рассмотренных ранее:

2 y + Заметим, что числовое выражение частный случай алгебраического! 3+x2 -2=x2 +1; 2(x+5)=2x+4 это тождества. А вот ещё некоторые примеры тождеств: § 3. Условные тождества. Познакомимся ещё с одним видом ал 2 гебраических равенств условными тождествами. Проще всего сделать (a+b)(a+c)=a2 +ab+ac+bc; 2,5+5· =22-1,75. это на конкретном примере. Возьмём равенство x2 + y2 -x2 + 2yТождественное преобразование алгебраического выражения заме=. (2) 3x - y 2x на этого выражения другим, тождественно равным ему.

Упростить алгебраическое выражение значит заменить его на Является ли оно тождеством Несложно проверить, что нет: так, натождественно равное, но как можно более простое по записи. Как видно пример, при x=y =1 значения правой и левой частей различаются. Наиз определения, упрощение алгебраического выражения является тожложим теперь некоторое дополнительное условие:

дественным преобразованием. Рассмотрим пример упрощения.

x+y =0. (3) 1. Упростить выражение (x-y)(x+2y)-x2 +2y2.

Посмотрим, будут ли правая и левая части соотношения (2) равны друг Р е ш е н и е.

другу при условии, что выполняется равенство (3). Если оно выполнено, то y =-x. Подставив это в равенство (2), преобразуем его левую часть (x-y)(x+2y)-x2 +2y2 =x2 +2xy -xy -2y2 -x2 +2y2 =xy.

(обозначим её через A) и правую (B):

О т в е т: (x-y)(x+2y)-x2 +2y2 =xy.

x2 + y2 x2 + (-x)2 + x2 2x2 xxA= = = = = ;

3x - y - (-x) 3x + x 4x 2x 3x С некоторыми видами тождественных преобразований вы уже знакомы: раскрытие скобок и, наоборот, вынесение общего множителя за -x2 + 2y2 -x2 + 2(-x)2 -x2 + 2x2 xB = = = =.

2x 2x 2x 2x скобку; домножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, не равное 0 всё это тождественные преобразования.

Видим, что при выполнении условия (3) правая и левая части соотноПри проведении тождественных преобразований часто оказываюся шения (2) тождественно равны между собой. Теперь мы можем ввести полезными формулы сокращённого умножения. Вот основные из них:

понятие условного тождества.

Условное тождество алгебраическое равенство, правая и левая (A±B)2 =A2 ±2AB +B2, (A±B)3 =A3 ±3A2B +3AB2 ±B3, части которого тождественно равны при условии, что выполнено неко(A+B +C)2 =A2 +B2 +C2 +2AB +2AC +2BC, торое дополнительное соотношение (возможно, не одно, а несколько).

A2 -B2 =(A+B)(A-B), A3 ±B3 =(A±B)(A2 AB +B2). З а м е ч а н и е. Было бы ошибкой в рассмотренном примере продолжить при нахождении A и B преобразования и получить, сократив Отметим, что все эти формулы тождества: они верны для любых знаx x дроби, что A=, B =. Дело в том, что алгебраическое выражение чений A, B и C. Разберём пример их использования. 2 x xопределено при всех значениях x, в то время как определено при 2. Упростить выражение: x3 -1+x(x-1)-x2(x+1). 2 2x x=0. А у тождественно равных выражений, как сказано в определении, Р е ш е н и е.

должны совпадать множества значений переменных, при которых они x2 x x3 -1+x(x-1)-x2(x+1)=(x2 +x+1)(x-1)+x(x-1)-x2(x+1)= определены. Поэтому писать = было бы неправильно. Можно, 2x =(x2 +2x+1)(x-1)-x2(x+1)=(x+1)2(x-1)-x2(x+1)= x2 x например, записать так: = (при x=0).

2x =(x+1)((x+1)(x-1)-x2)=(x+1)(x2 -1-x2)=-(x+1).

В следующих параграфах мы более подробно познакомимся с некоторыми видами тождественных преобразований и их применением к реО т в е т: x3 -1+x(x-1)-x2(x+1)=-(x+1).

шению задач.

