WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


XXXIII Турнир имени М. В. Ломоносова 26 сентября 2010 года Второй игрок победит, если будет придерживаться следующей стратегии:

Конкурс по математическим играм. Решения. Критерии. если у фигуры есть острый угол, отломить единичный равносторонний треугольник и отдать его сопернику, иначе разрезать фигуру по линии, Выберите игру, которая Вас больше заинтересовала, и попробуйте присимметричной предыдущей линии разреза относительно центра фигуры, думать для одного из игроков (первого или второго) стратегию, гарантируимевшейся на руках у соперника непосредственно перед его ходом.

ющую ему победу независимо от ходов соперника. Постарайтесь не только указать, как следует ходить, но и объяснить, почему при этом неизбежен Следуя этой стратегии, второй игрок всегда будет иметь ход, а потому выигрыш. Ответ без пояснений не учитывается. не проиграет. Поскольку кто-то должен проиграть, то это и будет начинаНе пытайтесь решить все задания, сохраните время и силы для дру- ющий.

гих конкурсов. Хороший анализ даже только одной игры позволит считать В принципе, правильность описанной стратегии достаточно очевидна.

Ваше участие в конкурсе успешным.

Попробуем, однако, более подробно объяснить, почему у второго игрока всегда будет ход. А именно, покажем, что 1. «Режем шестиугольник». Есть правильный шестиугольник со стороной N, разлинованный на равносторонние треугольники со стороной 1.

Перед каждым ходом начинающего у него в руках будет либо Два игрока ходят по очереди. В свой ход игрок разрезает фигуру на две равносторонний треугольник со стороной 1, либо центрально-части по прямой линии сетки, одну часть выкидывает, а другую передаёт симметричный шестиугольник с углами по 120.

сопернику. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Исходный шестиугольник такими свойствами обладает. Пусть первый Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни игрок провёл карандашом линию своего разреза. Эта линия проходит по играл его партнёр границам треугольничков и потому параллельна одной из пар противопоРассмотрите случаи:

ложных сторон. Если она пересекает пару противоположных сторон (в часта) N = ности, проходит через углы), то у каждой из образующихся после разреза частей есть угол в 60 (один из двух накрест лежащих углов при этой секущей), поэтому второй игрок отдаст первому треугольничек. Если она пересекает пару непараллельных сторон, то на части, не содержащей центр симметрии, будет даже два острых угла, а на другой части острых углов не образуется, но там можно будет провести симметричный разрез и отдать б) N = 3 сопернику фигуру без острых углов и с восстановленной симметричностью.

Этот шестиугольник будет снова удовлетворять условиям, и так далее.

2. «Сколько конфет» Дед Мороз поставил под ёлку несколько мешков с конфетами. Волк и Заяц не знают, сколько в каком мешке конфет, а Дед Мороз знает. Волк и Заяц играют в игру, делая ходы по очереди. Ход состоит в том, что игрок указывает на какие-то два мешка, а Дед Мороз вслух объявляет, сколько в этих мешках вместе конфет. После этого игрок имеет право (но не обязан) объявить, сколько конфет во всех мешках вместе. Если он угадал, то считается победителем, а если нет, то победителем признаётся соперник. Если игрок не желает угадывать количество конфет, в) N произвольно его ход на этом завершается, а право ходить получает противник. Дважды (В пунктах «а» и «б» нарисовано несколько одинаковых шестиугольниспрашивать про одну и ту же пару мешков нельзя.

ков. Их можно использовать для игры друг с другом или для черновика.

Начинает игру Заяц. Кто — Заяц или Волк — победит в этой игре, как Те части фигур, которые по условиям игры выкидываются, рекомендуется бы ни играл его партнёр заштриховывать.) Рассмотрите случаи, когда под ёлкой:

Ответ. Во всех случаях победит второй игрок.

а) 3 мешка; б) 4 мешка; в) 5 мешков; г) 6 мешков.

Решение. Рассмотрим сразу общий случай (пункт «в»). Заметим, что Ответ. В пунктах «а» и «г» победит Заяц, в пунктах «б» и «в» —Волк.

в любой момент у полученной фигуры углы равны либо 60, либо 120.

