WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 44 |
[Эта страница заменяет титульный лист, изготовленный издательством] В. В. ПРАСОЛОВ ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ТОПОЛОГИИ Москва Издательство МЦНМО 2004 ББК 22.15 Издание осуществлено при поддержке РФФИ УДК 515.14 (издательский проект № 02-01-14081).

Оглавление П70 Некоторые обозначения......................... 7 Предисловие................................ 9 Прасолов В. В.

Основные определения.......................... 13 П70 Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. – – М.: МЦНМО, 2004. 352 c. ISBN 5-94057-072-0 — Глава I. Графы............................. 17 § 1. Топологические и геометрические свойства графов....... 17 Методы, используемые современной топологией, весьма разнообразны.

В этой книге подробно рассматриваются методы комбинаторной топологии, ко1.1. Планарные графы..................... 17 торые заключаются в исследовании топологических пространств посредством их 1.2. Формула Эйлера для планарных графов........ 27 разбиений на какие-то элементарные множества, и методы дифференциальной 1.3. Вложения графов в трёхмерное пространство..... 30 топологии, которые заключаются в рассмотрении гладких многообразий и гладких отображений. Нередко одну и ту же топологическую задачу можно решить как 1.4. k-связные графы..................... 32 комбинаторными методами, так и дифференциальными. В таких случаях обсу1.5. Теорема Штейница.................... 35 ждаются оба подхода.

§ 2. Гомотопические свойства графов................. 41 Одна из главных целей книги состоит в том, чтобы продвинуться в изучении 2.1. Фундаментальная группа графа............. 41 свойств топологических пространств (и особенно многообразий) столь далеко, сколь это возможно без привлечения сложной техники. Этим она отличается от 2.2. Накрытия 1-мерных комплексов............ большинства книг по топологии.

2.3. Накрытия и фундаментальная группа.......... Книга содержит много задач и упражнений. Почти все задачи снабжены § 3. Инварианты графов......................... подробными решениями.

Ил. 150. Библиогр. 149 назв. 3.1. Хроматический многочлен................ 3.2. Многочлен от трёх переменных............. ББК 22.3.3. Многочлен Ботта–Уитни................. – Прасолов Виктор Васильевич 3.4. Инварианты Татта..................... Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. Глава II. Топология в евклидовом пространстве......... § 4. Топология подмножеств евклидова пространства........ Редактор: Скопенков А. Б. Корректор: Коробкова Т. Л.

4.1. Расстояние от точки до множества........... 4.2. Продолжение непрерывных отображений....... Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г. Подписано в печать 5.04.2004 г.

4.3. Теоремы Лебега о покрытиях.............. 1/16.

Формат 60 90 Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 22. Тираж 1000 экз.

4.4. Канторово множество.................. Заказ № § 5. Кривые на плоскости........................ Издательство Московского центра непрерывного математического образования 5.1. Теорема Жордана..................... 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. 241-05-00.

5.2. Теорема Уитни–Грауштейна............... – Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП Типография „Наука“.

« » 5.3. Двойные точки, двойные касательные и точки перегиба 119099, Москва, Шубинский пер., 6.

§ 6. Теорема Брауэра и лемма Шпернера............... 6.1. Теорема Брауэра..................... Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине Математическая книга, « » Большой Власьевский пер., д. 11 Тел. 241-72-85. E-mail: biblio@mccme.ru 6.2. Теорема Жордана как следствие теоремы Брауэра.. 6.3. Лемма Шпернера..................... 6.4. Теорема Какутани..................... © В. В. Прасолов, 2004.

Глава III. Топологические пространства.............. ISBN 5-94057-072-0 © МЦНМО, 2004.

§ 7. Элементы общей топологии.................... 4 Оглавление Оглавление 7.1. Хаусдорфовы пространства и компактные простран- 12.4. Локальные гомеоморфизмы............... ства............................. 98 § 13. Графы на поверхностях. Взрезанный квадрат графа...... 7.2. Нормальные пространства................ 102 13.1. Род графа......................... 7.3. Разбиения единицы.................... 104 13.2. Раскраски карт...................... 7.4. Паракомпактные пространства............. 106 13.3. Взрезанный квадрат графа................ § 8. Симплициальные комплексы.................... 112 § 14. Расслоения и гомотопические группы....