6 У п р а ж н е н и я Часть 2. Разложение на множители § 4. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Рас3. Докажите тождества:

смотрим квадратный трёхчлен ax2 +bx+c (a=0). Как известно из кур а) a(b+c)2 +b(a+c)2 +c(a+b)2 -4abc=(a+b)(a+c)(b+c), са алгебры, если дискриминант соответствующего квадратного уравнеб) (a+b+c)(ab+ac+bc)-abc=(a+b)(a+c)(b+c).

ния 4. Упростите выражения:

а) (x+y)(x-y +1)-(x-y)(x+y -1), ax2 +bx+c=0 (4) б) (x+3y)(x+y +2)-(x+y)(x+3y +2), неотрицателен: D =b2 -4ac 0, то этот трёхчлен можно разложить на в) (x4 +2x3 +4x2 +8x+16)(x-2), множители: ax2 +bx+c=a(x-x1)(x-x2), где x1 и x2 корни уравнег) (x+y +z)(x2 +y2 +z2 -xy -xz -yz).

5. Докажите условные тождества: -b ± D ния (4): x1,2 =. Если же дискриминант отрицателен, то разло2a а) a(a+b)(a+c)=b(b+a)(b+c)=c(c+a)(c+b)=abc при условии, что жить данный трёхчлен на множители невозможно.





a+b+c=0, Рассмотрим теперь трёхчлен вида ax4 +bx2 +c, где a=0 (такой трёх б) a3 +b3 +c3 =3abc при условии, что a+b+c=0, член называется биквадратным). Сделав замену y =x2, приведём его в) a2(b+c)2 +b2(a+c)2 +c2(a+b)2 +(a2 +b2 +c2)(ab+ac+bc)=0 при к уже рассмотренному виду: ay2 +by +c. И если уравнение условии, что a+b+c=0.

ay2 +by +c=0 (5) имеет корни y1 и y2, то ay2 +by +c=a(y -y1)(y -y2); тогда, с учётом того, что y =x2, имеем: ax4 +bx2 +c=a(x2 -y1)(x2 -y2), где, напомним, -b ± b2 - 4ac y1,2 =. Если y1 >0 или y2 >0, то можно провести и даль2a нейшее разложение (подумайте, как). Разберём сказанное на примере.

6. Разложить на множители многочлен 2x4 -2x2 -24.

Р е ш е н и е. Сделав замену y =x2, получим многочлен 2y2 -2y -24.

Приравняв его к 0, найдём корни получившегося уравнения: y1 =4, y2 =-3. Тогда 2y2 -2y -24=2(y -4)(y +3), и 2x4 -2x2 -24=2(x2 -4) (x2 +3). Хотя мы уже разложили данный многочлен на два множителя, возможно и дальнейшее разложение, поэтому продолжаем:

2(x2 -4)(x2 +3)=2(x-2)(x+2)(x2 +3). Полученные многочлены уже невозможно разложить на множители (почему).

О т в е т: 2x4 -2x2 -24=2(x-2)(x+2)(x2 +3).

З а м е ч а н и е. Если в задании сказано разложить на множители, то всегда подразумевается, что разложение следует проводить до тех пор, пока это возможно. После этого необходимо доказать невозможность дальнейшего разложения.

Заметим, что рассмотренный способ может помочь также и при разложении на множители некоторых других многочленов, приводимых заменой к виду ay2 +by +c: так, например, для трёхчлена -x6 -4x3 +следует воспользоваться заменой y =x3, для трёхчлена (x2 -x-1)2 - другие варианты также привели бы к успеху, но это уже неважно: глав-3(x2 -x-1)+2 заменой y =x2 -x-1, и т. п. ное, что выбранный нами путь позволил решить задачу. Рекомендуем § 5. Дополнение до квадрата суммы. Надо отметить, что опи- вам посмотреть, что будет получаться, если выбирать другие значения санный выше способ годится лишь для случая, когда уравнение (5) A и B: A=x2, B =-2; A=-x2, B =2; A=-x2, B =-2.