1 Решение. Сначала о двух условностях, связанных с этой игрой. Во-пер- ленно победит. Так что Волку остаётся назвать В и С. Заяц точно так вых, понятно, что любой игрок в любой момент может победить, случайно же как в пункте «а» указывает на мешки A и C, и теперь обоим известно, угадав число конфет в мешках. Предполагается, однако, что игроки назы- сколько конфет в каждом из первых трёх мешков. Своим следующим ходом вают число только если уверены в его правильности, а не гадают попусту. Волк может либо указать на один из новых мешков и один из первой тройки, Во-вторых, при совершенно честной игре может сложиться ситуация, когда либо на два новых. Но ни один ход не сулит ему победы: если он укажет, количество конфет можно назвать раньше, чем в общем случае. Например, например, на A и D, Заяц, зная A, вычислит D, потом назовёт E и F и если, показав на два мешка, мы получаем ответ «10», то ничего о содер- победит. Если же Волк укажет на D и E, то Заяц укажет на A и F, найдёт жимом каждого мешка сказать нельзя, а если нам ответят «0», то можно. F и тоже победит.

Причём эта проблема не решается даже если договориться, что в мешках достаточно много конфет: если, например, их не менее пяти в мешке, то уже 3. «Борьба за территорию». Двое играют на поле 55 клеток, закраответ «10» даст «лишнюю» информацию. В реальных играх со школьни- шивая клетки — каждый в свой цвет. Первый игрок своим ходом красит ками на Турнире наши ведущие просили школьников решать задачу пред- одну клетку, второй — фигуру из нескольких клеток (повёрнутую по свополагая, что таких особых случаев не происходило, а самым дотошным ему усмотрению). Повторно клетки красить нельзя. Игрок, не имеющий велели представить себе, что количество конфет может быть отрицатель- хода, пропускает его. Игра заканчивается, когда всё поле закрашено. Побеным — если такое допустить, проблема снимается. дителем считается тот, кто в итоге сумел закрасить своим цветом б ольшую площадь, чем противник.

Теперь опишем решение каждого пункта задачи. Мешки, а также колиКто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни чество конфет в них, будем обозначать латинскими буквами. Мы будем играл его партнёр всякий раз описывать только один из нескольких равноправных случаев, Рассмотрите случаи, когда второй игрок закрашивает:

если таковые представятся.

а) полоску 1 2 клетки ( );

В пункте «а» Заяц сначала указывает на мешки A и B и узнаёт A + B.

б) полоску 1 3 клетки ( );

Разумеется, общую сумму он назвать пока не может. Волк своим ходом в) полоску 1 4 клетки ( );

узнаёт B + C. Поскольку он не в состоянии по этим данным отличить, A B C A B C г) полоску 1 5 клеток ( );

например, ситуацию с суммой 12 от с суммой 3 4 5 2 5 д) уголок из трёх клеток ( ).

11, он не станет называть общую сумму. Заяц же, спросив A + C, сложит и поделит пополам три известных ему суммы и получит A + B + C, Решение. Поначалу кажется, что второй игрок имеет существенное а потому победит. Заметим, что он сможет назвать, очевидно, не только преимущество: он одним ходом закрашивает в несколько раз больше клеобщую сумму, но и количество конфет в каждом мешке.

ток, чем противник. Однако фигуры второго игрока хоть и большие, но В пункте «б» Заяц указывает на мешки A и B и узнаёт A + B. Далее неповоротливые: умелой игрой начинающий быстро «портит» игровое поле, Волк узнаёт C + D и немедленно побеждает.

не давая сопернику ходить, после чего заполняет свободную территорию Значительно сложнее пункт «в». Сначала Заяц, как и ранее, указывает своим цветом. Только изогнутая форма фигурки второго игрока в последна мешки A и B и узнаёт A + B. После этого Волк (напомним, мы описынем пункте («г») позволяет ему (не без труда) победить «одноклеточного» ваем выигрышную стратегию именно для него) укажет на C и D и узнает соперника.

C + D. Если теперь Заяц укажет на пару мешков с участием E, например, на E и A, Волк тут же спросит про E и B, узнает (как в пункте «а» сумму A + E + B, прибавит известную сумму C + D и выиграет. Поэтому разумный Заяц назовёт два мешка из разных названных ранее пар, например B и C, а Волк на это "замкнёт цепочку", спросив про A и D. Как мы уже видели, Заяц не может своим следующим вопросом задействовать мешок E, поэтому он спросит про A и С ( или про B и D) и теперь обоим будут Рис. 1 Рис. 2 Рис. известны (согласно замечанию к пункту а) количества конфет в каждом из Для описания стратегии первого игрока в пункте «а» поставим на некопервых четырёх мешков. Назвав теперь один из них и E, Волк выиграет.