........... 8.1. Евклидовы клеточные комплексы............ 113 14.1. Накрывающая гомотопия................ 8.2. Симплициальные отображения............. 114 14.2. Гомотопические группы.................. 8.3. Абстрактные симплициальные комплексы....... 115 14.3. Точная последовательность расслоения........ 8.4. Симплициальные аппроксимации............ 117 14.4. Относительные гомотопические группы........ 8.5. Нерв покрытия...................... 122 14.5. Теорема Уайтхеда..................... 8.6. Псевдомногообразия................... Глава V. Многообразия........................ 8.7. Степень отображения в евклидово пространство... § 15. Определение и основные свойства................ 8.8. Теорема Борсука–Улама................. – 15.1. Многообразия с краем.................. 8.9. Следствия и обобщения теоремы Борсука–Улама.. – 15.2. Отображения многообразий............... § 9. CW -комплексы........................... 15.3. Гладкие разбиения единицы............... 9.1. Приклеивание по отображению............. 15.4. Теорема Сарда....................... 9.2. Определение CW -комплексов.............. 15.5. Важный пример: многообразия Грассмана....... 9.3. Топологические свойства................. § 16. Касательное пространство..................... 9.4. Клеточная аппроксимация................ 16.1. Дифференциал отображения............... 9.5. Геометрическая реализация CW -комплексов..... 16.2. Векторные поля...................... § 10. Конструкции............................. 16.3. Риманова метрика..................... 10.1. Прямое произведение................... 16.4. Дифференциальные формы и ориентируемость.... 10.2. Цилиндр, конус и надстройка.............. § 17. Вложения и погружения...................... 10.3. Джойн........................... 17.1. Вложения компактных многообразий.......... 10.4. Симметрическая степень................. 17.2. Триангуляция замкнутого многообразия........ Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения. 17.3. Погружения........................ Гомотопические группы.................. 154 17.4. Вложения некомпактных многообразий........ § 11. Двумерные поверхности...................... 154 17.5. Невозможность некоторых вложений.......... 11.1. Основные определения.................. 154 § 18. Степень отображения........................ 11.2. Приведение двумерных поверхностей к простейшему 18.1. Степень гладкого отображения............. виду............................. 156 18.2. Индекс особой точки векторного поля......... 11.3. Завершение классификации двумерных поверхностей 161 18.3. Теорема Хопфа...................... 11.4. Риманово определение рода поверхности....... 164 18.4. Аппроксимации непрерывных отображений...... § 12. Накрытия............................... 164 18.5. Конструкция Понтрягина................. 12.1. Универсальные накрытия двумерных поверхностей.. 165 18.6. Гомотопически эквивалентные линзовые пространства 12.2. Существование накрывающего пространства с за- § 19. Теория Морса............................ данной фундаментальной группой............ 166 19.1. Функции Морса...................... 12.3. Единственность накрывающего пространства с за- 19.2. Градиентные векторные поля и приклеивание ручек. данной фундаментальной группой............ 168 19.3. Примеры функций Морса................ 6 Оглавление Глава VI. Фундаментальная группа................. § 20. CW -комплексы........................... 20.1. Основная теорема..................... 20.2. Некоторые примеры................... 20.3. Фундаментальная группа пространства SO(n).... 288 Некоторые обозначения § 21. Теорема Зейферта–ван Кампена................. – 21.1. Эквивалентные формулировки.............. 21.2. Доказательство...................... 294 X Y – топологическое пространство X гомеоморфно Y ;

– 21.3. Группа узла........................ 298 X Y – топологическое пространство X гомотопически эквивалент– 21.4. Рогатая сфера Александера............... 302 но Y ;

§ 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой. 304 f g – отображение f гомотопно отображению g;

– 22.1.





Дополнение к набору комплексных прямых...... 305 |A| – количество элементов множества A;

– 22.2. Теорема ван Кампена................... 308 int A – внутренность множества A;

– 22.3. Применения теоремы ван Кампена........... 314 A – замыкание множества A;

– A – граница множества A;

– Решения и указания........................... idA – тождественное отображение множества A;

– Литература................................ Kn – полный граф с n вершинами;

– Предметный указатель......................... 345 Kn,m – см. с. 20;

– Dn – n-мерный шар;

– Sn – n-мерная сфера;

– n – n-мерный симплекс;

– In – n-мерный куб;

– P2 – проективная плоскость;