имеет корни. Однако если у него нет корней, то данный нам много- Метод представления выражения в виде полного квадрата часто член ax4 +bx2 +c, оказывается, всё равно можно разложить на множи- применяется и при упрощении числовых выражений. Рассмотрим прители! И поможет здесь метод дополнения до квадрата суммы (далее мер.

для краткости будем называть его просто методом дополнения до квад рата), применение которого проиллюстрируем на примере.

8. Упростить выражение 3+2 2+ 6-4 2.

Р е ш е н и е. Имеем:

7. Разложить многочлен x4 +4 на множители.

Р е ш е н и е. Простая замена y =x2 ничего в этом случае не даёт: мы 3+2 2=2+2 2+1=( 2)2 +2· 2·1+12 =( 2+1)2, получим двучлен y2 +4, который невозможно разложить. Поэтому бу- аналогично получаем, что 6-4 2=( 2-2)2. Тогда дем действовать по-другому: попробуем дополнить данное выражение до квадрата. Здесь надо вспомнить формулу квадрата суммы, приве- дённую выше: (A+B)2 =A2 +2AB +B2. Идея метода заключается вот 3+2 2+ 6-4 2= ( 2+1)2 + ( 2-2)2 = в чём: постараемся добавить к выражению x4 +4 слагаемое вида bx2, = 2+1 + 2-2 = 2+1+(2- 2)=3.

так чтобы выражение x4 +bx2 +4 являлось полным квадратом. И, чтобы равенство сохранилось, надо, конечно же, не забыть вычесть точно такое же слагаемое. С учётом формулы квадрата суммы видим, что О т в е т: 3+2 2+ 6-4 2=3.

в нашем случае A2 =x4, B2 =4. Тогда A=x2, B =2, и, значит, надо добавить слагаемое 2AB =2·x2 ·2=4x2. Итак, З а м е ч а н и е. Обратите внимание, что при решении этой задачи x4 +4=x4 +4x2 +4-4x2 =(x2 +2)2 -(2x)2 =(x2 -2x+2)(x2 +2x+2).

было использовано одно очень важное соотношение: a2 =|a| (непра В последнем переходе была использована формула разности квадравильно было бы полагать, что a2 равен a). Напомним в связи с этим тов: A2 -B2 =(A-B)(A+B). Дальнейшее разложение провести уже определение модуля числа:

невозможно, так как получившиеся квадратные трёхчлены не имеют корней и, следовательно, не раскладываются на множители (напом a, если a>0, ним, что корнями многочлена P (x), который содержит одну перемен|a|= 0, если a=0, ную x, называются корни уравнения P (x)=0).

-a, если a<0.

О т в е т: x4 +4=(x2 -2x+2)(x2 +2x+2).

Заметим (не приводя доказательство этого факта), что если многоТаким образом, из определения модуля следует, что для любого чисчлен ax4 +bx2 +c не удаётся разложить на множители заменой y =x2 по ла a верно неравенство |a| 0.

причине того, что получившийся квадратный трёхчлен не имеет корней, § 6. Формула сложного радикала. Последний из рассмотренных то его в с е г д а можно разложить, дополнив до квадрата суммы.

примеров можно было бы решить и иначе, использовав формулу сложЗ а м е ч а н и е. Из того, что A2 =x4, B2 =4, ещё не следует, вооб- ного радикала:

ще говоря, что A=x2, B =2. Может быть, например, A=-x2, B =-2.

Однако в данном случае это несущественно. От нас требовалось разло a + a2 - b a - a2 - b a± b= ±. (6) жить данное выражение на множители, и мы это сделали. Возможно, 2 10 Докажем эту формулу. Для этого найдём, чему равен квадрат праР е ш е н и е. Преобразуем первое слагаемое по формуле сложного вой части равенства (6):

радикала:

p p 9/4+ 81/16- 2 9/4- 81/16- a + a2 - b a - a2 - b 2 + 2= + = ± = 4 2 2 p p 9/4+ 49/16 9/4- 49/ = + = a + a2 - b a - a2 - b a + a2 - b a - a2 - b 2 = + ±2 = 2 2 2 9/4+ 7/4 9/4- 7/4 16/4 2/ = + = + = 2+.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.