торых полях точки (см. рис 1). Очевидно, что каждым своим ходом второй В пункте «г» Заяц, как обычно, указывает на мешки A и B и узнаёт игрок закрасит одну и только одну отмеченную клетку. Если первый игрок A + B. Если Волк укажет на два других мешка (этот ход помог ему выигбудет красить только клетки с точкой (а именно так мы и рекомендуем ему рать в предыдущем пункте), то Заяц укажет на два оставшихся и немед3 поступать), то после того, как оба сделают по шесть ходов, второй игрок Очевидно, что второй игрок сможет, следуя этой стратегии, сделать как больше пойти не сможет, а потому проиграет —он закрасил только 12 кле- минимум пять ходов, а тогда он победит.

ток из 25.

Абсолютно аналогично решение и в двух следующих пунктах: соответКритерии оценивания ствующие расстановки точек смотрите на рисунках 2 и 3.

За каждую задачу присуждается целое количество баллов от 0 до 20.

Отметим, что в этих случаях «одноклеточный» игрок победит даже если Оценки по различным пунктам суммируются (при этом ставится 20 балпредоставит право первого хода сопернику.

лов, если сумма оказывается больше 20).

В пункте «г» после первого парного хода определяется, в каком направлении (вертикальном или горизонтальном) будет красить клетки второй 1. «Режем шестиугольник».

игрок. Если, например, он закрасил столбец, то и дальше сможет красить а) 3 балла за полное решение.

только столбцы. Но свободных столбцов остаётся 3, из которых он сможет б) 5 баллов за полное решение.

гарантированно закрасить только 1 —два других «испортит» начинающий.

в) 20 баллов за полное решение.

Тем самым второй игрок закрасит только 10 клеток из 25. В этом варианте 1 балл, если просто указано, как поступать с острым углом.

игры первый игрок проиграет, если передаст сопернику право начать игру.

5 баллов за неизвестную симметрию, в т. ч. «копирование» и другие нечётПриведём теперь стратегию для второго игрока в пункте «д» —это задакие формулировки, без явного объяснения, что делать с острыми углами в ние оказалось самым сложным во всём конкурсе.

общем случае.

10 баллов за полную формулировку стратегии (с углами) со словами типа 4 5 7 6 «надо копировать ходы», «повторять ходы» и т. д., без указания централь6 3 2 3 ной или диагональной симметрии.

7 2 1 2 +2 балла за указание вида симметрии.

5 3 2 3 +2–6 баллов за рассуждение о том, что всегда есть ходы.

4 6 7 5 +2–6 баллов за рассуждение об отсутствии острых углов у нашей фигуры (корректность нашего хода).

Рис. 4 Рис. Рис. Все 25 клеток игрового поля можно разбить на семь типов (рис. 4)1:

2. «Сколько конфет».

1) центральная, а) 5 баллов за полное решение.

2) соседняя с центральной по стороне, минус 1 балл, если не показано, как считать ответ.

3) соседняя с центральной по углу, минус 2 балла, если нет объяснения или хотя бы упоминания, почему нельзя 4) угловая, было назвать число мешков раньше (почему другой не выиграет).

5) соседняя с угловой по стороне слева, б) 2 балла за полное решение.

6) соседняя с угловой по стороне справа, в) 15 баллов за полное решение.

7) и, наконец, средняя у края.

г) 15 баллов за полное решение.

Любые две клетки одного типа можно совместить поворотом поля.

В пунктах «в» и «г» за сильные ошибки в разборе одного из 3 важных Поставим точки в некоторых клетках (см. рис. 5). Среди отмеченных случаев снималось 5 баллов за случай.

есть клетки всех семи типов, поэтому, повернув, если нужно, игровое поле, можно считать, что начинающий закрасил клетку с точкой. Теперь разо3. «Борьба за территорию».

бьём клетки с точками на четыре квадрата 2 2 (см. рис. 6) и посоветуем а) 6 баллов за полное решение.

второму игроку придерживаться такой стратегии:

б) 7 баллов за полное решение.

в) 6 баллов за полное решение.

• Если начинающий закрасил клетку в одном из квадратов с точками, г) 5 баллов за полное решение.

закрась оставшиеся клетки этого квадрата;

д) 10 баллов за полное решение.

• Если начинающий закрасил клетку в одной из двух зон, свободных от Снимается 3 балла, если есть стратегия, но нет её доказательства.

точек, закрась уголок в другой зоне.

0 баллов за слова «блокировать ходы» и т. п. (подобные рассуждения не влияют на оценку).

Если у двух клеток одинаковый тип, то их центры расположены на одинаковом расстоянии от центра центральной клетки. Но не наоборот: сравните клетки типов 5 и 6.

5











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.