WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ -------------------------------------------------------------------------------------------------------- ФРЕНЕЛЕВСКАЯ ДИФРАКЦИЯ НА КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ.

Руководство к выполнению лабораторной работы.

Автор: С.Н.Колгатин.

Санкт - Петербург –1999- 2 СОДЕРЖАНИЕ 1. Задача работы. 3 2. Введение. 3 3. Дифракция Френеля и дифракция Фраунгофера 5 4. Теория Френеля. 6 5. Математическая модель дифракции. 10 6. Порядок выполнения работы. 11 1. ЗАДАЧА РАБОТЫ.

1. Ознакомиться с основными положениями теории дифракции и правильно ответить на предложенные вопросы.

2. С помощью готовой программы моделировать дифракционные явления, возникающие при прохождении световой волной круглого отверстия (диафрагмы).

3. Пользуясь приближенной теорией дифракции Френеля, определить длину волны, случайным образом сгенерированную компьютером в начале выполнения работы.

2. ВВЕДЕНИЕ.

Явление дифракции играет большую роль в технике (дифракционные решетки, зонные пластинки, микроскопы, фотографирование удаленных объектов и т.п.). Наличие дифракции подтверждает волновую природу света. Кроме того, изучение дифракционных явлений позволяет понять смысл и усвоить математическое описание широко распространенных в природе волновых процессов, заложить основу для понимания принципов действия многочисленных оптических приборов. Для понимания физической сущности дифракции необходимо знать основные положения теории интерференции, которые кратко суммированы в предлагаемом введении.

Запишем уравнение гармонических колебаний, происходящих в точке пространства:

= A0 cos t + 0, (1) ( ) где - смещение, A0 - амплитуда, - круговая частота, t - время, 0 - начальная фаза; выражение в круглых скобках называется фазой колебаний. С фор2 3 мальной стороны можно изображать колебания в виде вектора длины A0, вращающегося с угловой скоростью против часовой стрелки и начавшего вращение из начального положения, когда он был наклонен к оси «x» под углом 0. В этом случае уравнение (1) выражает изменение во времени проекции конr ца вектора A0. Однако удобнее представлять колебания с помощью неподr вижного вектора A0, наклоненного под углом 0 к оси «x», на плоскости, вращающейся с угловой скоростью.

В случае световых колебаний смещению соответствует напряженность r электрического поля E t. В свою очередь, видимая интенсивность света ( ) есть величина, пропорциональная среднему по времени квадрату напряженности: = E2 t. При определенных условиях колебания распространяются в ( ) t однородной среде с постоянной скоростью «c»(так называемая «фазовая скорость»). В наиболее простом случае плоской гармонической волны колебания на расстоянии «x» повторяют колебания в начальной точке (x=0) с отставанием по времени на t = x c:

t,x = A0 cos t - x c + 0 = A0 cos t +. (2) ( ) ( ( ) ( ) ) Рассмотрим две плоские волны одинаковой частоты, испущенные разными источниками с начальными фазами 01 и 02 соответственно.

1 = A01 cos t - x c + 01, 2 = A0 cos t - x c + 02 (3) ( ( ( ) ( ) ) ) Если разность начальных фаз для выбранных источников не изменяется со временем 0 = 02 - 01 = const, то источники называются когерентными.

Рассмотрим два когерентных источника, положив для простоты 02 = 01 = и A01 = A02 = A0. Пусть в некоторой точке пространства «P», отстоящей на расстояния x1 и x2 от первого и второго источников соответственно происходит суммирование (интерференция) колебаний:

= 1 + 2 = A0 cos t - x1 c + cos t - x2 c = ( ) ( ) { [ ] [ ]} 2A cos x cos t - x2 + x1, = (4) 2c 2c где = x c - разность фаз, x = x2 - x1 - так называемая разность хода. Взятое в фигурные скобки в последней части формулы (4), не зависящее от времени выражение представляет собой амплитуду суммарного колебания:

2A cos A =. (5) Тот же результат можно получить и на упомянутой выше вращающейся плоскости. Схема графического сложения колебаний предРис.1. Схема графического сложения двух ставлена на рис. 1. Нетрудно виколебаний.

