WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |

Краевые силы и моменты возникают в сечениях, в которых происходит резкое изменение или нагрузки, или толщины стенки, или свойств конструкционного материала, а также возле мест заделок и приложения дополнительных связей. Напряженное состояние, вызываемое краевыми силами и моментами, определяется с помощью уравнений моментной теории. Напряжение и деформации, вызванные краевым эффектом, имеют локальный характер и оказывают влияние лишь в зоне материала, расположенной в непосредственной близости к месту приложения краевых сил и моментов. В месте возникновения краевые напряжения могут достигать высоких значений.

Поэтому всегда необходимо принимать конструктивные меры для снижения краевых напряжений.

Краевые напряжения особенно опасны в аппаратах, изготовленных из хрупких материалов, таких, как термореактивные пластмассы, керамика и подобных, а также в аппаратах, подверженных знакопеременным нагрузкам.

3.1. Приложение безмоментной теории оболочек к расчету сосудов Существуют два принципиально различных подхода к определению механической надежности деталей аппаратов и других сооружений [9].

Согласно теории упругости прочность определяется величиной предельного напряжения, которое может выдержать нагруженная деталь, не разрушаясь.

Согласно теории пластичности прочность определяется величиной предельной нагрузки, которую может выдержать деталь, не получая остаточных деформаций.

Основанный на первом допущении метод расчета на прочность по предельным напряжениям базируется на предположении, что во всех частях детали или сооружения материал находится в упругом состоянии и нигде напряжение не превышает предела текучести.

В случае сложнонапряженного состояния материала с помощью одной из теорий прочности находится приведенное напряжение, которое и сравнивается с предельным.

Материал элементов химических аппаратов нагружен неравномерно. Примерами элементов, в которых напряжения распределены неравномерно по сечению, являются фланцы, стенки толстостенных сосудов, крышки, а также места соединения частей разной жесткости, например, обечаек и днищ. Если в основу расчета на прочность по предельным напряжениям взять максимальное напряжение, возникающее в наиболее нагруженном месте конструкции и охватывающее весьма незначительный объем материала, то это неминуемо приведет к перерасходу конструкционного материала. Поэтому, рассчитывая конструкции по предельным напряжениям, берут за основу средние напряжения, например, мембранные напряжения в тонкостенных конструкциях, не обращая внимания на существование местных напряжений значительной интенсивности. Существенный недостаток такого подхода к оценке прочности заключается в том, что истинный запас прочности в разных частях конструкции остается невыясненным.

В особо интенсивно нагруженных местах конструкций, сделанных из пластических материалов, можно допускать частичный переход материала в упругопластичное состояние, поскольку полное использование прочности материала наступает лишь при таких нагрузках, при которых пластические деформации распространяются на все опасное сечение конструкции.

Расчет на прочность, при котором предполагается переход части материала конструкции в пластичное состояние, называется расчетом по предельным нагрузкам. Этот метод расчета позволяет более объективно оценить величину максимальной нагрузки, которую может выдержать конструкция не разрушаясь. Метод расчета на прочность по предельным нагрузкам применим только для расчета аппаратов, изготовленных из пластических материалов. Метод расчета на прочность по предельным напряжениям пригоден для аппаратов, изготовленных как из пластичных, так и хрупких материалов.

Следует также учитывать, что в стоимости продукции, выпускаемой химическими заводами, доля амортизационных расходов составляет ничтожную величину, а стоимость самого аппарата в гораздо большей степени определяется стоимостью труда, затраченного на изготовление, чем стоимостью конструкционного материала. Конструктор обязан экономить материал и не допускать его напрасного расходования. Но нужно экономить разумно, так как слишком облегченная конструкция при изменении условий эксплуатации, как часто случается, может разрушиться, что приведет к катастрофическим последствиям.

3.1.1. Расчет на изгиб круглых пластин, нагруженных симметрично Пластиной называют плоское тело, ограниченное двумя поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с размерами самих поверхностей. Срединная поверхность пластины, т. е.

поверхность, равноудаленная от наружных поверхностей, представляет собой плоскость. Этим пластины отличаются от оболочек, у которых срединная поверхность не плоская [22].

Многие детали аппаратов и машин имеют форму круглой или кольцевой пластины (рис. 5). В качестве примеров можно назвать плоские днища и крышки резервуаров, фланцы труб, днища роторов центрифуги и т. д.

