WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Методические указания к выполнению контрольных работ для студентов специальностей 080105, 080109, 080500 Тамбов Издательство ТГТУ 2008 УДК 51:33 ББК В11я73 С606 Рекомендовано Редакционно-издательским советом ТГТУ Рецензент доктор экономических наук, профессор ТГТУ Л.В. Пархоменко С606 Теория вероятностей и математическая статистика : методические указания / сост. А.В. Солопахо. – Тамбов : Изд-во Тамб.

гос. техн. ун-та, 2008. – 32 с. – 100 экз.

Рассмотрены методика и примеры решения типовых задач по темам «Вероятности случайных событий», «Теория случайных величин», «Оценка законов распределения», «Проверка статистических гипотез».

Предназначены для студентов специальностей 080105, 080109, 080500 всех форм обучения.

УДК 51:33 ББК В11я73 © ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет», 2008 Учебное издание ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Методические указания Составитель СОЛОПАХО Александр Владимирович Редактор Т.М. Глинкина Компьютерное макетирование Т.Ю. Зотовой Подписано в печать 04.07.2008 Формат 60 84 / 16. 1,86 усл. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 313 Издательско-полиграфический центр ТГТУ 392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14 ВВЕДЕНИЕ Теория вероятностей – математическая дисциплина, объектом изучения которой являются случайные события. На теории вероятностей основывается математическая статистика, которую иногда считают даже частью теории вероятностей. Экономика и производственные процессы – одна из важнейших сфер применения теории вероятности и математической статистики.

Уже давно исследование и прогнозирование экономических явлений трудно представить без использования методик статистического оценивания, проверки гипотез, регрессионного анализа, трендовых и сглаживающих эконометрических моделей и других методов, опирающихся на теорию вероятностей. А с развитием общества мировая экономика все более усложняется и, следовательно, по законам развития динамических систем должен усиливаться статистический характер законов, описывающих социально-экономические явления.

Все это предопределяет необходимость овладения методами теории вероятностей и математической статистики как важнейшим инструментом анализа и прогнозирования экономических явлений и процессов.

Данное пособие содержит подборку примеров решения наиболее важных и типичных по содержанию задач, методические рекомендации по их решению, и изучению рассматриваемой дисциплины в целом. Пособие не имеет целью изложение теории, а содержит лишь вспомогательный материал, способствующий самостоятельному выполнению контрольных работ студентами, в особенности, заочного отделения. Последовательность рассмотрения материала, в основном, соответствует имеющемуся по данной дисциплине учебному пособию [1]. Необходимый теоретический материал можно найти и в других источниках [2, 4, 5] и т.д.

1. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ Как и всякая математическая дисциплина, Теория вероятностей и математическая статистика является прежде всего стройной теорией, состоящей из определений, теорем и различных других абстрактных построений. Решение задач при ее изучении имеет целью проиллюстрировать соответствующие моменты теории. Однако, вероятностные и статистические примеры и задачи являются несомненно наиболее практически содержательными, часто находящими непосредственное продолжение в реальных ситуациях.

Следует отметить, что при решении задач теории вероятностей, особенно относящихся к рассматриваемым начальным, фундаментальным вопросам, интерес представляет не ответ, а именно процесс решения задачи. Ответ (результат), зачастую, интуитивно очевиден. Важно, формально строго, опираясь на известные в теории определения, теоремы и т.д., выстроить и четко описать схему решения задачи. В истории известны примеры, когда из-за неправильной схемы рассуждений весьма одаренные и известные математики допускали в вероятностных задачах грубейшие ошибки.

1.1. Общие понятия о случайном событии и его вероятности.

Действия над случайными событиями Теоретический материал, соответствующий данному вопросу, рассмотрен в [1, п. 1.1], а также в [2, п. 1.1, 1.2; 4, п.

1.1].

Любое случайное событие всегда связано с конкретным вероятностным опытом и не может рассматриваться само по себе, в отрыве от этого опыта. Это означает, что рассматривая случайное событие, необходимо четко определить, в чем заключается вероятностный опыт, каковы его возможные исходы, действительно ли данное событие следует изучать как результат этого опыта, и т.д.