деть, что по теореме косинусов:

2 A = A1 + A2 - 2A1A2 cos - = 2A2 1 + cos = 4A2 cos2 ( ) ( ) ( ) 2 0 Из формулы (5) следует, что при разности фаз = 2m, где m = 012,..., амплитуда суммарного колебания A увеличивается вдвое по,, отношению к A0, а при = 2m + 1, m = 0,1,2,... - обращается в ноль.

( ) ( ) Перепишем это условие в терминах разности хода x, с учетом определения длины волны как расстояния, проходимого волной за период:

x 2 == x = x. (6) c Tc Итак, при x = 2m + 1, m = 012,... суммарная амплитуда,, () () A = 0, а при x =m, m = 012,... A = 2A0.

,, ( ) 3. ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ И ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА.

Под дифракцией обычно понимают отклонение от законов геометрической оптики при взаимодействии световых волн с препятствиями. Рассмотрим основные особенности дифракции на примере простого эксперимента с круглым отверстием (диафрагмой) D, диаметр Рис. 2 Схема опыта по изучекоторого d можно изменять. Схема опыта принию дифракции ведена на рис. 2. Свет от источника S, помещенного в фокусе собирающей линзы (или удаленного на большое расстояние), падает на диафрагму D. Интенсивность плоской световой волны перед диафрагмой равна 0. На расстоянии b от диафрагмы расположен экран Э. Точка P лежит против центра отверстия; буквой «r» обозначено расстояние, отсчитываемое в плоскости экрана от точки P.

Пусть первоначально диаметр отверстия достаточно большой (d >> b, количественный критерий будет получен ниже). Тогда изображение на экране подчиняется законам геометрической оптики (круглое пятно с равномерной засветкой, штриховая линия на рис. 3). С увеличением b или уменьшением d изображение на экране приобреРис. 3. Пример распределения интает аномальный для геометрической оптенсивности по экрану при дифрактики характер, распадаясь на ряд светции Френеля.



лых и темных концентрических колец с центром в точке P. Пример возможного распределения интенсивности по экрану в этом случае приведен на рис. 3. Разумеется, энергия, прошедшая через отверстие, равна той, что распределена по экрану. Если продолжать удалять экран от отверстия или уменьшать радиус диафрагмы, то, начиная с некоторого b1, интенсивность в точке P будет многократно изменяться от максимального значенияPmax40 до минимального Pmin0. Сказанное иллюстрируется рисунком 4, где приведена зависимость P/0 от b (или от 1/d). Важно отмеРис. 4. Изменение интенсивности в тить, что при достижении некоторого центре дифракционной картины при граничного значения b2 периодическое изменении расстояния до экрана.

изменение интенсивности в центре картины прекращается и в точке устанавливается светлое пятно, размер которого превосходит диаметр отверстия. Проводя наблюдения, можно заметить, что центральное пятно окружено слабо различимыми концентрическими кольцами (в центральном круге сосредоточено ~98% всей энергии, прошедшей на экран), то Рис.5. Распределение интенсивности есть вновь имеет место дифракция, правпо экрану при дифракции Фраунгода, с несколько другой спецификой. Скафера.

занное иллюстрируется рис. 5. В отличие от дифракции в области «ближнего поля», при b1 < b b2) называется «фраунгоферовой».

4. ТЕОРИЯ ФРЕНЕЛЯ.

Дифракция в ближнем поле качественно хорошо описывается приближенной теорией Френеля, краткое изложение которой приводится ниже. Теория опирается на так называемый принцип Гюйгенса-Френеля. Окружим источник света S произвольной замкнутой поверхностью F. В соответствии с рассматриваемым принципом, каждая точка поверхности F является источником вторичных волн, распространяющихся по всем направлениям. Эти волны когерентны, так как возбуждаются одним первичным источником. По принципу Гюйгенса-Френеля, световое поле, возникающее в пространстве вне поверхности в результате интерференции вторичных когерентных волн, совпадает с полем реального источника света. Дадим математическую формулировку этого принципа. Окружим источник света S произвольной поверхностью F. Выделим r на ней площадку dF с нормалью n. Будем рассматривать амплитуду колебаний dA, создаваемую площадкой dF в точке М, находящейся на расстоянии r :