Рис. 5. Схема круглой пластины В основу теории изгиба пластин положены следующие два допущения:

а) точки, расположенные на некоторой прямой, перпендикулярной к срединной поверхности до деформации, остаются на прямой нормальной к этой поверхности после деформации пластины (гипотеза прямых нормалей Кирхгофа);

б) в плоскостях, параллельных срединной плоскости, нормальные напряжения пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями изгиба.

При изгибе пластин, наибольший прогиб которых существенно меньше толщины, пренебрегают радиальными перемещениями точек срединной плоскости.

Примем систему координат таким образом, чтобы плоскость X 0Y совпадала со срединной плоскостью пластины, начало координат 0 совместим с центром неизогнутой пластины (рис. 6).

Рис. 6. Схема к определению угла поворота к нормали в зависимости от прогиба d Из рис. 6 видно, что tg=± или с учетом направления оси z dr и малости угла, d =-. (1) dr На изогнутой срединной поверхности пластины возьмем произвольную точку A (рис. 7) с координатой r и проведем через нее нормаль к поверхности. Также проведем нормаль и через ближай шую точку A, характеризуемую радиус-вектором r + dr. Длина ду ги AA будет dr, а угол наклона этой нормали будет + d.

На основании принятого допущения о недеформируемости срединной поверхности (деформации в остальных слоях пластины пропорциональны расстоянию z от срединной поверхности) для двух ближайших точек A и B (рис. 8) на расстоянии z от срединной поверхности и на расстояниях r и dr от оси z относительное удлинение волокна AB в радиальном направлении AB ( - AB ) zd r = =. (2) AB dr б а в Рис. 7. Схема угловых деформаций в различных сечениях цилиндрической пластины Рис. 8. К расчету элемента пластины Относительное окружное удлинение в точке B можно определить, сравнивая длину соответствующих окружностей до и после деформации:

2 r + z - 2r ( ) z t = =. (3) 2rdr Вырежем из пластины бесконечно малый элемент двумя диаметральными (под углом d ) и двумя концентрическими сечениями с радиусами r и r + dr (рис. 9).

б а Рис. 9. Схема действия внутренних силовых факторов на элемент пластин:

а - элемент пластины; б - векторный треугольник Выделенный элемент расположен на расстоянии z от срединной поверхности. Относительным удлинениям r и t соответствуют нормальные напряжения r и t, связь между которыми (деформациями и напряжениями) определяют по обобщенному закону Гука:

r t t r r = - ; t = -, (4) E E E E где r и t – напряжения, действующие в радиальном и окружном направлениях; E – модуль продольной упругости; – коэффициент Пуассона.

При совместном решении уравнений (4) с учетом выражений (2) и (3) получим следующие выражения для напряжений:

d Ez r = (5) 1- dr + r ;

d Ez t = (6) 1- r + dr.

Кроме нормальных напряжений на гранях, принадлежащих цилиндрическим сечениям выделенного элемента B1B1A1A1 и B2B2 A2 A2, в общем случае имеют место и касательные напряжения.

Любое радиальное сечение пластины (например, B1B2 A2 A1 ) является плоскостью симметрии, следовательно, в этих сечениях касательные напряжения отсутствуют.

Переходя от нормальных напряжений r и t к изгибающим моментам M и Mt, отнесенным к единице длины соответствующеr го сечения, получаем:

s s + + 2 Mr = r zdz ; Mt = t zdz. (7) s s - 2 Подставляя в эти выражения значения r и t из уравнений (5) и (6) и интегрируя, имеем:

d Mr = D + ; (8) dr r d Mt = D +, (9) r dr Esгде D = – цилиндрическая жесткость пластины.

12 1-( ) Сравнивая уравнения (8) и (9) и уравнения (5), (6) и подставляя в них значение D, получаем:

12Mr z 12Mt z r = ; t =. (10) s3 ss Наибольшие нормальные напряжения будут при z =. Поэтому r = ± ; t = ±. (11) ( )max 6Mr ( )max 6Mt s2 sНа рис. 10,а приведена схема действия на выделенный элемент внутренних силовых факторов (изгибающих моментов и поперечных сил).

Используя условие равновесия этого элемента, составляем уравнение моментов относительно оси y :

d Mr + dMr r + dr d - Mrr d - 2 Mtdrsin + ()( ) (12) + Qr ddr + Q + dQ r + dr ddr = 0.