Пример 1.1. Определить множество исходов стохастического эксперимента, состоящего в сдаче студентом экзамена.

Решение. Очевидно, к этому множеству относятся исходы:

• получение оценки «отлично»;

• получение оценки «хорошо»;

• получение оценки «удовлетворительно»;

• получение оценки «неудовлетворительно».

Однако, в зависимости от ситуации, может оказаться целесообразным включение таких исходов, как • опоздание студента на экзамен;

• неявка преподавателя, например по причине болезни • и т.д.

Понятие случайного события в теории вероятностей всегда можно ассоциировать с понятием множества. Поэтому для понимания действий над случайными событиями следует разобраться с действиями над множествами. При этом целесообразно помнить, что теория множеств является самостоятельным разделом высшей математики [6, п. 1.1], а никак не частью теории вероятностей.



Пример 1.2. Показать, что события А, В – А и (A + B) несовместны, а их сумма составляет достоверное событие.

Решение. Докажем несовместность каждой пары этих событий.

В соответствии с определением операции вычитания множеств события А и В – А, очевидно, являются несовместными, то есть A(B - A) =.

Далее, если некоторый элемент множества таков, что А, то (А + В), и значит (A + B), а тогда и А (A + B) =.

Наконец, если (В – А), то (А + В) и (A + B), а значит (B - A)(A + B) =, т.е. указанные три события попарно несовместны.

Окончательно А + (В – А) + (A + B) =А + В + (A + B) =, т.е. эти события в сумме составляют.

1.2. Схема с равновозможными исходами.

Классическое определение вероятности Теоретический материал, соответствующий данному вопросу, рассмотрен в [1, п. 1.2], а также в [2, п. 1.3; 4, п. 1.2].

Любому стохастическому эксперименту можно поставить в соответствие одну из трех возможных схем его проведения (см. также [1, п. 1.4, 1.5]). Схема с равновозможными исходами является простейшей из них. В реальной жизни немного экспериментов соответствует ей. Однако почти все азартные игры являются такими экспериментами.

Расчеты вероятностей событий, связанных с экспериментом, соответствующим схеме с равновозможными исходами, основаны на так называемом классическом определении вероятностей, которое имеет очень большую теоретическую и практическую значимость. Исходя из этого определения, если известно, что • эксперимент соответствует данной схеме;

• заданы благоприятствующие исходы некоторых событий, то можно формально строго находить и вероятности случайных событий, являющиеся результатом арифметических действий (операций) над этими событиями.

Пример 1.3. Пусть в закрытой урне находится 20 пронумерованных шаров одинакового размера. Найти вероятности событий, что наудачу вытащенный шар имеет • четный номер;

• номер больший, чем 11, а также вероятности суммы, разности и произведения этих событий.

Решение. Обозначим: А – шар имеет четный номер; В – номер шара больше 11.

Элементарные исходы опыта обозначим через wi – наудачу вытащенный шар имеет номер i, i = 1, 20.

Ясно, что рассматриваемым событиям благоприятствуют следующие исходы:

A = {w2, w4,..., w20}, B = {w12, w13,..., w20}.

По классическому определению вероятности 10 1 P(A)= =, P(B)=.

20 2 Далее имеем:

14 A + B = {w2,w4,...,w12,w13,...w20} P(A + B)= = ;

20 5 A - B = {w2,w4,...,w10} P(A - B) = = ;

20 5 A B = {w12,w14,...,w20} P(A B)= =.

20 1.3. Использование комбинаторных формул Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Ее понятия используются при решении почти всех задач на схему с равновозможными исходами [1, п. 1.3; 2, п. 1.4; 4, п. 1.5].

Пример 1.4. Наудачу взятый телефонный номер без нуля впереди состоит из 7 цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны.

Решение. Число всех различных номеров по правилу произведения равно п = 9 106, число номеров с различными цифрами равно т = 9 A9. Согласно классической схеме вероятностей, искомая вероятность равна m 9 A9 987 65 P(A) = = = = 0,06048.

n 9106 Р(А) = 1 / 24.

Важно также разобраться с так называемой «урновой» схемой проведения эксперимента (см. пример 1.5).