A0 r dF, (6) dA = cos t - ( ) r c где A0 - амплитуда волны на площадке dF, - угол между нормалью к площадке и направлением на точку, - так называе( ) мый коэффициент Кирхгоффа, плавно убыРис.6. К математической форвающий от единицы при =0 до нуля при мулировке принципа Гюйгенса=/2. В рамках данного описания коэффиФренеля циент Кирхгоффа можно считать эмпирическим, хотя его значение и можно рассчитать теоретически. Расстояние r, присутствующее в знаменателе формулы (6), отражает сферичность вторичных волн. Таким образом, математическая формулировка принципа ГюйгенсаФренеля следующая:

A0 r dF. (7) M A = cos t ( ) r C F Окружим источник света S сферической поверхностью F и рассмотрим амплитуду световой волны в точке P (рис. 7). Разобьем поверхность на участки (зоны), проведя несколько концентрических сфер с центром в точке P (на рисунке зоны заштрихованы). Вы- Рис. 7. Зоны Френеля для берем радиусы сфер равными b+/2, сферической волны b+2/2,... b+m/2 (где m=1,2,3,...). Тогда соответствующие кольцевые области на поверхности F называются зонами Френеля. С помощью геометрических построений можно показать, что, в случае b>>, разница в площадях соседних зон очень мала ( b ). В соответствии с введением, две коге( )рентных световых волны, разность хода которых составляет /2, при интерференции полностью погасят друг друга. Так как при равенстве площадей количество светящихся точек в соседних зонах одинаково, то колебания от них в точке P должны практически полностью погасить друг друга. Поставим на пути световой волны диафрагму, диаметр которой совпадает с границей четной зоны Френеля; тогда колебания от всех пар соседних зон скомпенсируют друг друга и в точке P будет наблюдаться темное пятно. Если же диафрагма открывает нечетное число зон Френеля, то колебания от одной из них останутся некомпенсированными и в точке P будет светлое пятно. Таким образом удается объяснить чередование максимумов и минимумов при изменении диаметра отверстия или расстояния до экрана, представленное на рис. 3.

Нетрудно определить и количественное значение интенсивности в точке P, воспользовавшись так называемой спиралью Френеля.

Для ее построения мысленно разобьем зоны Френеля на более мелкие подзоны. Будем изображать суммарное колебание от подзоны в виде вектора на вращающейся плоскости. Вектор от следующей подзоны должен быть повернут на некоторый небольшой угол =2x/, где x - разность хода между лучами от соседних подзон. Кроме того, из-за уменьРис. 8. Схема построешения коэффициента Кирхгоффа, амплитуда коления спирали Френеля баний от следующей подзоны чуть меньше, чем от предыдущей. Результат сложения колебаний от отдельных подзон представлен на рис. 8. Нетрудно сообразить, что к концу первой зоны Френеля вектор от подзоны развернется на "", а к концу второй зоны- совершит полный оборот.





Так как сумма нескольких векторов есть вектор, соединяющий начало первого с концом последнего из них, то амплитуда колебаний от первой зоны Френеля изображается вектором ОF1(что соответствует светлому пятну в центре дифракционной картины), а от второй - вектором ОF2(относительно темный центр). Естественно, чем меньше размер подзон, тем точнее проведенные рассуждения. В пределе бесконечно малых подзон, ломаная линия с рис. 8. Переходит в непрерывную кривую, называемую спиралью Френеля (она изображена на рис.9). С ее помощью можно получить количественную оценку интенсивности света в центре дифракционной картины. В самом деле, амплитуда колебания от первой открытой зоны Френеля изображается вектором ОF1, длина которого на Рис.9. Спираль Френеля.

рис. 9 обозначена как E1. Очевидно, что амплитуда колебаний от полностью открытого волнового фронта изображается вектором с длиной E0. Из-за близости первого витка спирали к окружности, можно предположить, что E12E0, или, то же самое 140.

Любопытно заметить, что в колебаниях открытого фронта первая зона r r вносит вектор E1, а остальные зоны - вектор E1,’равный по модулю и направ r ленный навстречу E0. Поэтому, если перекрыть первую зону Френеля непрозрачным диском, то в точке P (то есть в центре геометрической тени) будет наблюдаться так называемое «пятно Пуассона» с начальной интенсивностью 0.