– T – двумерный тор;

– S2 # nP2 или nP2 – связная сумма n проективных плоскостей;

– 2 S2 # nT или nT – связная сумма n двумерных торов (сфера с n руч– ками);

K2 – бутылка Клейна;

– x - y – расстояние между точками x, y Rn;

– v – длина вектора v Rn;

– d(x, y) – расстояние между точками x, y;

– inf – точная нижняя грань;

– X Y – дизъюнктное объединение X и Y (все элементы X и Y счита– ются различными);

supp f = {x | f(x) = 0} – носитель функции f;

– X Y – джойн пространств X и Y ;

– SPn (X) – симметрическая степень пространства X;

– f : (X, Y) (X1, Y1) – отображение пар, при котором Y X отобра– жается в Y1 X1;

1 (X, x0) – фундаментальная группа пространства X с отмеченной – точкой x0 X;

8 Некоторые обозначения n (X, x0) – n-мерная гомотопическая группа пространства X с отме– ченной точкой x0 X;

deg f – степень отображения f;

– rank f(x) – ранг отображения f в точке x;

– G(n, k) – многообразие Грассмана; Предисловие – GLk(R) – группа невырожденных матриц порядка k с вещественными – координатами;

U(n) – группа унитарных матриц порядка n;

– SU(n) – группа унитарных матриц порядка n с определителем 1; Методы, используемые современной топологией, весьма разнообраз– O(n) – группа ортогональных матриц порядка n; ны. В этой книге подробно рассматриваются в основном методы комбина– SO(n) – группа ортогональных матриц порядка n с определителем 1; торной топологии, которые заключаются в исследовании топологических – TxMn – касательное пространство в точке x Mn; пространств посредством их разбиений на элементарные множества (на– TMn – касательное расслоение; пример, симплексы) или посредством покрытий какими-либо простыми – k (n + k) – множество классов оснащённо кобордантных многообра- множествами, и методы дифференциальной топологии, которые заклю– fr зий размерности k в Rn+k. чаются в рассмотрении гладких многообразий и гладких отображений.

Нередко одну и ту же топологическую задачу можно решить как комбинаторными методами, так и дифференциальными. В таких случаях мы обсуждаем оба подхода.

Исторически начало топологии связано с работами Римана; затем его исследования продолжили Бетти и Пуанкаре. При изучении многозначных аналитических функций комплексного переменного Риман понял, что эти функции следует рассматривать не на плоскости, а на тех двумерных поверхностях, на которых многозначные функции превращаются в однозначные. Двумерная поверхность возникает при этом как самостоятельный объект, определенный внутренним образом, т. е. безотносительно к её конкретному вложению в R3. При таком подходе двумерная поверхность получается в результате склейки налегающих друг на друга областей плоскости. В дальнейшем Риман ввёл понятие многомерного многообразия (Mannigfaltigkeit – в немецком языке этот термин Римана сохра– нился, а в других языках появились кальки этого термина). Многообразие размерности n получается в результате склейки налегающих друг на друга областей пространства Rn. Позднее было осознано, что если нас интересуют лишь непрерывные отображения многообразий, то для описания структуры многообразия достаточно знать лишь строение его открытых подмножеств. Это послужило одной из важнейших причин появления понятия топологического пространства как множества с выделенной системой открытых множеств, обладающих определенными свойствами.

Глава I посвящена простейшему с топологической точки зрения объекту – графам (1-мерным комплексам). Сначала обсуждаются погра– ничные с геометрией вопросы: планарность, формула Эйлера, теорема Штейница. Затем мы переходим к фундаментальной группе и накрытиям, 10 Предисловие Предисловие основные свойства которых очень хорошо прослеживаются на графах. ни. С помощью взрезанного джойна доказывается, что некоторые n-мерЗавершается глава подробным обсуждением полиномиальных инвари- ные симплициальные комплексы нельзя вложить в R2n.

антов графов, интерес к которым в последнее время сильно вырос, В главе IV обсуждаются весьма разнообразные темы – двумерные – поскольку обнаружились их связи с инвариантами узлов. поверхности, накрытия, локальные гомеоморфизмы, графы на поверхноГлава II посвящена другому достаточно простому с точки зрения то- стях (род графа, раскраски карт на графах), расслоения, гомотопические пологии объекту – евклидову пространству со стандартной топологией. группы.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 44 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.