Пример 1.5. Пусть имеется 500 электрических лампочек. Завод-изготовитель гарантирует, что из них не более 2 бракованных. Оценить, какова вероятность, что из 5 выбранных лампочек нет ни одной бракованной.

Решение. Эксперимент соответствует «урновой» схеме. Используя соответствующую формулу [1, 8], при N = 500, n = 5, М = 2, m = 0, получаем 5 С498 СР = 0,98.

С1.4. Схема с неравновозможными исходами.

Статистическое определение вероятности Теоретический материал, соответствующий данному вопросу, рассмотрен в [1, п. 1.4], а также в [2, п. 1.7; 4, п. 1.3].

Большинство реальных вероятностных ситуаций, имеющих конечное (или счетное) количество элементарных исходов, соответствует именно схеме с неравновозможными исходами. Важным фактом, использующимся при решении многих соответствующих задач, является статистическое определение вероятности.

Пример 1.6. Имеется статистика опозданий на лекции некоторого студента.

Без Время опоздания, мин. 1–2 2 – 4 4 – 10 Более опозданий Количество опозданий 30 20 10 5 Оценить вероятность, что на очередную лекцию студент опоздает более чем на 4 мин.

Решение. Рассмотрим ситуацию, как эксперимент с пятью неравновозможными элементарными исходами. Будем считать, что их вероятности, в соответствии со статистическим определением и имеющимися данными, можно принять равными 30 20 10 5 p1 =, p2 =, p3 =, p4 =, p5 =.

70 70 70 70 Тогда для искомой вероятности имеем 10 P(A)= p4 + p5 = =.

7 1.5. Схема с несчетным множеством исходов.

Геометрическое определение вероятности Соответствующий теоретический материал рассмотрен в [1, п. 1.5], а также в [2, п. 1.8; 4, п. 1.4].

Схема с нечетным множеством исходов является наиболее общей. Все изученные выше схемы проведения стохастических экспериментов можно рассмотреть как частный случай этой схемы. Это значит, что и любую реальную ситуацию можно рассмотреть в рамках данной схемы, поэтому очень важно хорошо уяснить ее содержание.

Пример 1.7. Две точки случайным образом помещаются на отрезок длины l. Все положения точек при этом считаются равновозможными. Найти вероятность, что расстояние между точками окажется меньше, чем расстояние от любого конца отрезка до ближайшей точки.





Решение. На первый взгляд задача кажется одномерной, но на самом деле следует перейти к рассмотрению двухмерных множеств. Обозначим через x координату точки A, а через y – точки B. Для определенности будем считать, что A левее, чем B. Множество положений точек, соответствующих условию задачи, описывается неравенством (y - x)< min{x, l - y}.

Чертеж этого множества представлен на рис. 1.1: это выделенный треугольник.

Исходя из геометрического определения вероятности, находим ответ l l tg(15o) 2 P(A) = = tg(15o) 0,268.

ly l l/ l/2 l x Рис. 1.1.6. Теоремы сложения и умножения вероятностей Необходимый теоретический материал рассмотрен в [1, п. 1.6].

Соответствующие формулы являются основой решения очень широкого спектра задач.

Пример 1.8. В лотерее на каждые 10 000 билетов разыгрываются 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого Решение. По классическому определению, вероятность вещевого выигрыша составляет P(A) = = 0,015, аналогично – денежного P(B) = = 0,005.

10 События A и B, очевидно, несовместны. Тогда по теореме сложения вероятностей окончательно получаем P(C) = P(A) + P(B) = 0,015 + 0,005 = 0,02.

Пример 1.9. Имеются два бизнес-проекта. Вероятность получения прибыли для первого бизнес-проекта равна 0,8, а для второго – 0,7. Найти общую вероятность получения прибыли.

Решение. Обозначим через А – успех первого проекта; В – успех второго.

Будем считать, что события A и B независимы. Тогда по теореме умножения вероятностей P(w1)= P(A B) = 0,8 0,7 = 0,56 ;

P(w2)= P(A B) = (1- 0,8) 0,7 = 0,14 ;

P(w3)= P(A B) = 0,8 (1- 0,7) = 0,24 ;

P(w4)= P(A B) = (1- 0,8)(1- 0,7) = 0,06.