( )( ) На рис. 10,б показаны векторы моментов Mt, которые отложены на перпендикулярных линиях к плоскости их действия. Проектируя векторы по направлению оси y (отрезок bc ), получаем искомый результат. Отбросив в последнем уравнении величины высшего порядка малости, после алгебраических преобразований получаем:

rdMr Mr + - Mt + Qr = 0. (13) dr а б Рис. 10. Круглые пластины с различными видами нагрузки:

а - сплошная; б - с отверстием Подставляя значения M и Mt из формул (8) и (9), получим:

r d 1 d D + - -Q. (14) = dr2 r dr r Используя тождество d 1 d d d + - = +, (15) dr2 r dr r2 dr dr r dd и учитывая, что r = r +, уравнение (14) можно предста( ) dr dr вить в виде d 1 d D r =-Q. (16) ( ) dr r dr Для выяснения смысла выражения в квадратных скобках уравнения (16) сложим почленно уравнения (8) и (9), в результате получим d Mr + Mt = D 1+ + 1+ ( ) ( ) dr r или Mr ± Mt d 1 d = D + = D r. (17) ( ) 1+ dr r r dr 3.1.2. Расчет круглых осесимметричных пластин по методу начальных параметров Интегрируя уравнение (16), получаем:

1 d D r = - ( ) (18) ( ) Q r dr.

r dr Для получения обобщенного решения этого уравнения воспользуемся методом, предложенным С. Н. Соколовым [22], который является вариантом метода начальных параметров.

Пластину, подвергаемую сложному нагружению, разделяют на участки, границы между последними выбирают в тех точках, где приложены силы и моменты или где начинается распределенная нагрузка. Когда последняя изменяется скачкообразно, ее представляют в виде двух нагрузок, действующих до наружного края пластины.

Произвольные постоянные интегрирования по участкам сводят к начальным параметрам, количество которых не превышает трех. В качестве этих параметров принимают прогиб и изгибающие моменты M и Mt в центре сплошной пластины или на внутреннем r контуре кольцевой пластины.

Определение постоянных интегрирования возможно при любом числе участков, на которые разбивают пластину. Однако уже при двух-трех силовых участках расчет будет громоздким, так как потребуется составить и решить системы соответственно из шести и девяти уравнений. Рассматриваемый метод расчета, разработанный С. Н. Соколовым, является наиболее экономичным при решении сложных задач и позволяет значительно упростить расчеты.

Пусть на круглую пластину действуют следующие силовые факторы: момент m, равномерно распределенный по окружности радиуса a1(см. рис. 10,а); кольцевая сила P, равномерно распределенная по окружности радиуса a2 ; нагрузка q, равномерно распределенная по кольцу, ограниченному радиусами a3 и a4, и неравномерно распределенная по кольцу, ограниченному радиусами a4 и a5, изменяющаяся по закону q0 2 - a4 (здесь q0 – постоянный коэффици( ) ент; – текущий радиус ( a5 >> r )).

В данном случае пластинка имеет пять участков.

Рассмотрим последовательно части пластинки, вырезанные цилиндрическими сечениями.

Значения поперечной силы Q r для пяти участков:

( ) I – при 0 r a1 ;

Q = II – при a1 r a2 Q = 0 ;

P III – при a2 r a3 Q =- ;

2r 2 q - a (r ) PP q a IV – при a3 r a4 Q =- + =- + r - ;

2r 2r 2r 2 r V– при a4 r R 2 q - a3 1 r (r ) P 2 Q =- + ( ) 2r 2r + 2r q0 - a4 2d = a 2 a3 q0 P q a=- + r - + r3 - 2ra4 +.

r 2r 2 r После интегрирования правых частей этих уравнений получим следующие выражения для пяти участков:

I – r dr = C1 ;

( ) Q II – r dr = C1 + C2 ;

( ) Q P P III – ( ) Q r dr = C2 + 2 lnr - lna2 + C3 ;

qa3 qa3 qaP P qr2 2 2 IV – ( ) Qr dr =C2 + 2lnr - lna2 + 4 - - lnr + 2 lna3 +C4 ;

2 4 qa3 qa3 qaP P qr2 2 2 V – ( ) Q r dr = C2 + 2lnr - lna2 + 4 - - lnr + 2 lna3 + 2 4 4 2 4 4 q0r4 q0a4 q0a4 r2 q0a4 q0a4 qa+ - - + + lnr - lna4 + C5, 16 16 4 4 4 где C1...C5 – постоянные интегрирования.