Оценим размеры зон Френеля и предельные расстояния для начала френелевской или фраунгоферовой дифракции для простейшего случая плоской волны. Непосредственно из рисунка 10, по теореме Пифагора, следует:

Rm = b + m / 2 - b2 mb, (8) ( )Рис. 10. К определению где учтено, что при переходе от геометрической оптиразмера зон Френеля ки к ближнему полю дифракции b >> m / 2. Из для плоской волны спирали Френеля хорошо видно, что дифракционные явления хорошо выражены лишь для первых витков спирали. Поэтому, в качестве критерия перехода к геометрической оптике можно взять (с некоторой долей произвола) условие m~10. Выражая из (8) количество зон, укладывающихся в отверстии, будем иметь, что дифракция Френеля наблюдается при необхоd2 ~ димом условии < 10. (9) 4b Чтобы в центре наблюдалось темное пятно, необходимо наличие хотя бы двух открытых зон Френеля. Когда в отверстии укладывается существенно меньшая часть волнового фронта, чем первая зона, происходит переход к фраунгоферовой дифракции в дальнем поле. Приближенный количественный критерий перехода можно получить, потребовав, чтобы разность хода между крайними лучами от диафрагмы не превышала, к примеру, /4 (см. рис.11):

~ = d sin d d b = d2 b < / 4. (10) ( ) Рис. 11. К определению пределов дифракции dТак как m (число зон Френеля, укладываюФренеля 4b щихся в отверстие), для наблюдения френелевской дифракции необходимо вы~ полнить условие:01~ m < 10. При нарушении этого неравенства слева начи. < нается дифракция Фраунгофера, справа - изображение отверстия подчиняется законам геометрической оптики.

Изложенная простая теория также дает возможность качественно объяснить происхождение множества дифракционных колец. В самом деле, представим себе, что мы смотрим на отверстие и строим зоны Френеля не из точки P, а из P, смещенной относительно центра дифракционной картины на расстояние r.

Открывающаяся нашему взгляду картина представлена на рис. 12. При взгляде под углом круг трансформируется в эллипс и не все зоны Френеля целиком в нем помещаются. Далее, если площади нечетных и четных зон (на рис.12 они заштриховаРис.12. Зоны Френеля.

ны) примерно равны, в точке Pбудет наблюдаться Построенные из точки, минимум интенсивности. Соответственно, будут смещенной по экрану отиметь место и максимумы. Более тщательный ананосительно центра диализ показывает, что число горбов на графике для фрагмы интенсивности в зависимости от прямолинейной координаты «х», ось для которой проходит через точку P, совпадает с числом открытых зон. Это утверждение иллюстрируется рис. 13, где приведены зависимости (x)/0 для случая одной (13-а), двух (б) и трех открытых зон.

а б в Рис 13. Примерное распределение интенсивности по экрану для одной (а), двух (б) и трех (в) открытых зон Френеля.

5. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИФРАКЦИИ.

Распространение электромагнитных волн описывается уравнениями Максвелла; для цилиндрической симметрии вектор напряженности электрического r поля E r,z,t удовлетворяет уравнению [1]:

( ) r 2E 1 E 1 2E -+r = 0, (11) c t z2 r r r Здесь учтено очевидное отсутствие зависимости решения от азимутального угла. В принципе уравнение (11) может служить основой для математической модели, однако решать его численно слишком сложно, поэтому пользуются дополнительными преобразованиями. Будем искать решение (11) в виде r E = 1 2 e Re A r,z,t exp i t - kz, (12) ( )r ( ) ( ) { [ ]} r где e - орт, определяющий поляризацию, A r,z,t - комплексная амплитуда ( ) волны, k=2/ - волновое число. После некоторых нетривиальных математических преобразований, с которыми можно познакомиться по книге [2], уравнеr z ние (11) в приведенных координатах = и = сводится к инd ( ) k d ( )тегральному соотношению для безразмерной комплексной амплитуды exp - i 2 + 2 ( ) [] ~ ~ A, = A,0 d, (13) ( ) ( ) ( ) где - переменная интегрирования, - Функция Бесселя нулевого порядка (хорошо известная и табулированная специальная функция). Выражение (13) оказывается существенно удобнее для численного моделирования, чем исходное уравнение (11).

5.1. Особенности дифракции гауссовых пучков.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.