Можно считать, что мы перешли к рассмотрению вероятностного эксперимента с исходами w1, w2, w3, w4.

Тогда получаем P(C) = P(w1)+ P(w2)+ P(w3) = 0,94.

1.7. Формулы условной вероятности, полной вероятности.

Формула Байеса Необходимый теоретический материал рассмотрен в [1, п. 1.7] и др.

Пример 1.10. На предприятии изготавливают некоторые изделия на трех поточных линиях. На первой производят % всех изделий, на второй – 30 %, на третьей – 50 %. Каждая линия характеризуется следующими процентами годности изделия: 95, 98, 97 %. Требуется определить вероятности того, что:

1. Bзятое наугад изделие окажется бракованным.

2. Бракованное изделие изготовлено на 1, 2, 3-й линиях.

Pешение. Обозначим: A1, A2, A3 – изделие изготовлено на 1, 2, 3-й линиях. Согласно условию:

P(A1) = 0,2; P(A2) = 0,3; P(A3) = 0,5.

Обозначим: B – взятое наугад изделие оказалось бракованным. Согласно условию P(B/A1) = 0,05; P(B/A2) = 0,02; P(B/A3) = 0,03.

Используя формулу полной вероятности, находим P(B) = P(B/A1) P(A1) + P(B/A2) P(A2) + P(B/A3) P(A3) = = 0,2 0,05 + 0,3 0,02+0,5 0,03 = 0,031.

Отметим, что последняя величина фактически выражает общий уровень брака по предприятию.

Вероятность того, что взятое бракованное изделие изготовлено на той или иной линии, находим по формуле Байеса:

Р(А1)Р(В / А1) 0,020,05 P(A1/B)= = = ;

Р(В) 0,031 Р(А2 )Р(В / А2 ) 0,006 P(A2/B)= = = ;

Р(В) 0,031 Р(А3)Р(В / А3) 0,015 P(A3/B)= = =.

Р(В) 0,031 1.8. Последовательности испытаний. Схема Бернулли Необходимый теоретический материал рассмотрен в [1, п. 1.9] и др.

Данная схема проведения вероятностного эксперимента, являясь частным случаем схемы с неравновозможными исходами, очень важна для исследований всевозможных массовых явлений, состоящих из серии одинаковых независимых опытов. Примеры таких явлений в изобилии можно найти в сферах экономики, социологии и т.п. Начнем с наиболее простых примеров.

Пример 1.11. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

Решение. Ясно, что данный эксперимент можно считать соответствующим схеме Бернулли при n = 6. Тогда 0 6 1 1 1 1 0 а) P(A) = P6(0) + P6(1) = С6 + С6 = 2 2 2 1 = (1+ 6) = ;

2 7 б) P(A)= 1- P(A) = 1- =.

64 Пример 1.12. Перерасход кассовых средств в каждый отдельный день возможен с одной и той же вероятностью p.

Какова должна быть эта вероятность, чтобы с вероятностью не менее 0,9 перерасход происходил не более чем один раз в пять рабочих дней Решение. Аналогично предыдущей задачи, вероятность не более чем одного перерасхода за пять дней 0 P(A) = P5(0) + P5(1) = С5 p0 (1- p)5 + С5 p (1- p)4 = = (1 - p + 6 p)(1 - p)4 < 0,1.

Решаем уравнение (6 - 5 q) q4 = 0,графически, получаем q 0,3973 p = 1- q = 0,6027.

Таким образом, вероятность перерасхода в день не должна превышать p = 0,6027.

1.9. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа Необходимый теоретический материал рассмотрен в [1, п. 1.10] и др.

При большом количестве опытов n, что весьма естественно для рассматриваемых массовых процессов, непосредственное использование формулы Бернулли становится практически невозможным. Поэтому широко используются упрощенные приближенные соотношения.

Пример 1.13. Вероятность того, что покупатель, зашедший в магазин, совершит покупку, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 400 покупателей покупку осуществят от 70 до 100.

Решение. По условию n = 400, m1 = 70, m2 = 100, q = 0,8, p = 0,2.

Условие применимости интегральной формулы Муавра-Лапласа npq > 15 – существенно перевыполняется. Тогда 70 - 400 0,х1 =, х2 = 2,5.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.