При интегрировании введены постоянные члены, содержащие абсциссу граничного сечения ai. Этим достигается равенство значений C1 = C3 = C4. Из сопоставления уравнений (17) и (18) следует, что Mr + Mt =- ( ) (19) Q r dr1.

1+ Однако для участка I было получено r dr = C1, поэтому ( ) Q MrI + MtI = C1. (20) 1+ Учитывая равенство (20), напишем выражения для граничного сечения участков II и III:

P C1 + C2 = C2 - lna2 + C1.

Следовательно, C1 = C3.

Аналогично устанавливаем, что C3 = C4 = C5. При определении величины C1 учитываем условие r = 0 и M = Mt = M0. Тогда из r уравнения (20) имеем 2MC1 =.

1+ Выражение r dr при r a1 будет равно изгибающему рас( ) Q пределенному моменту m. Так как значения выражения r dr ( ) Q для участков I и II отличаются на величину C2, заключаем, что C2 = m.

Таким образом, уравнение для участка IV может быть записано в виде qa3 qa3 qa1 dP P qr2 2 2 D r = + m + lnr - lna2 + - - lnr + lna3.

( )2Mr dr 1+ 2 2 4 4 2 Произведем интегрирование полученных дифференциальных уравнений для каждого участка, предварительно умножив левые и правые части полученных уравнений на r и подставив найденные значения постоянных первого интегрирования C1. В результате получим для следующих участков:

M0r I – при 0 r a1 ; DIr = + C1 ; (21) 1+ M0rmr II – при a1 r a2 ; DIIr = + + C2 ; (22) 1+ III – при a2 r aM0r2 a1 amr2 2 P r2 DIIIr = + 1- + -1- ln + C3 ; (23) 1+ r2 8 r IV – при a3 r aM0r2 a1 a2 amr2 2 P r2 DIVr = + 1- + -1- ln + 1+ r2 8 r2 r (24) qa3 r3 aqr4 2 + + ln + C4;

16 r V– при a4 r R M0r2 a1 a2 amr2 2 P r2 DV r = + 1- + -1- ln + 1+ r2 8 r2 r qa3 qa3 r2 aqr4 4 2 + + + ln + (25) 16 16 r 2 2 q0r6 3a4 a4 a + 1- 2 - 1- 2ln + C5.

r2 r2 r Как при первом интегрировании для выравнивания произвольных постоянных интегрирования, в уравнения для участков III – V введены постоянные члены, содержащие абсциссу граничного сечения.

Учитывая, что при r = 0 I = 0, из уравнения (21) получаем C1 = 0.

При r = a1 I = II и, следовательно, DIa1 = DIIa1, откуда 2 2 M0a1 M0a1 ma = + + C2.

1+ 1+ Далее, аналогично приравнивая для граничных сечений соответствующих участков углы поворотов i-1 = i и, следовательно, Di-1ai-1 = Diai, найдем остальные постоянные интегрирования:

2 4 P a2 q a3 q0 a C3 =- ; C4 =- ; C5 =-.

8 16 Подставляя в уравнения (21)–(25) значения постоянных интегри рования Ci и разделив левые и правые части полученных уравнений на r, получим выражение для углов поворота D. Для участка V уравнение будет наиболее общим, учитывающим все указанные выше нагрузки. Углы поворота любого участка можно найти, не учитывая члены уравнения, содержащие нагрузку, действующую за пределами данного участка. Уравнение для D будет иметь вид M0r D = + m rm + P rP + qr3 rq + q0r5 rq0, (26) 1+ ai где – функция безразмерного аргумента =.

r Подставляя значения для участка V в формулы (10), (11) с учетом выражений для, получаем:

Mr = M0 + mrm + P rp + qr2 rq + q0r4 rq0 ; (27) Mt = M0 + mtm + P tp + qr2 tq + q0r4 tq0. (28) Подставляя уравнения углов поворота I – V в уравнения прогибов для соответствующих участков, производим интегрирование, а затем выравнивание произвольных постоянных интегрирования Ci по участкам и, выражая их через начальный параметр – прогиб в центре пластины 0, получаем для участка V:

MD = D0 + r2 + mr2 m + 2 1+ ( ) +P r2 p + qr4 q + q0r6 q0.

Функции, называемые С. Н. Соколовым сопровождающими, ji легко подсчитывают для любых значений и представляют в виде таблиц [2, 12, 19, 22, 23].

При расчете кольцевых пластин обобщенные уравнения изменяются за счет начальных параметров, причем члены, учитывающие влияния нагрузок, остаются без изменений.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.